东南大学《工程矩阵理论》试卷09-10-A
工程矩阵理论(2009)(工科硕士)
分块矩阵的乘法规则
设 A aij , B bij s n nt
A11 A21 A A p1 A12 A22 Ap 2
将这两个矩阵分块：
B12 B1r B22 B2 r Bq 2 Bqr
A1q B11 A2 q B21 , B B Apq q1
21
例5
1 0 初等行变换 增广矩阵 0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 4 0 0 1 11 22 0 0 0 0 0 1
1 0 初等行变换 0 0
1 0 0
5 0 1 0 14 26 0 0 1 11 22 0 0 0 0 0 4
35
例1
1.V F n 2.V 3.V 4.V 5.V 6.V F nn F [ x] Fn [ x] C, F R C, F C
36
例1（续）
7.V R, F C
8.V R , F R, 通常运算
9.V R , F R
22
例6
求齐次线性方程组的基础解系： x1 x2 x3 x4 x5 0 2 x 2 x 3 x 3 x x 0 1 2 3 4 5 3x1 3x2 x3 2 x4 4 x5 0 x1 x2 4 x3 5 x4 5 x5 0
23
例7
设A是s n矩阵，b是s维列向量。证明： 1.r ( A) r ( AH A); 2.线性方程组AH Ax AH b恒有解。
24
3.向量组的极大无关组和秩
若向量组1 , 2 , , s的部分组 i1 , i2 , ir 线性无关, 且1 , 2 , , s中每个向量均可由 i1 , i2 , ir 线性表示, 则称 i1 , i2 , ir 是向量组1 , 2 , , s的一极大无关组, 称r是 向量组1 , 2 , , s的秩。
东南大学《工程矩阵理论》工程矩阵理论期终考试(A)
12东南大学考试卷（A）Array课程名称工程矩阵理论考试学期08-09-2 得分
适用范围工科硕士研究生考试形式闭卷考试时间长度150分钟
1．地子空间地一组基是；
2．若线性空间地线性变换在基下地矩阵是,则在基下地矩阵是；
3．如果矩阵满足,并且地秩为,则行列式；
4．若矩阵,则矩阵函数地行列式；
5．若是维单位列向量,是正定地,则参数满足条件.
二．（12%）设矩阵.讨论地可能地Jordan标准形.并问：当参数满足什么条件时,矩阵与是相似地.
三．（20%）记,上地变换定义为：对,.
1．证明：是上地线性变换；
2．求在地基下地矩阵；
3．求地特征值及相应地特征子空间地基；
4．问：是否存在地基,使得在这组基下地矩阵是对角阵？如存在,试给出这样地一组基及相应地对角阵；如不存在,请说明理由.
四．（10%）设.试将表示成关于地次数不超过2地多项式.
五．（8%）求地广义逆矩阵.
六．（15%）假设是有限维欧氏空间,是单位向量,上地线性变换定义如下：对任意,.
1.证明：是上地正交变换.
2.在中定义内积：对,.于是,成为欧氏空间.分别求中向量及地长度,并求正实数及单
位向量,使得如上地正交变换将变成.
七．证明题（20%）
1.假设是矩阵,分别是、酉矩阵.证明：.
2.假设是正规矩阵.若地特征值地模都等于1,证明：是酉矩阵.
3.假设是Hermite矩阵,其中,是地子矩阵,并且都是方阵.若是正定地.证明关于行列
式地不等式：.。
3、东南大学工程矩阵模拟题12套
2． 求 n＝2 时，f 的所有特征值及相应特征子空间的基。
3． 写出一般 n(n ≥ 3) 时，对应于 1 与 2 的结论。
工程矩阵模拟题 4
一：已知
C
2×2
的子空间：V1
=
{B
|
AB
=
BA,
B
∈
C
2×2 }
则 V1 的标准正交基为______， V2 的标准正交基为______， V1 ∩V2 的标准正交基为
______，V1 + V2 的标准正交基为______。
二：设 f , g 为线性空间V 上的线性变换且 fg = f 。试证： 1．V = k ( f ) + R(g) （V 未必是有限维） 2．若 dim V＝n， 则 K ( f ) + R(g ) 为直和的充要条件为 dim R（f）＝dim R（g）。
______，V2 的基为______，V1 ∩V2 的基为______，V1 + V2 的基为______。
⎛a 0 b⎞
3．
已知线性变换
f
在基 α1 , α 2
,α3
下的矩阵为
⎜ ⎜
0
c
0
⎟ ⎟
，则
f
在基
α3
,α2
,α1
下的矩阵
⎜⎝ b 0 a ⎟⎠
为______.
4．
设 A ∈ C s×n , B ∈ Ct×n ，又 （r A）＝m，（r B)＝r，作
2． 若 A 为 Hermite 阵，则 e A 为正定阵。
3． 若 n 阶方阵 A, B 满足： A, A − BH AB 均为正定阵，则 ρ (B) < 1 。
工程矩阵理论东南周建华共351页
9
由此导致的一些问题 • 乘法消去律不成立
对给定 A,当 的 A满矩 足阵 什么A条 BA件 必 C 时 可B， 推 C?由 出
•一些代数恒等式对矩阵不再成立
当 A与 B可交,换 相时 应的二项式 ,即定理成立
ABmAmCm 1Am1BCm 2Am2B2Cm m1AB m1Bm
10
解：
例3
计算下 nn矩 述阵k次 的幂A：
1
1
A I N 且 I 与 N 可交换，
A k (I N ) k (I ) k C k 1 (I ) k 1 N C k 2 (I ) k 2 N 2 C k k 1 (I ) N k 1 C k k N k
C1r C2r
C p1 C p2 C pr
其中，
C ij A i1 B 1 j A i2 B 2 j A iq B q j
12
C i j A i 1 B 1 j A i2 B 2 j A iB q qj
条件：上式有意义
A的列的分 B的 法行 与的分.法一致
13
一些特殊的分块形式
022
1 1 0 0 4 5
初 等 行 变 换000
0 0 0
1 0 0
0 1 0
14 26
11 0
022
23
例6
求齐次线性方程组的基 础解系：
x1 x2 x3 x4 x5 0
32xx11
2x2 3x2
3x3 3x4 x5 x3 2x4 4x5
0 0
x1 x2 4x3 5x4 5x5 0
工程矩阵理论东南周建华
幽默来自智慧，恶语来自无能
工程矩阵理论试题A
杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论学院自动化考试日期2014年 12月 20日专业控制科学与工程班级任课教师姓名考生姓名学号（完整）成绩一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 设AÎC m´n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是：（1）存在且唯一（2）存在但不唯一（3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设AÎC n´n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!, （1）收敛于零（2）发散（3）收敛与否与具体）收敛与否与具体A A有关（4）收敛3. 设AÎC n´n满足A3=E，则下列说法正确的是：（1）A的最小多项式与特征多项式相同（2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n（4）不能确定A是否可对角化4. 设A为n阶方阵，则有：（1）R(A) Å N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n（3）R(A) Å N(A T)= C n, （4）R(A T) Å N(A T)= C n5. 设A为n阶Hermite矩阵，则：（1）A的n个特征值全大于零（2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E（3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R（4）存在酉矩阵U使得U H AU=L，其中L为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分）1. 设e1, e2, e3为3维线性空间V的一组基，s是V到自身的一个线性变换。
s在基e1, e2, e3下的第1 页共2 页第 2 页 共 2 页 矩阵为úúúûùêêêëé333231232221131211a a a a a a a a a ，则s 在基e 3, 2e 2, 3e 1下的矩阵为。
2. 设方阵A 满足A 2 = 3A, 则sin (3A ) = 。
东南大学数模2009-2010-2 A卷附问题详解
实用标准文案精彩文档东南大学考试卷（A卷）姓名学号班级课程名称数学建模与实验考试学期 09-10-2 得分适用专业各专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟实用标准文案精彩文档一．填空题：（每题2分，共10分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dtx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 。
2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 。
3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是： 。
4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正) 。
5. 请补充判断矩阵缺失的元素13192A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭。
二．选择题：（每题2分，共10分）1. 在下列Leslie 矩阵中，不能保证模最大特征值唯一的是 ( )A. 0230.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；B. 1.1 1.230.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；C. 0030.20000.40⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； D.以上都不对2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是 （ )A. 0.1CR <B. 0.1CI <C. 0.1CR >D.0.01CR < 3. 模28倒数表中可能出现的数是 ( )A. 12B.5C.14D.74. 线性最小二乘法得到的函数不可能为 （ ）A.线性函数B. 对数函数C. 样条函数D. 指数函数5. 关于泛函极值问题，下面的描述正确的有 （ ） A.泛函()J x 在x *处取极值的充要条件是泛函变分()0J x δ*=； B. 泛函()J x 在x *处取极值的充分条件是泛函变分()0J x δ*=； C. 泛函()J x 在x *处取极值的必要条件是泛函变分()0J x δ*=；D. A,B,C 均正确三．判断题（每题2分，共10分） 1. Hill 密码体系中，任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。
（ ） 2. 拟合函数不要求通过样本数据点。
工程矩阵理论试题A
杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 设A∈C m⨯n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是：（1）存在且唯一（2）存在但不唯一（3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设A∈C n⨯n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!,（1）收敛于零（2）发散（3）收敛与否与具体A有关（4）收敛3. 设A∈C n⨯n满足A3= E，则下列说法正确的是：（1）A的最小多项式与特征多项式相同（2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n（4）不能确定A是否可对角化4. 设A为n阶方阵，则有：（1）R(A) ⊕ N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n（3）R(A) ⊕ N(A T)= C n, （4）R(A T) ⊕ N(A T)= C n5. 设A为n阶Hermite矩阵，则：（1）A的n个特征值全大于零（2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E（3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R（4）存在酉矩阵U使得U H AU=Λ，其中Λ为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分）1. 设ε1, ε2, ε3为3维线性空间V的一组基，σ是V到自身的一个线性变换。
σ在基ε1, ε2, ε3下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ，则σ在基ε3, 2ε2, 3ε1下的矩阵为。
2. 设方阵A 满足A 2= 3A, 则sin (3A ) = 。
3.矩阵A = diag 21312,,0203⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，则A 的最小多项式为 。
4. 设X = (x 1, x 2, , x n )T 为变向量，α = (a 1, a 2, , a n )T 为常向量，H = (h ij )n ⨯n 为常矩阵，则：，()=HX X XT D D。
5. 设A ∈C n ⨯n 为Hermite 矩阵，X ∈C n ，A 的n 个特征值为λ1，λ2， ，λn ，满足λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ，则： XX AXX H X H 0max ≠ =。
矩阵论试卷及答案(2011A)
三（20分）设
（1） 证明： 是 的线性子空间，并求 的基和维数；
（2） 在 中定义变换 ,其中 为 的伴随矩阵， 证明： 为线性变换；
（3） 求 在（1）中所取基下的矩阵表示；
（4） 求（2）中线性变换 的值域 和核 ，并确定它们的维数.
（1）因为 ，则 非空。对任意 都有 则 是 的子空间.
（iii）写出 的Jordan标准形；
（2）设 ，试问A和B是否相似？并说明原因。
（1） ， ；………5分
行列式因子
不变因子
初等因子 ……...8分
A的Jordan标准形为 ……..3分
（2）矩阵A，B的行列式因子均为 , A,B相似.
………4分
或A，B 的特征值均为-1和2，有两个互异的特征值，所以A，B均相似于 ，所以，A,B相似。
………3分
共5页第5页
五（20分）（1）设 ， .
（i）求A的奇异值分解；
（ii）计算广义逆矩阵 ；
（iii）用广义逆矩阵判定线性方程组 是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解;
（2）设 ，判定矩阵级数 是否收敛。若收敛，求其和。
（1）（i） ， 的奇异值为 ， 对应于特征值3和2的标准正交特征向量为 ， 对应于特征值3和2，0的标准正交特征向量分别为 ， ，则 的奇异值分解为
Ni南京航空航天大学2010级硕士研究生
共5页第1页
2010~ 2011学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷答案
考试日期：2011年1月12日，课程编号：A000003，命题教师：阅卷教师：
学院专业学号姓名成绩
一（20分）（1）设 。
（i）求 的特征多项式和 的全部特征值；
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一. （10％）求22×C
的子空间12,V V 的交空间12V V ∩及和空间12V V +的基和维数，其中，V x ∈⎬． 12,y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
|,|,C V x ⎛⎞⎞=∈⎜⎟⎟⎝⎠⎠x
y x y x y y x ⎧⎛=⎨⎜−−⎝⎩y C ⎫⎭二. （10%）欧氏空间3[]R x 中的内积定义为：对3(),()[]x x R x ϕψ∀∈，
)1
1(),()()(x x ϕψ−<>∫x ϕψ=x dx 。
令1α=，x β=，2x η=， (,)W L αβ=。
求η在W 中的正投影，即求0W η∈，使得
0min W ξηηη∈ξ−=−． 三. （20%）在22×矩阵空间22C ×上定义线性变换f 如下：对任意矩阵22X C ×∈，
⎟，其中，a 为234a a a a ⎜()f X ⎛⎞=⎝⎠
X 的迹()tr X 。
1. 求f 在22C ×的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ；
2. 分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及维数；
3. 求f 的特征值及相应的特征子空间的基；
4. 问：是否存在22C ×的基，使得f 在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？
四. （10%）根据参数,a b 不同的值，讨论矩阵b ⎟⎟的Jordan 标准形，并求矩阵100的秩。
1702001a A ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠
()A I −五. （14%）假设矩阵． 101002101A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
1. 求A 的广义逆矩阵A +
；
2. 求一个次数不超过2的多项式()f λ，使得()At f A Ae =．
六. （10%）假设f 是n 维酉空间V 上的线性变换，若对任意,V αβ∈，有())((),)(,f f αβα=β。
1. 证明：在V 的标准正交基下，f 的矩阵为Hermite 矩阵；
2. 证明：存在V 的一组标准正交基，使得f 的矩阵为对角阵。
七. （8%）假设s n ×矩阵A 的秩为r
，证明22F A A A ≤≤。
八. （8%）假设A +是s n A C ×∈的广义逆矩阵，证明：，其中，分别表示矩阵A 的核空间和A ()()n C K A R A +
=⊕(),(K A R A )++的值域．
九. （12%）假设,A B 都n 阶Hermite 矩阵．
1. 如果A 是正定的，证明：存在可逆矩阵C ，使得,都是对角阵；
H H C AC C BC 2. 如果,A B 都是半正定的，并且A 的秩()1r A n =−，证明：存在可逆矩阵C ，
使得,都是对角阵。
H H C C BC C A。