材料力学第七章 应力状态

yx
y
xy a 0
max
总结： 任一斜截面上的应力：
a
x
y
2
x
y
2
cos 2a
xy
sin 2a
a
x
2
y
sin
2a
xy
cos
2a
主应力的大小：
max x y
min
2
x
2
y
2
2 xy
将 max、 min、0 按代数值排序，得 1、 2、 3 1 2 3
0
a x cos2 a y sin2 a 2 xy sina cosa
a ( x y )sina cosa xy (cos2 a sin2 a )
一）任一斜截面上的应力
a x cos2 a y sin2 a 2 xy sina cosa
a
( x
y )sina
cosa
min
x
2
yx
2 xy
xy
2 2
y
2
2xy
2
2
xy
cos 2a0
x y
(4)
x y 2 2 xy 2
tan 2a 0
2 xy x
y
(3)
x y 2 2 xy 2
2a0
x y
2 xy
二）主平面与主应力
tan2a0
4.主应力与主平面的对应关系的确定
2 xy x
（切应力强度条件）
max [ ]
2、强度理论
F
l F
Fs
Fl
A
z
Mmax y max
max
Iz
M
F S s max z max
max
IZd
正应力强度条件 ：
max
切应力强度条件：
max
A
z
A A
问题：A点的强度条件如何建立？
A
A
强度理论：为解决复杂受力点的强度计算问题，而 提出的关于材料破坏原因的假说及计算方法，从而解决 组合变形下构件的强度计算问题。
dA cosa
σx
b
y'
a
aa
x'
xy
a dA
a
e
dAsina σy yx
y
b yx σy c
σx a
x'
a
σx x
xy
e
xy
a
d
σy yx
Fx 0
adA xdAcosa cosa xydAcosa sina
ydAsina sina yxdAsina cosa
0
xy yx
y xy
a x
（2）主应力、主平面
max
x
2
y
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
min
x
2
y
(
x
y
)
2
2
xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
主平面的方位：
y xy
a x
tan
2a0
2 xy x
y
60 0.6 60 40
a0 15.5 ,
min
a
x y
2
x y cos 2a
2
x sin 2a
a
max
a sin 2a
x y sin 2a
2
x cos 2a
a cos 2a
a 450
450
max
450
max
450 0
铸铁圆试样扭转试验时，正 是沿着最大拉应力作用面（即 450螺旋面）断开的。因此，可 以认为这种脆性破坏是由最大 拉应力引起的。
3．应力状态按主应力分类：
1)单向应力状态： 只有一个主应力不为零的应力状态
2)平面应力状态： 有两个主应力不为零的应力状态，也 称二向应力状态
3)空间应力状态： 三个主应力均不为零的应力状态，也 称三向应力状态
4)单向应力状态又称简单应力状态；平面和空间应力 状态又称复杂应力状态。
空
平
间
面
应
应
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
xy (cos2 a
sin2 a )
a
x
y
2
x
y
2
cos 2a
xy sin 2a
a
x
2
y
sin
2a
xy
cos
2a
符号规定：
α角
由x正向逆时针转到n 正向者为正；反之为 负。
an x
x
正 应 力：
y
x
x
拉应力为正
压应力为负
a 切 应 力：
对分离体内一点取矩， 顺时针为正；反之为负。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
§7-2 平面应力状态的应力分析、主应力
y
yx
y
xy x x
z
一、解析法
二、图解法
一、解析法
y
yx
y
y
yx σy
xy x x
σx
xy
σx x
xy
z 已知： x、 y、 xy yx
σy yx
求：一）任一斜截面上的应力
二）主平面与主应力
三）极值切应力
一、解析法 一）任一斜截面上的应力
a0 15.5 90 105.5
由主应力与主平面的对应关系可知
主应力 1 方向：a0 15.5 主应力 3 方向：a0 105.5
（3）主应力单元体：
y xy
a x
3 1
15.5
例 已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为MPa），
第二角标表示应力平行的轴
两角标相同时，只用一个角
标来表示。
x
z
z
zy
zx
xy
x
yx
xz yz
yz
xz
O
x
xy zx zy
yx
dx
dz
y
y
dy z
切应力互等定理
yz zy ， zx xz ， xy yx
独立分量有六个
y
x
z
z
zy
zx
xy
x
yx
xz yz
yz
xz
O
x
xy zx zy
yx
dx
dz
x y sin
2
2a +1800
x cos
2a +1800 y
yx
σy
=x
y
2
sin 2a
x
cos 2a
σx
xy
a +900 a
σy yx
σx x
xy
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
a 450
y
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向 各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的 外法线分别与x轴成300和－600角，试求此二斜面ab 和bc上的应力。
30 MPa
a
20 MPa
b c
n1 解： x 10 MPa y 30 MPa x 20 MPa
10 MPa
a
x y
2
y
(3)
有一值： - 900 2a0 900 max
方法1
a0
- 450
45
a0
450
min
x y a0 max
反知 x y a0 min
x
y
2
max
σx
x
2
y
2
2
xy (4)
y
yx σy min
σx x
方法2
与切应力的交点同象限的a0 max
xy
σ min
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
2
x y cos 2a
2
x sin 2a
a900
x y
2
x y cos 2a 1800
450
x
2
450
x
2
max
a
x y
2
x y cos 2a
2
x sin 2a
a
x
2
x
2
cos 2a
a
x y sin 2a
2
a
x
2
sin 2a
x cos 2a
低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿 45º出现滑移线，是由最大切应力引 起的。
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说 明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。
一）任一斜截面上的应力
y
dA cosa
σx
b
y'
a
aa
x'
xy
a dA
a
e
dAsina σy yx
b yx σy c
σx
a
x'
a
σx x
xy
e
xy
a
d
σy yx
Fy 0 a dA xdAcosa sina xydAcosa cosa
ydAsina cosa yxdAsina sina
力 特例 状
力 状
态
态
单向应力状态 纯剪切应力状态
四、强度理论
1. 杆件基本变形下的强度条件
（拉压）
max
FN max A
[ ]
（弯曲）
max
Mmax WZ
[ ]
（弯曲） max
F S* smax z max Izb
[ ]
（扭转） max
T Wp
[ ]
（正应力强度条件）
max [ ]
低碳钢拉伸试验
铸铁拉伸试验
低碳钢扭转试验
铸铁 扭 转 试 验
一、一点的应力状态
受力杆件内一点处不同方位截面上应力的全部情况，称为
该点的应力状态
nm
F
a
F
A
mn
F
FN
A
A
F
a
a
a
2
1
cos 2a
A a
a
2
sin 2a
应力
指明
哪一个面上
哪一点？
哪一点 哪个方向面？
过一点不同方位 截面上应力的集合 ，称之为这一点的 应力状态。
(3) a0 和 90 a0 都是解
2.主平面的方位 主应力就是极值正应力
tan 2a0 tan 180 2a0 主应力(即主平面)是相互垂直的
二）主平面与主应力
3.主应力的大小
a0 90 a0
a
x
y
2
x
y
2
cos 2a
xy
sin 2a
a
x
2
y
sin
2a
xy
cos
2a
(1)
sinm2axa0
应力状态就是研究一点处沿各个不 同方位的截面上的应力及其变化规律 。
二、研究应力状态的方法 1．单元体
围绕构件内一点所截取的微小正六面体称为单元体。 2．单元体的性质
由于单元体各边长均为无穷小量，故单元体各表面 上的应力可认为均匀分布，且任一对平行表面上的应力 相等。 3．截取原始单元体的方法、原则
y
y
dy z
2．主应力、主单元体、主平面的概念
主平面： 单元体上切应力为零的平面
主单元体： 各面均为主平面的单元体，主单元体上有三
对主平面
z'
z
z zy
zx
yz
xz x xy
yx
y y
x'
1
旋转
3 2 y'
主应力x： 主平面上的正应力，用1、2、3表示，有 1≥2≥3
围绕一点至少存在一个主单元体，应力分析的主要目的 就是寻找主单元体和主应力
1)用三对平面在一点截取，因其微小，统一看成微 小正六面体
2)单元体各个面上的应力应已知或可求
几种受力情况下单元体的截取方法 一对横截面，两对纵截面
F
FF
A
A
F
AA
A F/A
横截面、周向面、直径面各一对
Me B
Me
ห้องสมุดไป่ตู้
F
Am
B C
m
A
A
A
M Wz
m-m截面：Fs>0，M>0
B Me /Wp
B
B
Fs
2
x sin 2a 1800
x y x y cos 2a
2
2
x sin 2a
a a 900 x y
切应力互等定理：
在两个相互垂直面上，切应力必成对出现，且大小相等，方
向共同指向或共同背离该两平面的交线。
验证：
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
a+900
10 MPa
x 10 MPa y 30 MPa x 20 MPa
a
x y
2
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
n2
600
10 30 2
10 30 cos 120020sin 1200
2
42.32 MPa
600
10 30 sin 120020cos 1200
二）主平面与主应力
1.极值正应力的条件
a
a
x
y
2
x
2
x y
2
y cos 2a xy sin 2a
(1)
sin 2a xy cos 2a
d a da a a0
2
x
2
y
sin 2a0
xy
cos
2a0
0
tan 2a 0
a a0
2 xy x y
x
2
y
sin 2a0 xy cos 2a0 0
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 概述 §7-2 平面应力状态的应力分析、主应力 §7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系 §7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用
§7-1 概述
一、一点的应力状态 二、研究应力状态的方法 三、应力状态的分类 四、强度理论
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
S z max
Izb
C
C
Fs
S
zC
C
Iz
b My
C
Iz
横截面、周向面、直径面各一对，从上表面截取
M
C
Wz
C
T
Wp
F Me
C Me
T ,M, Fs
M
C
Wz
T
Wp
三、应力状态的分类
1、应力分量的脚标规定 单元体上共九个应力分量 应力分量的角标规定 第一角标表示应力作用面 面的方位用其法线方向表示 y