一元一次方程专题复习

一元一次方程的专题复习

一、知识梳理

1. 有关方程的概念

（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。

方程必须满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。二者缺一不可。 （2）使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 注意：一元方程的解又叫做方程的根。

（3）一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程必须满足三个条件：一是只有一个未知数；二是未知数的次数是1；三是未知数的系数不为零，三者缺一不可。

（4）一元一次方程的标准形式ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a ≠0） 2.等式的基本性质

等式的基本性质1. 等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得的结果仍是等式。 等式的基本性质2. 等式的两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得的结果仍是等式。

3. 利用等式的基本性质解一元一次方程

利用等式的基本性质解一元一次方程就是利用等式的性质把方程的ax=b （错误!未找到引用源。0）进行变形，最后化为错误!未找到引用源。 的形式。 一元一次方程ax=b 的解的情况讨论： （1）当a ≠0时，方程有唯一解，即 x=a

b

错误!未找到引用源。 （2）当a=0，b=0时，方程无数解

（3）当a=0，b ≠0错误!未找到引用源。时，方程无解

二、典型例题

专题一、一元一次方程的相关概念

题型一、方程及一元一次方程的定义

例1.下列各式中， 方程； 一元一次方程（只填番号）。 ①0=x ；②23-a ；③527=-；④x x 92

=；

⑤012>-x ；⑥

311

=+x

；⑦125=-x 。 变式练习：下列式子是方程的是 ；是一元一次方程的是 。 ①x x ≠-12；②

x

x 12+；③1=x ；④22

=-x x ； ⑤12->+y x ；⑥325=-；⑦x 74-；⑧y x =+1。 例2.如果0532=+m

x

是关于x 的一元一次方程，则m= ；若4)(2=-+b x b a 是关

于x 的一元一次方程，则b= ，a ≠ 。

变式练习：

变式练习1.关于x 的方程(2-a)x |a-1|

-21=3是一元一次方程，求a 的值。

变式练习2. 已知（k -1）2x +（k-1）x+3是关于x 的一元一次方程，则k= 。

题型二、等式的基本性质

例1.下列变形中不正确的是（ ）

A 若错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。

B 若x y

a a

=，则x=y C 若-3x=-3y ，则x=y D 若x=y ，则x y a a

= 变式练习1-1.判断下列说法是否正确： （1）若a=b ，则1-a=1-b.( ) （2）若a=b ，则-2a=-2b.( ) （3）若a=c ，则ab=bc.（ ） （4）若ab=ac ，则a=c.（ ）

（5）若a=b,则

22

a b

m m =

.（ ） （6）若a=b,则22

a =-11

b

m m ---.（ ）

题型三、一元一次方程的解法 例1.解下列方程 （1）

23)5(312=--+x x ； （2）103

.02.017.07.0=--x

x

变式练习1-1.解下列方程：

（1）0.60.30.90.2x x +=- （2）2(0.34)5(0.27)9x x +--=

（3）3321215252

x x x x -=-+ （4）42132[()]3324x x x --=

（5）31322322105x x x +-+-=- （6）5267225

3446

m m m m m --+--=++

（7）0.730.310.80.4x x x +-=- （8）102

.018

.027.004.001.0=+-x x

题型四、一元一次方程解的定义及应用

例1.m 为何值时，方程23)12(+-=-m x x m 的解是2-=x 。

变式练习：

1.已知5-=x 是方程03

32=--

x

m 的解，求m 的值。

2.已知方程372-=+x 与方程03

32=--x

m 有共同解，求m 的值。

题型五、一元一次方程解的三种情况

例1.求关于x 的方程153+=+-bx a x 的解。

变式练习：求关于x 的方程84-=+x b ax 的解。

拓展：较复杂方程的巧解

1.巧乘因数:

例1.解下列方程212

2 0.250.5

x x

+-

-=

变式1：解方程：0.10.21

3

0.020.5

x x

-+

-=

10.10.2

2

0.30.05

x x

x

++

-=

变式2：解方程：

1.720.52

1

0.20.30.6

x x x

-+

-=-

10.50.41

0.2

0.33

x x

+-

-=

2.巧去括号：

例2.解下列方程：1111

{[(1)6]4}1 2345

x--+=

变式1：34172 [(1)8]

43433

x

x-+=+

变式2：32112 [(1)2]2 23423

x

x++-=

3.整体思想

例3.解下列方程：12 (5)3(5) 33

x x

-=--

变式1：解方程：527

12(6)(6)1111

x x -

-=-

变式2：解方程：5(7)7(7)6123(9)z z z ---+=--

4.巧分组通分 例4.解方程：

121079299

21201514

x x x x ----+=+

变式1：解方程： 错误!未找到引用源。

5.巧用公式 例5.解下列方程：2011122320112012

x x x +++=???L

变式练习1：若2

2

|1|(2)0a ab -+-=，则求方程

2002(1)(1)(2)(2)(2001)(2001)

x x x x

ab a b a b a b ++++=++++++L 的解。

6.带绝对值的方程

例6.解下列方程：3|2|1x -+=

变式1：

13

3|3||3|12 44

x x

-+=+-

变式2：34

|25||25|12 77

x x

-=-+

专题二、一元一次方程的应用

题型一、日历中的方程

表格中的等量关系：借助表格和图形可以帮助审题，并能帮助准确地分析题意，探索已知量和未知量之间的数量关系，最终找出一个、两个或更多个等量关系。

注：借助表格来分析复杂问题中的数量关系，表格一般有横、竖两个栏目，一般横栏表示问题中所涉及的具体事件，用纵向栏目表示与具体事物相关的量及其变化情况。

例1、如图所示是某年某月的日历，现用一矩形在日历中任意框出四个数：

（1）请用一个等式表示a b c d

、、、之间的关系；

（2）设由任意九个数形成的阴影方框中，中间一个数为x，这九个数的和为y，试用的代数式表示；

（3）你能发现这九个数之间的哪些关系？

变式练习：

1、（1）观察某月的日历，一个横行上相邻3个数的和是36，这三个数分别是几号？

（2）你能在日历中圈出一个竖列上相邻的3个数，使它们的和是50吗？为什么？

例2、（1）在日历中（如图），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是。

（2）现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用个正方形框出16个数（如图）。

①图中框出的这16个数的和是；

②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000,2004，是否可能？若不可能，是说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。

变式练习：

1、将连续的奇数1,3,5,7,9，…排列如图所示数表：

（1）十字框中的五个数的和与中间数23有什么关系？

（2）设中间的数为a，用代数式表示十字框中的五个数之和；

（3）若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？（4）十字框的五个数之和能等于2010吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由。

2、下列数阵由50个奇数排列而成，如图所示：

（1）图中框内的4个数有什么关系？

（2）在数阵图中任意做一类似（1）中的框，设其中的一个数为，那么其他三个数怎样表示？（3）如果四个数的和是168，能否求出这四个数？

（4）如果四个数的和是322，能否求出这四个数？

题型二、形积变化问题

学法指导：在形积变化时，图形的形状和面积都发生了变化，应注意在已知题目中找出不变的量，也就是找出等量关系，列出方程。此类问题常见的有以下几种情况： （1）形状发生了变化，而体积不变，相等关系：变化前后体积相等；

（2）形状、面积发生了变化，而周长不变，相等关系：变化前后周长相等；

（3）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系。 相关公式：

①周长公式：=4=2()2C a C a b C r d ππ+==正方形圆长方形，，； ②面积公式：2211

===()=22

S ah S a S ab S a b h S r π=+正方形圆三角形长方形梯形，，，，； ③体积公式：322314

33

V abc V a V r h V r h V R πππ=====正方形长方形

圆柱圆锥球，，，，。

例1、一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围城，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围城一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？

变式练习：

1、用8块相同的长方形地砖拼成一块长方形的地面，地面周长为150cm ，地砖的拼成方式如图所示，试求地砖的长和宽。

2、按学校规划要求，现要将校园区域内的一块用篱笆围成的直径为50米的圆形植物园改建成长方形的形状，使得它的长比宽多5米，并恰好能用原来的篱笆围起来。请问长方形的长和宽各是多少？（结果精确到0.1米）试比较改建后的植物园的面积与原来的面积相比有何变化？

例2、将一个长、宽、高分别为15128cm cm cm 、、的长方体钢块锻造成一个底面是正方形且底面边长为12cm 的长方形零件钢坯。 （1）求锻造后的长方形零件钢坯的高；（用一元一次方程解决问题）

（2）锻造前的长方形钢块的表面积大还是锻造后的长方形零件钢坯的表面积大？大多少？

变式练习：

1、在一个底面直径为5厘米，高18厘米的圆柱形杯内装满水，将杯内的水倒入一个底面直径为6厘米，高13为厘米的圆柱形瓶中，问能否完全装下？若装不下，那么杯内的水还有多高？若未能装满，瓶内的水面离瓶口的距离是多少？

2、一个底面边长分别为2025cm cm 、，高为60cm 的长方形铁桶内装有深的水，现把一个底面为30cm 正方形，边长为10cm ，高为40cm 的长方形铁块放入铁桶中，铁桶内的水将升高多少？

题型三、打折销售问题

学法指导：打折销售中的几个常用概念：

（1）进价：购进商品时的价格（有时也叫成本价）

（2）售价：在销售商品时的售出价（有时也叫成交价，卖出价） （3）标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价） （4）利润：在销售商品的过程式中的纯收入。

（5）利润率：利润占进价的百分率，即利润率=利润÷进价100%?

（6）打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称将标价进行了几折。或理解为：销售价占标价的百分率。例如某种服装打8折即按标价的百分之八十出售，或按标价的十分之八出售.

成本价、标价、售价、打折、利润率等之间的基本关系式：

（1）=10

?

折扣数

售价标价

（2）1件商品利润=售价-成本；

总利润=总售价-总成本=1件商品利润?销售数量 （3）利润率=利润÷成本100%?； （4）利润=成本?利润率=售价-成本

（5）售价=成本+利润=成本价?（1+利润率）

例1、白玉兰商店把某种服装成本价提高50%后标价，又以7折（即按标价70%）卖出，结果每一件仍然获利20元，这种服装每件的成本是多少？

变式练习：

1、甲、乙两种商品的单价之和为100元，因季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原单价之和提高了2%，求甲、乙两种商品的单价。

例2、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的9折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少？

变式练习：

1、某商场把售价为400元的商品按售价的九折销售再返还30元现金，仍获利10%，求该商品的进价为多少元？

例3、某工厂出售一种耳机，其成本每个24元，若直接由厂家们销售，每个32元，消耗其他费用每月2400元；若委托某商店销售，出厂价每个28元，求：两种销售方式下每月售出多少个时盈亏平衡？若销售量每月达到2000个，则采用哪种销售方式取得的利润多？

变式练习：

1、某商店有某种商品，若进货价降低%8，而售出价不变，那么利润（按进货价而定）可由目前的%x 增加到)%10(+x ，求x 。

例4、某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，试问：

①在这次买卖中，该商贩是赚还是赔，还是不赚不赔？

②把题中的135元改为任何正数a，情况如何？

变式练习：

1、甲商品的进价是1400元,按标价的1700元的九折出售,乙商品的进价是400元,按标价560元的八折出售,两种商品哪种利润率更高些？

125，现计划节日期间按原定售2、商业大厦购进某种商品1000件，销售价定为购进价的%

10售出至多100件商品，而在销售淡季按原定售价的60%大甩卖，为使全部商品价让利%

售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品？

例5、某市百货商场10月1日搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200元而不超过500元优惠10%；超过500元的，其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠，某人两次购物分别用了134元和466元，问：

（1）此人两次购物时的物品不打折分别值多少钱？

（2）在这次活动中他节省了多少钱？

（3）若此人将这两次购买的物品合起来一次购物是不是更合算？说明你的理由。

变式练习：

1、某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款多少？

例6、依法纳税是每个公民的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规定，有收入的公民依照下表中规定的税率交纳个人所得税：

2011年规定，上表中“全月应纳税所得额”是从收入中减除3500元后的余额。例如某人月收入7500元，减除3500元，应纳税所得额是4000元，应交个人所得税是()

?+-?=元。魏英每月收入是相同的，且2014年3月交纳15005%4000150010%295

个人所得税1688元，问魏英每月收入多少元？

变式练习：

1、为鼓励居民用电，某电力公司规定了如下电费计算方式：每月不超过100度，按每度0.5元计算，每月超过100度，超出部分按每度0.4元计算。计算（1）若某用户某月交电费68元，问该月用电多少度？（2）若该用户某月平均每度电费为0.48元，问该月用电多少度？

2、某城市出租车收费标准是：2km以内（含2km）起步价为7元；超过2km，每千米加价1.4元，不足1km按1km计算。另外每车次加收1元“特别消费”。

（1）若小明作出租车1.8km，则他应该交元车费。

（2）若小华坐出租车3.3km，则他应该交元车费。

（3）若小刚身上仅带15元，用来支付出租车费，他乘车路程最大值为多少km？

题型五、工程问题

学法指导：解调配问题时，列表格有助于分析题意，解决问题。

常用公式：全部数量=各部分的数量之和。

工作量=工作效率?工作时间

甲、乙合作效率=甲的工作效率+乙的工作效率

例1、某车间有100个工人，每人每天可加工螺栓18个或螺母27个，要使每天加工的螺栓

与螺母配套（一个螺栓配一个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？

变式练习：

m木料，那么多少木料做桌面，多少木料做桌腿，正1、50张桌面或300条桌腿，现有52

好配成方桌多少张（一个桌面四条腿）？

2、红光服装厂要生产一批学生服，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共生产多少套？

例2、某装潢公司接到一项业务，如果由甲组织做需10天完成，由乙组织做需15天完成，为了早日完工，现由甲、乙两组一起做，4天后，甲组因另有任务，余下部分由乙组单独做完，问还需几天完成？

变式练习：

1、甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x，则x的值是_____________．

2、某工地有甲乙两个施工队，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要18天。

（1）若甲乙两队一起施工要多少天？

（2）若甲乙两队同时施工到一半的时候甲调离，剩下的以单独完成，整个工程需要多少天？（3）若甲乙两队同时施工到一半的时候甲休息2天再加入施工，整个工程需要多少天？

题型六、优化方案问题

、两家超市发现他看见的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听例1、某同学在A B

和书包的单价和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元。

（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？

（2）某一天该同学上街恰赶上商家促销，超市A所有商品打8折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元，如果他只在一家超市他看中的这两样物品，你能说明他可能选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

变式练习：

1、在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同在某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：

（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？

（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由。

2、市场调查获取信息：生产一种绿色食品，若市场直接销售，每吨利润1000元，

经粗加工后销售每吨利润可达4500元，经精加工后销售每吨利润可达7500元。一家食品公司加工生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节影响，该公司共有140吨食品必须在15天加

工销售完毕，为此公司研究了可行方案。

(1）将食品全部进行粗加工后销售，则可获利润元多少元？

(2）将食品尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售，则可获利润多少元？

(3)将部分蔬菜进行精加工，其余全部粗加工，并恰好在15天完成，则可以获得多少利润？

题型七、行程问题

学法指导：解此类题的关键是抓住两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

常用公式：

行程问题中三个量之间的关系：

路程=速度?时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度。

几种常用基本等量关系：

（1）相遇问题

①直线相遇问题：甲行驶的路程+乙行驶的路程=全程；

②曲线相遇问题：甲行驶的路程+乙行驶的路程=曲线长

（2）追及问题

①同地不同时的追及问题：慢者行驶的路程+先行行驶的路程=快者行驶的路程

②同时不同地的追及问题：快者行驶的路程-慢者行驶的路程=间隔行驶的路程

③曲线追及问题（同时同地）：快者行驶的路程-慢者行驶的路程=曲线长

（3）流速问题

①顺水速度=静水速度+水流速度；

②逆水速度=静水速度-水流速度；

③顺水速度-逆水速度=2?水流速度

（4）环形跑道上的行程问题

①同向而行，属于追及问题，其等量关系式：

快者行驶的路程-慢者行驶的路程=一圈长；

②背向而行，属于相遇问题，其等量关系式：

快者行驶的路程+慢者行驶的路程=一圈长。

例1、甲、乙两人分别同时从相距100千米的A、B两地出发，相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，甲带一只狗和他同时出发，假如狗以每小时10千米的速度向乙奔去，遇到乙即回头向甲奔去，遇到甲又回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停住，问这只狗共跑了多少千米？

变式练习：

1、电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/时，半小时后两车相遇。两车的速度各是多少？

2、小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进。已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。

例2、小明每天早上要在7：50之前赶到学校上学，一天，小明以80米/分的速度从家里出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，爸爸立即以180米/分的速度沿路去追小明，并且在途中距离学校280米的位置追上了他。

（1）爸爸追上小明用了多长时间？

（2）学校离小明家路程有多远？

变式练习：

1、甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

2、一支部队排成1.2千米队行军，在队尾的张明要与在最前面的营长联系，他用6

分钟时间追上了营长。为了回到队尾，在追上营长的地方等待了18分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么用多少时间？

例3、甲乙两人在400米的环形跑道上跑步，从同一起点同时出发，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒。

（1）如果背向而行，两人多久第一次相遇？

（2）如果同向而行，两人多久第一次相遇？

变式练习：

1、一条环形的跑道长800米，甲练习骑自行车平均每分钟行500米，乙练习赛

跑，平均每分钟跑200米，两人同时同地出发。

（1）若两人背向而行，则他们经过多少时间首次相遇？

（2）若两人同向而行，则他们经过多少时间首次相遇？

2、甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长是400m，乙每秒跑6m，甲的速

度是乙的

1

1

3

倍。

（1）如果甲、乙两人在跑道上相距8m处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？（2）如果甲在乙的前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？

例4、一客船往返于A、B两地之间，顺水航行需要3h，逆水航行比顺水要多用0.5h，已知客船在静水中的速度为30km/h，求水流速度。

变式练习：

1、一架飞机在两个城市之间飞行，顺风需要55min，逆风需1h。已知风速为20km/h，则飞机的飞行速度为多少？

2、一只船从一码头顺流而下，再逆流而上，打算8h之内回到原出发的码头，已知这条船在静水中的速度是10km/h，水流的速度是2km/h，问此船最多走多少km就必须返回，才能在8h内返回原来的码头？

3、一艘小船由港到港顺流需行6时，由港到港逆流需行8时。一天，小船从上午6时由港出发顺流到港时，发现一救生圈在途中掉在水中，立即返回，1时后找回救生圈。

求：（1）若小船按水流速度由港漂流到港需多少时间？

（2）救生圈是在上午几时落入水中的？