第10章 电路的优化设计方法
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7
在最优化方法中，如果是极大值问题，一般将其转化为极小值问题来求解。
（2）多元函数极值
将多元函数F(P)展成台劳级数，并略去高阶导数项，得
海森矩阵
P p1 p2 p3 pn
T
F P F P p1
F P F P p2 pn
p*存在的充要条件是: F p
p
2F p 0 p 2 p p*
2F p 极值点一定是驻点，但 0 0 驻点不一定是极值点。 p 2 p p* p p*
相对极大点
拐点
单一极小点
计算机辅助电路设计与分析
局部极小点
RED APPLE STUDIO
全局极小点
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
4
例子（1）电路频响特性优化设计的目标函数
实际响应特性
理想特性
W(ωi)是个正 实数，在不同 的采样点可选 取不同的数值， 用以权衡各采 样点对性能的 要求。
k大则误差 函数中数值 大的分量权 重自动加大 通常k =2
P — 待优化的电路元器件参 数向量， P p1 , p2 , , pn , 表明有 n个元件参量
3 2 0.618(1 2 ) 4 1 0.618(2 1 )
'4 3
'3 4
' ' '4 1 0.618('2 1 )
比较f ('3 )和f ('4 )
n 直到[1 , n 2 ]满足 n | n 2 1 | 为止。
求最优步长λ的实质：求单变量函数f(λ)在某一区间λaλ λb中的极小值，即： min f(λ) λaλ λb
插值法：包括二次插值方法和三次插值方法。
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
10
（1）二次插值方法
如果已知函数f(λ)在区间中的三个点λ1 < λ2 < λ3 的函数值为f(λ1)，
2 2 1 2 2 2 2 2 3
1 a0 a11 a f 1 2 a0 a12 a f 2 a1 , a2 a a a f 3 0 1 3 3 STUDIO RED APPLE 计算机辅助电路设计与分析
计算机辅助电路设计与分析 RED APPLE STUDIO
13
2. 黄金分割法（属试探法）：又称0.618法
f(λ3)<=f(λ4)
' 1 1, '2 4
' '3 '2 0.618(1 '2 )
已知：1，2
f(λ3)>f(λ4)
' 1 3，'2 2
a
a1
2 a2 a2 3a3a1
a0 , a1 , a2 , a3
迭代
*
的真
正最优解
a f a a0 f a 3 2 b f b a3 b a a2 b a a1 b a a0 f b a1 ' a ' a f ' a 2 3 a 2a2 b a a1 f ' b ' b f ' b 3 b a
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
9
10.3 单变量函数优化
单变量函数最优化问题：
对一维搜索来说，因为Sk是+1或-1，P0也可以确定，故 f(Pk+ λSk) →φ(λ)，也就是说可用后者来逼近前者 一维搜索的方法有两类：函数逼近法，试探法
1. 插值法（属函数逼近法）
2
调整元器件参数
10.1 电路优化设计概述
最优化设计方法的数学描述:
P=(p1,p2,· · · ,pm)T ：元件参数向量 F(P):目标函数，越小说明设计越好
min F P g i P 0 h P 0 i
i 1,2, , l j 1,2, , k
第10章 电路的优化设计方法
主要内容：
10.1 电路优化设计概述 10.2 目标函数
10.3 单变量函数优化
10.5 有约束优化方法
10.4 多变量函数优化
10.6 统计优化方法
10.7 模拟退火法
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
1
电路的优化设计方法，应包括以下两方面：
不等式约束和等式约束条件
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
3
10.2 目标函数
目标函数
由电路特性的误差函数组成，是电路实际特性与设计要求特 性之间误差的量度，是评价电路设计好坏的定量指标。优化 设计就是求目标函数的极小值。 1. 目标函数的表达式 不可能给出目标函数的统一表示形式，只能针对具体不同的 电路设计问题，给出不同的描述方式。
比较f ('3 )和f ('4 )
n 直到[1 , n 2 ]满足 n | n 2 1 | 为止。
为预先给定的误差要求
为预先给定的误差要求
*
(n) 1 (2n )
n 极小值误差为 RED APPLE STUDIO(0.618) / 2
2 计算机辅助电路设计与分析
A. 自动设计电路的拓扑结构; B. 自动确定电路的元器件参数。
10.1 电路优化设计概述
利用CAD技术进行电路优化设计的过程：
给定电路拓扑结构和元件参数初值 图10.1.1 电路优化设计框图 建立优化目标函数 对电路性能进行分析 用优化算法求目标函数的最小值 满足误差要求否？ 输出优化结果
计算机辅助电路设计与分析 RED APPLE STUDIO
2 F P 2 F P p1p2 p1pn 2 F P 2 F P 2 p2 p2 pn 2 F P 2 F P 2 pn p2 pn
T
1 T P HP 2
[F ( P )] S 0 k [F (P )] S 0
[F ( Pk )]T S k || F ( Pk ) || || S k || cos
RED APPLE STUDIO F ( P)下降最快 计算机辅助电路设计与分析 选 1800 方向（梯度负方向）作 为 S k的方向，可使
电路节点电位Vi 感兴趣的支路电流Ij 电源功耗
~ W V V i i 目标函数 F ( P) Vi ~ Vi i 1
n
2 ~ m W I I j j Ij ~ Ij i 1
l Wk I ShU Sh 2 k 1
计算机辅助电路设计与分析 RED APPLE STUDIO
12
（2）三次插值方法 a3 a 3 a2 a 2 a1 a a0有极小值
' 0 * ' ' 0
*
*
2 * * ' 3a3 a 2a2 * a a1 0 * * ' ' 6 a a 2a2 0 3
15
最速下降法的优化过程 如下： （1 ）给定允许误差 （ 0） , 令迭代次数为k，首次迭代 k 0，并选取迭代初值 P 0。 （2）计算梯度向量 F ( P k )。若 || F ( P k ) || , 则P k 为最优 解，迭代结束；否则转 （3）。 （3）计算搜索方向 Sk : F ( P k ) S || F ( P k ) ||
F P* P F P*
P HP 0
H在向量P的全部区域内正定
P*为极小点的充分和必要 条件是： 1.梯度F P 0； 2.二阶偏导数矩阵 H是正定的。
计算机辅助电路设计与分析 RED APPLE STUDIO
8
10.3 单变量函数优化
数值最优化法的步骤：（关键求Sk ,λk ）
*
1 1 1
2 f 1 1 f 2 2 2 2 f 3 3
1 1 2 1 2 1 3
f 1 f 2 f 3
11
极小点λ*值
实用的二次插值法：迭代法
不直接采用一次抛物线逼近得到的λ* 作为最优步长，而是 要进行迭代。
将最优解(λ*, φ*)取代原三个点(λ1, φ1)， (λ2, φ2)，和(λ3, φ3) 中最坏（即该φ与相应的f差别最大）的一个点，构成新的三 个点。 再通过这三个点重新进行抛物线逼近，再次求得最优解。 如果反复迭代，直到相邻两次解的差足够小，满足误差要求， 则认为一维搜索迭代收敛。 收敛后的最优解λ*即为最终最优解。
电源功耗最小
6
2
多目标优化
节点电位和支路电流相对误差最 小
RED APPLE STUDIO
计算机辅助电路设计与分析
2. 目标函数的极值
最优化方法的目标是寻找目标函数的极小值。
（1）一元函数极值
F p 0 p p p* p均有 F(p*)F(p) 一元函数F(p)，极小点p=p*，对所有的
f(λ2)， f(λ3)，则可通过这三点(λ1, f(λ1)), (λ2, f(λ2)), (λ3, f(λ3))作 一条抛物线，并用此抛物线φ(λ)（二次曲线）来逼近函数f(λ)。 设这个多项式为
a0 a1 a22
a1 2a2
*
d a1 2a2* 0 d *
*
(n) 1 (2n )
2
14
10.4 多变量函数优化
多变量函数优化的方法：梯度法（最速下降法、牛顿法、共轭
梯度法以及变尺度法等）、单纯形法。
下降最快）方向来寻优 1 最速下降法原理 以目标函数的负梯度（
F ( Pk Pk ) F ( Pk ) [F ( Pk )]T Pk
T
频响特性越复杂频点数应越多
频率采样点数 频率的加权函数 误差函数的指数， 1 k
m 1 k
k ~ 目标函数 F P, W i T P, i T P, i i 1
频率，通常是离散的频 率采样值
防止溢出
应特性 电路的频率响应特性 设计要求的理想频率响
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
5源自文库
例子（2）：电路时域特性优化设计的目标函数
时域采样点数 实际瞬态响应特性V(P,t) 理想时域特性
~ 目标函数 F P, t W ti V P, ti V ti
i 1
m
2
例子（3）：电路静态工作点优化设计的目标函数
ΔP k P k 1 P k
目标函数应不断减小
泰勒展开
F ( Pk 1 ) F ( Pk Pk ) F ( Pk )
k T k
k T k
[F ( Pk )]T Pk 0
k k P P Sk k || P || k
k F ( P ) Sk || F ( P k ) ||
（1）从初始猜测点P0开始；
（2）寻找一合适方向Sk(k=0,1, · · · ),Sk为第k+1次迭代搜索方向； （3）沿Sk方向向前进一步的步长设为λk，求合适的步长λk；
（4）由Pk+1=Pk+ λkSk 得到新的点Pk+1，它应当比原来的点Pk更接 近最优点；
（5）检验Pk+1是否最优，若最优则停止迭代；否则k=k+1，转(2) 步骤继续迭代。
T
1 T F P P F P F P P P HP 2
T
若P*为极小点， F P* 0
F P * P F P *
T
2 F P 2 2p1 F P H p p 2 1 2 F P pn p1
在最优化方法中，如果是极大值问题，一般将其转化为极小值问题来求解。
（2）多元函数极值
将多元函数F(P)展成台劳级数，并略去高阶导数项，得
海森矩阵
P p1 p2 p3 pn
T
F P F P p1
F P F P p2 pn
p*存在的充要条件是: F p
p
2F p 0 p 2 p p*
2F p 极值点一定是驻点，但 0 0 驻点不一定是极值点。 p 2 p p* p p*
相对极大点
拐点
单一极小点
计算机辅助电路设计与分析
局部极小点
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全局极小点
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例子（1）电路频响特性优化设计的目标函数
实际响应特性
理想特性
W(ωi)是个正 实数，在不同 的采样点可选 取不同的数值， 用以权衡各采 样点对性能的 要求。
k大则误差 函数中数值 大的分量权 重自动加大 通常k =2
P — 待优化的电路元器件参 数向量， P p1 , p2 , , pn , 表明有 n个元件参量
3 2 0.618(1 2 ) 4 1 0.618(2 1 )
'4 3
'3 4
' ' '4 1 0.618('2 1 )
比较f ('3 )和f ('4 )
n 直到[1 , n 2 ]满足 n | n 2 1 | 为止。
求最优步长λ的实质：求单变量函数f(λ)在某一区间λaλ λb中的极小值，即： min f(λ) λaλ λb
插值法：包括二次插值方法和三次插值方法。
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（1）二次插值方法
如果已知函数f(λ)在区间中的三个点λ1 < λ2 < λ3 的函数值为f(λ1)，
2 2 1 2 2 2 2 2 3
1 a0 a11 a f 1 2 a0 a12 a f 2 a1 , a2 a a a f 3 0 1 3 3 STUDIO RED APPLE 计算机辅助电路设计与分析
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2. 黄金分割法（属试探法）：又称0.618法
f(λ3)<=f(λ4)
' 1 1, '2 4
' '3 '2 0.618(1 '2 )
已知：1，2
f(λ3)>f(λ4)
' 1 3，'2 2
a
a1
2 a2 a2 3a3a1
a0 , a1 , a2 , a3
迭代
*
的真
正最优解
a f a a0 f a 3 2 b f b a3 b a a2 b a a1 b a a0 f b a1 ' a ' a f ' a 2 3 a 2a2 b a a1 f ' b ' b f ' b 3 b a
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10.3 单变量函数优化
单变量函数最优化问题：
对一维搜索来说，因为Sk是+1或-1，P0也可以确定，故 f(Pk+ λSk) →φ(λ)，也就是说可用后者来逼近前者 一维搜索的方法有两类：函数逼近法，试探法
1. 插值法（属函数逼近法）
2
调整元器件参数
10.1 电路优化设计概述
最优化设计方法的数学描述:
P=(p1,p2,· · · ,pm)T ：元件参数向量 F(P):目标函数，越小说明设计越好
min F P g i P 0 h P 0 i
i 1,2, , l j 1,2, , k
第10章 电路的优化设计方法
主要内容：
10.1 电路优化设计概述 10.2 目标函数
10.3 单变量函数优化
10.5 有约束优化方法
10.4 多变量函数优化
10.6 统计优化方法
10.7 模拟退火法
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
1
电路的优化设计方法，应包括以下两方面：
不等式约束和等式约束条件
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
3
10.2 目标函数
目标函数
由电路特性的误差函数组成，是电路实际特性与设计要求特 性之间误差的量度，是评价电路设计好坏的定量指标。优化 设计就是求目标函数的极小值。 1. 目标函数的表达式 不可能给出目标函数的统一表示形式，只能针对具体不同的 电路设计问题，给出不同的描述方式。
比较f ('3 )和f ('4 )
n 直到[1 , n 2 ]满足 n | n 2 1 | 为止。
为预先给定的误差要求
为预先给定的误差要求
*
(n) 1 (2n )
n 极小值误差为 RED APPLE STUDIO(0.618) / 2
2 计算机辅助电路设计与分析
A. 自动设计电路的拓扑结构; B. 自动确定电路的元器件参数。
10.1 电路优化设计概述
利用CAD技术进行电路优化设计的过程：
给定电路拓扑结构和元件参数初值 图10.1.1 电路优化设计框图 建立优化目标函数 对电路性能进行分析 用优化算法求目标函数的最小值 满足误差要求否？ 输出优化结果
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2 F P 2 F P p1p2 p1pn 2 F P 2 F P 2 p2 p2 pn 2 F P 2 F P 2 pn p2 pn
T
1 T P HP 2
[F ( P )] S 0 k [F (P )] S 0
[F ( Pk )]T S k || F ( Pk ) || || S k || cos
RED APPLE STUDIO F ( P)下降最快 计算机辅助电路设计与分析 选 1800 方向（梯度负方向）作 为 S k的方向，可使
电路节点电位Vi 感兴趣的支路电流Ij 电源功耗
~ W V V i i 目标函数 F ( P) Vi ~ Vi i 1
n
2 ~ m W I I j j Ij ~ Ij i 1
l Wk I ShU Sh 2 k 1
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12
（2）三次插值方法 a3 a 3 a2 a 2 a1 a a0有极小值
' 0 * ' ' 0
*
*
2 * * ' 3a3 a 2a2 * a a1 0 * * ' ' 6 a a 2a2 0 3
15
最速下降法的优化过程 如下： （1 ）给定允许误差 （ 0） , 令迭代次数为k，首次迭代 k 0，并选取迭代初值 P 0。 （2）计算梯度向量 F ( P k )。若 || F ( P k ) || , 则P k 为最优 解，迭代结束；否则转 （3）。 （3）计算搜索方向 Sk : F ( P k ) S || F ( P k ) ||
F P* P F P*
P HP 0
H在向量P的全部区域内正定
P*为极小点的充分和必要 条件是： 1.梯度F P 0； 2.二阶偏导数矩阵 H是正定的。
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8
10.3 单变量函数优化
数值最优化法的步骤：（关键求Sk ,λk ）
*
1 1 1
2 f 1 1 f 2 2 2 2 f 3 3
1 1 2 1 2 1 3
f 1 f 2 f 3
11
极小点λ*值
实用的二次插值法：迭代法
不直接采用一次抛物线逼近得到的λ* 作为最优步长，而是 要进行迭代。
将最优解(λ*, φ*)取代原三个点(λ1, φ1)， (λ2, φ2)，和(λ3, φ3) 中最坏（即该φ与相应的f差别最大）的一个点，构成新的三 个点。 再通过这三个点重新进行抛物线逼近，再次求得最优解。 如果反复迭代，直到相邻两次解的差足够小，满足误差要求， 则认为一维搜索迭代收敛。 收敛后的最优解λ*即为最终最优解。
电源功耗最小
6
2
多目标优化
节点电位和支路电流相对误差最 小
RED APPLE STUDIO
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2. 目标函数的极值
最优化方法的目标是寻找目标函数的极小值。
（1）一元函数极值
F p 0 p p p* p均有 F(p*)F(p) 一元函数F(p)，极小点p=p*，对所有的
f(λ2)， f(λ3)，则可通过这三点(λ1, f(λ1)), (λ2, f(λ2)), (λ3, f(λ3))作 一条抛物线，并用此抛物线φ(λ)（二次曲线）来逼近函数f(λ)。 设这个多项式为
a0 a1 a22
a1 2a2
*
d a1 2a2* 0 d *
*
(n) 1 (2n )
2
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10.4 多变量函数优化
多变量函数优化的方法：梯度法（最速下降法、牛顿法、共轭
梯度法以及变尺度法等）、单纯形法。
下降最快）方向来寻优 1 最速下降法原理 以目标函数的负梯度（
F ( Pk Pk ) F ( Pk ) [F ( Pk )]T Pk
T
频响特性越复杂频点数应越多
频率采样点数 频率的加权函数 误差函数的指数， 1 k
m 1 k
k ~ 目标函数 F P, W i T P, i T P, i i 1
频率，通常是离散的频 率采样值
防止溢出
应特性 电路的频率响应特性 设计要求的理想频率响
计算机辅助电路设计与分析
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例子（2）：电路时域特性优化设计的目标函数
时域采样点数 实际瞬态响应特性V(P,t) 理想时域特性
~ 目标函数 F P, t W ti V P, ti V ti
i 1
m
2
例子（3）：电路静态工作点优化设计的目标函数
ΔP k P k 1 P k
目标函数应不断减小
泰勒展开
F ( Pk 1 ) F ( Pk Pk ) F ( Pk )
k T k
k T k
[F ( Pk )]T Pk 0
k k P P Sk k || P || k
k F ( P ) Sk || F ( P k ) ||
（1）从初始猜测点P0开始；
（2）寻找一合适方向Sk(k=0,1, · · · ),Sk为第k+1次迭代搜索方向； （3）沿Sk方向向前进一步的步长设为λk，求合适的步长λk；
（4）由Pk+1=Pk+ λkSk 得到新的点Pk+1，它应当比原来的点Pk更接 近最优点；
（5）检验Pk+1是否最优，若最优则停止迭代；否则k=k+1，转(2) 步骤继续迭代。
T
1 T F P P F P F P P P HP 2
T
若P*为极小点， F P* 0
F P * P F P *
T
2 F P 2 2p1 F P H p p 2 1 2 F P pn p1