高中物理奥林匹克竞赛专题--5.刚体力学基础习题(有答案)

习题

5-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2

m r ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。

解：受力分析如图

ma T mg 222=- （1）

ma mg T =-1 （2）

βJ r T T =-)(12 （3）

βJ r T T =-)(1 （4）

βr a = (5)

联立 g a 41=

， mg T 811=

5-2. 如图所示,一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上,设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求:（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。

（1） 设杆的线l

m =λ，在杆上取一小质元

dx dm λ=

gdx dmg df μλμ==

gxdx dM μλ= 考虑对称

mgl gxdx M l μμλ⎰==204

12 （2） 根据转动定律d M J J

dt ωβ== ⎰⎰=-t

w Jd Mdt 00

0ω 0212

141ωμml mglt -=- 所以 g

l t μω30=

5-3. 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为2/2

MR ，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 dt

dv m ma T mg ==- βJ TR =

βR dt

dv = 整理 mg dt

dv M m =+

)21( gdt M m m dv t v ⎰⎰+=0021 2M m mgt v +=

5-4. 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M ，

均匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，

而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的重物，如图。已知滑轮

对O 轴的转动惯量4/2

MR J =，设人从静止开始以相对绳匀速

向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？

解：选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度，v 为重

物上升的速度，系统对轴的角动量 MuR MvR R M R v u M vR M L -=+--=

2

3)4()(42ω 根据角动量定理 dt

dL M =

)2

3(43MuR MvR dt d MgR -= 0=dt du MRa dt dv MR MgR 2

32343== 所以 2g a =

5-5. 计算质量为m 半径为R 的均质球体绕其

轴线的转动惯量。

证明：设球的半径为R ，总重量为m ，体密度343R

m πρ=， 将球体划分为许多厚度为dZ 的圆盘，

则盘的体积为 dZ Z R 222)(-π

22252182()2155

R R J R Z dZ R mR ππρρ-=-==⎰

5-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧

的劲度系数N/m 40=k ，当0θ=时弹簧无形变，细棒的质量

kg 0.5=m ，求在0θ=的位置上细棒至少应具有多大的角速度

ω，才能转动到水平位置？

解：机械能守恒

222

12121kx J mg =+ω 根据几何关系 22215.1)5.0(+=+x 128.3-⋅=s rad ω

5-7. 如图所示，一质量为m 、半径为R 的圆盘，可绕O 轴

在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：

（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C 和盘缘A 点的速率；

（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

解：在虚线位置的C 点设为重力势能的零点，下降过程

机械能守恒

221ωJ mgR = 222

1mR mR J +=

R g 34=ω 34Rg R v c ==ω 2A v R ω== 27

3y F m g m R m

g ω=+= 方向向上 5-8. 如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和

m 2的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为l 31和l 3

2．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以02

1v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：根据角动量守衡 有

02202

1322)3()32(32v ml m l m l l mv ⋅-⋅+=ωω l

v 230=ω 5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其

中心O 的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，

一质量为m 的子弹以水平速度v 垂直于圆盘半径打

入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：(1)子弹击中圆盘后，

盘所获得的角速度；(2)经过多少时间后，圆盘停止

转动。(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为

22

1MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解（1）角动量守恒 ωω222

1mR MR mvR += 2(2)mv m M R

ω=+ （2）2022π3

R M M dM dmgr gr rdr MgR R μμμπ====⎰⎰⎰ 2221()032MgR t MR mR μω⋅∆=+-，()224M m t R Mg

ωμ+∴∆= 由（1）已得：()22m M m R

ω=+v ，代入即得32m t Mg μ∆=v

5-10. 有一质量为

1m 、长为l 的均匀细棒，静止

平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过

其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水

平运动的质量为2m 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒

的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在

碰撞前后的速度分别为1v 和2v ，如图所示。求碰撞后

从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。