自动控制原理实验四-线性定常控制系统的稳定分析
自控实验线性定常系统的瞬态响应和稳定性分析
实验二 线性定常系统的瞬态响应和稳定性分析一、实验目的1．通过二阶、三阶系统的模拟电路实验，掌握线性定常系统动、静态性能的一般测试方法。
2．研究二阶、三阶系统的参数与其动、静态性能间的关系。
二、实验原理1．二阶系统图2-1为二阶系统的方块图。
由图可知，系统的开环传递函数 G(S)=)1S T (S K)1S T (S K 111+=+τ，式中K=τ1K 相应的闭环传递函数为112121T K S T 1S T KKS S T K)S (R )S (C ++=++= ………………………① 二阶系统闭环传递函数的标准形式为)S (R )S (C =n 2n 2n 2S 2S ω+ξω+ω ………………………② 比较式①、②得：ωn =111T K T K τ= ………………………③ ξ=1KT 21=11K T 21τ………………………④图中τ=1s ，T 1=0.1s图2-1图2-2为图2-1的模拟电路，其中τ=1s ，T 1=0.1s ，K 1分别为10、5、2.5、1，即当电路中的电阻R 值分别为10K 、20K 、40K 、100K 时系统相应的阻尼比ξ为0.5、21、1、1.58，它们的单位阶跃响应曲线为表2-2所示。
表2-2：二阶系统不同ξ值时的单位阶跃响应R值ξ单位阶跃响应曲线10K 0.5120K240K 1100K 1．58②模拟电路图：三、实验内容和实验数据1．二阶系统瞬态性能的测试,相关是数据填入表2-3（1）按图2-2接线，并使R分别等于100K、40K、10K用于示波器，分别观测并系统的阶跃的输出响应波形。
A.R=100KB.R=40C.R=10(2)使R=20K，(此时ξ=0.707)，然后用示波器观测系统的阶跃响应曲线，并由曲线测出超调量Mp，上升时间t p和调整时间t s。
并将测量值与理论计算值进行比较。
R=20表2-3：参数R K ωn ξ C C Mp(%) Tp(s) ts(s) 阶跃响应注意：临界状态时(即ξ=1) ts=4.7/ωn四、实验思考题1．为什么图2-1所示的二阶系统不论K 增至多大，该系统总是稳定的？答：由表2-1可知，当K 无限增大时，ξ=0；C(T )t p =2；Mp(%)=1; Tp(s)=0；ts(s)=0所以系统总是稳定的。
自动控制原理实验——线性系统的稳定性研究
答：惯性时间常数T1的增大会导致系统临界稳定时的K值减小，在超调相同的衰减振荡中，T1的增大，将会导致增益K减小。另外，当T1增加时，惯性越大，响应过程越慢，系统稳定性越好；反之，T1减小，惯性越小，响应过程越快，系统稳定性越差。
6
负反馈
A6（OUT）→A1（H2）
7
跨接元件30K (41.7K or 100K)
元件库A11中直读式可变电阻跨接到A5（H1）和（IN）之间
（3）虚拟示波器（B3）的联接：示波器输入端CH1接到A5单元信号输出端OUT（C(t)）。
注：CH1选‘X1’档。
（4）运行、观察、记录：
①运行LABACT程序，选择自动控制菜单下的线性系统的时域分析下的三阶典型系统瞬态响应和稳定性实验项目，就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验机配套的虚拟示波器（B3）单元的CH1测孔测量波形。也可选用普通示波器观测实验结果。
典型Ⅰ型三阶单位反馈系统原理方块图见图2-1。
图2-1典型三阶闭环系统的方块图
Ⅰ型三阶系统的开环传递函数：
（2-1）
闭环传递函数（单位反馈）：
（2-2）
Ⅰ型三阶闭环系统模拟电路如图2-2所示。它由积分环节（A2）、惯性环节（A3和A5）构成。
图2-2Ⅰ型三阶闭环系统模拟电路图
图2-2的Ⅰ型三阶闭环系统模拟电路的各环节参数及系统的传递函数：
①仪器误差；②计算误差；
七、实验思考
1.在实验线路中如何确保系统实现负反馈？如果方框回路中有偶数个运算放大器，则构成什么反馈?
答：用奇数个运算放大器，在原有实验环节上增加一个单位反相放大即为本实验中的A6；方框回路中有偶数个运算放大器则构成正反馈。
3.5 线性定常系统的稳定性
∏ (s z j )
( s sk )∏ ( s 2 + 2ζ lω l s + ω l2 ) ∏
k =1 l =1 q j =1 r
m
式中,0<ζl<1,q+2r=n. 则脉冲响应为
K (t ) = ∑ Ak e
k =1 q sk t
+ ∑ Bl e ζ lω l t sin(ω dl t + β l )
例 3-5 设系统的特征方程式为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性,若不稳定指出右根数. 解:列劳斯表 s4 s3 s2 s1 s0
1 2 1 -6 5
3 4 5 0 0
5 0 0 0 0
该表第一列元素符号不全为正,因而系统是不稳定 的;且第一列元素符号变化了两次,所以特征方程有二 个根在s的右半平面.
3.5 线性定常系统的稳定性及稳定判据 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件.
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下 进行.
自动控制理论的基本任务(之一)
分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施
一,稳定的概念和定义
x0 x0 (a) 稳定的 (b) 不稳定的
球 的 平 衡 状 态
x0 (c) 大范围稳定的
2,劳斯稳定判据(Routh's stability criterion) 闭环特征方程
a0 s n + a1s n 1 + a2 s n 2 + an 1s + an = 0 ( a0 > 0 )
将各项系数,按下面的格式排成劳斯表 sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 … … … … … s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
线性定常系统的稳定性
四、例题详解
【例3】已知系统特征方程： s 5 2s 4 3s 3 6s 2 10s 15 0 试用劳斯稳定判据判断其稳定性。 解：1) 特征方程中各项系数>0 ——满足必要条件 2) 构造劳斯阵列：
s5 s
由“+”到 “-”符号变 化 1次 由“-”到 “+”符号 变化1次
四、例题详解
【证明】 欲使式(3)成立，则当
即当
成立是必要的，上式是渐近稳定的必要条件
四、例题详解
【证明】 当 即当
将式(10)+(11)可得 充分满足渐近稳定条件，即式(10)、(11)是系统渐近 稳定的充分条件。
四、例题详解
【例2】已知系统特征方程：
s 4 2s 3 3s 2 4s 5 0
四、例题详解
【解答】 根据劳斯判据
四、例题详解
【解答】 劳斯表中首列的 是无穷小正数，即 0 。由劳 斯表中首列各元素变号2次，故可知特征方程在右半 S平面有两个根，则方程发散不稳定。实际上，原方 程
四、例题详解
【例5】 某系统特征方程为 试确定特征方程的根在平面分布情况，并指出系统 的稳定性。
脉冲响应含有如下分量
[C0 sin(t 0 ) C1t sin(t 1 ) Cr 1t r 1 sin(t r 1 )]1(t )
(6)
s
因式时，其脉冲响应含有如下分量
D0 sin(t 0 ) D1t sin(t 1 )
2 2 (( s ) j )(( s ) j ) ( s ) 当含有 s
s n 1 s
n 2
b1
a1
自动控制原理-控制系统稳定性分析及判据
R(s)
+﹣
K
C(s)
s(s+1)(s+2)
解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0
s3
1
s2
3
2 要使系统稳定，劳斯表中第
K 一列元素均大于零。
s1 (6 K)/3
0< K < 6
s0
2020/10/21
K
3.2.2 劳斯判据
系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，且由该 方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。
若不满足，则不稳定。 劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位 于右半s平面上根的个数。
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劳斯表的构造：
D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 0
2020/10/21
3.2.3 劳斯判据的应用
（1）判断系统的稳定性
例1 设有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0，试用劳斯 判据判别该特征方程的正实部根的数目。
解：劳斯表 s4
1
s3 2 4
s2
15
6
s1
5
s0
第一列元素 2020/10/21
符号改变了2次，∴系统不稳定，且s
试用劳斯判据判断系统稳定性。
解: 该系统的劳斯表如下
s5
1
32
s4
1
32
s3
0
0
第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征 方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复 数根）。对此情况，可作如下处理：
自动控制自控原理稳定性分析
稳定的基本概念——系统的稳定性
• 设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而 偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状 态，则称该系统是稳定的。 • 反之，系统为不稳定。 • 线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输 入信号无关。
线性定常系统稳定性分析
线性定常系统稳定性分析
新课
稳定的基本概念——稳定性
新课
系统稳定的充要条件
令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，可 m 写为: K Π(S + Z i ) i =1 G (s) = φ (s) = q (3 − 53) r 2 Π ( S + Pj ) Π ( S 2 + 2ξ k ω nk S + ω冲响应函数
• 基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它 与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用 系统的脉冲响应函数来描述。 • 如果脉冲响应函数是收敛的，即有:
lim g (t ) = 0 t →∞
表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。 • 系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。
复习
1.二阶系统特征方程式形式 2.阻尼系数、系统自有频率 3.阻尼系数的意义 阻尼系数＞1 阻尼系数=1 0＜阻尼系数＜1
线性定常系统稳定性分析
新课
稳定性分析的重要性—— • 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的 前提下进行 • 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件
新课
线性定常系统稳定性分析
• 物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受 到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当 输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线 性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现 为等幅振荡。
自动控制原理实验 控制系统稳定性分析和时域响应分析
实验二 控制系统稳定性分析和时域响应分析一、实验目的与要求1、熟悉系统稳定性的Matlab 直接判定方法和图形化判定方法；2、掌握如何使用Matlab 进行控制系统的动态性能指标分析；3、掌握如何使用Matlab 进行控制系统的稳态性能指标分析。
二、实验类型设计三、实验原理及说明1. 稳定性分析 1）系统稳定的概念经典控制分析中，关于线性定常系统稳定性的概念是：若控制系统在初始条件和扰动共同作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(原平衡工作点)，则称该系统是稳定的，反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续震荡过程，或者输出无限偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。
2）系统特征多项式以线性连续系统为例，设其闭环传递函数为nn n n mm m m a s a s a s a b s b s b s b s D s M s ++++++++==----11101110......)()()(φ 式中，n n n n a s a s a s a s D ++++=--1110...)(称为系统特征多项式；0...)(1110=++++=--n n n n a s a s a s a s D 为系统特征方程。
3）系统稳定的判定对于线性连续系统，其稳定的充分必要条件是：描述该系统的微分方程的特征方程具有负实部，即全部根在左半复平面内，或者说系统的闭环传递函数的极点均位于左半s 平面内。
对于线性离散系统，其稳定的充分必要条件是：如果闭环系统的特征方程根或者闭环传递函数的极点为n λλλ,...,21，则当所有特征根的模都小于1时，即),...2,1(1n i i =<λ，该线性离散系统是稳定的，如果模的值大于1时，则该线性离散系统是不稳定的。
4）常用判定语句2.动态性能指标分析系统的单位阶跃响应不仅完整反映了系统的动态特性，而且反映了系统在单位阶跃信号输入下的稳定状态。
线性定常系统稳定性分析
5/15/2020
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[处理办法]：可将不为零的最后一行的 系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s 求导所得方程的系数代替全零的行。大 小相等，位置径向相反的根可以通过求 解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数 的。
[解]：劳斯阵如下
s5 1 24 23 s4 2 48 46 s3 0 0 0
s3 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得： Q(s) 2s4 48s2 46或Q(s) s4 24s2 23
其导数为：Q(s) 4s3 48s将4，48或1，12代 替 s3 行，可继续排列劳斯阵如下：
s5 1 24 23 s4 1 24 23 s3 1 12 0
特征方程为：s3 3s2 2s k 0
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劳斯阵： s3 1 2 s2 3 k 6k s1 3 0 s0 k
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 0
②劳斯阵第一列皆大于0
有2
k 3
0
k
6
0
k
6
k 0
所以，临界放大系数 Kp 6
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确定系统的相对稳定性（稳定裕度）
10
充要条件说明
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0, s
a0 a1
,
只要a0 , a1都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
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实验四线性定常控制系统的稳定分析
一、实验目的
（1）深刻理解反馈对系统稳定性的作用和影响；
（2）深刻理解系统类型对系统稳定性的影响的规律；
（3）深刻理解零点对系统稳定性无影响；
（4）理解系统参数对系统稳定性的影响。
二、实验原理及内容：
1．单位反馈对系统稳定性的影响
(1) 已知开环系统结构图如图4-1所示。
R （S
其中W(S)分别为：（a ）1()0.11W s s =+和（b ）1()0.2
W s s =- (2)闭环系统单位负反馈形式为：
图4-2 闭环系统
其中W(S)同（1）。
通过观察两组W （S ）在开环和闭环两种形式下系统的零、极点分布和单位阶跃响应曲。