圆锥曲线的经典结论
圆锥曲线重要结论
圆锥曲线重要结论性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)某2y21上，F1,F2为椭圆之左右焦点，点G为△F1PF2内心，试1．已知动点P在椭圆43求点G的轨迹方程.某2y21上，F1,F2为双曲线之左右焦点，圆G是△F1PF2的内2．已知动点P在双曲线43切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112|AF1||BF1|ep双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB 在同支时112112AB在异支时|||AF1||BF1|ep|AF1||BF1|ep112|AF||BF|ep抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数某2y21，F为椭圆之左焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点，是否存在3.已知椭圆43实常数，使ABFAFB恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数112e2椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep11|2e2|双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep112e2抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep某2y21，F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1,l2分别交椭圆于A，B两4．已知椭圆43点和C，D两点，且l1l2，是否存在实常数，使ABCDABCD恒成立.并由此求四边形ABCD面积的最小值.性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值某2y21，点F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1分别交椭圆于A，B两点，5．已知椭圆84设直线AB与y轴于点M，MAAF1,MBBF1,试求的值.性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点A作两焦点的焦点弦AB，AC，其共线向量比之和为定值．即AF1F1B1e2AF2F2C2定值21e某2y26．已知方向向量为e(1,3)的直线l过点A(0,23)和椭圆C:221(ab0)ab的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足：OBe0,ABAO.⑴求椭圆C的方程；⑵设E为椭圆C上任一点，过焦点F1,F2的弦分别为ES,ET,设EF11F1S,EF22F2T，求12的值.2圆锥曲线中的重要性质经典精讲中a2性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N（t,0）的一条弦端点与对应点t,0的连线所成角被对称轴平分。
圆锥曲线的经典结论
当 M (x0, y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a （同上）
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、 N 两点，则 MF NF .（同上）
1（ a
0, b
0 ）的左右焦点分别为
F , F2 ，点 P 为双曲线上任意一点：
F1PF2
，则双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2co t .（同上） 2
x2 y2 8. 双曲线 a2 b 2 1 （ a 0, b 0 ）的焦半径公式：
F1 ( c , 0 ) , F2 (c,0)
当 M (x0, y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .
a2c2k 2 a2b2
xP xQ
， xP xQ
M
2 a 2k 2c
2b2 ck
2abkN
， yP yQ
， yP yQ
，
M
M
M
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xP yQ xQ y P
2a 2b 2k ， xP yQ
M
xQ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP
再根据上一条性质可得结论。
2 abckN ，则 x
M
2a2b2k 2a2bkN
M 2abckN
M 2 ab2 ck
a
M
M
a2
，
c
11. （点差法）
kOM k AB 即 K AB
AB 是椭圆
x2 a2
b2 a2 ，
b 2x0 a2 y0
高中数学圆锥曲线常用98条结论
高中数学圆锥曲线常用98条结论1.椭圆的离心率小于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
2. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则椭圆的标准方程为(x/a)+(y/b)=1。
3. 椭圆的焦距为c=√(a-b)。
4. 椭圆的面积为πab。
5. 椭圆的周长近似为2π√((a+b)/2)。
6. 椭圆的离心率为e=c/a。
7. 双曲线的离心率大于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
8. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则双曲线的标准方程为(x/a)-(y/b)=1。
9. 双曲线的焦距为c=√(a+b)。
10. 双曲线的面积为πab。
11. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
12. 双曲线的离心率为e=c/a。
13. 抛物线的离心率等于1，且焦点在抛物线的顶点上。
14. 抛物线的标准方程为y=4ax。
15. 抛物线的焦距等于a。
16. 抛物线的面积为2/3×a×(4a/3)。
17. 抛物线的顶点坐标为(0,0)。
18. 抛物线的准线方程为y=-a。
19. 圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r。
20. 圆的直径为圆心的两倍半径。
21. 圆的周长为2πr。
22. 圆的面积为πr。
23. 直线与圆相交，切点到圆心的距离垂直于直线。
24. 切线方程为y-y=k(x-x)，其中k为切线斜率。
25. 直线与圆相切，切点坐标为(x,y)，则切线方程为(y-y)=k(x-x)，其中k为直线斜率。
26. 椭圆的切线方程为(ay/b)+(x/a)=1。
27. 双曲线的切线方程为(ay/b)-(x/a)=1。
28. 抛物线的切线方程为y=2ax。
29. 椭圆的法线方程为(by/a)+(x/a)=1。
30. 双曲线的法线方程为(by/a)-(x/a)=1。
31. 抛物线的法线方程为y=-x/(2a)。
32. 椭圆的两条直径的交点在椭圆的中心点上。
33. 椭圆的两条直径的长度之和为2a。
34. 椭圆的两条直径的中垂线交于椭圆的中心点。
圆锥曲线的一组优美结论
圆锥曲线是一种常见的几何曲线，它是由一个固定的圆盘和一条永远经过圆盘中心的直线（称为锥轴）所构成的曲线。
圆锥曲线有许多有趣的性质，下面是一些关于圆锥曲线的结论：
1 圆锥曲线的经过点数是无限的，因此它是一条无端的曲线。
2 圆锥曲线是一条连续曲线，因此它不会断开。
3 圆锥曲线的经过点都在相同的平面内，因此它是一条二维曲线。
4 圆锥曲线的形状受到锥轴的方向和斜率的影响。
如果锥轴垂直于
圆盘，则圆锥曲线是一个圆；如果锥轴斜率较大，则圆锥曲线会变得较长和较细；如果锥轴斜率较小，则圆锥曲线会变得较短和较厚。
5 圆锥曲线是一条对称曲线，即对于任意一条垂直于锥轴的直线，
圆锥曲线的两侧都是对称的。
6 圆锥曲线的长度是无限的，因此它是一条无限长的曲线。
希望这些信息能帮到你！。
高中数学圆锥曲线重要结论总结
1 / 24圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，2 / 24即0202y a x b K AB-=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.3 / 2411. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
(整理总结)圆锥曲线经典结论总
圆锥曲线必背的经典结论1. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.3. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.4. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.5. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.1. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.3. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.4. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
有关圆锥曲线的经典结论
一、椭圆1.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.2.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.3.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.5.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.二、双曲线1. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.2. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.3. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）4.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.5.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭圆1.椭圆22221x ya b+=（a＞b＞o）的两个顶点为1(,0)A a-,2(,0)A a，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221 x ya b-=.2.过椭圆22221x ya b+=(a＞0, b＞0)上任一点00(,)A x y任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且22BCb xka y=（常数）.3.若P为椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a cαβ-=+. 1. 设椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin cea αβγ==+.2. 若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L ，则当0＜e1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.3. P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P三点共线时，等号成立.4. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.5. 已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b a b +.6. 过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.7. 已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<. 8. 设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=. 9. 设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.10. 已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.11. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.12. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.13. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).14. （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）15. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 16. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.17. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x y a b +=. 18. 若P 为双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则t a n t 22c a co c a αβ-=+（或t a n t 22c a co c a βα-=+）.19. 设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )cea αγβ==±-.20. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L ，则当1＜e1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.21. P 为双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P三点共线且P 和2,A F 在y轴同侧时，等号成立.22. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.23. 已知双曲线22221x y a b -=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.24. （1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b b a -.25. 过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.26. 已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或220a b x a +≤-. 27. 设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b γ∆=. 28. 设A 、B 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-. 29. (2) 2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PABa b S b a γ∆=+.30. 已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.31. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.32. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.33. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).34. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).35. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 36. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.圆锥曲线中的一些定点、定值、定比等结论结论1：设椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线222222221(0,0)x y a b a b -=>>共焦点1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是两曲线的一个交点，经过点P 的椭圆和双曲线的斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-. 结论2：设抛物线22(0)y px p =>和椭圆22221(0)x y a b a b+=>>共焦点(,0)(0)F c c >，P 是两曲线的一个交点，椭圆的离心率是e ，经过点P 的两曲线切线的斜率为1k 和2k ，则2121(1)2k k e =-.（试选此题证明）结论3：设抛物线22(0)y px p =>和双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点(,0)(0)F c c >，P是两曲线的一个交点，双曲线的离心率是e ，经过点P 的两曲线切线的斜率为1k 和2k ，则2121(1)2k k e =-.结论4：抛物线的两条弦平行的充要条件是这两条弦的中点连线平行（或重合）于该抛物线对称轴.（试证明）结论5：椭圆与双曲线的两条平行弦的中点连线经过椭圆的中心.（试证明）结论6：过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点M (a ,0)作直线MA 与直线MB 交该椭圆于A ，B 两点，若MA ⊥MB ，则直线必过定点2222()(,0)a a b a b -+.（试证明）结论7：过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的任意定点M (x 0, y 0)作直线MA 与直线MB 交椭圆于A ，B 两点，若MA ⊥MB ，则直线必过定点2222002222(,)a b b a x y a b a b --++.结论8：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意定点M (x 0, y 0)作直线MA 与直线MB 交椭圆于A ，B 两点，若k M A ·k MB =m 22()b m a ≠，则直线必过定点2222002222(,)a b b a x y a b a b --++.结论9：直线AB 与抛物线22(0)y px p =>相交于点A 和B ，若OA ⊥OB ，则此直线必过定点(2,0)p .结论10：直线与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点，M 是其顶点，当k M A ·k MB =m (0)m ≠时，直线恒过定点2(,0)pm-.（试用三种方法证明） 结论11：过抛物线22(0)y px p =>的任意定点M (x 0, y 0)作直线AM 与MB 交双曲线于A ，B 两点，当k M A ·k MB =m (0)m ≠时，直线AB 恒过定点002(,)px y m-+-. 结论12：已知抛物线22(0)y px p =>过点F (m ,0) (0)m ≠的直线交抛物线于点M 、N ，交y 轴于点P ，若 ,PM MF PN NF λμ==，则1λμ+=-.（试用三种方法证明）结论13：已知抛物线y 2=2px (p >0),过点M (0, m )(m ≠0)的直线与抛物线相交于不同的两点A 、B ,与x 轴相交于C (c ,0), 求证:|MC |2=|MA |·|MB |.结论14：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，过点F (m ,0)的直线交椭圆于点M 、N ，交y 轴于点P ，若,PM MF λ= PN NF μ=，则2222a m a λμ+=-.特别地，当F 为焦点时，222a bλμ+=-.（试证明）结论15：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过点F (m ,0)的直线交椭圆于点M 、N ，交y 轴于点P ，若,P M M F λ= P N N F μ= ，则2222a m a λμ+=-.特别地，当F 为焦点时，222a b λμ+=. 结论16：A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的两点，且OA ⊥OB ，则22221111||||O A O B a b +=+.(试证明) 结论17：A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的两点，且OA ⊥OB ，则22221111||||O A O B a b +=-. 结论18：设12,,,nP P P 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的n 个点,且122311n n n POP P OP P OP P OP -∠=∠==∠=∠ ,则222221211111()2nn OP OP OP a b +++=+ .(试用极坐标方法证明)结论19：若M 、N 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点，P 是椭圆上不同于M 、N 的任意一点，且,PM PN k k 存在，则22PM PN b k k a⋅=-.(试用点差法证明和函数与方程思想证明)结论20：若M 、N 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，P 是双曲线上不同于M 、N 的任意一点，且,PM PN k k 存在，则22PM PNb k k a⋅=. 结论21：直线AB 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点，M 是AB 的中点，且直线AB 、OM 的斜率存在，证明：22OM ABb k k a⋅=-.结论22：直线AB 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于A 、B 两点，M 是AB 的中点，且直线AB 、OM 的斜率存在，证明：22OM ABb k k a⋅=. 结论23：过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 作双曲线的渐近线的平行线，分别交渐近线于点M 、N ，则224a b PM PN -⋅= .(试证明)结论24：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP (O 为坐标原点)分别交于Q 和R 两点.若,OR OP OQ OP λμ==,则1λμ=.结论25：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP (O 为坐标原点)分别交于Q 和R 两点.则2OR OQ OP ⋅= .(试证明23条)结论26：过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上任意一点P 作双曲线的渐近线的垂线，垂足分别为M 、N ，则22224()a b b a PM PN c -⋅= .结论27：过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点P 作双曲线的切线交两条渐近线分别于M 、N ，O 为坐标原点，则22OM ON a b ⋅=-.结论28：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则2||AOBS AB ∆=38p .结论29：过x 轴上一点A (-m ,0)(m >0)引动直线与抛物线22(0)y px p =>相交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是x =m (y y ><.(试证明)结论30：过x 轴上一点2(,0)(0)a A a m m >>引一条动直线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作椭圆的切线，则两条切线的交点轨迹方程是x =m (y y ><.结论31：过x 轴上一点2(,0)()a A m a m >引一条动直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作双曲线的切线，则两条切线的交点轨迹方程是x =m (y y ><.结论32：过直线x =m (y y ><上一点引抛物线22(0)y px p =>的两条切线，切点分别为M 、N ，则M 、N 的连线过定点(-m ,0). (试证明)结论33：过直线x =m (y y ><(a >m >0)上一点引椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两条切线，切点分别为M 、N ，则M 、N 的连线过定点2(,0)a m .结论34：过直线x =m (y y <()m a >上一点引双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条切线，切点分别为M 、N ，则M 、N 的连线过定点2(,0)a m. 结论35：抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M 、N ，则线段MN 恒过定点3(,0)2pT ，且以AB ，CD 为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以OT 为直径的圆. (试证明)结论36：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点F (c ,0)(或F (-c ,0))，过焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M 、N ，则线段MN 恒过定点222(,0)a cT a b +或(222(,0)a c T a b -+)，且以AB ，CD 为直径的两圆公共弦中点的轨迹是过定点为T 的圆.。
有关圆锥曲线的经典结论
★说明：圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用,不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。
5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=。
7. 椭圆22221x y a b+= （a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=。
8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式:10||MF a ex =+,20||MF a ex =-（1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q ， A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=。
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有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角. （椭圆的光学性质）2. PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. （中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. （第二定义）4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. （第二定义）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.（求导或用联立方程组法）6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b +=7. 椭圆22221x y a b+= (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）8. 椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦半径公式：10||MF a ex =+，20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).（第二定义）9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交,P Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于,M N 两点，则MF NF ⊥. 证明：x ky c =+，()2222222222222120x y a b k y b cky b c a b a b +=⇒++++=222222222222,P O P O b c a b b cky y y y y a b k a b k --=+=++， 2222222222222,P O P O a c a b k a cx x x x a b k a b k -=+=++，22,N M P P Q Qa a a a y y c c y a x y a x ++==++，()()00M N M N MF NF MF NF x c x c y y ⊥⇒=⇒--+=u u u r u u u r u u u r u u u r g ，易得：()()42M N b x c x c c--=-10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点, P Q ，且12,A A 为椭圆长轴上的顶点，1A P 和2A Q 交于点M ，2A P 和1A Q 交于点N ，则MF NF ⊥.（MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上） 证明：首先证明准线，1A P 和2PA 公共点， 设(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，不妨设P Q x x >，1PP y k x a =-，2Q Q y k x a=-，由()()12y k x a y k x a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩， 得交点()()()1212P Q Q P P Q P Q Q P P Q x y x y a y y a k k x a k k x y x y a y y ++-+==--+++g ，由()22221y k x c x y ab ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222222222220b a k x a k cx a c k a b +++-=，令22222222M b a k N b a k c k =+=+-，，22222P Q a c k a b x x M -=，222P Q a k c x x M -+=，22P Q b ck y y M +=，2P Q abkNy y M-=，222P Q Q P a b k x y x y M -+=，2P Q Q P abckN x y x y M--+=，则222222222a b k a bkNa M M x a abckN ab ckc M M-+==--+g ， 再根据上一条性质可得结论。
11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦， 00(,)M x y 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
（点差法）12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.（点差法）13. 若在椭圆22221x y a b+=内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.（点差法）二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△12PF F 在点P 处的内角. （同上）2. PT 平分△12PF F 在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. （同上）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. （同上）4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） （同上）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）上，则过0P 的双曲线的切线方程是：00221x x y ya b-=.（同上） 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b-=.（同上） 7. 双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为2,F F ，点P 为双曲线上任意一点：12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.（同上）8. 双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦半径公式： 1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--（同上）9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF NF ⊥.（同上）10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q ，且12,A A 为双曲线实轴上的顶点，1A P 和2A Q 交于点M ，2A P 和1A Q 交于点N ，则MF NF ⊥.（同上）11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
（同上）12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）内，则被0P 所平分的中点弦的方程是：2200002222x x y y x y a b a b-=-.（同上） 13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是：22002222x x y yx y a b a b-=-.（同上）椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于12,P P 时，11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22221x y a b-=.证明：()111,P x y ，()111,P x y ，交点()00,P x y ，由()()1122y y x a x a y y x a x a ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=+⎪+⎩，得()2222100221y y x a x a -=--， 又2211221x y a b +=，则2200221x y a b-=2. 过椭圆()222210x y a b a b+=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于,B C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.证明：3. 若P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任一点，1F 、2F 是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 证法1（代数）证法二（几何）4. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F 、2F , P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△12PF F 中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.（上条已证）5. 若椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，则当01e <≤时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项.6. P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上任一点，1F 、2F 是焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.证明9. 过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 作直线交该椭圆右支于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 证明10. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，,A B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.11. 设P 点是椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任一点, 1F 、2F 是焦点，记12F PF θ∠=，则(1) 2122||||1cos b PF PF θ=+. (2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设,A B 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，,c e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有：(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-. (3) 22222cot PABa b S b aγ∆=-. 13. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.证明14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 证16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e (离心率). （注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） （角分线定理+合比公式）17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e .（角分线定理） 18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. （角分线定理）双曲线1. 双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于12,P P 时，11AP 与22A P 交点的轨迹方程是22221x y a b+=. 2. 过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于,B C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）右（或左）支上除顶点外的任一点, 1F 、2F 是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4. 设双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的两个焦点为1F 、2F , P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△12PF F 中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有：sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5. 若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，则当11e <≤时，可在双曲线上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）上任一点, 1F 、2F 是焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是：22222A a B b C -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-; （2）22OP OQ +的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 9. 过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于,M N 两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10. 已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）,,A B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）上异于实轴端点的任一点, 1F 、2F 是焦点，记12F PF θ∠=，则：(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot2PF F S b γ∆=.12. 设,A B 是双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，,c e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有： (1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=+. 13. 已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于,A B 两点，点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上） 16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e (离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e .18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.19. 已知椭圆22221x ya b+=上一点()000,P x y，以直线与椭圆交于,M N两点，恒有00P M P N⊥，则直线横过2222 002222,a b b a x ya b a b ⎛⎫--⎪++⎝⎭g g证明19. 已知椭圆22221x ya b+=，不再椭圆上的一点P，过P做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于,,,A B C D四点，则,,,A B C D四点共圆证明其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：1212AB x y y=-=-2、直线的一般式方程：任何直线均可写成0Ax By C++= (,A B不同时为0)的形式。