东南大学16-17-2高数期中考试试卷及答案
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。
【数学】江苏省南京师大附中江宁分校2016-2017学年高一(下)期中试卷(解析版)
江苏省南京师大附中江宁分校2016-2017学年高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）sin13°cos17°+cos13°sin17°=．2．（5分）直线y=x﹣1的倾斜角为度．3．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，则a3+a4+a5+a6=．4．（5分）已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=10，c=20，∠B=120°，则b=．5．（5分）已知数列，…，，那么9是数列的第项．6．（5分）过点（2，1）且斜率为﹣2的直线方程为．7．（5分）已知等差数列{a n}中，若a3+a11=22，则a7=．8．（5分）已知sinθ=，θ为第二象限角，则cos2θ=．9．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则B的大小为．10．（5分）已知过点P（1，﹣1）的直线l与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于C，D两点，O为坐标原点，若△OCD的面积为2，则直线l方程为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，B=30°，△ABC的面积为，则b=．12．（5分）已知sinα+cosα=m，其中，则实数m的取值范围是．13．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为q，且，则公比q=．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），a1=1，则a2017=．二、解答题15．（14分）已知直线λ经过P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线λ的方程．（1）倾斜角是直线x﹣4y+3=0的倾斜角的2倍；（2）直线在两坐标轴上的截距相等．16．（14分）已知α，β都是锐角，且sinα=，tan（α﹣β）=﹣．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．17．（15分）等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2log3a n+1，且数列{}的前n项和为T n．求T n．18．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若4sin A sin B﹣4cos2 =﹣2．（1）求角C的大小；（2）已知=4，△ABC的面积为8．求边长c的值．19．（16分）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）．如此继续下去，得图（3）…，记第n个图形的边长a n、周长为b n．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若第n个图形的面积为S n，试探求S n，S n﹣1，（n≥2）满足的关系式，并证明S n＜．20．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（2）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式，并判断T n的单调性；②求使T n＞2的n的取值范围．【参考答案】一、填空题（每小题5分，共70分）1．【解析】sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin30°=；故答案为：．2．45【解析】直线y=x﹣1的斜率是1，所以倾斜角为45°．故答案为：45．3．40【解析】∵数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，∴a3+a4+a5+a6=S6﹣S2=（62+2×6）﹣（22+2×2）=40．故答案为：40．4．10【解析】由余弦定理可得：b2=102+202﹣2×10×20×cos120°=700．解得b=10．故答案为：10．5．14【解析】由=9．解之得n=14由此可知9是此数列的第14项．故答案为：146．2x+y﹣5=0【解析】过点（2，1）且斜率为﹣2的直线方程为y﹣1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5=0，故答案为：2x+y﹣5=07．11【解析】因为a3+a11=2（a1+6d）=2a7=22，所以a7=11．故答案为：118．【解析】由题意可得：cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故答案为：．9．【解析】∵在△ABC，，由正弦定理==2R得，，∴sin B cos C=sin A cos B﹣sin C cos B，∴sin（B+C）=sin A cos B，又在△ABC，B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sin A≠0，∴cos B=，又B∈（0，π），∴B=．故答案为：．10．x﹣y﹣2=0【解析】由题意设C（a，0），D（0，﹣b），其中a，b均为正数，则直线l的截距式方程为+=1，由题意可得+=1且S△OCD=ab=2，联立解得a=2，b=2，故直线方程为+=1，化为一般式可得x﹣y﹣2=0故答案为：x﹣y﹣2=011．【解析】∵a，b，c成等差数列∴2b=a+c①又∵△ABC的面积为∴②∴ac=6又∵cos B==③∴由①②③知=∴=又∵b＞0∴b=故答案为：12．（1，2]【解析】∵已知sinα+cosα=m，∴2sin（α+）=m，∴sin（α+）=，∵其中，∴α+∈（，），∴sin（α+）∈（，1]，即∈（，1]，∴1＜m≤2，则实数m的取值范围是（1，2]．13．1【解析】∵，∴=3，∴1+q+q2=3q，即（q﹣1）2=0，解得q=1，故答案为：1．14．【解析】∵a n+1=（n∈N+），∴==+，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=，∴a n=，∴a2017=，故答案为：．二、解答题15．解：（1）设直线x﹣4y+3=0的倾斜角是α，∵直线x﹣4y+3=0的斜率是，∴tanα=，∴tan2α===．故直线λ的方程为：y﹣2=×（x﹣3），即15y﹣8x﹣6=0；（2）过点（3，2）在两坐标轴上的截距相等的直线，满足直线经过原点或直线的斜率为﹣1，当直线经过原点时，所求直线方程为：y=x，即2x﹣3y=0．当直线的斜率为﹣1时，所求直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即x+y﹣5=0．所求直线λ方程为：2x﹣3y=0或x+y﹣5=0．16．解：（1）∵，从而．又∵，∴．利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．17．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵2a2为3a1和a3的等差中项，∴2×2a2=3a1+a3，化为4a1q=，∴q2﹣4q+3=0，解得q=1或3．又a2﹣a1=2，∴a1（q﹣1）=2，q≠1，∴．∴a n=3n﹣1．（2）b n=2log3a n+1=2n﹣1，∴==．∴数列{}的前n项和为T n=+…+==．18．解：（1）由条件得4sin A sin B=2（2cos2﹣1）+，即4sin A sin B=2cos（A﹣B）+=2（cos A cos B+sin A sin B）+，化简得cos（A+B）=﹣，∵0＜A+B＜π，∴A+B=，又A+B+C=π，∴C=，（2）由已知及正弦定理得b=4，又S△ABC=8，C=，∴ab sin C=8，得a=4，由余弦定理c2=a2+b2﹣2ab cos C得c=4．19．解：（Ⅰ）由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的所以数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）n﹣1，设第n个图形的边数为c n，因为第1个图形的边数为3，从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，则c n=3×4n﹣1，因此，第n个图形的周长b n=a n×c n=（）n﹣1×3×4n﹣1=3×（）n﹣1，（Ⅱ）S1=，当n≥2时，S n=S n﹣1+c n×（×a n2）=S n﹣1+3×4n﹣2××[（）n﹣1]2 =S n﹣1+×（）n﹣1，则S n=S1+（S2﹣S1）+（S3﹣S2）+…+（S n﹣S n﹣1），=+[+（）2+（）3+…++（）n﹣1]，=+×，=﹣×（）n﹣1，∴S n＜．20．（1）证明：由已知：（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=1 （n≥2，n∈N*），即a n+1﹣a n=1 （n≥2，n∈N*）且a2﹣a1=1．∴数列{a n}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．∴a n=n+1．（2）解：①由（Ⅰ）知b n=（n+1）•2﹣n，它的前n项和为T nT n=2•2﹣1+3•2﹣2+4•2﹣3+…+n•2﹣n+1+（n+1）•2﹣n，①T n=2•2﹣2+3•2﹣3+4•2﹣4+…+n•2﹣n+（n+1）•2﹣（n+1），②T n=1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣n﹣（n+1）•2﹣（n+1），②=﹣，∴T n=3﹣，设g（x）=3﹣，x∈N*．求导，g′（x）=＞0，x∈N*．g（x）单调递增，∴T n单调递增；②由T n＞2，则3﹣＞2，则﹣1＜0，设f（n）=﹣1，则f（n+1）﹣f（n）=﹣＜0，则f（n）在N+上单调递减，f（1）=1，f（2）=＞0，f（3）=﹣＜0，当n=1，n=2时f（n）＞0，f（3）＜0，∴n的取值范围为n＞3，且n∈N*．。
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。
x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。
06-07-3高等数学B期中试卷及答案 东南大学高等数学试卷
12．解
d dx
f1
f2
(g1 2xg2 ) （3
分）
d2 dx2
f11 2 f12 (g1 2xg2 )
f22 (g1 2xg2 )2
f2 (g11 4xg12
4x2g22
2g2 )（5 分）
13.解 f (x) 1 2
1
2
（3 分） (1)n 2 (x 1)n （4 分）
n1 n(2n 1)
n1
x2
n1
2 1 x2
,
x (1,1) ,（2 分）S(0) S(0) 0 ，S(x) 2arctan x ，S(x) 2x arctan x ln 1 x2
（3
分）
n1
(1)n1 n(2n 1)
1
n
3
S
1 3
3
）. （本题满分 8 分）
.
二．单项选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
6． [ C ] 7． [ B ] 8． [ C ] 9. [ C ]
止 于 至 善
三.计算下列各题(本题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分)
10． 解 L 的方向向量 a 2,5, 6 ，（2 分） 的法向量 n 7,8,9，所求直线的方向向
1 收敛. （4 分）收敛域为 (, 1) (1, ) （1 分）
n1 1 x2n
1
止 于 至 善
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
四（15）．（本题满分 8 分）
解 首先对 f (x) 在 x 0 上作奇延拓,再以 2 为周期作周期延拓,得
n1
东南大学高数试卷及答案-07-08-3高等数学B期中考试试卷
共 5 页 第 1 页07-08-3高数B 期中试卷08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)ln 1nn ∞=⎛⎫- ⎝∑ （常数0a >） [ ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关2. 下列反常积分发散的是 [ ] (A)31d 1x x x +∞+⎰(B) 21x ⎰ (C )321d ln(1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(cos sin )2n n n a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()cos d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰，11()sin d (1,2,)n b f x n x x n π-==⎰，则()3S = [ ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为 ；6. 曲线222340x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是 ；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在yOz 面上的投影曲线方程是 ； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为 ；9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为 . 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)共 5 页 第 2 页10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程.12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域.13. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.五（15）。
06东南大学高等数学试卷 期中试卷
六（17）. （本题满分 6 分）设函数 z f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 fy 0 ，证明： 对任意常数 C , f (x, y) C 为一直线的充分必要条件是 ( f y )2 f xx 2 f x f y f xy f yy ( f x )2 0
止 于 至 善
三.计算下列各题(本题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分)
10．设
f
(x, y), g(x, y) 有连续的二阶偏导数，令(x)
f
(x, g(x, x2 )) ，求
d 2 dx2
.
11. 求函数 u z2
x2
2y2
在点
M
0
1,
1 2
,1
处沿曲面
x2 4
y2
z2 2
1 在该点的外法线
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06高A期中试卷
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
1．曲线
xyz x
y
1
2
在点
(1,1,1)
处的切线方程为
；
2．方程 xyz x2 y 2 z 2 2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1,0,1) 处的全微分
（A） 4 2 dx
0
0
dy
f (x, y, z)dz （B） 2 2 dx
dy
f (x, y, z)dz
3x2 y2
0
14 x2
3x2 y2
1
14 x2
1 x2
C）
2 1
dx
dy
14 x2
东南大学高等数学分类练习题（有答案）
满足条件满足条件 12a > 时，级数-+33n n acos的取值范围是的取值范围是 12a > .arctann应满足的条件是 0p > 。
处的泰勒级数及收敛域为处的泰勒级数及收敛域为 03ln ,(,)!n n n x x n ¥=Î-¥+¥å 。
的和为的和为11sin - 。
的和函数及收敛域为 111121ln ,(,)x x x +Î-- 。
的收敛域为 3122[,)-- 。
处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为 4R = 。
)的和为 22ln e + 。
. 8 B)(v u ln nn( C ) (D ) n p A A 1+u 1+uD u D []naC D n u D（A ）01p <£（B ）12p <<（C ）2p ³（D ）012或p p <£³9、设111110,(1,2,),lim 1,(1)()且则级数n n n n n n n n u n u u u ¥+®¥=+¹==-+å( C ). （A ）发散，（B ）绝对收敛，（C ）条件收敛，（D ）敛散性不能判定）敛散性不能判定 10、正项级数1n n u ¥=å收敛是级数21n n u ¥=å收敛的( A ) （A ）充分条件）充分条件 （B ）必要条件）必要条件 （C ）充要条件）充要条件 （D ）非必要非充分条件三、常数项级数敛散性1、讨论级数å¥=-+-1])3(4[4)1(n nn nnn 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件条件收敛？收敛？ 2、常数p 取什么值时，级数å¥=-1ln )1(n pnn n是（1）发散；（2）条件收敛；（3）绝对收敛的？）绝对收敛的？ 3、讨论级数)0()1()1(1>+-å¥=a a n a n nn的绝对收敛与条件收敛。
东南大学《高等数学》2008-2009学年期中试卷A卷
东南大学考试卷课程名称高等数学（A）期中考试学期 08 - 09 - 3 得分适用专业选学高数（A）的各专业考试形式闭卷考试时间长度120 分钟54200 y 2 4 4 y1．交换积分次序- 2 dyf(x, y)dxdyf(x, y)dx ；2设e z 1 i 0 ，则Re z Im z ；3设z z ( x , y ) 是由方程y z xf ( y2 z2 ) 所确定的隐函数，其中f可微，则全微分dz ；4设C为由x y与x轴, y轴围成的三角形的边界, e x y d s；C5设f ( x , y ) 连续，D ( x , y ) 0 x 1, 0 y x2 ，且f(x ,y ) y f(y, d y d 则Df(x,y)dxdy 。
．D4416xy6函数f ( x , y ) x2 y2 , ( x , y ) ( 0 , 0 )在点( 0 , 0 ) 处0 , ( x , y ) ( 0 , 0 )(A)连续且偏导数存在(B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在(D) 不连续且偏导数不存在7设D ( x , y ) x2 y2 1 , D1为D在第一象限部分,则下列各式中不成立的是（A） d x d y 4 d x d yD D1 （B）xy d x d y 4 xy d x d yD D1（C）( x x3 y2 ) d x d y 0 D （D）x2 y3 d x d y x3 y2 d x d yD D8设f ( t ) C [ 0 , ) , I ( R ) f ( x2 y2 z2 ) d v,则当R 0 时, I ( R )2 2 2 2x y z R（A）是R的一阶无穷小（C）是R的三阶无穷小（B）是R的二阶无穷小（D）至少是R的三阶无穷小9．设f ( x , y ) 在原点的某邻域内连续，且lim a 0 ，则x 0 x 1 x s in y c o s yy0（A）f ( x , y ) 在原点处取得极大值（B）f ( x , y ) 在原点处取得极小值（C）不能断定f ( x , y ) 在原点处是否取得极值（D）原点一定不是f ( x , y ) 的极值点(5840)10计算二重积分 d ，其中D ( x , y ) x 2 y2 1 , x y 1 .x yD11计算曲面积分( z y ) d A，其中是由z 0 , z 1 与z2 1 x2 y2 所围成的立体的表面.12求，其中为圆柱体y2 z2 R2 ，x R ( R 0 ) 的表面，x y z取外侧.13求由曲面x2 z 1 , y2 z 1 和z 0 所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标.14已知解析函数f ( z ) 的实部u ( x , y ) 2 xy ,求f ( z ) 的表达式（用变量z 表示）和f ( i ) ．158求函数u x2 2 y2 3 z2 在球面x2 y2 z2 1 和平面x y 0 的交线上的最大值与最小值.x y 2 0168试求过直线x 5 y z 3 0面方程.，且与曲面z x2 y2 相切的平2 2178设ab 0 , f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数，且a2 b2 0 ,x y2f ( ax , bx ) ax，f x( ax , bx) bx，求fxx ( ax , bx) ，fxy( ax , bx ) ，f yy( ax , bx ) .08-09-3A54202 4 xe( 2 ) 2C5、44 166 、 C7 、 B8 、 D9 、 B .( 5 840 )DdD11 、1 x2 y 22 D : 0z 1( z y ) d A z d A z d A z d A z d A 2 2 ( x2y 2) 1d x d yD53312 、 y 2 z2R21 :x Ry 2z 2R 2取后侧， 2 : 取前侧，x Ry 2 z 2R2x R取外侧， D zx( z , x )z R , x R ，1R y z 2R y z3x R2 2R21 x13 、由对称性知x y 0 ， 质量m 8d x 0(1 x 2) d y 2 ，对xO y 平面的静力矩M xy 81 d x 0xd y01 x2z d z ， z21 、 0 dx x 2f (x , y )dy 2 、R e z ln 2 ，Im z32 k , k 0 , 1, 2 ,d 02dco 1ss in( c o s s in ) d 5f 2 xyf 1d z d x d y1 2 xzf 1 2 xzff ( x , y ) d x d yD x 2 y 22 2 : z 1 x 2y 211 :z 0x 2 y 2 1 z 2 3 : 2 2 23 、 4、 22 1 d0 2 Dzx2 21x d y d z y d z d xe x yd s ， ， ， 10 、x y zz 0 3 :222231R z2 2d z d x x R2 2x y 0 ，用切片法 M xyz 2 d z1 1 214 、v u y x2 y2 y22y2 2( x ) ，v 2 xy( x ) u 2 x 2 xy ，( x ) x2C ，x x2y 2 y x 2 y 2f ( z ) i z2C ， f ( i ) 3因为解析，所以 f ( z ) u x iu y ( 2 y) i ( 2 x )从而 f ( z )i 2 zf ( z ) iz2C8 首先根据条件得u x22 y23 z23 y22 x23 3 x23 ，且在点( 0 , 0 , 1) 处，u m a x3 ，继续由条件得u 3 x 2 z 221 z2 3，且在点 2 2 2,, 0 处， u m i n8 x y 2 0设过直线 的平面方程为(1)x (1 5 ) y z 2 3 0 ，x 5 y z 3 0(1 ) x 0(1 5 ) y 0z 0 2 3 0 (1)设切点为( x 0 , y 0 , z 0 ) ，则 2 x 02 y 0 1( 2 )1 1 52 2z 0x 0y 0 ( 3 )2 21 1 5 (1 ) (1 5 )2 2 4代入（1）得7 28 1 0 ，解得11,2，从而两切平面方程分别为2 x 4 y z 5 0 和8 x 2 y z 1 7 0 。