材料力学第七章 应力状态
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材料力学第七章复杂应力状态的最大应力
y y
y
x
x
x 0 max
x
y
max min
x
2
y
(
x
2
y
)2
x2
D
B 0 C
o
y
y E
20 x FA
D’
(x+ y)/2 (x- y)/2
max
x
最大正应力所在截面的方位角0可确定：
tg20
DF CF
2 x x y
负号表示由x面顺时针方向转至max作用面
max所在截面的方位角0也可表示为：
y y
x x
y
Page22
BUAA
•研究方法：利用叠加原
理，由单向受力和纯剪状
态的胡克定理推导复杂应
力状态的广义胡克定理。
y y
x
x x
=
x
y
x
x
E
y
E
y
y
E
x
E
xy
xy
G
MECHANICS OF MATERIALS
y
y
+
+
y
xy
y
y
E
x
y
E
x
x
x
E
y
x
E
x
xy
xy
G
Page23
以上讨论，仅限于//z轴的各截面，故为极值应力
Page5
BUAA
二、主应力
MECHANICS OF MATERIALS
2
正应力极值所在截面的切应力为零
1
主平面－切应力为零的截面
主应力－主平面上的正应力
材料力学第7章应力状态
y
2
2 xy
m m
ax in
m
ax
2
m
in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
1
tan 21
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax
in
x
2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.2 主应力 主方向 一、主应力
正应力是求极值
d d
x
y
2
(2sin 2 ) xy(2cos2 ) 0
得极值条件为
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
0
(1) 极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于零的
平面，即主平面。
(2) 极值正应力就是主应力。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学第五版 第七章 应力状态 答案
第七章应力状态与强度理论一、教学目标和教学内容1．教学目标通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从具有受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。
掌握强度理论的概念。
了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。
了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。
掌握常用的四个强度理论的相当应力。
了解莫尔强度理论的基本观点。
会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。
2．教学内容○1应力状态的概念；○2平面应力状态分析；○3三向应力状态下的最大应力；○4广义胡克定律•体应变；○5复杂应力状态的比能；⑥梁的主应力•主应力迹线的概念。
讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。
讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。
介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。
简单介绍莫尔强度理论。
二、重点难点重点：1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。
2、广义胡克定律及其应用。
难点：1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。
2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。
3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。
4、广义胡克定律及其应用。
5 强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。
6 常用四个强度理论的理解。
7 危险点的确定及其强度计算。
三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时10学时五、讲课提纲1、应力状态的概念所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态（state of stresses at a given point）,是指过一点不同方向面上应力的集合。
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学-7-应力状态分析
7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章 应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
？
第7章 应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章 应力状态分析
tan 2q p＝－ 2 τ
xy
x y
主平面（principal plane）：切应力q＝0的方向面，用 qp表示。 主应力（principal stress）：主平面上的正应力。 主方向（principal directions）：主平面法线方向，用方 向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章 应力状态分析
第7章 应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是：
1、危险截面上的危险点只承受正应力 或切应力； 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度 设计准则。 复杂受力：危险截面上危险点同时承受正 应力和切应力，或者危险点的其他面上同 时承受正应力或切应力。 → 强度条件
材料力学《第七章》应力状态分析
上海交通大学
受力： sadA、 tadA 受力： sxdAcosa、 txydAcosa
受力： sydAsina、 tyxdAsina
n
sx
txy
a
sa a
a
x
ta
tyx
e
切线方向上： Σ Fτ 0
σx σy σx σy σα cos2α τ xy sin2α 2 2
b
sy
τα d A ( σ x d A cos α )sin α ( τ xy d A cos α )cos α ( σ y d A sin α )cos α ( τ yx d A sin α )sin α 0
s1
一个主应力为零，其他二个主应力不为零。
3. 三向应力状态(空间应力状态)： 三个主应力均不为零。
上海交通大学
一般要找出主应力后才能确定应力状态。
四、应力状态分析步骤
s2
1. 确定构件危险截面危险点；
2. 取危险点单元体；
s3
3. 计算单元体各面应力；
4. 截面法取部分单元体； 5. 由平衡条件确定单元体斜截面上的应力。 应力状态分析方法： 解析法、图解法。
上海交通大学
三、应力状态的分类 定义：单元体 上应力为零的面称为零应力面； 单元体上只有 s 而无 t 的面称为主平面。 主平面上的正应力 s 称为主应力。
s2
s3
单元体在某一特殊方向上，三个互相垂直的截面上只有 s，而 无 t ，即为单元体的三个主平面。 用 s1 ≥ s2 ≥ s3 表示三个主应力，此单元体称为主单元体。 1. 单向应力状态： 一个主应力不为零，其他二个主应力为零。如：轴向拉伸。 2. 二向应力状态(平面应力状态)：
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主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
2
x y cos 2a
2
x sin 2a
a900
x y
2
x y cos 2a 1800
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 概述 §7-2 平面应力状态的应力分析、主应力 §7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系 §7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用
§7-1 概述
一、一点的应力状态 二、研究应力状态的方法 三、应力状态的分类 四、强度理论
min
a
x y
2
x y cos 2a
2
x sin 2a
a
max
a sin 2a
x y sin 2a
2
x cos 2a
a cos 2a
a 450
450
max
450
max
450 0
铸铁圆试样扭转试验时，正 是沿着最大拉应力作用面（即 450螺旋面）断开的。因此，可 以认为这种脆性破坏是由最大 拉应力引起的。
dA cosa
σx
b
y'
a
aa
x'
xy
a dA
a
e
dAsina σy yx
y
b yx σy c
σx a
x'
a
σx x
xy
e
xy
a
d
σy yx
Fx 0
adA xdAcosa cosa xydAcosa sina
ydAsina sina yxdAsina cosa
0
xy yx
S z max
Izb
C
C
Fs
S
zC
C
Iz
b My
C
Iz
横截面、周向面、直径面各一对，从上表面截取
M
C
Wz
C
T
Wp
F Me
C Me
T ,M, Fs
M
C
Wz
T
Wp
三、应力状态的分类
1、应力分量的脚标规定 单元体上共九个应力分量 应力分量的角标规定 第一角标表示应力作用面 面的方位用其法线方向表示 y
0
a x cos2 a y sin2 a 2 xy sina cosa
a ( x y )sina cosa xy (cos2 a sin2 a )
一）任一斜截面上的应力
a x cos2 a y sin2 a 2 xy sina cosa
a
( x
y )sina
cosa
min
x
2
yx
2 xy
xy
2 2
y
2
2xy
2
2
xy
cos 2a0
x y
(4)
x y 2 2 xy 2
tan 2a 0
2 xy x
y
(3)
x y 2 2 xy 2
2a0
x y
2 xy
二）主平面与主应力
tan2a0
4.主应力与主平面的对应关系的确定
2 xy x
低碳钢拉伸试验
铸铁拉伸试验
低碳钢扭转试验
铸铁 扭 转 试 验
一、一点的应力状态
受力杆件内一点处不同方位截面上应力的全部情况，称为
该点的应力状态
nm
F
a
F
A
mn
F
FN
A
A
F
a
a
a
2
1
cos 2a
A a
a
2
sin 2a
应力
指明
哪一个面上
哪一点？
哪一点 哪个方向面？
过一点不同方位 截面上应力的集合 ，称之为这一点的 应力状态。
y xy
a x
（2）主应力、主平面
max
x
2
y
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
min
x
2
y
(
x
y
)
2
2
xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
主平面的方位：
y xy
a x
tan
2a0
2 xy x
y
60 0.6 60 40
a0 15.5 ,
yx
y
xy a 0
max
总结： 任一斜截面上的应力：
a
x
y
2
x
y
2
cos 2a
xy
sin 2a
a
x
2
y
sin
2a
xy
cos
2a
主应力的大小：
max x y
min
2
x
2
y
2
2 xy
将 max、 min、0 按代数值排序，得 1、 2、 3 1 2 3
1)用三对平面在一点截取，因其微小，统一看成微 小正六面体
2)单元体各个面上的应力应已知或可求
几种受力情况下单元体的截取方法 一对横截面，两对纵截面
F
FF
A
A
F
AA
A F/A
横截面、周向面、直径面各一对
Me B
Me
F
Am
B C
m
A
A
A
M Wz
m-m截面：Fs>0，M>0
B Me /Wp
B
B
Fs
2
x sin 2a 1800
x y x y cos 2a
2
2
x sin 2a
a a 900 x y
切应力互等定理：
在两个相互垂直面上，切应力必成对出现，且大小相等，方
向共同指向或共同背离该两平面的交线。
验证：
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
a+900
a0 15.5 90 105.5
由主应力与主平面的对应关系可知
主应力 1 方向：a0 15.5 主应力 3 方向：a0 105.5
（3）主应力单元体：
y xy
a x
3 1
15.5
例 已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为MPa），
y
y
dy z
2．主应力、主单元体、主平面的概念
主平面： 单元体上切应力为零的平面
主单元体： 各面均为主平面的单元体，主单元体上有三
对主平面
z'
z
z zy
zx
yz
xz x xy
yx
y y
x'
1
旋转
3 2 y'
主应力x： 主平面上的正应力，用1、2、3表示，有 1≥2≥3
围绕一点至少存在一个主单元体，应力分析的主要目的 就是寻找主单元体和主应力
xy (cos2 a
sin2 a )
a
x
y
2
x
y
2Hale Waihona Puke cos 2axy sin 2a
a
x
2
y
sin
2a
xy
cos
2a
符号规定：
α角
由x正向逆时针转到n 正向者为正；反之为 负。
an x
x
正 应 力：
y
x
x
拉应力为正
压应力为负
a 切 应 力：
对分离体内一点取矩， 顺时针为正；反之为负。
3．应力状态按主应力分类：
1)单向应力状态： 只有一个主应力不为零的应力状态
2)平面应力状态： 有两个主应力不为零的应力状态，也 称二向应力状态
3)空间应力状态： 三个主应力均不为零的应力状态，也 称三向应力状态
4)单向应力状态又称简单应力状态；平面和空间应力 状态又称复杂应力状态。