2016临沂商城实验学校高三一轮复习数学模拟试题十(理)

2016临沂商城实验学校高三一轮复习数学模拟试题十（理）
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知复数，，则等于______
A. B. C. D.
2. 设集合，，则______
A. B. C. D.
3. 给定函数：
①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函
数序号是
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
4. 在中，若，则的形状是______
A. 等腰三角形
B. 正三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
5. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分
制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为，众数，平均数为，则______
A. B. C. D.
6. 某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则
不同的排法共有______
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
7. 设函数．若对任意的正实数和实数，总存在，使得
，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8. 设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方
程为______
A. B. C. D.
9. 已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是
______
A. B. C. D.
10. 若函数，并且，则下列各结论正确的是______
A. B.
C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 如图，正方体的棱长为，为棱上的点，为的中点，则三棱锥
的体积为______ .
12. 已知，满足不等式组则的最大值与最小值的比为______
13. 定义在实数集上的函数满足，且．现有以下三种叙
述：
①是函数的一个周期；
②的图象关于直线对称；
③是偶函数．
其中正确的序号是______
14. 执行如图中的程序框图，如果输入的，则输出的所在区间是______
15. 在实数集中，我们定义的大小关系”“为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量
上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个向量，，”“当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若，，，则；
②若，，则；
③对于，则对于任意；
④对于任意向量，，若，则．
其中真命题的序号为______
三、解答题（共6小题；共78分）
16. 已知函数，且当时，的最小值为，
（1）求的值，并求的单调递增区间；
（2）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和．
17. 如图，将边长为的正六边形沿对角线翻折，连接、，形成如图所示的多
面体，且
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值．
18. 已知一个袋子里装有只有颜色不同的个小球，其中白球个，黑球个，现从中随机取球，
每次只取一球．
（1）若每次取球后都放回袋中，求事件"连续取球四次，至少取得两次白球"的概率；
（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球次，求随机变量的分布列与期望．
19. 数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的通项公式；
（3）令，求数列的项和．
20. 已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函
数．
（1）当时，其曲线在点处的切线方程；
（2）若时，都有解，求的取值范围；
（3）若，试证明：对任意，恒成立．
21. 已知焦点在轴上的椭圆：的离心率为，，分别为左右焦点，过点
作直线交椭圆于，（在，两点之间）两点，且，关于原点的对称点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的方程；
（3）过任作一直线交过，，三点的圆于，两点，求面积的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. B
4. A
5. D
6. B
7. B
8. C
9. D 10. D
第二部分
11.
12.
13. ①②③
14.
15. ①②③
第三部分
16. （1）函数，
因为，所以，，得，
即．
令，
得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）由（1）得，所以，又因为．所以，解得或，即或．
因为，所以或，故所有根之和为．
17. （1）证明：正六边形中，连接、，交点为，
，且，
在多面体中，由，知，
故，
又，又平面，故平面，
又平面，所以平面平面．
（2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系．
，，，则，，，，，．
，，
， .
设平面的法向量为，则<br>\（\[ {\begin{cases}
{\overrightarrow {n_1} \cdot \overrightarrow {AB} = 0}，\\
{\overrightarrow {n_1} \cdot\overrightarrow {AC} = 0}，
\end{cases}} \]\）<br>即<br>\（\[ \begin{cases}
{ - y - z\sqrt 3 = 0}，\\
{x\sqrt 3 - z\sqrt 3 = 0}，
\end{cases}\]\）<br>令，得，
同理，可得平面的一个法向量为，所以<br>\（\[\cos \left\langle {\overrightarrow {n_1} ，\overrightarrow {n_2} } \right\rangle = \frac{{\overrightarrow {n_1} \cdot \overrightarrow
{n_2} }}{{\left| {\overrightarrow {n_1} } \right|\left| {\overrightarrow {n_2} } \right|}} = - \frac{1}{5}，\]\）<br>所以平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为 .
18. （1）记事件表示"第次取到白球"（），事件表示"连续取球四次，至少取得两次白球"，则：
所以
另解：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数，易知，
则
（2）易知：随机变量的值分别为，，， .
所以，，
， .
所以随机变量的分布列为：所以随机变量的期望为：
.
19. （1）当时，，
当时，，
经检验符合，故．
（2）
得，得，
又当时，，所以．
（3），
所以，
令
则
得，
所以，
所以数列的项和．
20. （1）由得，， .
所以曲线在点处的切线斜率为，
因为，曲线的切线方程为；
即．
（2）由得，令，
因为，所以，
所以在上单调递减，又当趋向于时，趋向于正无穷大，故；即 .
（3）由，得，令，所以
因此，对任意，等价于：由，．得，
因此，当时，，单调递增；时，，单调递减. 所以的最大值为，故，
设，
因为，所以时，，单调递增， .
故时，，即，
所以因此，对任意，恒成立．
21. （1）因为椭圆：的离心率为，
，解之得，
所以椭圆的方程为：
（2）设，则，的坐标满足方程组把式代入式化简得 .
所以又因为，所以所以
即解得
把式代入解之得，即
所以直线的方程为 .
（3）由知，即（或），
因与关于原点对称，所以（或），
设过，，三点的圆为则解之得所以圆
的方程为设过的直线为，则原点到直线的距离为，
所以令，则，所以 .
所以所以．。