2018-2019-1-线代A卷+答案
2018-2019-1-线代A卷
11 1 1
6. 行列式 D 1 1
2 22
3 32
4 42 =
.
1 23 33 43
7. 设 A 是四阶方阵， A 是 A 的伴随矩阵， A 的行列式 A =1，则行列式
3 A 1 A* =
.
1 0 4
8.
设 A 是 43矩阵,
且 R A 3 ,
而
B
0
2
0
,
则 R AB
.
5 0 3
1 2 2
C． r m 时， AX 0 必有非零解 D． r n 时， AX 0 必有非零解
5. 如果实二次型 xT Ax 是正定的，则以下关于矩阵 A 的叙述错．误．（ ）
A．一定是正定矩阵
B．特征值一定大于零
C．顺序主子式有可能小于零
D．行列式一定大于零
得分
二．填空题：（每小题 3 分，共 15 分）
D. 12 ）
A. AB 1 A1B1
B. ABT AT BT
C. A B 1 A1 B1
D. A BT AT BT
3. 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 行与第 2 行交换得 B ，再把 B 的第 2
行加到第 3 行得 C ，则满足 QA C 的可逆矩阵 Q 为（ ）
题号 一 二 三 四 题分 15 15 60 10 得分
注意：学号、姓名和所在年级班级不写、不写全或写在密封线外者，试卷作废。
得分
一．选择题：（每小题 3 分，共 15 分）
1. 逆序数[4731265] (
).
A.9
B.10
C.11
2. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵, 则下列等式正确的是（
17．设 1, 2 为 2 阶实矩阵 A 的两个不同的特征值，1, 2 是分别与特征
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
2018-2019第二学期 线性代数与空间解析几何试卷A 答案
2018-2019第二学期《线性代数与空间解析几何》试卷A 答案一、选择题1. 用j A 表示3阶行列式A 的第j 列（j =1,2,3）,已知2A =-，则312123A A A A -=（ ）. B(A) -6 (B) 6 (C) -27 (D) 272. (1,,5)k β=能由向量组12(1,3,2),(2,1,1)αα=-=-线性表示，则k 为（ ）.A (A) 8k =- (B) 8k ≠- (C)2k ≠- (D) 2k =-3. 二次型222123123(,,)(1)(1)f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型. C(A) 1λ>- (B) 1λ≥- (C)1λ> (D) 1λ≥4. 设233012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，213301B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，则BA =（ ）.C(A) 0 (B) 26 (C) -26 (D) 15. 要断言矩阵A 的秩为r ，只需条件（ ）满足即可. D (A) A 中有r 阶子式不为0 (B) A 中任何r+1阶子式为0(C) A 中不为0的子式的阶数小于等于r (D) A 中不为0的子式的最高阶数等于r6. 若A 为n 阶方阵，且齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则它的系数行列式A （ ）. A(A) 必为0 (B) 必不为0 (C) 必为1 (D) 可取任何值 7. 对二次曲面，下列说法不正确的是（ ）. B (A) 方程032222=--z y x 表示锥面 (B) 方程2232y x z -=表示椭圆抛物面 (C) 方程x y =2表示抛物柱面(D) 方程19141222=-+z y x 表示单叶双曲面二、填空题8. 已知100011012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，120011000AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = .120022011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭9. 设2()54f x x x =-+，且2133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()f A = . (-5)1001⎛⎫⎪⎝⎭10. 设123,,λλλ为3阶矩阵512143236⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征值，则123λλλ++= . 1511. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =7. 12. 设(){}123123123,,0,,,V x x x x x x x x x x R ==++=∈，则V 是 维向量空间. 213. 已知向量3α=，2β=，αβ-=αβ+=.二、计算题14. （本题7分）设421532321A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -.解()1*1AA A-=， ............................（2分） 又1A =- .............................（4分）()1*421532321A A ----⎛⎫⎪=-=--- ⎪ ⎪---⎝⎭...............................（7分）15. （本题8分）向量组A ：11111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，31111α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，41111α-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，试求出A的秩及一个极大线性无关组.解 因111111118011111111---=≠----， .............................（4分）故1234,,,αααα线性无关，向量组本身是极大线性无关组，(6分) 其秩为4。
2018-2019学年线性代数试题及答案.ppt
线性无关。
3、设4阶方阵A满足条件 3E 2A 0, AAT 2E, A 0 求A的伴随矩阵 A 的一个特征值。
五、解矩阵方程（满分7分）
2 设矩阵 A 3
2 6
1 3
三、计算行列式（每小题5分，共10 分）
410 5 1、 D 3 1 1 2
2 0 6 4 2 5 3 2
218
1 a1 1
2、Dn 1 1
1 1 a2
1 1
1 1 1 a3 1
其中 ai 0 (i 1,2, , n)
1
1
1
n1 n (1 i1 ai ) i1 ai
一、填空题（每小题2分，共14分）
1、设A是3阶矩阵，且 A ，1A 是A的伴随矩阵，则：
2
(3A)1 2A
16 27
2、设四元非齐次线性方程组 Ax b 的系数矩阵A的秩为3，且
1 (1,2,3,4)T ,2 (2,3,4,5)T 是该方程组的两个解，则
方程组 Ax b 的通解为: (1,2,3,4)T k(1,1,1,1)T , k R
则 A B 32
2 0 0
2 0 0
6、已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y 0 相似，
0 1 x
0 0 1
则x 0
y 1
7、已知实二次型
f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 x32 ) 4x1x2 4x1x3 4x2 x3
0
可知
3 2
是A的一个特征值。
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析一、前言在2024年的考研数学一科目中，线性代数占据着重要的位置。
掌握线性代数的核心概念和解题技巧对于考生来说至关重要。
为了帮助广大考生更好地备考，本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年真题进行全面解析，并分享一些解题技巧和注意事项。
二、基础知识回顾在开始解析之前，先回顾一下线性代数的基础知识是非常必要的。
包括向量、矩阵、行列式、线性空间、线性变换等概念都是线性代数的基本内容。
理解这些基础知识对于解答试题非常有帮助。
三、真题解析接下来，我们将对几道历年真题进行解析，以帮助考生更好地理解线性代数的应用。
1. 2018年真题题目描述：已知矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=-3，对应的特征向量分别为X1=(1,2)T，X2=(1,-1)T。
求矩阵A的逆矩阵。
解析：根据线性代数的知识，当一个矩阵存在特征值时，可以通过特征向量组成的矩阵P和特征值组成的对角矩阵D，利用相似矩阵的性质求得矩阵A的逆矩阵。
首先，我们将特征向量X1和X2组成的矩阵P为：2 -1]然后，根据特征值组成的对角矩阵D为：D = [2 00 -3]利用相似矩阵的性质，可以得到：A = PDP^(-1)由此可得：P^(-1) = [1/3 1/32/3 -1/3]最后，计算得到矩阵A的逆矩阵为：A^(-1) = P^(-1)DP2. 2019年真题题目描述：已知矩阵A是n阶方阵，且满足A^2 = -I，其中I为n 阶单位矩阵。
证明A的特征值一定满足λ^2+1=0。
解析：根据已知条件A^2 = -I，可得到：λI^2 = -I再根据特征值的性质，可以得到：进一步推导，可得：(λ^2+1)I = 0因为矩阵A是n阶方阵，所以λ^2+1=0。
证毕。
四、解题技巧和注意事项1. 理清概念：线性代数是一门较为抽象的学科，需要理清概念和定义。
对于一些概念的记忆和理解，可以通过做例题巩固。
2. 多做习题：做大量的习题是掌握线性代数的关键。
河南理工大学2018-2019 学年第一学期线性代数a(A卷)期末试卷
２. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300040002A ，BA A ABA +=2，求B 。
（本小题 ８分）３. 已知3R 中一组基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=611,123,411321ααα，求从基⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,011,001到321,,ααα的过渡矩阵。
（本小题８分）４. 设T a )10,2,(1=α，T )5,1,2(2-=α，T)4,1,1(3-=α，T b )1,,1(-=β，根据b a ,的不同取值，讨论线性方程组βααα=++332211x x x 解的情况，并在有无穷多解时求其通解。
（本小题１２分）河南理工大学 2018-2019 学年第 一 学期《线性代数a 》试卷答案（A 卷）一、 填空题（每题4分）1. 02. 13.38 4. 1或2 5. 28 6. )3,2,(zy x二、 选择题（每题4分）1. B2. D3. C4. D5. C6. C三、 计算题 1.910000100001022219322123212231222193229232922392229131214143219====---÷+++r r r r r r c c c c c D……2分 ……4分 ……8分2.可逆A A ∴≠=,024 且 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3141211A 等式两端同时在右侧乘以1-A 则 ,)(,,AB E A A B AB B A AB =-=-+= ……2分可逆E A E A -∴≠==-,06231５.已知二次型32232221222x x x x x f -++=（１）判定二次型的正定性；（２）求一个正交变换把二次型化成标准形。
（本小题 １６分）且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--21311)(1EA……4分AEAB1)(--=∴……6分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=∴-2334234221311)(1AEAB……8分3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==614121131),,(321αααA，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==111111),,(321βββB可逆BB∴≠=,01……2分,),,(),,(321321Aeee=ααα,),,(),,(321321Beee=βββ……4分,),,(),,(1321321-=∴Beeeβββ,),,(),,(1321321AB-=∴βββααα,·1AB-过渡矩阵为所以要求的……6分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-61411211111614112111131111),~21r rAB（⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---6141713111~12r r所以过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6147131……8分4.设),,(321ααα=A，则,4--=aA……2分时线性方程组有唯一解可逆时，即当0≠AA时线性方程组有唯一解4-≠∴a……4分当4-=a时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=↔145101124112145101121124),,,(~21321bbrrβααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+++-bbbbbbrrrrrr3211112511211112~~23121325……6分线性方程组无解时当),,()(,,4βARARba≠≠-=∴……8分线性方程组有无穷多解时当,3),()(,,4<==-=βARARba……10分此时),,,(321βααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111211112~21r r～令1,21,321=--==xcxcx则此时，方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121121321cccxxx……12分5.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21121A……2分)3()1(]1)2)[(1(2112122=--=---=-----=-λλλλλλλλEA所以特征值121==λλ，33=λ……4分（1）因为特征值全为正，所以二次型正定……6分（2）当121==λλ时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+111111~32r rEA特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11,121ξξ21,ξξ正交……8分当33=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=--0001100021101100023~23r r E A 特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103ξ ……10分 321,,ξξξ两两正交单位化得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11021,00121ξξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110213ξ ……12分所以正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121021210001P 所求的正交变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212121021210001y y y x x x ……14分标准形为2322213y y y f ++= ……16分1.。
线性代数A习题册答案
线性代数A习题册答案练习1.2 n阶⾏列式的性质与计算⼀、填空题:1. 设是⽅程的三个根，则⾏列式.解: 由于是⽅程的三个根，由根与系数的关系有, ⼜,故应填.2. ; .解:由于时, 的第⼀⼆列对应元素相等,故, 从⽽有因⼦；⼜由于时, 的第三四⾏对应元素相等,故, 从⽽有因⼦；由于中关于最⾼次数为,故,⼜由于的的项为, ⽐较两边的系数, 得,故应填.由于,故应填.3. 已知, 则.解: ,,从⽽,故应填.4. ⽅程的所有解为.解: 因为当分别等于时, 均有两列元素对应相等, 故, 故是的解, ⼜中关于的最⾼次数为, 所以是的所有解, 故应填.5. ⾏列式当时, , 当时, .解: ，当时,,故应填, .⼆、选择题：1．设则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解: ，故应选(B).2. 设, 其中均为三维列向量, 若, 则[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解:，故，故应选(D).3. 设, 其中均为三维列向量, 且, 则[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D).解:.故应选(C).三、计算下列⾏列式:(1)； (2) .解:四、证明:(1) ; (2).证明: (1)利⽤⾏列式的性质可将左边⾏列式表⽰为个⾏列式之和.这⼋个⾏列式中有六个⾏列式因有两列元素成⽐例，因⽽为零.所以，，得证.(2)练习1.3 ⾏列式按⾏(列)展开定理与克莱姆法则⼀、填空题:1. 已知,表⽰第⾏第列元素的余⼦式, 则.解：因为，故应填.2. .解：，故应填3. 当时, ⽅程组有⾮零解.解：⽅程组有⾮零解，由于，所以或.故应填或.⼆、选择题：1．设, 则多项式次数最⾼可能为 [ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解：，将其按第⼀⾏展开，得.若，则是常数；若，则是⼀次多项式，故应选(A). 2. 设,且其每列元素之和为, 则的第⼀⾏元素的代数余⼦式之和[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D).解：, 显然，与第⼀⾏元素的代数余⼦式相同，所以，故应选(B).3. ⾏列式⾮零的充分条件是 [ ](A) 的所有元素⾮零； (B) 的任意两⾏元素之间不成⽐例；(C) ⾄少有个元素⾮零； (D) 以为系数⾏列式的齐次线性⽅程组有唯⼀解.解：选项(A),(B),(C)均不是⾮零的充分条件，故应选(D).4. 齐次线性⽅程组只有零解, 则应满⾜的条件是 [ ](A) ； (B) ； (C) ；(D) .解：齐次线性⽅程组只有零解, ⽽，所以，故应选(D).三、证明: (1) ; (2)证明：（1），得证.(2)，得证.四、计算下列⾏列式:(1) ； (2).解：(1)将的第⾏经次⾏的调换调⾄第⼀⾏，第⾏经次⾏的调换调⾄第⼆⾏,…, 第2⾏经1次⾏的调换调⾄第⾏, 于是经过次⾏调换，故得（2）将按第列展开，得，但此递推公式难以推出的表达式. 由于于是我们猜测. 事实上，假设结论对于⼩于阶的⾏列式均成⽴，则对于阶，由递推公式有，故由数学归纳法，得.练习2.1 矩阵及其运算⼀、填空题:1. 设，则.解：，⽽，所以，，故应填.2. 设是阶矩阵, 其每⾏元素之和为,则的每⾏元素之和为.解：由题设知，即线性⽅程组有解，亦即，所以，推⼴可得，即的每⾏元素之和为，故应填.3. 已知线性变换则变量到变量的线性变换为.解1：因为,故应填.解2：由已知：,故, 故应填.4. , , ,.解: ；；；.⼆、选择题：1．设是阶⽅阵, 且, 则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D) .解: , 同理可得, 故. 故应选(C).2. 设为阶对称矩阵, 为阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解:, 故应选(A).3. 设为阶⽅阵,为正整数, 则下列结论中不正确的是 [ ](A) 若可交换, 则； (B) 若可交换, 则和可交换；(C) 若和可交换, 则可交换； (D) 若和可交换, 则可交换.解:若可交换, 则,故(A)正确；若可交换,显然也可交换, 于是,故(B)正确；由,知和可交换的充要条件是,即, 故(C)正确；从⽽(D)不正确. 事实上,若,由知,即不可交换,但, 故应选(A).4. 设,矩阵满⾜, 则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D) .解:由得,即,亦即, 两边取⾏列式得,因, 故, 故应选(B).5. 设为阶⽅阵,则下列结论正确的是 [ ](A) 且； (B) 若；(C) 或； (D) .解: 或, 故(C)成⽴；若,则,但,故(A)不成⽴；, 但,故(B)不成⽴；, 但,故(D)不成⽴. 故应选(C).三、设, 求解：, .四、设, 计算.解:当时, , 所以；当时, , 所以.五、设, 求.解: 设, 则,. ⽽, , 所以.六、证明任何⼀个阶⽅阵都可以表⽰为⼀对称矩阵与⼀反对称矩阵之和.证明: 设为任⼀矩阵, 且,其中, 由于, 所以,解得, 即, 且为⼀对称矩阵, 为⼀反对称矩阵.得证.练习2.2 矩阵的初等变换⼀、选择题：1．设则必有 [ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解：因为对矩阵施⾏⼀次初等⾏(列)变换, 相当于⽤同种的阶初等矩阵左（右）乘，⽽是由经过将第⼀⾏加到第三⾏，调换第⼀，⼆⾏两次初等⾏变换得到的，所以，故应选(D).。
兰州交通大学《线性代数》2018-2019学年期末试卷
-1-兰州交通大学2018-2019学年第1学期课程名称线性代数（A 卷）一、填空题（每题3分，共30分）1.3阶行列式中的det()ij a 中含有元素22a 的乘积项共有项.2.设0abc ≠；000000a A b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=.3.若13150122x -=--，则x =.4.若n 阶矩阵A 满足224A A I --=O ，则1()A I -+=．5.设C 是m n ⨯矩阵，若有矩阵A,B ，使TAC C B =,则A 的行数⨯列数为.6.设有向量组12:,,s A ααα 线性无关，向量组12:,,t B βββ 线性无关，若向量组A 与向量B 等价，则s 与t 的关系为：.7.设A 为m n ⨯矩阵，若齐次线性方程组0Ax =仅有唯一零解，则()r A =.8.设A 为3阶方阵，3A =，则1(2)A -=.9.已知1(6,1,3)a α=+，2(,2,2)a α=-，若12,αα线性相关，则a =.10.已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，则223A A I -+=.二、单选题（每题3分，共15分）1.若行列式1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，则行列式1111121312121222331313233423423423a a a a D a a a a a a a a -=-=-()．A .-12．B.12．C .-24．D.24．2.假设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，且,AB BA AC CA ==,则ABC =()。
A.ACBB.CBAC.BCAD.CAB3.设A 为n 阶矩阵，且2A =，则TA A ⋅=（）．A ．2n．B ．12n +．C ．12n -.D ．4．-2-4.向量组12,,s ααα 线性无关的充分条件是().A.12,,s ααα 均不是零向量B.12,,s ααα 中任意两个向量都不成比例C.12,,s ααα 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示D.12,,s ααα 中有一个部分组线性无关5.设m n ⨯矩阵A 的秩等于n 则必有（）.A.m n= B.m n< C.m n> D.m n≥三、计算题（每题10分，共40分）1.计算行列式121014512313312D ---=-2.求线性方程组1234123412345231153612426x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩的全部解，并用对应导出组的基础解系表示。
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0,
0,
1T
,
3
1, 5
2 5
,
0
T
......3 分
2
5
令
P
1,2
,3
1 5
0
0 0 1
1
5 2 5 0
,则
P 1 AP
PT
AP
2 0 0
0 3 0
0
0
...1
分
7
16（10 分）解：对T 作初等行变换化为行最简形得
1 1 3 6
故 A 12 11 1 ......2 分
2
r12r2
0
1
00
3
4
2分
0 0 1 1 2 3
2 0 1
所以
A1
0
3
4
....1
分
1 2 3
3
13（10
分）解：由于 T
1 3
,
1 2
,1 12
3 ......3
分
且 An T n T T n1 3n1T ......3 分
3
1 3/ 2 3
而
T
2
0 0
1 0 3 0
1 0 0 ...3 分 3
r2
-
1 3
r3 +2r2
1 0
2 1
31 4/3 4/3
0 0
1/ 3
0
2
分
r33
r2
4 3
r3
r13r3
1 0
2 1
0 2 00
6 3
9
4
2分
0 0 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1
0 0 1 1 2 3
1 0 0 2 0 1
程组基础解系中有两个解向量......2 分，从而方程组通解为
1
x1 1 1 1
X
=
x2 x3 x4
=k1
2
1
0
k2
2
0
1
1
0
0
(k1,
k2为任意实数）
3分
15（10 分）解：由特征方程
3 2 0
E A 2 6 0 2 3 7 0
1
1, 3
1 2
,1
2
/
3
1 / 3
1 1/ 2
2
......3
分
1
1 3/ 2 3
因此
An
3n1
2
/
3
1
2
......1
分
1/ 3 1/ 2 1
9 33 1 分
12（10 分）解：
1 2 3 1 0 0
1 2 3 1 0 0
A E
4
5
80
1
0
r2 4r1
r33r1
1 1 3 6
T
1,
2,
3,
4
0
2
1 2
4 4
14
r3 2r1
0
6
0
1 0
4 2
14
6
2分
0
0
1
3
0
0
1
3
1 0 0 1
0 0
1 0
0 1
2
3
3分
0
0
0
0
RT 3 ，向量组的秩为 3，一个极大线性无关组为1, 2, 3 ，....3 分
且4 1 22 33 .......2 分 四．证明题：
湖北工业大学
线性代数 试题参考答案
A 卷 2018 年 12 月
本解答仅供参考！若存在其他解法，请参考本标准酌情给分。
一.选择题：（3×5=15 分）
1.C
2.D
3.A
4.D
5.C
二.填空题：（3×5=15 分）
6. 12
7.
16 81
8. 3
三.计算题（共 60 分）
9. 5
1 1 2
10.
1
17（10 分）证明：由题意可得
A1 11, A2 22 ......1 分
且1 2 A2 1 2 121 222 ，......2 分
所以
12 1 1 22 1 2 0 ......2 分
由于互异特征值对应的特征向量相互线性无关，因此
12 1 0, 22 1 0, 且1 2 ......3 分
0
3
4 4
1
0
3分
3 4 6 0 0 1
0 2 3 3 0 1
14（10 分）解：方程组的增广矩阵
1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
B
A
b
0
1
2
2
1
0
1
2
21
3分
1 2 3 3 1 0 0 0 0 0
可知 R A RB 2 n 4 ，方程组有无穷多解......2 分，对应的齐次线性方
2
3
2 3 3
11（10 分）解：
D
3 3
3
3 3 3
3 3 3
3 3
r1
r2
9 3
3
rr11
rr34
3 3
9 3 3
9 3 3
9 3 .....3 分 3
1
9
3 3
3
1 3 3
1 3 3
1 3 3
...3
r2 分 rr34
3r1 33rr11
9
1 0 0 0
1 3
0 0 3
解得 1 2, 2 3, 3 7
......3 分
当 1 2 时，解对应的方程组 2E A X 0 可得解向量 1 2, 1, 0T ...1 分
当 2 3 时，解对应的方程组 3E A X 0 可得解向量 2 0, 0, 1T ...1 分
当 3 7 时，解对应的方程组 7E A X 0 可得解向量 3 1, -2, 0T ...1 分