山东省济南市历下区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(Word,无答案)

济南市历下区九年级数学教学质量检测试题(2021．1)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项县符合题目要求的．)
1．如图所示的几何体的左视图是
A ．
B ．
C ．
D ． 2．下列四个点中，在反比例函数y ＝－6
x
的图象上的是
A ．(3，－2)
B ．(3，2)
C ．(2，3)
D ．(－2，－3)
3．关于x 的一元二次方程x 2
－2x ＋m ＝0的一个根为－1，m 的值为
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．2
4．抛物线y ＝－(3－x ) 2
＋5的顶点坐标是
A ．(3，－5)
B ．(－3，5)
C ．(3，5)
D ．(－3，－5)
5．⊙O 的半径为3，圆心是原点，点P (2，2)，则点P 与⊙O 的位置关系是
A ．点P 在圆内
B ．点P 在圆上
C ．点P 在圆外
D ．无法确定
6．如图，正方形二维码的边长为2cm ，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区城内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.8左右，据此可估计白色部分的面积的为 A ．0.4cm 2
B ．0.8cm 2
C ．1.6cm 2
D ．3cm 2
7．某商店于今年元旦三天假期期间举行促销活动，元旦当天的销售额是2000元，1月3日的销售额是4500元，从元旦到1月3日，该店销售额平均每天的增长率是 A ．15%
B ．20%
C ．25%
D ．50%
8．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BOC ＝140°，则∠D 的度数是
A ．15°
B ．20°
C ．30°
D ．40°
9．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是
A．13B．15C．4D．5
10．某段公路上车辆的平均行驶速度(千米/时)与路上每百米拥有车的数量x(辆)的关素如圆所示，当x≥8时，y与x成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥墙，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是
A．x≥31B．x≥32C．x≤31D．x≤32
11．如图，我市在建地铁的某段路差横断面为梯形ABCD，AB∥CD，BC长6米，坡AD的坡比i＝1:2，坡BC的坡比i＝1:1，则AD长为
A．12米B．36米C．310米D．62米
12.二次函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)，对称轴为直线x＝1，函数图象的一部分如图所示，
下列说法中：①b ＜0；②2a ＋b ＝0；③b 2
－4ac ＞0；④(a ＋c ) 2
＜b 2
；⑤3a ＋c ＝0.正确的结论有 A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．)
13．在△ABC 中，点D ，E 在线段AB ，AC 上，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则DE
BC ＝__________；
14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，则cos A ＝__________；
15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE ＝70°，则∠BOD ＝________度．
16．如图，等边△ABO 的顶点A 在反比例函数y ＝k /x (x ＜0)的图象上，边BO 在x 轴上，O 是坐标原点，BO ＝2，则k ＝__________；
17．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝1，以点A 为圆心，以AD 长为半径画孤交BC 于点E ，∠DAE ＝60°，则图中阴影部分的面积为_________；
18．如图，已知CD是△ABC的高，BD＝4AD，CD＝2AD，点E是BC上一点，EF⊥EA，AG＝EG，tan ∠EF A的值为__________．
三．解答题(本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或潢算步骤)
19．(本小题满分6分)计算:
tan45°＋cos60°－2sin30°．
20．(本小题清分6分)
解方程:x2－3x＋2＝0．
21．(本小题满分6分)
如图，楼和塔之间的距离AC为50m，小明在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求楼高A D．
22．(本小题满分8分)
某初中初三年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”，“哪种方式更合算”，“设计遮阳棚”三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三(一)班学生的选择情况，绘制了如下表格:
请综合上述信息回答下列问题:
(1)a＝__________；b＝__________；
(2)若该校有400名初三学生，请估计选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数；
(3)某班有3男1女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少?请你用列表或画树状图的方法说明理由．
23．(本小题满分8分)
如图，AD与⊙O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．
(1)求证:∠DCB ＝∠ADB ；
(2)若∠DCB ＝30°，AC ＝33，求AD 的长．
24，(本小题满分10分)
如图，小亮的父亲想用长为80m 的栅栏，再借助一面长为50m 的墙，围成一个长方形的羊圈ABC D ． (1)当羊圈的面积是600m 2
时，此时矩形的边长各是多少? (2)若要使羊圈的面积最大，矩形的边长各是多少?
25．(本小题满分10分)
如圆1，点A 和点D 在反比例y ＝k
x (x ＞0)的图像上，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，点B (4，4)，连
按CD ，A B ．
(1)确定反比例函数的表达式；
(2)若点A (m ，1)，求此时△OCD 的面积；
(3)如图2，连接BC ，当BC ∥y 轴时，求线段BC 的长．
26．(本小题满分12分)
小明同学用两个形状相同都含有30°角的直角三角板进行研究，通过不同的摆放探究图形中的边角关系．
(一)猜测探究
(1)如图1，使直角三角板的两个30°锐角∠BAC和∠DAE重合，斜边AB和AD重合，此时CE
BD的值为__________；
(2)如图2，将图(1)中的△ABC绕点A逆时针旋转30°，使AC与AD重合，连接BD，CE，(1)中结论是否改变，若不变请加以证明，若改变，请说明理由；
(二)拓展应用
(3)在图2中，小明发现∠BDC＝45°，求此时∠DCE的度数．
27．(本小题满分12分)
如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)和点C(0，3)，抛物线与x轴的正半轴交于点B，点D 是抛物线上的一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，连按OD，BD，若点D是抛物线的顶点，求此时△OBD的面积；
(3)如图3，连接OD，BD，CD，CB，设△OCD的面积为S1，△BCD的面积为S2，是否存在点D，使S1＝S2，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

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{3套试卷汇总}2021年济南市九年级上学期数学期末质量检测试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，//,9,3,6DE BC AD DB AE ===，则AC 的长为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【分析】先利用比例性质得到AD ：AB=3：4，再证明△ADE ∽△ABC ，然后利用相似比可计算出AC 的长．【详解】解：解：∵AD=9，BD=3， ∴AD ：AB=9：12=3：4， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴=AD AE AB AC =34， ∵AE=6， ∴AC=8，故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长． 2．若37x y =(x 、y 均不为0)，则下列等式成立的是( )A ．73x y= B ．73y x= C ．73y x = D ．73x y = 【答案】D【分析】直接利用比例的性质分别判断得出答案．【详解】解：A 、73x y=，则xy=21，故此选项错误；B 、73y x =，则xy=21，故此选项错误； C 、73y x =，则3y=7x ，故此选项错误；D 、73x y=，则3x=7y ，故此选项正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．3．如图,直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G,且AB∥CD,若BO=6cm,OC=8cm 则BE+CG的长等于( )A．13 B．12 C．11 D．10【答案】D【解析】根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°，∵OB=6cm，OC=8cm，∴BC=10cm，∴BE+CG=BC=10cm，故选D.【点睛】本题主要考查了切线长定理，涉及到平行线的性质、勾股定理等，求得BC的长是解题的关键. 4．三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长能构成等腰三角形的概率是()A．19B．13C．59D．79【答案】C【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与构成等腰三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：∵共有27种等可能的结果，构成等腰三角形的有15种情况，∴以a、b、c为边长正好构成等腰三角形的概率是：155 279=．故选：C．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．关于反比例函数2yx=，下列说法错误．．的是（）A．y随x的增大而减小B．图象位于一、三象限C．图象过点(1,2)--D．图象关于原点成中心对称【答案】A【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．【详解】A、反比例函数解析式中k=2＞0，则在同一个象限内，y随x增大而减小，选项中没有提到每个象限，故错误；B、2＞0，图象经过一三象限，故正确；C、把x=-1代入函数解析式，求得y=-2，故正确；D、反比例函数图象都是关于原点对称的，故正确．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是要明确反比例函数的增减性必须要强调在同一个象限内．6．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表B．@代表同位角C．▲代表D．※代表【答案】C【解析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【详解】延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选C．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．7．已知52xy=，则x yy-的值是（）A．12B．2 C．32D．23【答案】C【分析】设x=5k（k≠0），y=2k（k≠0），代入求值即可．【详解】解：∵52 xy=∴x=5k（k≠0），y=2k（k≠0）∴52322 x y k ky k--==故选：C．【点睛】本题考查分式的性质及化简求值，根据题意，正确计算是解题关键．8．一个铁制零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的左视图是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】试题解析：从左边看一个正方形被分成三部分，两条分式是虚线，故C正确；故选C．考点:简单几何体的三视图.9．某公司2017年的营业额是100万元，2019年的营业额为121万元，设该公司年营业额的平均增长率为x ,根据题意可列方程为( )A ．()21001121x += B ．()21001121x -= C ．()21211100x += D ．()21211100x -=【答案】A【分析】根据题意2017年的营业额是100万元，设该公司年营业额的平均增长率为x , 则2018年的营业额是100(1+x)万元，2019年的营业额是100(1+x) ²万元，然后根据2019年的营业额列方程即可. 【详解】解：设年平均增长率为x ,则2018的产值为:()1?001x + , 2019的产值为:()21?001x +．那么可得方程:()21?001121x +=．故选:A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的增长率问题的应用.10．已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣4＝0的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【答案】A【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为4，判断方程ax 2+bx +c ﹣4＝0的根的情况即是判断函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与直线y ＝4交点的情况．【详解】∵函数的顶点的纵坐标为4， ∴直线y ＝4与抛物线只有一个交点， ∴方程ax 2+bx +c ﹣4＝0有两个相等的实数根，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握一元二次方程与二次函数间的关系是解题的关键.11．如图，平面直角坐标系中，⊙P 经过三点A （8，0），O （0，0），B （0，6），点D 是⊙P 上的一动点．当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】如图，连接AB ，过点P 作PE ⊥BO ，并延长EP 交⊙P 于点D ，求出⊙P 的半径，进而结合勾股定理得出答案．【详解】解：如图，连接AB ，过点P 作PE ⊥BO ，并延长EP 交⊙P 于点D ，此时点D 到弦OB 的距离最大， ∵A （8，0），B （0，6）， ∴AO=8，BO=6， ∵∠BOA=90°，∴AB=2286+=10，则⊙P 的半径为5， ∵PE ⊥BO ， ∴BE=EO=3， ∴PE=2253-=4， ∴ED=9， ∴tan ∠BOD=EDEO=3，故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系中，将OAB ∆绕着旋转中心顺时针旋转90︒，得到CDE ∆，则旋转中心的坐标为（）A ．()1,4B ．()1,2C ．()1,1D ．()1,1-【答案】C【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段OC 与BE 的垂直平分线的交点即为所求．【详解】∵OAB ∆绕旋转中心顺时针旋转90°后得到CDE ∆， ∴O 、B 的对应点分别是C 、E ，又∵线段OC 的垂直平分线为y=1，线段BE 是边长为2的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，由图形可知，线段OC 与BE 的垂直平分线的交点为（1，1）．故选C ．【点睛】本题考查了旋转的性质及垂直平分线的判定．二、填空题（本题包括8个小题）13．玫瑰花的花粉直径约为0.000084米，数据0.000084用科学记数法表示为__________．【答案】-58.410⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】数据0.000084用科学记数法表示为-58.410⨯ 故答案为：-58.410⨯ 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14．在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，…按这样的规律进行下去，第n 个正方形的面积为_____________．【答案】2235()2n -⨯【分析】推出AD=AB ，∠DAB=∠ABC=∠ABA 1=90°=∠DOA ，求出∠ADO=∠BAA 1，证△DOA ∽△ABA 1，得出1012BA AABOD，求出AB ，BA 1，求出边长A 135，求出面积即可；求出第2个正方形的边长是，求出面积，再求出第3个正方形的面积；依此类推得出第n 个正方形的边长，求出面积即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAB=∠ABC=∠ABA 1=90°=∠DOA ， ∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA 1=90°， ∴∠ADO=∠BAA 1， ∵∠DOA=∠ABA 1， ∴△DOA ∽△ABA 1， ∴1012BA AABOD， ∵22215+= ∴BA 1152∴第2个正方形A 1B 1C 1C 的边长A 1C=A 15355，面积是22353522；同理第32339355552442⎛⎫+== ⎪⎝⎭面积是224335522⎡⎛⎫⎛⎫=⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦；第4个正方形的边长是3352，面积是6352…，第n个正方形的边长是1352n，面积是2235()2n-⨯故答案为：2235()2n-⨯【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目15．如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是___________个.【答案】4【分析】根据几何体的三视图分析即可得出答案.【详解】通过主视图和左视图可知几何体有两层，由俯视图可知最底层有3个小正方体，结合主视图和左视图知第2层有1个小正方体，所以共4个小正方体.故答案为4【点睛】本题主要考查根据三视图判断组成几何体的小正方体的个数，掌握三视图的知识是解题的关键.16．已知反比例函数6yx=，在其位于第三像限内的图像上有一点M，从M点向y轴引垂线与y轴交于点N，连接M与坐标原点O，则ΔMNO面积是_____．【答案】3【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到：△MNO的面积为12|k|，即可得出答案．【详解】∵反比例函数的解析式为6yx=，∴k=6，∵点M在反比例函数6yx=图象上，MN⊥y轴于N，∴S△MNO=12|k|=3，故答案为：3【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．17．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．【答案】1．【解析】根据题意，易得△MBA ∽△MCO ，根据相似三角形的性质可知AB AM OC OA AM =+，即1.6AM820AM=+，解得AM=1． ∴小明的影长为1米．18．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +=；④当13x 时，0y >，正确的是_____（填写序号）．【答案】①③④．【解析】首先根据二次函数图象开口方向可得0a ＜，根据图象与y 轴交点可得0c ＞，再根据二次函数的对称轴b12ax ＝﹣＝，结合a 的取值可判定出b>0，根据a,b,c 的正负即可判断出①的正误；把1x ＝﹣代入函数关系式2y ax bx c y a b c +++＝中得＝﹣，再根据对称性判断出②的正误；把2b a a b c +＝﹣代入﹣ 中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误．【详解】解：根据图象可得：00a c ＜，＞，对称轴：b12ax ＝﹣＝， 2b a ∴＝﹣， 0a ＜， 0b ∴＞，， 0abc ∴＜，故①正确；把1x ＝﹣ 代入函数关系式2y ax bx c y ab c +++＝中得：＝﹣，由抛物线的对称轴是直线130x ＝，且过点（，），可得当10x y ＝﹣时，＝， 0a b c ∴+﹣＝，故②错误； 2b a ＝﹣，a--2a +c=0∴（），即：30a c +＝，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为①③④．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当0a ＞时，抛物线向上开口；当0a ＜时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab ＜），对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时（即0ab ＜），对称轴在y 轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于0c （，）．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知AD 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为M ，分别过A ，D 两点作BC 的垂线，垂足分别为B ，C ，AD 的延长线与BC 相交于点E ．（1）求证：△ABM ∽△MCD ；（2）若AD=8，AB=5，求ME 的长．【答案】（1）证明见解析（2）15【分析】（1）由AD 为直径，得到所对的圆周角为直角，利用等角的余角相等得到一对角相等，进而利用两对角对应相等的三角形相似即可得证；（2）连接OM ，由BC 为圆的切线，得到OM 与BC 垂直，利用锐角三角函数定义及勾股定理即可求出所求．【详解】解：（1）∵AD 为圆O 的直径，∴∠AMD=90°．∵∠BMC=180°，∴∠2+∠3=90°．∵∠ABM=∠MCD=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，∴△ABM ∽△MCD ；（2）连接OM ．∵BC 为圆O 的切线，∴OM ⊥BC ．∵AB ⊥BC ，∴sin ∠E=AB AE =OM OE ，即AB AO OE +=OM OE． ∵AD=8，AB=5，∴54OE +=4OE ，即OE=16，根据勾股定理得：22OE OM -22164-15【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义以及切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．20．某种蔬菜的售价1y （元）与销售月份x 之间的关系如图所示，成本2y （元）与销售月份x 之间的关系如图所示．（图的图象是线段，图的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的利润是多少元？（利润=售价-成本）（2）设每千克该蔬菜销售利润为P ，请列出P 与x 之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总利润为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克．4、5两个月的销售量分别是多少万千克？【答案】（1）6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元；（2）P=2110633x x -+-，5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大为73元；（3）4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克．【分析】（1）找出x=6时，y 1、y 2的值，根据利润=售价-成本进行计算即可；（2）利用待定系数法分别求出y 1、y 2关于x 的函数关系式，然后根据P=y 1-y 2得到关于x 的函数关系式，然后利用二次根式的性质进行求解即可；（3）求出当x=4时，P 的值，设4月份的销售量为t 千克，则5月份的销售是为（t+20000）千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t 的方程，解方程即可求得答案．【详解】（1）当x=6时，y 1=3，y 2=1，∵y 1-y 2=3-1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元；（2）设y 1=mx+n ，y 2=a(x-6)2+1，将（3，5）、（6，3）分别代入y 1=mx+n ，得3563m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴1273=-+y x ；将（3，4）代入y 2=a(x-6)2+1，得，4=a （3-6）2+1，解得：a=13， ∴()222116141333y x x x =-+=-+， ∴P=12y y -=()2222111017741365333333x x x x x x ⎛⎫-+--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭， ∵103-<， ∴当x=5时，P 取最大值，最大值为73，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大值为73元；（3）当x=4时，P=2110633x x -+-=2，设4月份的销售量为t 千克，则5月份的销售量为（t+20000）千克，根据题意得：()72200002200003t t ++=，解得：t=40000，∴t+20000=60000，答：4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质等知识，综合性较强，弄清题意，读懂图象，灵活运用相关知识是解题的关键．21．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45°，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90°，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【答案】（1）CM=EM ，CM ⊥EM ；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析．【分析】（1）延长EM 交AD 于H ，证明△FME ≌△AMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论；（2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．【详解】解：（1）如图1，结论：CM=EM ，CM ⊥EM ．理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，∴BC ∥EF ，∴∠EFM=∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△FME ≌△BMH ，∴HM=EM ，EF=BH ，∵CD=BC ，∴CE=CH ，∵∠HCE=90°，HM=EM ，∴CM=ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接AE ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴点B 、E 、D 在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M 为AF 的中点，∴CM=12AF ，EM=12AF ， ∴CM=ME ，∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°，∵CM=FM=ME ，∴∠MCF=∠MFC ，∠MFE=∠MEF ，∴∠MCF+∠MEF=135°，∴∠CME=360°-135°-135°=90°，∴CM ⊥ME ．（3）如图3，连接CF ，MG ，作MN ⊥CD 于N ，在△EDM 和△GDM 中，DE DG MDE MDG DM DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EDM ≌△GDM ，∴ME=MG ，∠MED=∠MGD ，∵M 为BF 的中点，FG ∥MN ∥BC ，∴GN=NC ，又MN ⊥CD ，∴MC=MG ，∴MD=ME ，∠MCG=∠MGC ，∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°，∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的结论成立．【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．22．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=12 OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．【答案】（1）见解析；（2）+【分析】（1）利用题中的边的关系可求出△OAC是正三角形，然后利用角边关系又可求出∠CAB=30°，从而求出∠OAB=90°，所以判断出直线AB与⊙O相切；（2）作AE⊥CD于点E，由已知条件得出AC=2，再求出AE=CE，根据直角三角形的性质就可以得到AD．【详解】（1）直线AB是⊙O的切线，理由如下：连接OA．∵OC=BC，AC=12 OB，∴OC=BC=AC=OA，∴△ACO是等边三角形，∴∠O=∠OCA=60°，又∵∠B=∠CAB，∴∠B=30°，∴∠OAB=90°．∴AB是⊙O的切线．（2）作AE⊥CD于点E．∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=2；∵∠D=30°，∴AD=22．【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质以及圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．【答案】（1）k＜2且k≠0；（2）x1＝2+2，x2＝2﹣2．【解析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝42﹣4k•2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）先确定k的最大整数值得到方程x2﹣4x+2＝0，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：（1）由题意得，b2﹣4ac＞0即42﹣4k•2＞0k＜2，又∵一元二次方程k≠0∴k＜2且k≠0；（2）∵k＜2且k取最大整数∴k＝1，当k＝1时，x2﹣4x+2＝0解得，x1＝2+2，x2＝2﹣2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．24．已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．【答案】（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜1，∴a 的取值范围是a ＜1；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111x 21x 2a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：11x 3a =-⎧⎨=-⎩，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣1．25．已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点D 为OC 中点，点P 在抛物线上．（1）直接写出A 、B 、C 、D 坐标；（2）点P 在第四象限，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交BC 、BD 于G 、H ，是否存在这样的点P ，使PG ＝GH ＝HE ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．（3）若直线y＝13x+t 与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在x 轴下方有两个交点，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣32)；（2）存在，(12，﹣154)；（3）﹣15736＜t ＜﹣1 【分析】（1）可通过二次函数的解析式列出方程，即可求出相关点的坐标；（2）存在，先求出直线BC 和直线BD 的解析式，设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），则E （x ，0），H （x ，12x ﹣32），G （x ，x ﹣3），列出等式方程，即可求出点P 坐标；（3）求出直线y ＝13x+t 经过点B 时t 的值，再列出当直线y ＝13x+t 与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3只有一个交点时的方程，使根的判别式为0，求出t 的值，即可写出t 的取值范围．【详解】解：（1）在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当x ＝0时，y ＝﹣3；当y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），∵D 为OC 的中点，∴D （0，﹣32）；（2）存在，理由如下：设直线BC 的解析式为y ＝kx ﹣3，将点B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设直线BD的解析式为y＝mx﹣32，将点B（3，0）代入y＝mx﹣32，解得m＝12，∴直线BD的解析式为y＝12x﹣32，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，12x﹣32），G（x，x﹣3），∴EH＝﹣12x+32，HG＝12x﹣32﹣（x﹣3）＝﹣12x+32，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，当EH＝HG＝GP时，﹣12x+32＝﹣x2+3x，解得x1＝12，x2＝3（舍去），∴点P的坐标为（12，﹣154）；（3）当直线y＝13x+t经过点B时，将点B（3，0）代入y＝13x+t，得，t＝﹣1，当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程13x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个解，即x2﹣73x﹣3﹣t＝0，△＝（73）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，解得t＝﹣157 36，∴由图2可以看出，当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t的取值范围为：﹣15736＜t＜﹣1时．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及了求二次函数与坐标轴的交点坐标、一次函数的解析式、解一元二次方程、确定一次函数与二次函数的图像的交点个数，灵活运用一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键.26．如图，为了测量山脚到塔顶的高度（即CD 的长），某同学在山脚A 处用测角仪测得塔顶D 的仰角为45︒，再沿坡度为1:3的小山坡前进400米到达点B ，在B 处测得塔顶D 的仰角为60︒.（1）求坡面AB 的铅垂高度（即BH 的长）；（2）求CD 的长.（结果保留根号，测角仪的高度忽略不计）.【答案】（1）200；（2）2002003+【分析】(1) 根据AB 的坡度得30BAH ∠=︒，再根据∠BAH 的正弦和斜边长度即可解答；（2）过点B 作BE DC ⊥于点E ，得到矩形BHCE ，再设BE CH x ==米，再由∠DBE=60°的正切值，用含x 的代数式表示DE 的长，而矩形BHCE 中，CE=BH=200米，可得DC 的长，()2003AC AH CH x =+=米，最后根据△ADC 是等腰三角形即可解答.【详解】解：（1）在Rt ABH ∆中，3tan 33BAH i ∠===，∴30BAH ∠=︒ ∴1sin 400sin 304002002BH AB BAH =⋅∠=⋅︒=⨯=米（2）过点B 作BE DC ⊥于点E ，如图：∴四边形BHCE 是矩形，∴200CE BH ==米设BE CH x ==米∴在Rt DBE ∆中，tan tan 603DE BE DBE x x =⋅∠=⋅︒=米∴()2003DC DE CE x =+=+米在Rt ABH ∆中cos 400cos302003AH AB BAH =⋅∠=⋅︒=∴()2003AC AH CH x =+=+米在Rt ADC ∆中，45DAC ∠=︒，∴DC AC =即20032003x x +=+解得200x =∴()20032002003DC x =+=+米（本题也可通过证明矩形BHCE 是正方形求解.）【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度． 27．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果按此速度增涨，该公司六月份的快递件数将达到多少万件？【答案】（1）10%；（2）13.31【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）根据增长率相同，由五月份的总件数即可得出六月份的总量．【详解】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，依题意得()210112.1x +=，解方程得10.1x =，2 2.1x =-（不合题意，舍弃）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．（2）六月份快递件数为()12.1110%13.31+=（万件）．答：该公司六月份的快递件数将达到13.31万件．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率一般公式列出方程即可解决问题．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）A．sinA＝3B．tanA＝12C．cosB＝3D．tanB＝3【答案】D【分析】根据三角函数的定义求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝1．∴AC＝2222213AB BC-=-=，∴sinA＝12BCAB=，tanA＝333BCAC==，cosB＝12BCAB=，tanB＝3ACBC=．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．2．如图，已知AB是ʘO的直径，点P在B的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为1．BC＝9，则PA的长为（）A．8 B．3C．1 D．5【答案】C【分析】连接OD,利用切线的性质可得∠PDO＝90°，再判定△PDO∽△PCB，最后再利用相似三角形的性质列方程解答即可．【详解】解：连接DO∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO＝90°，∵BC⊥PC，∴∠C＝90°，∴∠PDO＝∠C，∴DO//BC，∴△PDO∽△PCB，∴6293 DO POBC PB===，设PA＝x，则62123xx+=+，解得：x＝1，∴PA＝1．故答案为C．【点睛】本题考查了圆的切线性质以及相似三角形的判定与性质，证得△PDO∽△PCB是解答本题的关键．3．将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（）A．（x-3）2=-3 B．（x-3）2=6 C．（x-3）2=3D．（x-3）2=12【答案】B【解析】试题分析：移项，得x2－1x＝－3，等式两边同时加上一次项系数一半的平方(－3)2，得x2－1x＋(－3)2＝－3＋(－3)2，即(x－3)2＝1．故选B．点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A．（0，0）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（0，﹣1）【答案】C【解析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．故选C．5．如图，已知⊙O的半径是4，点A,B,C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．8833π-B．16833π-C．16433π-D．8433π-【答案】B【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．【详解】连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为4，∴OB=OA=OC=4，又四边形OABC是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=12OB=2，在Rt △COD 中利用勾股定理可知：2AC CD ===∵sin ∠COD=CD OC = ∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =11422OB AC ⨯=⨯⨯=, ∴S 扇形=21204163603ππ⨯⨯=,则图中阴影部分面积为S 扇形AOC -S 菱形ABCO =163π-故选B.【点睛】考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=12a•b （a 、b 是两条对角线的长度）；扇形的面积=2360n r π. 6．下列事件中，必然事件是（）A ．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B ．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C ．通常情况下，抛出的篮球会下落D ．三角形内角和为360°【答案】C【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件；从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王是随机事件；通常情况下，抛出的篮球会下落是必然事件；三角形内角和为360°是不可能事件，故选C.【点睛】本题考查随机事件.7．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．80°【答案】D 【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC ，∠ACB=2∠ICB ，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB ，求出∠ACB+∠ABC 的度数即可；【详解】解：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠ABC ＝2∠IBC ，∠ACB ＝2∠ICB ，∵∠BIC ＝130°，∴∠IBC+∠ICB ＝180°﹣∠CIB ＝50°，∴∠ABC+∠ACB ＝2×50°＝100°，∴∠BAC ＝180°﹣（∠ACB+∠ABC ）＝80°．故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.8．用16米长的铝制材料制成一个矩形窗框，使它的面积为9平方米，若设它的一边长为x ，根据题意可列出关于x 的方程为（）A ．()89x x +=B ．()89x x -=C ．()169x x -=D ．()1629x x -= 【答案】B【分析】一边长为x 米，则另外一边长为：8-x ，根据它的面积为9平方米，即可列出方程式．【详解】一边长为x 米，则另外一边长为：8-x ，由题意得：x （8-x ）=9，故选：B ．【点睛】此题考查由实际问题抽相出一元二次方程，解题的关键读懂题意列出方程式．9．如图，已知AE 是O 的直径，40B ∠=︒，则CAE ∠的度数为（）。

2020-2021济南市初三数学上期末试卷(含答案)

∴ 或
∴整理方程即得：
∴
将代入化简即得：
解得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．
二、填空题
13．(34)【解析】【分析】根据二次函数配方的图像与性质即可以求出答案【详解】在二次函数的配方形式下x-3是抛物线的对称轴取x=3则y=4因此顶点坐标为（34）【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质
=2020
即的值为2020．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系与一元二次方程的解，把化成（）-（）是解题的关键．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得．
【详解】
∵关于的一元二次方程的两根为，
A．32×20﹣32x﹣20x＝540B．（32﹣x）（20﹣x）＝540
C．32x+20x＝540D．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
3．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是( )
C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的
11．设是方程的两个实数根，则的值为（）
A．2017B．2018C．2019D．2020
12．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为()
A．0，4B．－3，5C．－2，4D．－3，1

济南市2020年九年级上学期数学期末考试试卷(II)卷

济南市2020年九年级上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinB的值是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017九上·怀柔期末) 已知△ABC∽△A′B′C′，如果它们的相似比为3：2，那么它们的面积比应是（）A . 3：2B . 2：3C . 4：9D . 9：43. （2分）在反比例函数y=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A .B .C .D .4. （2分）若2x2+1与4x2-2x-5互为相反数，则x为（）A . -1或B . 1或-C . 1或-D . 1或5. （2分） (2018八下·合肥期中) 如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016九上·黔西南期中) 抛物线y=3（x﹣2）2+3的顶点坐标为（）A . （﹣2，3）B . （2，3）C . （﹣2，﹣3）D . （2，﹣3）7. （2分） (2020九上·来宾期末) 如图，点A、B分别是反比例函数y= 与正比例函数y=k1x，y=k2x的交点，过点A作x轴的垂线AC，垂足为C，线段AC与直线y=k2x交于点D，若△ADO的面积为4，点D为线段OB 的三等分点，则k的值为（）A .B . 4C . 8D . 98. （2分）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．如图所示，小明所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是（）米．A . 10B . 20C .D . 109. （2分） (2019八上·越秀期中) 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A . 5个B . 6个C . 7个D . 8个10. （2分）(2017·东安模拟) 现有A、B两枚均匀的骰子（骰子的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．以小莉掷出A骰子正面朝上的数字为x、小明掷出B骰子正面朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P在已知抛物线y=﹣x2+5x上的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A . 等腰三角形B . 锐角三角形C . 直角三角形D . 钝角三角形12. （2分）(2019·成都模拟) 如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则下列说法错误的是（）A . AB＝4B . ∠ABC＝45°C . 当x＞0时，y＜﹣3D . 当x＞1时，y随x的增大而增大二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是________.14. （1分） (2017八下·昆山期末) 矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则矩形较长的边长________m．15. （1分）(2020·广州模拟) 计算： ________．16. （1分） (2019九下·武威月考) 用一张半径为24cm的扇形纸片做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸片的面积是________ cm2.17. （1分）有一支夹子如图所示，AB=2BC，BD=2BE，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ为6cm，如果想用夹子的尖端A、D两点夹住P、Q两点，那么手握的地方EC至少要张开________cm．18. （1分） (2019九上·南开月考) 如图，在矩形ABCD中，AD＝ AB ，∠BAD的平分线交BC于点E ，DH⊥AE于点H ，连接BH并延长交CD于点F ，连接DE交BF于点O ，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF ，其中正确的有________．三、解答题 (共9题；共55分)19. （5分） (2019九下·河南月考) 先化简，再求值：，其中x＝4|cos30°|+320. （5分） (2019九上·兰州期末) 解关于的方程．（1）（2）（配方法）21. （5分）如图，菱形ABCD中，E为AB边上的一点，F为BC延长线上的一点，且求证：DE=DF．22. （5分） (2018九上·东湖期中) 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少.23. （2分） (2020·中模拟) 如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且＝，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝6，GE＝6 ，求⊙O的半径．24. （5分）在平面直角坐标系和第一象限中有一矩形ABCD，AD平行于x轴，其中点A（3，4）且AB=2，BC=3．若将矩形ABCD向左平移a个单位之后，矩形到了第二象限，这时B、D两点在同一双曲线y=上．（1）请直接写出平移前B与D两点的坐标；（2）试求a与k的值．25. （2分）(2018·南海模拟) 如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC ，垂足为E ，连接DE ， F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B ．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的长．26. （11分）(2017·东营) 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．27. （15分） (2019八下·北京期中) 露露家里新购进了一台电热水器，她对电热水器的工作原理充满好奇.查阅说明书得知，电热水器上面显示的温度为内部水箱中水的温度，每次加热前可以预设温度值，当电热水器达到预设温度后，电热水器将停止加热，开启保温功能.而在使用过程中，电热水器会自动加水，水温会下降.露露发现电热水器中水箱的温度y（单位：℃）与接通电源后的时间x（单位：min）之间存在函数关系，她打开电热水器的开关，预设温度为70℃，并记录水温变化的情况见下表，其中在接通电源后的第8min时，电热水器达到预设温度；第18min时，妈妈开始使用电热水器.时间x（单位：min）024681820212528温度y（单位：℃）30405060707063m50.445（1） m的值为________；（2）请在下面的坐标系中描出上表中所有数据对应的点，并根据描出的点，画出当时，温度y 随时间x变化的函数图象；（3）在露露的妈妈使用电热水器前，电热水器处于保温功能的时长为________min；（4）未加热前，电热水器的水箱中水的温度为________℃.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共9题；共55分)19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、27-1、27-2、27-3、27-4、。

山东省济南市历城区2020-2021学年度九年级上学期期末考试数学试卷

济南市历城区2020－2021学年度第一学期九年级期末考试数学试题2021．01一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则tan B 的值是( )A ．1213B ．513C ．125D ．5122．抛物线y ＝(x －4) 2－3的顶点坐标是()A ．(－4，3)B ．(－4，－3)C ．(4，3)D ．(4，－3)3．如图所示几何体的左视图为(4．已知一元二次方程x 2－8x ＋c ＝0有一个根为2，则另一个根为()A ．10B ．6C ．8'D ．－25．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是() A ．13B ．25C ．23D ．356．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是(A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．对边相等且平行7．如图，在直角坐标系中，点P (2，2)是一个光源，木杆AB 两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)，则木杆AB 在x 轴上的投影长为() A ．3B ．5C ．6D ．78．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AC 是⊙O 的直径，∠CAD ＝26°，则∠ABD 的度数为()A ．26°B ．52°C ．64°D ．74°9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则反比例函数y ＝a x 与一次函数y ＝bx ＋c 在同一坐标系内的大致图象是(10．若二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 中函数v 与自变量x 之间的部分对应值如下表点A (x 1，y 1)、点B (x 2，y 2)在该函数图象上，当0＜x 1＜1，2＜x 2＜3，y 1与y 2的大小关系是( A ． y 1＜y 2 B ． y 1＞y 2 C ． y 1≤y 2D ．y 1≥y 211．如图，菱形ABCD 的两个顶点B ，函数y ＝kx 的图象上对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知点A (－2，2)，∠ABC ＝60°，则k 的值是( A ．4B ．6C ．43D ．1212．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋1(m 为常数)，当自变量x 的值满足：－3≤x ≤－1时，与其对应的函数值y 的最小值为5，则m 的值为() A ．1或－3B ．－3或－5C ．1或－1D ．1或－5二、填空题(每题4分，共24分)13．如果反比例函数y ＝kx的图象经过点(2，3)，那么直线y ＝kx 一定经过点(2，____)；14．如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足s i mA ＝13，则斜道AC 的长度是________米15．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是__________；16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，已知斜边DF 保持水平并且边DE 与点B 在同一直线上，若DE ＝40cm ，EF ＝20cm ．DF 离地面的高度AC ＝1．5m ，CD ＝8m ，则树的高度AB ＝________米．17．如图，已知等边三角形ABC ，分别以点A ，B ，C 为圆心，以AB 的长为半径作⌒BC 、⌒AC 、⌒AB ，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果这个曲边三角形的周长为2π，那么这个这个等边三角形ABC 的边长为__________；10m18．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，4C ＝12，BD ＝16，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，连结EF ，则EF 的最小值等于__________；三、解答题19．(本小题满分6分)解方程：x 2＋2x －3＝0．20．(本小题满分6分)计算：(π/2)0＋2cos 60°＋4＋(12)－121．如图，在矩形ABCD 中，点B 是BC 上－点DF ＝DC ，DF ⊥AE 于P ．若AB ＝3，AF ＝4，求EC 的长．22．(10分)如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作TC⊥AD，交AD的延长线于点C．(1)求证：CT为⊙O的切线;(2)若⊙O半径为3，AT＝4，求CT的长；23．(8分)某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如阳所示。

《试卷3份集锦》济南市某名校2020-2021年九年级上学期期末复习检测数学试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题解析：A 、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；B 、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；C 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选D ．2．如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，52AB =，以AB 为斜边向上作Rt ABD ∆，90ADB ∠=︒.连接CD ，若7CD =，则AD 的长度为（）A ．322B ．3或4C ．2242D ．2或4【答案】A 【分析】利用A 、B 、C 、D 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出ADC ABC ∠∠=，再作AE CD ⊥，设AE=DE=x ，最后利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图所示，∵△ABC 、△ABD 都是直角三角形，∴A,B,C,D 四点共圆，∵AC=BC ，∴BAC ABC 45∠∠==︒，∴ADC ABC 45∠∠==︒，作AE CD ⊥于点E,∴△AED 是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则AD 2x =， ∵CD=7,CE=7-x, ∵AB 52=∴AC=BC=5，在Rt△AEC 中，222AC AE EC =+，∴()22257x x =+-解得，x=3或x=4， ∴AD 232x ==2故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解.3．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是( )A ．23B ．29C ．13D ．19【答案】B【分析】可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．【详解】画“树形图”如图所示：∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种， ∴一辆向右转，一辆向左转的概率为29；故选B ．【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解4．如图，ABC ∆中，//,2,3DE BC AD BD ==，则DE AE BC AC =的值为（）A ．2:3B ．1:2C ．3:5D ．2:5【答案】D 【解析】根据相似三角形的判定和性质，即可得到答案.【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ∆∽ABC ∆，∴22235DE AE AD AD BC AC AB AD DB =====++；故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.5．如图，在▱ABCD 中，若∠A+∠C=130°，则∠D 的大小为（）A ．100°B ．105°C ．110°D ．115°【答案】D【解析】根据平行四边形对角相等,邻角互补即可求解.【详解】解：在▱ABCD 中，∠A=∠C,∠A+∠D=180°, ∵∠A+∠C=130°，∴∠A=∠C=65°,∴∠D=115°,故选D.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,属于简单题,熟悉平行四边形的性质是解题关键.6．如图，已知⊙O 中，半径 OC 垂直于弦AB ，垂足为D ，若 OD=3，OA=5，则AB 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D 【解析】利用垂径定理和勾股定理计算．【详解】根据勾股定理得224AD OA OD =-=,根据垂径定理得AB=2AD=8故选：D.【点睛】考查勾股定理和垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.7．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx+c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个根是x ＝1D ．不存在实数根【答案】A【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．【详解】∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．8．某楼盘准备以每平方米16000元的均价对外销售，由于受有关房地产的新政策影响，购房者持币观望．开发商为促进销售，对价格进行了连续两次下调，结果以每平方米14440元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率为（）A ．5%B ．8%C ．10%D ．11%【答案】A【分析】设平均每次下调的百分率为x ，根据该楼盘的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，即可得出结果．【详解】设平均每次下调的百分率为x ，依题意，得：16000（1﹣x ）2＝14440，解得：x 1＝0.05＝5%，x 2＝1.95（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为5%.故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出关于x 的方程，是解题的关键.9．如图，在一个周长为10 m 的长方形窗户上钉上一块宽为1 m 的长方形遮阳布，使透光部分正好是一个正方形，则钉好后透光部分的面积为( )A ．9 m 2B ．25 m 2C ．16 m 2D ．4 m 2【答案】D 【解析】根据矩形的周长=（长+宽）×1，正方形的面积=边长×边长，列出方程求解即可．【详解】解：若设正方形的边长为am ，则有1a+1（a+1）=10，解得a=1，故正方形的面积为4m 1，即透光面积为4m 1．故选D ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，主要考查了长方形的周长及正方形面积的求法，属于基础题，难度一般． 10．若点(3,4)A 是反比例函数k y x=图象上一点，则下列说法正确的是（）A ．图象位于二、四象限B ．当0x <时，y 随x 的增大而减小C ．点()2,6-在函数图象上D ．当4y ≤时，3x ≥【答案】B【分析】先根据点A （3、4）是反比例函数y=k x 图象上一点求出k 的值，求出函数的解析式，由此函数的特点对四个选项进行逐一分析．【详解】∵点A （3，4）是反比例函数y=k x 图象上一点， ∴k=xy=3×4=12，∴此反比例函数的解析式为y=12x， A 、因为k=12＞0，所以此函数的图象位于一、三象限，故本选项错误；B 、因为k=12＞0，所以在每一象限内y 随x 的增大而减小，故本选项正确；C 、因为2×（-6）=-12≠12，所以点（2、-6）不在此函数的图象上，故本选项错误；D 、当y≤4时，即y=12x ≤4，解得x ＜0或x≥3，故本选项错误．故选：B ．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意求出反比例函数的解析式是解答此题的关键． 11．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转，旋转角为(0180)αα︒<<︒，得到ADE ，这时点B ，C ，D 恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A ．AB ED =B ．EA BC ⊥ C ．902B α∠=︒-D ．902EAC α∠=︒+【答案】C 【分析】由旋转的性质可得AB=AD ，∠BAD=α，由等腰三角形的性质可求解．【详解】∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，∴AB=AD ，∠BAD=α，∴∠B=1809022故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．12．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第一、三象限，且m＜0，∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴，综上所述，符合题意的只有A选项，故选A.二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，若⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，则△ABC的周长为_____．【答案】4【分析】如图，首先利用勾股定理判定△ABC是直角三角形，由题意得圆心O所能达到的区域是△DEG，且与△ABC三边相切，设切点分别为G、H、P、Q、M、N，连接DH、DG、EP、EQ、FM、FN，根据切线性质可得：AG＝AH，PC＝CQ，BN＝BM，DG、EP分别垂直于AC，EQ、FN分别垂直于BC，FM、DH分别垂直于AB，继而则有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH，从而可知DE＝GP，EF＝QN，DF＝HM，DE∥GP，DF∥HM，EF∥QN，∠PEF＝90°,根据题意可知四边形CPEQ是边长为1的正方形，根据相似三角形的判定可得△DEF∽△ACB，根据相似三角形的性质可知：DE∶EF∶FD＝AC∶CB∶BA＝3∶4∶1，进而根据圆心O 运动的路径长列出方程，求解算出DE、EF、FD的长，根据矩形的性质可得：GP、QN、MH的长，根据切线长定理可设：AG ＝AH ＝x ，BN ＝BM ＝y ，根据线段的和差表示出AC 、BC 、AB 的长，进而根据AC ∶CB ∶BA＝3∶4∶1列出比例式，继而求出x 、y 的值，进而即可求解△ABC 的周长．【详解】∵AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶1，设AC ＝3a ，CB ＝4a ，BA ＝1a （a ＞0）∴()()()222222=345AC CB a a a BA ++==∴△ABC 是直角三角形，设⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈，如图所示，连接DE 、EF 、DF ，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ，根据切线性质可得：AG ＝AH ，PC ＝CQ ，BN ＝BMDG 、EP 分别垂直于AC ，EQ 、FN 分别垂直于BC ，FM 、DH 分别垂直于AB ，∴DG ∥EP ，EQ ∥FN ，FM ∥DH,∵⊙O 的半径为1∴DG ＝DH ＝PE ＝QE ＝FN ＝FM ＝1，则有矩形DEPG 、矩形EQNF 、矩形DFMH ，∴DE ＝GP ，EF ＝QN ，DF ＝HM ，DE ∥GP ，DF ∥HM ，EF ∥QN,∠PEF ＝90°又∵∠CPE ＝∠CQE ＝90°, PE ＝QE ＝1∴四边形CPEQ 是正方形，∴PC ＝PE ＝EQ ＝CQ ＝1，∵⊙O 的半径为1，且圆心O 运动的路径长为18，∴DE+EF+DF ＝18，∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，EF ∥BC ，∴∠DEF ＝∠ACB ，∠DFE ＝∠ABC ，∴△DEF ∽△ABC ，∴DE ：EF ：DF ＝AC ：BC ：AB ＝3：4：1，设DE ＝3k （k ＞0），则EF ＝4k ，DF ＝1k ，∵DE+EF+DF ＝18，∴3k+4k+1k＝18，解得k＝32，∴DE＝3k＝92，EF＝4k＝6，DF＝1k＝152，根据切线长定理，设AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，则AC＝AG+GP+CP＝x+92+1＝x+1．1，BC＝CQ+QN+BN＝1+6+y＝y+2，AB＝AH+HM+BM＝x+152+y＝x+y+2．1，∵AC：BC：AB＝3：4：1，∴（x+1．1）：（y+2）：（x+y+2．1）＝3：4：1，解得x＝2，y＝3，∴AC＝2．1，BC＝10，AB＝3．1，∴AC+BC+AB＝4．所以△ABC的周长为4．故答案为4．【点睛】本题是一道动图形问题，考查切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是确定圆心O的轨迹，学会作辅助线构造相似三角形，综合运用上述知识点．14．扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径为_____cm．【答案】1【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形12lr=，把对应的数值代入即可求得半径r的长．【详解】解：∵S扇形12lr =，∴1120102rππ=，∴24r=．故答案为1．【点睛】本题考查了扇形面积和弧长公式之间的关系，解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形12lr =．15．一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，张兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是_____．【答案】【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【详解】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的有3，6，故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是：．故答案为．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 16．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出______个小分支．【答案】6【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=，解得：17x =-（不合题意，舍去），26x =．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，:3:1DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF ∆的面积与四边形BCEF 的面积之比为___【答案】9:19【分析】由DE ：EC=3：1，可得DF ：FB=3：4，根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可得S △EFD ：S △BEF =3：4，S △BDE ：S △BEC =3：1，可求△DEF 的面积与四边形BCEF 的面积的比值．【详解】解：连接BE∵DE：EC=3：1∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k ∵ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB=CD=4k，∴3==4 DE DFAB BF,∴S△EFD：S△BEF=3：4∵DE：EC=3：1∴S△BDE：S△BEC=3：1设S△BDE=3a，S△BEC=a则S△EFD=97a，，S△BEF=127a，∴S BCEF=S△BEC+S△BEF=197a，∴则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比9：19故答案为：9:19．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，关键是运用在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比求三角形的面积比值．18．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？大意是“一个矩形田地的面积等于864平方步，它的宽比长少12步，问长与宽各多少步？”若设矩形田地的宽为x步，则所列方程为__________．【答案】(12)864x x+=【分析】如果设矩形田地的宽为x步，那么长就应该是（x+12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的宽为x步，那么长就应该是（x+12）步，根据面积公式，得：(12)864x x+=；故答案为：(12)864x x+=.【点睛】本题为面积问题，考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长×矩形的宽．三、解答题（本题包括8个小题）19．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球2个，蓝球1个．若从中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是14．（1）求口袋里红球的个数；（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率．【答案】（1）1；（2）见解析，1 3【分析】（1）设红球有x个，根据题意得：11214x=++;（2）列表，共有12种等可能性的结果，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有4种. 【详解】解：（1）设红球有x个，根据题意得：11 214x=++，解得：x=1，经检验x=1是原方程的根．则口袋中红球有1个（2）列表如下：由上表可知，共有12种等可能性的结果，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有4种，则P=41 123=【点睛】考核知识点：用列举法求概率.列表是关键.20．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B,（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=12，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）35r =. 【分析】（1）连接OD ，由OD=OB ，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；（2）设圆的半径为r ，利用锐角三角函数定义求出AB 的长，再利用勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】（1）证明：连接OD ，OB OD =， 3B ∴∠=∠， 1B ∠=∠，13∴∠=∠，在Rt ACD ∆中，1290∠+∠=︒，()41802390∴∠=︒-∠+∠=︒， OD AD ∴⊥，则AD 为圆O 的切线；（2）设圆O 的半径为r ，在Rt ABC ∆中，tan 4AC BC B ==，根据勾股定理得：224845AB =+=45OA r ∴=，在Rt ACD ∆中，1tan 1tan 2B ∠==， tan 12CD AC ∴=∠=，根据勾股定理得：22216420AD AC CD =+=+=，在Rt ADO ∆中，222OA OD AD =+，即()22520rr =+，解得：2r=．【点睛】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．21．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝45时，y＝10；x＝55时，y＝1．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）W＝﹣2x2+260x﹣6500；（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大为110元．【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y＝kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；（2）根据利润＝单个利润×销售量-500列出W关于x的二次函数解析式即可；（3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．【详解】（1）设y＝kx+b，∵x＝45时，y＝10；x＝55时，y＝1，∴45110 5590k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k＝﹣2，b＝200，∴y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）∵售价为x元/千克，进价为30元/千克，日销量y＝﹣2x+200，每天支付其他费用500元，∴W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣500＝﹣2x2+260x﹣6500，（3）∵W＝﹣2x2+260x﹣6500=﹣2（x﹣65）2+1950，∴抛物线的对称轴为x=65，∵-2<0，∴抛物线开口向下，x<65时，y随x的增大而增大，∵30≤x≤60，∴x＝60时，w有最大值为-2(60-65)2+1950=110(元)，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大为110元．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用，考查了待定系数法求一次函数解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.22．经过点A（4，1）的直线与反比例函数y＝kx的图象交于点A、C，AB⊥y轴，垂足为B，连接BC．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AC的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点P在双曲线位于第一象限的图象上，若∠PAC＝90°，则点P的坐标是．【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝4x（2）直线AC的函数表达式为y＝12x﹣1；（3）（12，8）．【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数表达式中，即可得出结论；（2）先求出AB，设出点C的纵坐标，利用△ABC的面积为6，求出点C纵坐标，再代入反比例函数表达式中，求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线AC的解析式；（3）先求出直线AP的解析式，再和反比例函数解析式联立求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝4×1＝4，∴反比例函数的表达式为y＝4x；（2）设点C的纵坐标为m，∵AB⊥y轴，A（4，1），∴AB＝4，∵△ABC的面积为6，∴12AB×（1﹣m）＝6，∴m＝﹣2，由（1）知，反比例函数的表达式为y＝4x，∴点C的纵坐标为：﹣2，∴点C（﹣2，﹣2），设直线AC的解析式为y＝k'x+b，将点A（4，1），C（﹣2，﹣2）代入y＝k'x+b中，4'12'2k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，∴1'21kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC的函数表达式为y＝12x﹣1；（3）由（2）知直线AC的函数表达式为y＝12x﹣1，∵∠PAC＝90°，∴AC⊥AP，∴设直线AP的解析式为y＝﹣2x+b'，将A（4，1）代入y＝﹣2x+b'中，﹣8+b'＝1，∴b'＝9，∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+9①，由（1）知，反比例函数的表达式为y＝4x②，联立①②解得，41xy=⎧⎨=⎩（舍）或128xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴点P的坐标为（12，8），故答案为：（12，8）．【点睛】考查了待定系数法，三角形的面积公式，方程组的解法，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键．23．已知ab＝34，求a ba b+-的值．【答案】-7【分析】根据等式的性质可得a＝34b，再根据分式的性质可得答案．【详解】解：由ab＝34，得a＝34b．∴374473144b b ba ba b b b b++===----【点睛】本题考查了比例的性质和分式性质，利用等式性质求得a＝34b是解题关键．24．小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象．【答案】245y x x=-++，（4，1），（1，0）【详解】分析：利用待定系数法、描点法即可解决问题；本题解析：设二次函数的解析式y=ax²+bx+c．把（-1，0）（0，1），（2，9）代得到5429a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得145abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴二次数解析式y=-x +4x+1．当x=4时，y=1,当y=0时，x=-1或1.25．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？【答案】（1）每次下降的百分率为20%；（2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【分析】(1)设每次降价的百分率为a，(1﹣a)2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；(2)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．【详解】解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50(1﹣a)2＝32，解得：a＝1.8(舍)或a＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；(2)设每千克应涨价x元，由题意，得(10+x)(500﹣20x)＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找准等量关系列出方程是解答本题的关键．26．先化简，再求代数式214(1)33xx x-+÷--的值，其中3tan3022cos45x=-【答案】12x +，3 【分析】先去括号，再算乘法约去公约数，即可完成化简，化简3tan 3022cos 45x =-，先算三角函数值，再算乘法，再算减法，再将化简后x 的值代入原式求解即可．【详解】原式313()33(2)(2)x x x x x x --=+•--+- 233(2)(2)x x x x x --=•-+- 12x =+ 当323tan 3022cos 45322322x =-=⨯-⨯=-时原式33223===-+ 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算的法则是解题的关键．27．如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A 再在河的这边选点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后，再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ．此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB ．【答案】100米【分析】由两角对应相等可得△BAD ∽△CED ，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB ．【详解】∵AB ⊥BC ，EC ⊥BC ∴∠B=∠C=90° 又∵∠ADB=∠EDC ∴△ABD ∽△ECD∴AB BDCE CD = 即1205060AB = ∴AB=100答:两岸向的大致距高AB为100米.【点睛】本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．二次函数y ＝x 1+bx ﹣t 的对称轴为x ＝1．若关于x 的一元二次方程x 1+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，则t 的取值范围是（）A ．﹣4≤t ＜5B ．﹣4≤t ＜﹣3C ．t ≥﹣4D ．﹣3＜t ＜5 【答案】A【解析】根据抛物线对称轴公式可先求出b 的值，一元二次方程x 1+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解相当于y ＝x 1﹣bx 与直线y ＝t 的在﹣1＜x ＜3的范围内有交点，即直线y ＝t 应介于过y ＝x 1﹣bx 在﹣1＜x ＜3的范围内的最大值与最小值的直线之间，由此可确定t 的取值范围.【详解】解：∵抛物线的对称轴x ＝2b -＝1， ∴b ＝﹣4，则方程x 1+bx ﹣t ＝0，即x 1﹣4x ﹣t ＝0的解相当于y ＝x 1﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标， ∵方程x 1+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，∴当x ＝﹣1时，y ＝1+4＝5，当x ＝3时，y ＝9﹣11＝﹣3，又∵y ＝x 1﹣4x ＝（x ﹣1）1﹣4，∴当﹣4≤t ＜5时，在﹣1＜x ＜3的范围内有解．∴t 的取值范围是﹣4≤t ＜5，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程2ax bx c k ++=的解相当于2y ax bx c =++ 与直线y=k 的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.2．使分式有意义的x 的取值范是（）A ．x≠3B ．x ＝3C ．x≠0D ．x ＝0【答案】A 【解析】直接利用分式有意义的条件进而得出答案．【详解】分式有意义，则1-x≠0，解得：x≠1．故选A ．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．3．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是( )A．12B．23C．25D．35【答案】C【解析】∵2个红球、3个白球，一共是5个，∴从布袋中随机摸出一个球,摸出红球的概率是2 5 .故选C.4．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【答案】D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．5．若一元二次方程kx2﹣3x﹣94＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≤﹣1且k≠0 【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝9+9k≥0即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△＝9+9k≥0，∴k≥﹣1，∵k≠0，∴k≥﹣1且k≠0，【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求方程中的参数，解题的关键是熟知一元二次方程根的判别式的应用．6．已知二次函数251()143y x =-+，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线13x =-；③其图象顶点坐标为1(,1)3-；④当13x <时，y 随x 的增大而减小．其中说法正确的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】利用二次函数的图象和性质逐一对选项进行分析即可．【详解】①因为504a =>其图象的开口向上，故正确； ②其图象的对称轴为直线13x =，故错误； ③其图象顶点坐标为1(,1)3，故错误； ④因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧，即当13x <时，y 随x 的增大而减小，故正确．所以正确的有2个故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．7．对于二次函数()2321y x =-+的图象，下列说法正确的是（）A ．开口向下B ．顶点坐标是()2,1C ．对称轴是直线2x =-D ．与x 轴有两个交点【答案】B【分析】根据二次函数基本性质逐个分析即可.【详解】A.a=3，开口向上，选项A 错误B. 顶点坐标是()2,1，B 是正确的C. 对称轴是直线2x =，选项C 错误D. 与x 轴有没有交点，选项D 错误故选:B【点睛】本题考核知识点：二次函数基本性质：顶点、对称轴、交点.解题关键点：熟记二次函数基本性质. 8．用配方法解方程x 2＋1=8x ，变形后的结果正确的是( )A ．(x ＋4)2=15B ．(x ＋4)2=17C ．(x －4)2=15D ．(x －4)2=17【答案】C【解析】x 2＋1=8x ，移项，得x 2－8x=－1，配方，得x 2－8x+42=－1+42，即（x －4）2=15.故选C.点睛：移项得时候注意将含有未知数的项全部移到等号左边，常数项全部移到等号右边.9．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+a ﹣1＝0没有实数根，则a 的取值范围是（）A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ＜﹣2D ．a ＞﹣2 【答案】B【分析】根据题意得根的判别式0<，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】∵1a =，2b =-，1c a =-，由题意可知： ()()22424110b ac a =-=--⨯⨯-<⊿，∴a ＞2，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式24b ac =-⊿：当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根． 10．计算：x （1﹣21x ）÷221x x x++的结果是（） A ．11x + B ．x+1 C ．11x x -+ D ．1x x+ 【答案】C【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．【详解】解：原式＝()()()2111x x x x x +-⋅+ ＝11x x -+．故选：C ．【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.11．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（）A ．k ＝4B ．k ＝﹣4C ．k≥﹣4D ．k≥4。

2022-2023学年山东省济南市历下区九年级上学期期末数学试卷及参考答案

2022-2023学年山东省济南市历下区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．如图所示，圆柱体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．2．下列各点在反比例函数9y x=−的图象上的是( ) A ．(9,1)−−B ．1(9−，1)C ．(9,1)−D ．1(9，1)3．60︒的正弦值为( ) A ．12B ．22C ．32D ．334．已知O 的半径为6，点P 在O 外部，则OP 需要满足的条件是( ) A ．6OP >B ．06OP <C ．3OP >D ．03OP <5．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，若OC ODOB OA=，则图中一定相似的三角形是( )A ．BOA BAD ∆∆∽B ．BOA COD ∆∆∽C ．BOC BCD ∆∆∽D ．COB CBA ∆∆∽6．已知二次函数2(2)2y x =−+，当点1(3,)y 、2(2.5,)y 、3(4,)y 在函数图象上时，则1y 、2y 、3y 的大小关系正确的是( ) A ．312y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．123y y y <<7．如图，点(2,)A m 在双曲线(ky k x=是常数）位于第一象限的图象上，AB x ⊥轴，B 为垂足，tan 2AOB ∠=，则k 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．88．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若56ACD ∠=︒，则DAB ∠的度数为( )A ．34︒B ．36︒C ．46︒D ．54︒9．某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小聪所在小组想测量古塔的高度，经研究得出一个测量方案如下：在点A 用距离地面高度为h 米的测角器测出古塔顶端的仰角为17︒，然后沿AD 方向前进a 米到达点B ，用同样的测角器测出古塔顶端的仰角为45︒，小聪小组计算出的古塔高度约为( )米．A ．tan171tan17ah ︒⨯++︒B ．sin171sin17ah ︒⨯+−︒C ．tan171tan17a︒⨯−︒D ．tan171tan17ah ︒⨯+−︒10．在学习二次函数2(0)y ax bx c a =++≠时，小明了解到二次函数的系数a ，b ，c 对函数图象的影响，于是他尝试用自己所学解释函数2||3y x bx =−−的性质并得到以下结论，请你判断小明得到的这些结论中正确的是( ) ①函数图象与y 轴交点为(0,3)−； ②若2b =，则y 有最小值为4−； ③若1b =，则当12x <时，y 随x 的增大而减小； ④若0b ≠，则直线(y m m =为任意实数）与函数图象的交点个数最多是4个．A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．②④二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11．二次函数261y x x =−+的对称轴是直线x = ．12．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，若70A ∠=︒，则C ∠的度数是．13．广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于 .（填“平行投影”或“中心投影” )14．如图，点B 在反比例函数4(0)y x x =>的图象上，点C 在反比例函数6(0)y x x =−>的图象上，且//BC y 轴，AB BC ⊥，垂足为点B ，交y 轴于点A ，则ABC ∆的面积为．15．如图，等边ABC ∆被矩形DEFG 所截，//EF BC ，线段AB 被截成三等份．若ABC ∆的面积为212cm ，图中阴影部分的面积为 2cm ．16．扇形AOB 的圆心角为90︒，O 为圆心，C 是弧AB 上的一点，连接AC ，CD AC ⊥交半径OB 于点D ．若8AC =，6CD =，则扇形AOB 的面积为（结果保留)π．三、解答题（本大题共10题，满分86分） 17．计算：02022(3)2cos30(1)12π−−︒+−+． 18．如图，已知B D ∠=∠，12∠=∠．求证：AB BCAD DE=．19．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系．（1）过A ，B ，C 三点的圆的圆心M 坐标为．（2）求M 的面积（结果保留)π．20．如图，一次函数112y x =+的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点(,3)A a ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点E ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点(2,)C b ，与x 轴交于点D ．求ADE ∆的面积．21．线上教学期间，很多同学采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角150AOB ∠=︒时，顶部边缘A 处离桌面的高度AC 的长为11cm ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角108A OB '∠=︒时（点A '是A 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A '处离桌面的高度A D '的长．（结果精确到1cm ；参考数据：sin180.31︒≈，cos180.95︒≈，tan180.32)︒≈22．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，以BD 为直径作O 交BC 于点F ，并且O 与AC 相切于点E ，连接OE ．（1）求证：//BC OE ；（2）若O 的半径为5，30A ∠=︒，求BC 的长．23．如图，双曲线1k y x =与直线232y x =交于A ，B 两点．点(2,)A a 和点(,3)B b −在双曲线上，点C 为x 轴正半轴上的一点．（1）求双曲线1ky x=的表达式和a ，b 的值；（2）请直接写出使得12y y >的x 的取值范围；（3）若ABC ∆的面积为12，求此时C 点的坐标．24．小腾所在的小区中心为了净化环境要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流与池中心水管的水平距离为x 米，距地面的高度为y 米．测量得到如下数值： /x m0 0.4 1 1.5 2 2.5 3 /y m2.53.33.93.853.32.250.7小腾根据学习函数的经验，发现y 是x 的函数，并对y 随x 的变化而变化的规律进行了探究，如图，他首先通过描点法画出了函数图象．（1）小腾结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度OC 为 m ．通过计算，可得到y 关于x 的函数表达式为，水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为 m ；（2）如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度OC ，使水流落地点与水管的距离OA 缩短为3m ，请求出降低后的水管高度是多少米？25．【问题发现】（1）如图1所示，ABC ∆和ADE ∆均为正三角形，B 、D 、E 三点共线．猜想线段BD 、CE 之间的数量关系为；BEC ∠= ︒；【类比探究】（2）如图2所示，ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，90ACB AED ∠=∠=︒，AC BC =，AE DE =，B 、D 、E 三点共线，线段BE 、AC 交于点F ．此时，线段BD 、CE 之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出BEC∠的度数；【拓展延伸】（3）如图3所示，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，8BC =，DE 为ABC ∆的中位线，将ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转，当DE 所在直线经过点B 时，请直接写出CE 的长．26．如图，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点(1,0)A −，(4,0)B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 为线段CB 上一个动点（不与点C ，B 重合），过点P 作//PQ y 轴交抛物线于点Q ．（1）求抛物线的表达式和对称轴；（2）设P 的横坐标为t ，请用含t 的式子表示线段PQ 的长，并求出线段PQ 的最大值；（3）已知点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 是平面直角坐标系内一点，当线段PQ 取得最大值时，是否存在这样的点M ，N ，使得四边形PBMN 是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．解：从正面看圆柱可得到一个长方形．故选：C ．2．解：9y x=−，9k xy ∴==−，A ．9(1)9xy k =−⨯−=≠，不符合题意；B ．11199xy k =−⨯=−≠，不符合题意；C ．9(1)9xy k =⨯−=−=，符合题意；D ．11199xy k =⨯=≠，不符合题意．故选：C ．3．解：60︒ 故选：C ．4．解：当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外， 6OP ∴>，故选：A ． 5．解：OC ODOB OA=，AOB DOC ∠=∠， BOA COD ∴∆∆∽，故选：B ．6．解：由二次函数2(2)2y x =−+知，该抛物线开口方向向上，且对称轴为直线2x =．由于点1(3,)y 、2(2.5,)y 、3(4,)y 在函数图象上，且|2.52||32||42|−<−<−，所以213y y y <<．故选：B ． 7．解：AB x ⊥轴，B 为垂足，tan 2AOB ∠=，∴2ABOB=，点(2,)A m 在双曲线(ky k x=是常数）位于第一象限的图象上，2OB ∴=，AB m =， 4m ∴=，(2,4)A ∴， 248k ∴=⨯=；故选：D ．8．解：连接BC ，如图AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90905634DAB DCB ACD ∴∠=∠=︒−∠=︒−︒=︒．故选：A ．9．解：过点E 作EH CD ⊥于H ，则四边形ADHE 是矩形， DH AE h ∴==m ，设CH x =m ，在Rt CHF ∆中，45CFH FCH ∠=∠=︒， CH FH x ∴==m ，在Rt CHE ∆中， tan CHCEH EH∠=， ∴tan17xx a=︒+， tan171tan17a x ⋅︒∴=−︒，即tan17()1tan17a CH m ⋅︒=−︒，tan17()()1tan17a CD CH DH h m ⋅︒∴=+=+−︒，答：古塔CD 的高度为tan17()()1tan17a h m ⋅︒=+−︒，故选：D ．10．解：①将0x =代入函数2||3y x bx =−−得：3y =−，∴函数图象与y 轴交点为(0,3)−，①正确；②当0x >时，2223(1)4y x x x =−−=−−， y ∴有最小值为4−，当0x <时，2223(1)4y x x x =+−=+−， y ∴有最小值为4−，②正确；③当102x <<时，23y x x =−−，对称轴为1122x −=−=， 10a =>，∴当102x <<时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，23y x x =+−，对称轴为12x =−，10a =>，∴当12x <−时，y 随x 的增大而减小，当102x −<<时，y 随x 的增大而增大，③不正确；④函数2||3y x bx =−−的图象为：正确的为：①②④．故选：B ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11．解：二次函数2261(3)8y x x x =−+=−−，∴该函数的对称轴是直线3x =，故答案为：3．12．解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180C A ∴∠+∠=︒，18070110C ∴∠=︒−︒=︒．故答案为：110︒．13．解：广场上一个大型艺术字板块在地上的投影如图所示，则该投影属于中心投影．故答案为：中心投影．14．解：过C 点作CH y ⊥轴于H 点，BC 交x 轴于D ，如图//BC y 轴，AB BC ⊥，∴四边形ABDO 和四边形ODCH 都是矩形，4ABDO S ∴=矩形，66ODCH S ==矩形，4610ABCH S ∴=+=矩形，ABC ∴∆的面积152ABCH S ==矩形．故答案为：5．15．解：//DG BC ，AHM ABC ∴∆∆∽，AH HK KB ==，212ABC S cm ∆=， ∴2211()()39AHM ABC S AH S AB ∆∆===， 211412()993AHM ABC S S cm ∆∆∴==⨯=， //EF BC ，AKN ABC ∴∆∆∽，∴2224()()39AKN ABC S AK S AB ∆∆===， 2441612()993AKN ABC S S cm ∆∆∴==⨯=， ()2164433AKN AHM S S S cm ∆∆∴=−=−=阴影， ∴图中阴影部分的面积为24cm ，故答案为：4．16．解：过O 作OH AC ⊥于H ，交AD 于F ，则142AH CH AC ===，AC CD ⊥，//OH CD ∴，AF DF ∴=，132FH CD ∴==，AC CD ⊥，90C ∴∠=︒，22226810AD AC CD ∴=+=+=，90AOB ∠=︒，152OF AD ∴==，8OH ∴=，22224845OA AH OH ∴=+=+=，∴扇形AOB 的面积290(45)20360ππ⋅⨯==，故答案为：20π．三、解答题（本大题共10题，满分86分）17．解：原式312123=−++1313=−+23=+． 18．证明：12∠=∠，12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠， B D ∠=∠，BAC DAE ∴∆∆∽，∴AB BC AD DE=． 19．解：（1）如图所示：连接AB ，AC ，分别作AB 、AC 的垂直平分线，两直线交于点M ，则点M 就是过A ，B ，C 三点的圆的圆心，由图形可知M 的坐标为(1,2)M −，故答案为：(1,2)−；（2）连接MB ，由勾股定理得223110MB =+=，故圆的面积为10π．20．解：（1）将点(,3)A a 代入112y x =+，得：1312a =+，解得：4a =，则点(4,3)A ，将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：34k =，解得：12k =；（2）反比例函数12y x =的图象过点(2,)C b ， 1262b ∴==．设直线AC 的解析式为y mx n =+，(4,3)A ，(2,6)C ，∴4326m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：329m n ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为392y x =−+， ∴当0y =时，3902x −+=，解得：6x =，(6,0)D ∴． 112y x =+， ∴当0y =时，1102x +=，解得：2x =−，(2,0)E ∴−，6(2)8DE ∴=−−=，183122ADE S ∆∴=⨯⨯=． 21．解：150AOB ∠=︒，18030AOC AOB ∴∠=︒−∠=︒，在Rt ACO ∆中，11AC cm =，222()AO AC cm ∴==，由题意得：22AO A O cm ='=， 108A OB ∠'=︒，18072A OD A OB ∴∠'=︒−∠'=︒，在Rt △A DO '中，cos18220.9521()A D A O cm '='⋅︒≈⨯=， ∴此时顶部边缘A '处离桌面的高度A D '的长约为21cm ．22．（1）证明：AC 是O 的切线，OE AC ∴⊥，90ACB ∠=︒，BC AC ∴⊥，//BC OE ∴；（2）解：在Rt AOE ∆中，30A ∠=︒，5OE =， 210OA OE ∴==，10515AB OA OB ∴=+=+=，在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，17.52BC AB ∴==．23．解：（1）直线232y x =过点(2,)A a 和点(,3)B b −，3232a ∴=⨯=，332b =−，2b ∴=−．双曲线1k y x =过点(2,3)A ，236k ∴=⨯=，∴双曲线1ky x =的表达式为16y x =；（2）观察图象，可得当2x <−或02x <<时，反比例函数值大于一次函数值，即使得12y y >的x 的取值范围是2x <−或02x <<；（3）(2,3)A ，(2,3)B −−，12ABC AOC BOC S S S ∆∆∆=+=， ∴11331222OC OC ⨯+⨯=，4OC ∴=，∴此时C 点的坐标为(4,0)．24．解：（1）记水流与池中心水管的水平距离为x 米，距地面的高度为y 米，当0x =时， 2.5y =，∴水管出水口距地面的高度OC 为2.5m ；故答案为：2.5；设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，将(0,2.5)，(1,3.9)，(2,3.3)代入得： 2.53.942 3.3c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：12.42.5a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，y ∴关于x 的函数表达式为2 2.4 2.5y x x =−++，故答案为：2 2.4 2.5y x x =−++；222.4 2.5( 1.2) 3.94y x x x =−++=−−+， ∴该抛物线的顶点坐标为(1.2,3.94)，∴水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为1.2m ．故答案为：1.2；（2）只降低水管出水口距离地面的高度OC ， ∴设降低水管出水口距离的抛物线的解析式为2 2.4y x x m =−++，水流落地点与水管的距离OA 缩短为3m ， ∴抛物线2 2.4y x x m =−++经过(3,0)， 23 2.430m ∴−+⨯+=，1.8m ∴=，∴降低水管出水口距离的抛物线的解析式为2 2.4 1.8y x x =−++，令0x =，则 1.8y =，∴降低后的水管高度为1.8米．25．解：（1）ACB ∆和ADE ∆均为等边三角形， AB AC ∴=，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒，60ADE AED ∠=∠=︒， BAC DAC DAE DAC ∴∠−∠=∠−∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，BD CE ∴=，BDA CEA ∠=∠，点B ，D ，E 在同一直线上，18060120ADB ∴∠=︒−︒=︒，120AEC ∴∠=︒，1206060BEC AEC AED ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，综上所述，BEC ∠的度数为60︒，线段BD 与CE 之间的数量关系是BD CE =，故答案为：BD CE =，60；（2）结论：2BD CE =，45BEC ∠=︒，理由如下： ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，45BAC ABC ADE DAE ∴∠=∠=∠=∠=︒，90ACB AED ∠=∠=︒， BAD CAE ∴∠=∠，135ADB ∠=︒，Rt ABC ∆和Rt ADE ∆中，sin AC ABC AB ∠=，sin AE ADE DE ∠=，sin 45︒=∴2AC AE ABAD ==， ∴AB AC AD AE=，又BAD CAE ∠=∠，ABD ACE ∴∆∆∽，135ADB AEC ∴∠=∠=︒，BDCE ABAC ADAE ==， 45BEC AEC AED ∴∠=∠−∠=︒，2AC AE AB AD ==，∴AB AC=∴BD AB CE AC==，BD ∴=；（3）分两种情况：①如图4，90BAC ∠=︒，30ABC ∠=︒，8BC =， 142AC BC ∴==， 22228443AB BC CB ∴=−=−=， DE 为ABC ∆的中位线，142DE BC ∴==，//DE AB ，12AE AC =，12AD AB =，30CDE ABC ∴∠=∠=︒，12AD AEAB AC ==，由旋转的性质得：BAD CAE ∠=∠，BAD CAE ∴∆∆∽，∴3BDABCE AC ==，180150ADB AEC ADE ∠=∠=︒−∠=︒， 9060AED CDE ∠=︒−∠=︒，1506090CEB AEC AED ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，设CE x =，则3BD x =，34BE BD DE x =+=+，在Rt BCE ∆中，由勾股定理得：222(34)8x x ++=，解得：153x =−或153x =−−（舍去） 153BE ∴=−；②如图5，同①得：AEC ABD ∆∆∽，则3BDADCE AE ==，90CEB ∠=︒，设CE y =，则3BD y =，34BE BD DE y =−=−，在Rt BCE ∆中，由勾股定理得：222(34)8y y +−=，解得：153y =+或153y =−−（舍去），CE ∴=综上所述，CE26．解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y x x x x =−−−，即2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++，则抛物线的对称轴为直线332(1)2x =−=⨯−；（2）设直线BC 的表达式为：4y kx =+，将点B 的坐标代入上式得：044k =+，解得：1k =−，故直线BC 的表达式为：4y x =−+，设点(,4)P t t −+，则点2(,34)Q t t t −++，则22(34)(4)4PQ t t t t t =−++−−+=−+， 10−<，故PQ 有最大值，当2t =时，PQ 的最大值为4；（3）存在，理由：当2t =时，点(2,2)P ，设点3(2M ，)m ，而点(4,0)B ；四边形PBMN 是菱形，则BP BM =，即22223(42)2(4)2m −+=−+，解得：m =，即点M 的坐标为3(2或3(2，．。

(汇总3份试卷)2020年济南市九年级上学期数学期末学业质量监测试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（）A ．23B ．16C ．13D ．12 【答案】D【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．详解：∵共6个数，大于3的有3个，∴P （大于3）=3162=. 故选D ．点睛：本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 2．如图，ABC 与ADE 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（）A ．AE AD BE DC =B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC= 【答案】D【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.【详解】由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以AE DE AC BC =，故选D .【点睛】在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C '.3．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：1．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．4．一个不透明的口袋中放着若干个红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中随机取出一个球，取出红球的概率是14．如果袋中共有32个小球，那么袋中的红球有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】根据概率公式列方程求解即可.【详解】解：设袋中的红球有x个，根据题意得：1 324x，解得：x＝8，故选C．【点睛】此题考查了概率公式的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．5．如图所示，将一个含30角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点'B，若点'B、A、C 在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A ．60B ．90C ．120D ．150【答案】D 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【详解】解：旋转角是'18030150BAB ∠=-=故选：D.【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 6．如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（）A ．13B ．22C ．24D ．223【答案】C【解析】试题分析：连结CD ，可得CD 为直径，在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4 所以tan ∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ，则tan ∠OBC=，故答案选C ．考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．7．抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠1）如图所示，下列结论：①abc ＜1；②点（﹣3，y 1），（1，y 2）都在抛物线上，则有y 1＞y 2；③b 2＞（a+c ）2；④2a ﹣b ＜1．正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】利用抛物线开口方向得到a ＞1，利用抛物线的对称轴在y 轴的左侧得到b ＞1，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c ＜1，则可对①进行判断；通过对称轴的位置，比较点（-3，y 1）和点（1，y 2）到对称轴的距离的大小可对②进行判断；由于（a+c ）2-b 2=（a+c-b ）（a+c+b ），而x=1时，a+b+c ＞1；x=-1时，a-b+c ＜1，则可对③进行判断；利用102b a -<-<和不等式的性质可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞1，∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴a 、b 同号，∴b ＞1，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜1，∴abc ＜1，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a ，而﹣1＜﹣2b a＜1， ∴点（﹣3，y 1）到对称轴的距离比点（1，y 2）到对称轴的距离大，∴y 1＞y 2，所以②正确；∵x ＝1时，y ＞1，即a+b+c ＞1，x ＝﹣1时，y ＜1，即a ﹣b+c ＜1，∴（a+c ）2﹣b 2＝（a+c ﹣b ）（a+c+b ）＜1，∴b 2＞（a+c ）2，所以③正确；∵﹣1＜﹣2b a＜1， ∴﹣2a ＜﹣b ，∴2a ﹣b ＞1，所以④错误．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞1时，抛物线向上开口；当a ＜1时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（1，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞1时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=1时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜1时，抛物线与x 轴没有交点． 8．抛物线y=x 2+2x ﹣3的最小值是（）A ．3B ．﹣3C ．4D ．﹣4【答案】D【解析】把y=x 2+2x ﹣3配方变成顶点式，求出顶点坐标即可得抛物线的最小值.【详解】∵y=x2+2x ﹣3=（x+1）2﹣1，∴顶点坐标为（﹣1，﹣1），∵a=1＞0，∴开口向上，有最低点，有最小值为﹣1．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数最值的求法：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，熟练掌握并灵活运用适当方法是解题关键.9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1．将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 的对应点C'在线段AB 上．点B'是点B 的对应点，连接B'B ，则线段B'B 的长为( )A ．2B ．3C ．1D ．5【答案】D 【分析】先由勾股定理求出AB ，然后由旋转的性质，得到3AC AC '==，4B C BC ''==，得到2BC '=，即可求出BB '.【详解】解：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1． ∴33345AB +=，由旋转的性质，得3AC AC '==，4B C BC ''==，90AC B ''∠=︒，∴532BC '=-=，在Rt BC B ''∆中，由勾股定理，得222425BB '=+=故选：D.【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和勾股定理，正确求出边的长度.10．下列命题错误．．的是 ( ) A ．经过三个点一定可以作圆B ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心C ．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等【答案】A【解析】选项A ，经过不在同一直线上的三个点可以作圆；选项B ，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确；选项C ，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；选项D ，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确；故选A.11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（）A ．2B ．2.5C ．3D ．4【答案】B 【解析】取EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，设OF=x ，则OM=4-x ，MF=2，然后在Rt △MOF 中利用勾股定理求得OF 的长即可．【详解】如图：EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN 是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x ，则ON=OF ，∴OM=MN-ON=4-x ，MF=2，在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2=OF 2，即：（4-x ）2+22=x 2，解得：x=2.5，故选B ．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．12．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1BC =，4AB =，则sin B 的值是（）A ．15B ．14C ．13D ．15 【答案】D【分析】首先根据勾股定理求得AC 的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，∴22224115AC AB BC =-=-=， ∴15AC sinB AB ==，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．二、填空题（本题包括8个小题）13．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．【答案】2500(1)720x +=【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【详解】二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）.14．在△ABC 中，tanB ＝34，BC 边上的高AD ＝6，AC ＝5BC 长为_____．【答案】5或1【分析】分两种情况：AC 与AB 在AD 同侧，AC 与AB 在AD 的两侧，在Rt △ABD 中，通过解直角三角形求得BD ，用勾股定理求得CD ，再由线段和差求BC 便可．【详解】解：情况一：当AC 与AB 在AD 同侧时，如图1，∵AD是BC边上的高，AD＝6，tanB＝34，AC＝35∴在Rt△ABD中，683tan4ADBDB===，在Rt△ACD中，利用勾股定理得()22223563CD AC AD=-=-=∴BC=BD-CD=8-3=5；情况二：当AC与AB在AD的两侧，如图2，∵AD是BC边上的高，AD＝6，tanB＝34，AC＝5∴在Rt△ABD中，683tan4ADBDB===，在Rt△ACD中，利用勾股定理得()22223563CD AC AD=-=-=∴BC=BD+CD=8+3=1；综上，BC=5或1．故答案为：5或1．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用题，关键是分情况讨论，比较基础，容易出错的地方是漏解．15．平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线y＝18x上，连接OP，则OP的最小值为_____．【答案】1【分析】设点P（a，b），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得ab＝18，根据22a b+＝2op，且22a b+≥2ab，可求OP的最小值．【详解】解：设点P（a，b）∵点P在曲线y＝18x上，∴ab＝18∵2a b-（）≥0，∴22a b +≥2ab ，∵22a b +＝2op ，且22a b +≥2ab ，∴2op ≥2ab ＝31，∴OP 最小值为1．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用22a b +≥2ab 是本题的关键．16．已知PA PB 、分别切O 于点A B 、，C 为O 上不同于A B 、的一点，80P ∠=︒，则ACB ∠的度数是_______．【答案】50︒或130︒【分析】连接OA 、OB ，先确定∠AOB ，再分就点C 在AB 上和ABC 上分别求解即可．【详解】解：如图，连接OA 、OB ，∵PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，∴∠PAO=∠PBO=90°∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，当点C 1在ABC 上时，则∠AC 1B=12∠AOB=50° 当点C 2在AB B 上时，则∠AC 2B+∠AC 1B=180°，即.∠AC 2B=130°．故答案为50︒或130︒．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质和圆周角定理，根据已知条件确定∠AOB 和分类讨论思想是解答本题的关键．17．若一元二次方程220190ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=_________．【答案】1【分析】直接把x ＝−1代入一元二次方程220190ax bx --=中即可得到a ＋b 的值．【详解】解：把x ＝−1代入一元二次方程220190ax bx --=得20190a b +-=，所以a ＋b ＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm ，则该莱洛三角形的周长为_____cm ．【答案】6π【分析】直接利用弧长公式计算即可. 【详解】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长6063=6180⨯⨯=⨯ππ（cm ）故答案为6π【点睛】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式180n r π是解题关键. 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知等边ABC ∆，以边BC 为直径的圆O 与边AB ，AC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF AC ⊥于点F ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）过点F 作FH BC ⊥于点H ，若等边ABC ∆的边长为8，求FH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）33【分析】（1）连接OD ，通过证明ODB ∆是等边三角形可得60DOB C ∠=∠=︒，从而证明//OD AC ，得证DF OD ⊥，即可证明DF 是O 的切线；（2）根据三角函数求出FC 、HC 的长度，然后根据勾股定理即可求出FH 的长．【详解】（1）证明：连接OD ．ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒OD OB =ODB ∴∆是等边三角形，60DOB ∠=︒∴60DOB C ∴∠=∠=︒，//OD AC ∴,90,DF AC ODF AFD ⊥∠=∠=DF OD ∴⊥DF ∴与O 相切（2）142OB OC BC === 4AD BD OB ∴===在直角三角形ADF 中，60,30,90A ADF AFD ∠=︒∠=︒∠=︒114222AF AD ∴==⨯= 826FC AC AF ∴=-=-=,FH BC ⊥90.FHC ∴∠=︒60,C ∠=︒1130,6322HFC HC FC ∴∠=︒==⨯= 2233FH FC HC ∴=-=【点睛】本题考查了圆和三角形的综合问题，掌握圆的切线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键． 20．如图，已知抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中A(1，0)，C(0，3)．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴及点B 的坐标；（3）设点P 为该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P 使△BPC 为直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+；（2）x=-1；（-3，0）；（3）存在；P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317⎛+- ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭．【分析】（1）将点A 、C 两点的坐标代入二次函数解析式中即可求出结论；（2）根据对称轴公式即可求出抛物线的对称轴，然后令y=0，求出x 的值，即可求出点B 的坐标；（3）设P(-1，t)，利用平面直角坐标系中任意两点的距离公式求出2BC ，2PB ，2PC ，然后根据直角顶点分类讨论，分别利用勾股定理列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）把点A(1，0)，C(0，3) 代入二次函数2y x mx n =-++，得 103m n n -++=⎧⎨=⎩解得：23m n =-⎧⎨=⎩． ∴抛物线的解析式是223y x x =--+；（2）∵2122(1)b x a -=-=-=-⨯-， ∴抛物线的对称轴为x=-1．令y=0，则2x 2x 30--+=解得121,3x x ==-．∴点B 的坐标为（-3，0）；（3）存在,设P(-1，t)，又∵C （0，3），∴218BC =，2222(13)4PB t t =-++=+，2222(1)(3)610PC t t t =-+-=-+．①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=．即：22184610t t t ++=-+．解之得：2t =-；②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=．即：22186104t t t +-+=+．解之得：4t =；③若点P 为直角顶点，则222BC PC PB =+．即：22186104t t t =-+++．解之得：1317t +=，2317t -=．综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴公式、平面直角坐标系中任意两点的距离公式和勾股定理是解决此题的关键．21．如图，已知点A （a ，3）是一次函数y 1＝x +1与反比例函数y 2＝k x的图象的交点．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴的右侧，当y 1＞y 2时，直接写出x 的取值范围；（3）求点A 与两坐标轴围成的矩形OBAC 的面积．【答案】（1）y 2＝6x；（2）x ＞2；（3）点A 与两坐标轴围成的矩形OBAC 的面积是1．【解析】（1）将点A 的坐标代入一次函数的解析式，求得a 值后代入反比例函数求得b 的值后即可确定反比例函数的解析式；（2）y 1＞y 2时y 1的图象位于y 2的图象的上方，据此求解．（3）根据反比例函数k 值的几何意义即可求解．【详解】解：（1）将A （a ，3）代入一次函数y 1＝x+1得a+1＝3，解得a ＝2，∴A （2，3），将A （2，3）代入反比例函数2k y x =得32k =，解得k ＝1， ∴26y x =；（2）∵A （2，3），y 1＝x+1，26y x =； ∴在y 轴的右侧，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是x ＞2；（3）∵k ＝1，∴点A 与两坐标轴围成的矩形OBAC 的面积是1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能正确的确定点A 的坐标是解答本题的关键，难度不大． 22．若方程(m-2)2-2mx +(3-m)x-2=0是关于x 的一元二次方程,试求代数式m 2+2m-4的值. 【答案】-4【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解:根据题意,得m 2-2=2且m-2≠0,解得m=±2且m≠2,所以m=-2,m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=4-4-4=-4.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟悉掌握是关键.23．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，一次函数y mx n =+的图象与反比例函数k y x =的图象交于A B 、两点，若()4,1A ，点B 的横坐标为-2.（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）若一次函数y mx n =+的图象交x 轴于点C ，过点C 作x 轴的垂线交反比例函数图象于点D ，连接OA OD AD 、、，求AOD ∆的面积.【答案】（1）4y x =，4y x=112y x =-；（2）3【分析】（1）点()4,1A 代入k y x=，并且求出B 点坐标，将A B 、代入y mx n =+ （2）AOD DCO DCA AOC S S S S ∆∆∆∆=+-【详解】解：（1）①4y x= ②()2,2B -- 2214m n m n -=-+⎧⎨=+⎩ 121m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴112y x =- （2）()()()2,0,2,2,4,1C D A122DCO S OC CD ∆== 122ADC A C S CD x x ∆=-= 112OAC A S OC y ∆== 3AOD DCO DCA AOC S S S S ∆∆∆∆=+-=24．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．请用列表法或画树形图法求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球．(2)搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．(3)再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为57，求放入了几个黑球？【答案】（1）12；（2）16；（3）n ＝1 【分析】（1）摸到白球的可能为2种，根据求概率公式即可得到答案；（2）利用树状图法，即可得到概率；（3）设放入黑球n 个，根据摸到黑球的概率，即可求出n 的值.【详解】解：（1）根据题意，恰好摸到白球有2种， ∴将“恰好是白球”记为事件A ，P(A)＝2142=；（2）由树状图，如下：∴事件总数有12种，恰好抽到2个白球有2种，∴将“2个都是白球”记为事件B ，P(B)＝21126=；（3）设放入n 个黑球，由题意得：4n n +＝57，解得：n ＝1．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解题的关键是掌握求概率的方法.25．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）．（1）则b ＝，c ＝；（2）该二次函数图象与y 轴的交点坐标为，顶点坐标为；（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；（4）根据图象，当－3＜x ＜2时，y 的取值范围是．【答案】（1）b=2，c=3；（2）（0，3），（1，4）（3）见解析；（4）－12＜y≤4【解析】（1）将点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y ＝－x 2＋bx ＋c 即可；（2）由（1）可得解析式，将二次函数的解析式华为顶点式即可;（3）根据二次函数的定点、对称轴及所过的点画出图象即可;（4）直接由图象可得出y 的取值范围.【详解】（1）解：把点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得3=-4+2b+c 0=-9+3b+c ⎧⎨⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩ ，故答案为:b=2，c=3;（2）解：令x=0,c=3, 二次函数图像与y轴的交点坐标为则（0，3），二次函数解析式为y=y＝-x2＋2x＋3=-(x-1)²+4,则顶点坐标为(1,4).（3）解：如图所示…（4）解：根据图像，当－3＜x＜2时，y的取值范围是:－12＜y≤4.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质．26．超速行驶被称为“马路第一杀手”为了让驾驶员自觉遵守交通规则，湖浔大道公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路10米的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为1.35秒．已知∠B＝45°，∠C＝30°．（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）；（2）如果此地限速为70km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据；3≈1.7，2≈1.4）【答案】（1）BC＝（10+103）m；（2）这辆汽车超速．理由见解析．【分析】（1）作AD⊥BC于D,则AD=10m,求出CD、BD即可解决问题;（2）求出汽车的速度,即可解决问题,注意统一单位．【详解】（1）如图作AD⊥BC于D,则AD＝10m,在Rt△ABD中,∵∠B＝45°,∴BD＝AD＝10m,在Rt△ACD中,∵∠C＝30°,∴tan30°＝AD CD,∴CD＝3AD＝103m,∴BC＝BD+DC＝（10+103）m; （2）结论:这辆汽车超速．理由:∵BC＝10+103≈27m,∴汽车速度＝271.35＝20m/s＝72km/h,∵72km/h＞70km/h,∴这辆汽车超速．【点睛】本题考查解直角三角形的应用,锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识, 解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.27．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．【答案】△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA，证明见解析【分析】由题意直接根据相似三角形的判定方法进行分析即可得出答案．【详解】解：图中相似的三角形有：△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．∵AD、CE分别是△ABC的两条高，∴∠ADB＝∠CDA＝∠CEB＝∠AEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，∵∠EBC＝∠ABD，∴△ABD∽CBE．【点睛】本题考查相似三角形的判定．注意掌握相似三角形的判定以及数形结合思想的应用．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，O是ABC的内切圆，切点分别是D、DF，连接DF EF OD OE、、、，若100,30A C∠=∠=，则DFE∠的度数是()A．55B．60C．65D．70【答案】C【分析】由已知中∠A＝100°，∠C＝30°，根据三角形内角和定理，可得∠B的大小，结合切线的性质，可得∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得到∠DFE的度数．【详解】解：∠B＝180°−∠A−∠C＝180−100°−30°＝50°∠BDO＋∠BEO＝180°∴B、D、O、E四点共圆∴∠DOE＝180°−∠B＝180°−50°＝130°又∵∠DFE是圆周角，∠DOE是圆心角∠DFE＝12∠DOE＝65°故选：C．【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理，切线的性质，其中根据切线的性质判断出B、D、O、E四点共圆，进而求出∠DOE的度数是解答本题的关键．2．数据4，3，5，3，6，3，4的众数和中位数是（）A．3，4 B．3，5 C．4，3 D．4，5【答案】A【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．【详解】解：在这组数据中出现次数最多的是3，即众数是3；把这组数据按照从小到大的顺序排列3，3，3，4，4，5，6，∴中位数为4；故选：A．【点睛】本题考查一组数据的中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求． 3．下列说法正确的是（）A ．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B ．某种彩票的中奖率为11000，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C ．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为13D ．“概率为1的事件”是必然事件【答案】D【解析】试题解析：A 、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B. 某种彩票的中奖概率为11000，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B 错误； C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为12.故C 错误； D. “概率为1的事件”是必然事件,正确.故选D. 4．已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法判断【答案】B【解析】比较OP 与半径的大小即可判断.【详解】r 5=，d OP 6==，d r ∴>，∴点P 在O 外，故选B ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种.设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>；②点P 在圆上d r ⇔=；①点P 在圆内d r ⇔<. 5．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，作射线PD ，使∠APD=60°，PD 交AC 于点D ，已知AB=a ，设CD=y ，BP=x ，则y 与x 函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°，由等角的补角相等可得出∠BAP=∠CPD，进而即可证出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得出y=-1ax2+x，对照四个选项即可得出．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．∵∠APD=60°，∠B=60°，∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴CD PCBP AB=,即y a xx a-=，∴y=- 1ax2+x.故选C. 【点睛】考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-1ax2+x是解题的关键．6．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（）A．12B．34C．1 D．2【答案】C【详解】解：∵OD⊥AC，∴AD=12AC=1，∵OE∥AC，∴∠DAO=∠FOE，∵OD ⊥AC ，EF ⊥AB ，∴∠ADO=∠EFO=90°，在△ADO 和△OFE ，∵∠DAO=∠FOE ，∠ADO=∠EFO ，AO=OE ，∴△ADO ≌△OFE ，∴OF=AD=1，故选C ．【点睛】本题考查1．全等三角形的判定与性质；2．垂径定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 7．已知k 1＜0＜k 2，则函数y=k 1x 和2k y x=的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：：∵k 1＜0＜k 2，∴直线过二、四象限，并且经过原点；双曲线位于一、三象限．故选D ．考点：1.反比例函数的图象；2.正比例函数的图象．8．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（）A ．17B ．22C ．17或22D ．13 【答案】B【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：当腰为4时，4＋4＜9，不能构成三角形；当腰为9时，4＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：9＋9＋4＝1．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．9．用min{a ，b}表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.【详解】根据题意，min{x 2+1，1-x 2}表示x 2+1与1-x 2中的最小数，不论x 取何值，都有x 2+1≥1-x 2，所以y=1-x 2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；则函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y 轴的交点坐标为（0，1）．故选C ．【点睛】考核知识点：二次函数的性质.10．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．平行四边形B ．圆C ．等边三角形D ．正五边形【答案】B【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各项分析判断即可.【详解】平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A 错误；圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故B 正确；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C 错误；正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D 错误.故答案为：B.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.11．方程2(1)230m x mx -+-=是关于x 的一元二次方程，则( )A ．1m ≠±B ．1m =C ．1m ≠-D ．1m ≠【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m 的不等式，解之即可．【详解】解：根据题意得：10m -≠，解得：1m ≠，故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是正确掌握一元二次方程的定义．12．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()5,0A -，对称轴为直线2x =-，给出四个结论：①0abc >； ②40a b +=；③若点()13,B y 、()24,C y -为函数图象上的两点，则12y y >；④关于x 的方程220ax bx c +++=一定有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴及与y 轴交点情况可判断；②根据抛物线对称轴可判断；③根据点离对称轴的远近可判断；④根据抛物线与直线2y =-交点个数可判断．【详解】由图象可知：开口向下，故0a <，抛物线与y 轴交点在x 轴上方，故c ＞0， ∵对称轴202b x a =-=-<，即a b 、同号， ∴0b <，∴0abc >，故①正确； ∵对称轴为22b x a=-=-， ∴4b a =，∴40a b -=，故②不正确；∵抛物线是轴对称图形，对称轴为2x =-，点()24C y -，关于对称轴为2x =-的对称点为()20C y '，当2x >-时，此时y 随x 的增大而减少，∵3>0，∴12y y <，故③错误；∵抛物线的顶点在第二象限，开口向下，与x 轴有两个交点，∴抛物线2y ax bx c =++与直线 2y =-有两个交点， ∴关于x 的方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根，所以④正确；综上：①④正确，共2个；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，AB AC 、是O 的切线，B C 、为切点，连接BC ．若50A ∠=︒，则ABC ∠=__________．【答案】65°【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC ，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论．【详解】解：∵AB AC 、是O 的切线， ∴AB=AC∴∠ABC=∠ACB=12（180°－∠A ）=65° 故答案为：65°．【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 14．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是________．【答案】113【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【详解】∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，∴随机抽取一张点数为6的扑克，其概率是41=5213。

山东省济南市历下区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题及答案

山东省济南市历下区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．如果32x y =，那么x y y +的值是（）A ．52B ．12C ．53D ．252．下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是（）A ．B ．C ．D ．3．抛物线()2213y x =-+的顶点坐标是（） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)--D ．(1,3)-4．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若70O ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为BC 为4m ，则AC 的长度为（）A ．8mB ．C ．D m 6．如果O 的半径为6，线段OP 的长为3，则点P 与O 的位置关系是（） A ．点P 在O 上B ．点P 在O 内C ．点P 在O 外D ．无法确定7．关于反比例函数2y x=的图象性质，下列说法不正确的是（） A ．图象经过点()1,2B ．图象位于第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．图象关于原点成中心对称8．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（）A ．⊙和⊙B ．⊙和⊙C ．⊙和⊙D ．⊙和⊙9．已知抛物线()222y ax x a =++-，a 是常数，且0a <，下列选项中可能是它大致图像的是（）A ．B ．C ．D ．10．我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A 处时，在P 处测得A 点的仰角⊙DP A 为30°，A 与P 两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B 处时，此时在P 处测得B 点的仰角⊙DPB 为45°，则天舟二号从A 处到B 处的距离AB 的长为（） 1.7≈，1.4）A ．2.0千米B ．1.5千米C ．2.5千米D ．3.5千米11．有一张矩形纸片ABCD ，已知AB ，AD =4，上面有一个以AD 为直径的半圆（如图1），E 为边AB 上一点，将纸片沿DE 折叠，A 点恰好落在BC 上，此时半圆还露在外面的部分（如图2，阴影部分）的面积是（）A ．2π-B ．22π-C ．43πD ．213π-12．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数2y x x c =-+（c 为常数）在24x -<<的图像上存在两个二倍点，则c 的取值范围是（） A ．124c -<<B ．944c -<<C ．144c -<<D ．9104c -<<二、填空题13．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3AB =，则sin B =______．14．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼______条．15．如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OA =4，则这个正六边形的边长为______．16．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的解为_________．17．如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在反比例函数()40y x x =>与()20y x x=-<的图象上，点C 、D 在x 轴上，AB 、BD 分别交y 轴于点E 、F ，则阴影部分的面积为______．18．在菱形ABCD 中，4AC =，BD =AC ，BD 相交于点O ．将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G ．旋转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE CE >），CG =______．三、解答题19．计算：2cos304sin 30tan 60+-20．如图，在ABC 中，D 、E 在边AB 、AC 上，∥DE BC ，3AB =，4AC =，1EC =，求AD 的长度．21．如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度1200AC =m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角37α=︒．求飞机A 与指挥台B 的距离．【参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈】．22．20届年级组董老师为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A 盘被分成面积相等的几个扇形，B 盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．（1）若小蕊同学转动一次A 盘，求出她转出红色的概率；（2）若小津同学同时转动A 盘和B 盘，请通过列表或者树状图的方式，求出她赢得游戏的概率．23．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且⊙D=2⊙CAD ．（1）求⊙D 的度数；（2）若CD=1，求BD 的长．24．如图，用一段长36米的篱笆，围成一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．25．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 坐标为（3，0），四边形OABC 为平行四边形，反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点C ，与边AB 交于点D ，若OC tan⊙AOC =1．(1)求反比例函数解析式；(2)点P （a ，0）是x 轴上一动点，求|PC -PD |最大时a 的值；(3)连接CA ，在反比例函数图象上是否存在点M ，平面内是否存在点N ，使得四边形CAMN 为矩形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图1，在ABC 中，90BCA ∠=︒，3AC =，4BC =，点P 为斜边AB 上一点，过点P 作射线PD PE ⊥，分别交AC 、BC 于点D ，E ．(1)问题产生若P 为AB 中点，当PD AC ⊥，PE BC ⊥时，PDPE=______； (2)问题延伸在（1）的情况下，将若DPE ∠绕着点P 旋转到图2的位置，PDPE的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由； (3)问题解决如图3，连接DE ，若PDE △与ABC 相似，求BP 的值．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ，已知1OA =，4OB OA =，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为BC 下方抛物线上一动点，连接BP 、CP ，当BCP BOC S S =△△时，求点P 的坐标；(3)如图2，点N 为线段OC 上一点，求AN 的最小值．参考答案：1．A【解析】【分析】根据已知条件设x=3k，y=2k，再代入求出答案即可．【详解】解：⊙32xy=，⊙设x=3k，y=2k，则32522x y k ky k++==，故选：A．【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确用一个未知数k表示出x，y的值是解题关键．2．D【解析】【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】解：A、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；B、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；C、三棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；D、球的三视图完全相同，都是圆，正确；故选D．【点睛】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．A【解析】【分析】根据抛物线顶点式，直接求解即可．【详解】解：抛物线()2213y x =-+，该抛物线的顶点坐标为(1,3)，故选：A 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4．B 【解析】【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】 ⊙70O ∠=︒， ⊙C ∠=1235O ∠=︒故选B ．【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质． 5．B 【解析】【分析】根据坡比的概念求出AC 即可．【详解】根据题意可知BC AC = ⊙4AC =解得：AC =，故选B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡比问题，掌握坡比的概念是解题的关键． 6．B 【解析】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】⊙OP=3，r=6，则OP＜r，⊙点P在圆内．故选B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．解题的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．7．C【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D 进行判断．【详解】A、把x=-1代入y=2x得y=-2，则点（1，2）在y=2x的图象上，所以A选项的说法正确；B、k=2＞0，则双曲线y=2x的两支分别位于第一、第三象限，所以B选项的说法正确；C、当0x 时，y随x的增大而减小，所以C选项的说法错误；D、图象关于原点成中心对称，所以D选项的说法正确．故选：C．【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．8．A【解析】分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：⊙三角形的三边的长度为：2，⊙2；⊙3⊙3；⊙2== ⊙相似三角形的是⊙和⊙，故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．9．D【解析】【分析】根据抛物线对称轴位置和a ，b 的关系以及利用图象开口方向与a 的关系，得出图象开口向下，对称轴经过x 轴正半轴，利用图象与y 轴交点和c 的符号，进而得出答案．【详解】解：⊙抛物线()222y ax x a =++-，a 是常数且a ＜0，⊙图象开口向下，a −2＜0，⊙图象与y 轴交于负半轴，⊙a ＜0，b ＝2，⊙抛物线对称轴在y 轴右侧．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握图象对称轴位置与a ，b 的关系是解10．D【解析】【分析】由含30°角的直角三角形的性质得AD =5（千米），再由锐角三角函数定义求出PD 、BD 的长，即可得出答案．【详解】解：在Rt ⊙APD 中，⊙DP A =30°，AP =10千米，⊙ADP =90°，cos⊙DP A =cos30°=PD AP，⊙AD =12AP =12×10=5（千米），PD =AP ，在Rt ⊙BPD 中，tan⊙DPB =tan45°=BD PD ，⊙BD =PD ，⊙AB =BD -AD （千米），故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．11．A【解析】【分析】根据折叠和直角三角形的边角关系可求出⊙DAC =45°，进而求出阴影部分所在的圆心角的度数为90°，根据S 阴影部分=S 扇形DOF -S △ODF 进行计算即可．【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，AD 与半圆弧交于点F ，如图，连接OF ，由折叠的性质知：AD =BC =4，CD ，⊙AC =CD ，⊙⊙ADC 是等腰直角三角形，⊙⊙DAC =45°，⊙OD ⊙BC ，⊙⊙ODF =45°，⊙OD =OF =2，⊙⊙ODF =⊙OFD =45°，⊙⊙DOF =180°-45°-45°=90°，⊙S 阴影部分=S 扇形DOF -S △ODF29021223602π⨯=-⨯⨯ =π-2．故选：A ．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，扇形、三角形面积计算，掌握扇形和三角形面积计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．12．B【解析】【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y =2x 上，由-2＜x ＜4可得二倍点所在线段AB 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y =2x ，将x =-2代入y =2x 得y =-4，将x =4代入y =2x 得y =8，设A （-2，-4），B （4，8），如图，联立方程x2-x+c=2x，当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，即9-4c＞0，解得c＜94，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，⊙64 128cc+>-⎧⎨+>⎩，解得c＞-4，⊙-4＜c＜94满足题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．13．2 3【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义计算sinB 即可．【详解】解：⊙在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3AB =，⊙sin B =23AC AB 故答案为：23【点睛】本题考查了正弦的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．正弦值是在直角三角形中，对边的长比上斜边的长的值．14．2000【解析】【分析】由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．【详解】解：50÷2.5%=2000.故答案为：2000.【点睛】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．15．4【解析】【分析】连接OB ，如图，根据正六边形的性质得到⊙AOB =60°，则⊙OAB 为等边三角形，所以AB =OA =4．【详解】解：连接OB ，如图，⊙六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，⊙⊙AOB=3606=60°，OA=OB，⊙⊙OAB为等边三角形，⊙AB=OA=4，即这个正六边形的边长为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，同时掌握正多边形的有关概念．16．x1＝-1，x2＝5##x1＝5，x2＝-1【解析】【分析】根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x由题意得：（x+5）÷2=2解得x=-1所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为：x1＝-1，x2＝5故答案为：x1＝-1，x2＝5【点睛】主要考查二次函数与方程之间的转换，熟练运用二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．17．53##213【解析】设A （a ，4a），a ＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD ，OE ，OC ，OF ，EF ，利用三角形的面积公式，即可得答案．【详解】解：设点A 的坐标为（a ，4a ），a ＞0，则OD =a ，OE =4a， ⊙点B 的纵坐标为4a， ⊙点B 的横坐标为-2a ， ⊙OC =2a ， ⊙BE =2a ， ⊙AB ⊙CD ， ⊙12EF BE OF OD ==， ⊙EF =13OE =43a ，OF =23OE =83a， ⊙S △BEF =12EF •BE =12×43a ×2a =13， S △ODF =12OD •OF =12×a ×83a =43， ⊙S 阴影=S △BEF +S △ODF =13+43=53．故答案为：53．【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．18．34##0.75 【解析】【分析】根据菱形的性质，确定⊙AOB 为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB 的长度；证明⊙ABE ⊙⊙ACF ，得到AE =AF ，再根据已知条件⊙EAF =60°，可以判定⊙AEF 是等边三角形；得出⊙AEF =60°，证明⊙CAE ⊙⊙CFG ，由对应边的比例关系求出CG 的长度．解：⊙四边形ABCD 是菱形，⊙AC ⊙BD ，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，⊙⊙AOB 为直角三角形，且OA ＝12AC ＝2，OB ＝12BD＝在Rt ⊙AOB 中，由勾股定理得：AB4=＝2．⊙AB ＝BC ＝AC ＝4，⊙⊙ABC 与⊙ACD 均为等边三角形，⊙⊙BAC ＝⊙BAE +⊙CAE ＝60°，⊙ACE ＝⊙EBA ＝⊙FCA ＝60°，又⊙⊙EAF ＝⊙CAF +⊙CAE ＝60°，⊙⊙BAE ＝⊙CAF ．在⊙ABE 与⊙ACF 中，°BAE CAF{AB AC EBA FCA 60∠∠∠∠====，⊙⊙ABE ⊙⊙ACF （ASA ），⊙BE ＝CF ，AE ＝AF ，⊙⊙AEF 是等腰三角形，又⊙⊙EAF ＝60°，⊙⊙AEF 是等边三角形．⊙⊙AEF ＝60°，⊙BC ＝4，E 为为边BC 的四等分点，且BE ＞CE ，⊙CE ＝1，BE ＝3．⊙CF ＝BE ＝3，⊙⊙EAC +⊙AEG +⊙EGA ＝⊙GFC +⊙FCG +⊙CGF ＝180°，⊙AEG ＝⊙FCG ＝60°，⊙EGA ＝⊙CGF ，⊙⊙EAC ＝⊙GFC ．又⊙⊙ACE ＝⊙FCG ＝60°，⊙⊙CAE ⊙⊙CFG ， ⊙CG CE ＝CF AC ，即1CG ＝34，解得：CG ＝34；故答案为34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．19．2【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：原式＝12422⨯. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值． 20．94AD =【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得DB EC AB AC =，代入数值即可求得DB ，根据AD AB DB =-即可求解．【详解】⊙//DE BC ， ⊙DB EC AB AC =，即134DB =， ⊙34DB =， ⊙39344AD AB DB =-=-=．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．21．飞机A 与指挥台B 的距离约为2000米【解析】【分析】根据sin AC B AB=，37B α∠=∠=︒，代入数值直接求解即可．【详解】在ABC 中，⊙90C ∠=︒ ⊙sin AC B AB =， ⊙37B α∠=∠=︒，1200AC m =， ⊙1200sin 37AB ︒=， ⊙()120012002000sin 370.6AB m =≈=︒，答：飞机A 与指挥台B 的距离约为2000米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解题的关键．22．（1）13；（2）13．【解析】【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果，由表格求得她赢的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：（1）⊙A 盘被分成面积相等的3个扇形，分别是红、黄、蓝，⊙小蕊转出红色的概率是13；（2）⊙B 盘中蓝色扇形区域所占的圆角是120°，⊙蓝色区域占整体的12013603︒=︒， ⊙红色区域占整体的23，根据题意列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中她赢得游戏的有3种等可能结果，则她赢得游戏的概率是31 93 =．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）45°；（2）1．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出⊙COD=2⊙A，求出⊙D=⊙COD，根据切线性质求出⊙OCD=90°，即可求出答案；（2）求出OC=CD=2，根据勾股定理求出BD即可．【详解】（1）⊙OA=OC，⊙⊙A=⊙ACO，⊙⊙COD=⊙A+⊙ACO=2⊙A，⊙⊙D=2⊙A，⊙⊙D=⊙COD，⊙PD切⊙O于C，⊙⊙OCD=90°，⊙⊙D=⊙COD=45°；（2）⊙⊙D=⊙COD，CD=1，⊙OC=OB=CD=1，在Rt⊙OCD中，由勾股定理得：OD=1．24．(1)S=-2x2+36x（0＜x＜18）；(2)当x=9米时，S有最大值，最大值为162平方米．【解析】【分析】（1）设AB边的长为x米，则BC=36-2x，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；（2）利用二次函数的性质求最大值即可．(1)解：⊙AB边的长为x米，⊙BC边的长为（36-2x）米，由题意，得S=AB•BC=x（36-2x）=-2x2+36x，x>0，36-2x>0，即0＜x＜18，⊙S与x之间的函数关系式为S=-2x2+36x（0＜x＜18）；(2)解：S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，⊙a=-2＜0，⊙当x=9米时，S有最大值，最大值为162平方米．【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．25．(1)4 yx =(2)|PC−PD|最大时a的值为6(3)存在，点M）【解析】【分析】（1）先确定出OE=CE=2，即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先求出OC解析式，由平行四边形的性质可得BC=OA=3，BC⊙OA，AB⊙OC，利用待定系数法可求AB解析式，求出点D的坐标，再根据三角形关系可得出当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|最大，求出直线CD的解析式，令y=0即可求解；（3）若四边形CAMN为矩形，则⊙CAM是直角三角形且AC为一条直角边，根据直角顶点需要分两种情况，画出图形分别求解即可．(1)解：如图1，过点C作CE⊙x轴于E，⊙⊙CEO=90°，⊙tan⊙AOC=1，⊙⊙COA=45°，⊙⊙OCE=45°，⊙OC⊙OE=CE=2，⊙C（2，2），⊙点C在反比例函数图象上，⊙k=2×2=4，⊙反比例函数解析式为y=4x；(2)解：⊙点C（2，2），点O（0，0），⊙OC解析式为：y=x，⊙四边形OABC是平行四边形，点A坐标为（3，0），⊙BC=OA=3，BC⊙OA，AB⊙OC，⊙点B（5，2），⊙设AB解析式为：y=x+b，⊙2=5+b，⊙b=-3，⊙AB 解析式为：y =x -3，联立方程组可得：43y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ⊙41x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩（舍去），⊙点D （4，1）；在⊙PCD 中，|PC -PD |＜CD ，则当点P ，C ，D 三点共线时，|PC -PD |=CD ，此时，|PC -PD |取得最大值，由（1）知C （2，2），D （4，1），设直线CD 的解析式为：y =mx +n ， ⊙3241m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得123m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ⊙直线CD 的解析式为：y =12-x +3，令y =0，即12-x +3=0，得x =6，⊙|PC -PD |最大时a 的值为6； (3)（3）存在，理由如下：若四边形CAMN 为矩形，则⊙CAM 是直角三角形，则⊙当点A 为直角顶点时，如图2，过点A 作AC 的垂线与y =4x交于点M ，分别过点C ，M作x 轴的垂线，垂足分别为点F ，G ，由“一线三等角”模型可得⊙AFC ⊙⊙MGA ，则AF ：MG =CF ：AG ， ⊙C （2，2），A （3，0），⊙OF =CF =2，AF =1，⊙1：MG =2：AG ，即MG ：AG =1：2，设MG =t ，则AG =2t ， ⊙M （2t +3，t ），⊙点M 在反比例函数y =4x的图象上，则t （2t +3）=4，解得t ，（负值舍去），⊙M （32；⊙当点C 为直角顶点时，这种情况不成立；综上，点M ）．【点睛】本题考查了反比例函数综合问题，涉及矩形的判定与性质，相似三角形的性质与判定．第一问的关键是求出点C 的坐标，第二问的关键是知道当点P ，C ，D 三点共线时，|PC -PD |取得最大值，第三问的关键是利用矩形的内角是直角进行分类讨论，利用相似三角形的性质建立等式．26．(1)43(2)不改变，43PD PE =，证明见解析 (3)165BP =或52BP =【解析】【分析】（1）连接PC ，根据题意可得,AD DC CE EB ==，证明四边形DPEC 是矩形，可得,DC PE CE DP ==，进而求得,PD PE 的长，即可求得PDPE；（2）作PM AC ⊥，PN BC ⊥，分别交AC 、BC 于点M 、N ，证明DPM EPN △△∽，可得PD PMPE PN=，根据（1）的结论即可解决问题；（3）作PM AC ⊥，PN BC ⊥，分别交AC 、BC 于点M 、N ，证明DPM EPN △△∽，可得34PM PD PN PE ==；⊙若DPE ACB △△∽可得34PD AC PE BC ==，设3PM m =，则4PN m =，3CN m =，由43tan 4PN m B BN BN ===，可得163BN m =，根据BC CN BN =+求得m ，进而求得4825PN =，证明BPN BAC △△∽，可得BP PNBA AC=，代入数值求解即可；⊙若DPE BCA △△∽，根据4CN m =，同理求得32PN =，代入BP PNBA AC=求解即可． (1)如图，连接PC90BCA ∠=︒，P 为AB 中点，PA PC PB ∴==PD AC ⊥，PE BC ⊥,AD DC CE EB ∴==90DPE ∠=︒∴四边形DPEC 是矩形PE CD ∴∥，DP BC ∥，,DC PE CE DP ==1132,222PD CE BC PE CD AC ∴====== ∴PD PE =43(2) 不改变，43PD PE =；证明：作PM AC ⊥，PN BC ⊥，分别交AC 、BC 于点M 、N⊙四边形PMCN 是矩形，∴90MPN ∠=︒⊙90DPE ∠=︒ ⊙DPM EPN ∠=∠又⊙PM AC ⊥，PN BC ⊥， ⊙90DMP ENP ∠=∠=︒ ⊙DPM EPN △△∽ ⊙PD PMPE PN= 由（1）得43PM PN = ⊙43PD PE = (3)作PM AC ⊥，PN BC ⊥，分别交AC 、BC 于点M 、N 又90BCA ∠=︒∴四边形PMCN 为矩形，⊙90DPE ∠=︒ ⊙DPM EPN ∠=∠又⊙PM AC ⊥，PN BC ⊥， ⊙90DMP ENP ∠=∠=︒ ⊙DPM EPN △△∽ ⊙若DPE ACB △△∽可得34PD AC PE BC == ⊙DPM EPN △△∽ ⊙34PM PD PN PE == 设3PM m =，则4PN m =四边形PMCN 为矩形，所以3CN m = 在ACB △中，90C ∠=︒，可得3tan 4AC B BC == 在PNB 中，43tan 4PN m B BN BN ===，解得163BN m = ⊙BC CN BN =+ ⊙16433m m =+，解得1225m =⊙4825PN =⊙B B ∠=∠，90PNB C ∠=∠=︒⊙BPN BAC △△∽⊙BP PNBA AC=，即482553BP =解得165BP =⊙若DPE BCA △△∽可得43PD BC PE AC == ⊙DPM EPN △△∽ ⊙43PM PD PN PE == 设4PM m =，则3PN m =，四边形PMCN 为矩形，所以4CN m = 在ACB △中，90C ∠=︒，可得3tan 4AC B BC == 在PNB 中，33tan 4PN m B BN BN ===，解得4BN m = ⊙BC CN BN =+ ⊙444m m =+，解得12m = ⊙32PN =⊙B B ∠=∠，90PNB C ∠=∠=︒ ⊙BPN BAC △△∽⊙BP PNBA AC=，即3253BP =解得52BP =【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，等角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的中线性质，旋转性质，锐角三角函数，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 27．(1)234y x x =-- (2)()2,6P -(3)AN 【解析】【分析】（1）先根据1OA =，4OB OA =，求出()1,0A -，()4,0B ，利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入得出4=01644=0a b a b --⎧⎨+-⎩，解方程组即可；（2）用待定系数法求出直线BC 的解析式4y x =-，设()2,34P m m m --，可求(),4-D m m ，先求出PD ，△BOC 的面积，根据BCP BOC S S =△△列方程()214482mm -+⨯⨯=，解方程即可；（3）作点N 作NM ⊙BC ，垂足为点M ，过A 作AH ⊙BC 于H ，先证BOC 为等腰直角三角形，45BCO OBC ∠=∠=︒，再证NCM 为等腰直角三角形得出sin 45NM NC =⋅︒=，得出AN AN NE =+≥AH ，根据点到直线距离距离最短得出当A 、N 、M 三点共线时，AN NM +最小值=AH ，求出5AB OA OB =+=，再证出AEB △为等腰直角三角形，45ABE ∠=︒，利用三角函数求解即可．(1)解：由1OA =得，()1,0A -． ⊙44OB OA ==． ⊙()4,0B ．将()1,0A -，()4,0B 代入24y ax bx =+-得：4=01644=0a b a b --⎧⎨+-⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，⊙234y x x =--； (2)解：⊙24y ax bx =+-交于点C ， ⊙()0,4C -，设y kx b =+，将()4,0B ，()0,4C -分别代入，得044k b b =+⎧⎨-=⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，⊙4y x =-，过点P 作PH x ⊥轴，交x 轴于点H ，与BC 的交点记为点D ，设()2,34P m m m --，将x m =代入4y x =-，得4y m =-， ⊙(),4-D m m ，⊙()224344DP m m m m m =----=-+，⊙1144822BOC S OB OC =⋅=⨯⨯=△，⊙8BCP S =△， ⊙8PDC PDB S S +=△△，⊙11822PD OH PD BH ⋅+⋅=，即182PD OB ⋅=， ⊙()214482m m -+⨯⨯=，解得2m =，⊙()2,6P -；(3)解：作点N 作NM ⊙BC ，垂足为点M ，过A 作AH ⊙BC 于H ，⊙OB OC =，90BOC ∠=°⊙BOC 为等腰直角三角形，45BCO OBC ∠=∠=︒⊙NM ⊙BC⊙⊙NMC =90°，⊙⊙CNM =90°-⊙NCM =90°-⊙OCB =45°，⊙NCM 为等腰直角三角形，⊙sin 45NM NC =⋅︒=，⊙2AN AN NE +=+≥AH ，当A 、N 、M 三点共线时，AN NM +最小值=AH ，⊙5AB OA OB =+=，⊙⊙ABH =45°，AH ⊙BC ，⊙⊙BAH =90°-⊙ABH =45°=⊙ABH ，⊙AEB △为等腰直角三角形，45ABE ∠=︒，⊙sin 45AH AB =⋅︒=⊙2AN +的最小值2【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积，一元二次方程解法，线段和最短，点到直线距离，锐角三角函数，掌握待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积，一元二次方程解法，线段和最短，点到直线距离，锐角三角函数是解题关键．。

山东省济南市历城区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

山东省济南市历城区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ． 2．一元二次方程 x 2 ＋x ＝0的根是 ( )A ．x 1＝0，x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝﹣1C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝x 2＝1 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则cos B 的值为（） A ．513 B ．1213 C ．135 D ．512 4．如果用线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =，那么下列作图正确的是（） A ． B ．C ．D ．5．若反比例函数k y x=的图象经过(1,3)-，则这个函数的图象一定过（） A ．(3,1)- B ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(3,1)-- D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭6．在一个不透明的布袋中装有红色.白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85％左右，则口袋中红色球可能有（）.A ．34个B ．30个C ．10个D ．6个 7．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE 为9m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A ．B ．C ．32⎛⎫ ⎪⎝⎭mD ．32⎛⎫ ⎪⎝⎭m 8．如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（）A ．13B ．C ．4D ．39．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G .若4BC =，1DE AF ==，则GF 的长为（）A ．135B ．125C ．195D ．16510．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分对应值如表，利用二次的数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是（）A ．0＜x ＜2B ．x ＜0或x ＞2C ．﹣1＜x ＜3D ．x ＜﹣1或x ＞3 11．如图，AOB 是直角三角形，90AOB ∠=，2OB OA =，点A 在反比例函数1y x=的图象上．若点B在反比例函数kyx=的图象上，则k的值为（）A．2B．-2C．4D．-412．如图，在矩形ABCD中，AD＝．将矩形ABCD对折，得到折痕MN，沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM 重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②ABBP；③PN＝PG；④PM＝PF；⑤若连接PE，则△PEG∽△CMD．其中正确的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题13．若xy＝2，则-xx y＝_____．14．已知点A(3，y1)、B(2，y2)都在抛物线y＝﹣(x+1)2+2上，则y1与y2的大小关系是_____．15．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+5＝_____．16．如图，等腰直角三角形AOC中，点C在y轴的正半轴上，OC＝AC＝4，AC交反比例函数y＝2x的图象于点F，过点F作FD⊥OA，交OA与点E，交反比例函数与另一点D，则点D的坐标为_____．17．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2如图所示，已知A 点坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4，过点A 4作A 4A 5∥x 轴交抛物线于点A 5，则点A 5的坐标为_____．18．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE 、CF 交于点G ，半径BE 、CD 交于点H ，且点C 是弧AB ，则图中阴影部分的面积等于_____．三、解答题19．（1）解方程：x 2﹣4x ﹣3＝0（2030(4)1π︒++-20．如图，在菱形ABCD 中，作⊥BE AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求证：AE CF =．21．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A 处观测得某建筑物顶点O 时俯角为30°，继续水平前行10米到达B 处，测得俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结果保留根号）22．如图，在ABC 中，,120AB AC BAC =∠=︒，点D 在BC 边上，D 经过点A 和点B 且与BC 边相交于点E ．(1)求证：AC 是D 的切线；(2)若CE =D 的半径．23．某种蔬菜的销售单价y 1与销售月份x 之间的关系如图（1）所示，成本y 2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）（1）分别求出y 1、y 2的函数关系式（不写自变量取值范围）；（2）通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？24．为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．学生选修课程统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）m=，b=．（2）求出a的值并补全条形统计图．（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．25．如图，A为反比例函数y＝kx（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝kx（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求ADBD的值．26．如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．（1）如图1，直按写出DFAE的值；（2）将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE 的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当BE＝BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜360°），当α为何值时，EA＝ED？在图3或备用图中画出图形，并直接写出此时α＝．27．若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且过点C (3，﹣2)．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝5，求点P的坐标；（3）在AB下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【解析】试题分析：根据俯视图的作法即可得出结论．从上往下看该几何体的俯视图是D．故选D．考点：简单几何体的三视图.2．B【分析】把一元二次方程化成x(x+1)=0，然后解得方程的根即可选出答案．【详解】解：∵一元二次方程x2+x=0，∴x(x+1)=0，∴x1=0，x2=−1，故选B.【点睛】本题考查了因式分解法求一元二次方程的根.3．B【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义计算即可．【详解】由勾股定理得，13AB===，则1213BCcosBAB==，故选：B．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．4．B【分析】利用比例式a：b=c：x，与已知图形作对比，可以得出结论．【详解】A 、a ：b =x ：c 与已知a ：b =c ：x 不符合，故选项A 不正确；B 、a ：b =c ：x 与已知a ：b =c ：x 符合，故选项B 正确；C 、a ：c =x ：b 与已知a ：b =c ：x 不符合，故选项C 不正确；D 、a ：x =b ：c 与已知a ：b =c ：x 不符合，故选项D 不正确；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．5．A【分析】通过已知条件求出3k =-，即函数解析式为3y x =-，然后将选项逐个代入验证即可得. 【详解】由题意将(1,3)-代入函数解析式得31k =-，解得3k =-，故函数解析式为3y x=-，将每个选项代入函数解析式可得，只有选项A 的(3,1)-符合，故答案为A.【点睛】本题考查了已知函数图象经过某点，利用代入法求系数，再根据函数解析式分析是否经过所给的点.6．D【分析】由频数=数据总数×频率计算即可．【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，∴口袋中白色球的频率为85%，故白球的个数为40×85%=34个， ∴口袋中红色球的个数为40-34=6个故选D ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．7．C【分析】先根据题意得出AD 的长，在Rt ACD 中利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由CE =CD +DE 即可得出结论．【详解】∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，AD ∥BE ，∴四边形ABED 是矩形，∵BE =9m ，AB =1.5m ，∴AD =BE =9m ，DE =AB =1.5m ，在Rt ACD 中，∵∠CAD =30°，AD =9m ，∴309CD AD tan =︒==∴ 1.5CE CD DE =+=(m ) ．故选：C ．【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．8．C【解析】试题分析：连结CD ，可得CD 为直径，在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4所以tan ∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ，则tan ∠OBC=，故答案选C ．考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．9．A【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得5BE CF ==，证明BCE CDF ∆≅∆，根据全等三角形的性质可得CBE DCF ∠=∠，继而根据cos cos BC CG CBE ECG BE CE∠=∠==，可求得CG 的长，进而根据GF CF CG =-即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，4BC =，∴4BC CD AD ===，90BCE CDF ∠=∠=︒，∵1AF DE ==，∴3DF CE ==，∴5BE CF ===，在BCE ∆和CDF ∆中， BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCE CDF SAS ∆≅∆，∴CBE DCF ∠=∠，∵90CBE CEB ECG CEB CGE ∠+∠=∠+∠=︒=∠，cos cos BC CG CBE ECG BE CE ∠=∠==， ∴453CG =，125CG =， ∴1213555GF CF CG =-=-=，故选A.【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.10．C【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x =1，则抛物线的顶点坐标为(1，4)，所以抛物线开口向下，则抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3，0)，然后写出抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】∵抛物线经过点(0，3)，(2，3)， ∴抛物线的对称轴为直线2012x +==， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)，抛物线开口向下，∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3，0)，∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问题．11．D【分析】要求函数的解析式只要求出B 点的坐标就可以，过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，根据条件得到ACO ODB ~，得到：2BD OD OB OC AC OA===，然后用待定系数法即可.【详解】过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，设点A 的坐标是(),m n ，则AC n =，OC m =，90AOB ∠=︒，∴90AOC BOD ∠+∠=︒，90DBO BOD ∠+∠=︒，∴DBO AOC ∠=∠，90BDO ACO ∠=∠=︒，∴BDO OCA ~， ∴BD OD OB OC AC OA==， 2OB OA =，∴2BD m =，2OD n =，因为点A 在反比例函数1y x =的图象上，则1mn =，点B 在反比例函数k y x=的图象上，B 点的坐标是()2,2n m -， ∴2244k n m mn =-⋅=-=-.故选：D .【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.12．B【分析】根据折叠的性质得到DMC EMC AMP EMP ∠=∠∠=∠，，于是得到1180902PME CME ∠+∠=⨯︒=︒，求得CMP 是直角三角形；设AB =x ，则AD =x ，由相似三角形的性质可得CP x ，可求BP =PG x =PN ，可判断②③，由折叠的性质和平行线的性质可得∠PMF =∠FPM ，可证PF =FM ；由PG CD GE MG=，且∠G =∠D =90°，可证△PEG ∽△CMD ，则可求解．【详解】∵沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，∴∠DMC =∠EMC ， ∵再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，∴∠AMP =∠EMP ，∵∠AMD =180°，∴∠PME +∠CME =12×180°=90°， ∴△CMP 是直角三角形；故①符合题意；∵AD =AB ，∴设AB =x ，则AD=BC =x ，CD x =，∵将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；∴AM =DM =12AD x =BN =NC ，∴CM ===， ∵∠PMC =90°=∠CNM ，∠MCP =∠MCN ，∴△MCN ∽△NCP ，∴CM 2=CN •CP ，∴3x 2×CP ，∴CP x ，∴BP BC CP x x =-==∴AB ，故②符合题意；∵PN =CP ﹣xx， ∵沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，∴BP =PG=2x ， ∴PN =PG ，故③符合题意；∵AD ∥BC ，∴∠AMP =∠MPC ，∵沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，∴∠AMP =∠PMF ，∴∠PMF =∠FPM ，∴PF =FM ，故④不符合题意，如图，∵沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，∴AB =GE =x ，BP =PG=2x ，∠B =∠G =90°∴22x PG GE x ==，∵2CD MD ==， ∴PG CD GE MD =，且∠G =∠D =90°， ∴△PEG ∽△CMD ，故⑤符合题意，综上：①②③⑤符合题意，共4个，故选：B ．【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．13．2【分析】根据x y=2，得出x =2y ，再代入要求的式子进行计算即可．【详解】 ∵x y=2， ∴x =2y ， ∴222x y x y y y==--；故答案为：2．【点睛】本题主要考查了比例的基本性质．解答此题的关键是根据比例的基本性质求得x =2y ． 14．y 1＜y 2【分析】先求得函数的对称轴为1x =﹣，再判断()13A y ，、()22B y ，在对称轴右侧，从而判断出1y 与2y 的大小关系．【详解】∵函数y =﹣(x +1)2+2的对称轴为1x =﹣，∴()13A y ，、()22B y ，在对称轴右侧，∵抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且3＞2，∴y 1＜y 2．故答案为：y 1＜y 2．【点睛】本题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出答案是解题关键．15．6【分析】利用抛物线与x 轴的交点问题得到m 2﹣m ﹣1=0，则m 2﹣m =1，然后利用整体代入的方法计算m 2﹣m +5的值．【详解】∵抛物线y =x 2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为(m ，0)，∴m 2﹣m ﹣1=0，即m 2﹣m =1，∴m 2﹣m +5=1+5=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．16．(4，12) 【分析】先求得F 的坐标，然后根据等腰直角三角形的性质得出直线OA 的解析式为y =x ，根据反比例函数的对称性得出F 关于直线OA 的对称点是D 点，即可求得D 点的坐标．【详解】∵OC =AC =4，AC 交反比例函数y =2x 的图象于点F ， ∴F 的纵坐标为4，代入y =2x求得x =12， ∴F (12，4)， ∵等腰直角三角形AOC 中，∠AOC =45°，∴直线OA 的解析式为y =x ，∴F 关于直线OA 的对称点是D 点，∴点D 的坐标为(4，12)，故答案为：(4，12) ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，反比例函数的对称性是解题的关键．17．(﹣3，9)【分析】根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y =x +2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标．【详解】∵A 点坐标为(1，1)，∴直线OA 为y =x ，A 1(﹣1，1)，∵A 1A 2∥OA ，∴直线A 1A 2为y =x +2，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得：11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2(2，4)，∴A 3(﹣2，4)，∵A 3A 4∥OA ，∴直线A 3A 4为y =x +6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得：24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4(3，9)，∴A 5(﹣3，9)，故答案为：(﹣3，9)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．18．π﹣2【分析】根据扇形的面积公式求出面积，再过点C 作CM ⊥AE ，作CN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，然后证明△CMG 与△CNH 全等，从而得到中间空白区域的面积等于以2为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积．【详解】两扇形的面积和为：()22902 360ππ⨯=，过点C 作CM ⊥AE ，作CN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，如图，则四边形EMCN 是矩形，∵点C 是AB 的中点，∴EC 平分∠AEB ，∴CM =CN ，∴矩形EMCN 是正方形，∵∠MCG +∠FCN =90°，∠NCH +∠FCN =90°，∴∠MCG =∠NCH ，在△CMG 与△CNH 中，90MCG NCH CM CN CMG CNH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△CMG ≌△CNH (ASA )，的正方形面积，∴空白区域的面积为：112=， ∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和2π=﹣．故答案为：π﹣2．【点睛】本题主要考查了扇形的面积求法，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，得出四边形EMCN 的面积是解决问题的关键．19．（1）x 1＝，x 2＝2；（2）0【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；(2)原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】(1)方程整理得：x 2﹣4x =3，配方得：x 2﹣4x +4=3+4，即(x ﹣2)2=7，开方得：x ﹣，解得：x 1，x 2=2；(2) 030(4)1π︒++-11=+-=0．【点睛】本题考查了利用配方法求一元二次方程的解以及实数的混合运算，涉及了：零指数、二次根式以及特殊角的三角函数值．解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及特殊角的锐角三角函数的值．20．见解析【分析】由菱形的性质可得BA BC =，A C ∠=∠，然后根据角角边判定≅ABE CBF ，进而得到AE=CF .【详解】证明：∵菱形ABCD ，∴BA BC =，A C ∠=∠，∵BE AD ⊥，BF CD ⊥，∴90BEA BFC ∠=∠=，在ABE △与CBF 中，BEA BFC A CBA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE CBF AAS ≅（）， ∴AE=CF ．【点睛】本题考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质得到全等条件是解题的关键.21．40﹣【分析】过O 点作OC ⊥AB 的延长线于C 点，垂足为C ，设OC =BC =x ，则AC =10+x ，利用正切值的定义列出x 的方程，求出x 的值，进而求出楼的高度．【详解】过O 点作OC ⊥AB 的延长线于C 点，垂足为C ，根据题意可知，∠OAC =30°，∠OBC =45°，AB =10米，AD =45米，在Rt △BCO 中，∠OBC =45°，∴BC =OC ，设OC =BC =x ，则AC =10+x ，在Rt △ACO 中，tan 30103OC x AC x ︒===+，解得：x =，则这栋楼的高度45540h AD CO ===﹣﹣米)．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角、俯角的问题以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形．22．(1)见解析；(2) 【分析】(1)连接AD ，根据等腰三角形的性质得到30,30B C BAD B ∠=∠=︒∠=∠=︒，求得60ADC ∠=︒，根据三角形的内角和得到180603090DAC ∠=︒-︒-︒=︒，于是得到AC 是D 的切线；(2)连接AE ，推出ADE 是等边三角形，得到,60AE DE AED =∠=︒，求得30EAC AED C ∠=∠-∠=︒，得到AE CE ==【详解】(1)证明：连接AD ，∵,120AB AC BAC =∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒，∵AD BD =，∴30BAD B ∠=∠=︒，∴60ADC ∠=︒，∴180603090DAC ∠=︒-︒-︒=︒，∴AC 是D 的切线；(2)解：连接AE ，∵,60AD DE ADE =∠=︒，∴ADE 是等边三角形，∴,60AE DE AED =∠=︒，∴30EAC AED C ∠=∠-∠=︒，∴EAC C ∠=∠，∴AE CE==∴D的半径AD=【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（1）y1＝273x-+;y2＝13x2﹣4x+13；（2）5月出售每千克收益最大，最大为73．【分析】（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1和y2的解析式；（2）由收益W=y1-y2列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值．【详解】解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，3563k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得237kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴y1＝﹣23x+7．设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝13．∴y2＝13（x﹣6）2+1，即y2＝13x2﹣4x+13．（2）收益W＝y1﹣y2，＝﹣23x+7﹣（13x2﹣4x+13）＝﹣13（x﹣5）2+73，∵a＝﹣13＜0，∴当x＝5时，W最大值＝73．故5月出售每千克收益最大，最大为73元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法24．（1）50、28；（2）12a=，补全图形见解析；（3）估计选修“声乐”课程的学生有420人；（4）所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为13．【分析】（1）由舞蹈人数及其所占百分比可得m的值，声乐人数除以总人数即可求出b的值；（2）总人数乘以摄影对应百分比求出其人数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）816%50m=÷=，14%100%28%50b=⨯=，即28b=，故答案为50、28；（2）5024%12a=⨯=，补全图形如下：（3）估计选修“声乐”课程的学生有150028%420⨯=（人）．（4）七（1）班的学生记作1，七（2）班的学生记作2，画树状图为：∴共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为41 123=．【点睛】本题考查了统计表、条形统计图、样本估计总体、列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．25．（1）k＝12；（2）①3；②3 2【分析】(1)过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH 的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；(2)①由三角形面积公式可求解；②由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出ADDB的值．【详解】(1)过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA=AB，AH⊥OB，∴122OH BH OB===，∴6 AH===，∴点A的坐标为(2，6)．∵A为反比例函数kyx=图象上的一点，∴2612 k=⨯=；(2)①∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数12yx=上，∴1234BC==，∴AH ∥BC ，∴点A 到BC 的距离=BH =2，∴S △ABC 1132322BC BH ==⨯⨯=； ②∵BC ⊥x 轴，OB =4，点C 在反比例函数12y x =上， ∴1234BC ==， ∵AH ∥BC ，OH =BH ，∴MH =12BC =32， ∴39622AM AHMH ==-=﹣． ∵AM ∥BC ，∴△ADM ∽△BDC ，∴32AD AM DB BC ==．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，利用图象上点的坐标特征及相似三角形的性质是解题的关键．26．（1；（2）DF AE ，理由见解析；（3）作图见解析，30°或150° 【分析】(1)直接利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；(2)先判断出BF BD BE AB==ABE ∽△DBF ，即可得出结论； (3)先判断出点E 在AD 的中垂线上，再判断出△BCE 是等边三角形，求出∠CBE =60°，再分两种情况计算即可得出结论．【详解】(1)∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD =45︒，BD ，∵EF ⊥AB ，∴∠BEF =90︒，∴∠BFE =∠ABD =45︒，∴BF ，∴DF =BD ﹣BF AB BE AB ﹣BE )=，∴DF AE=(2)DF AE ，理由：由(1)知，BF BE ，BD AB ，∠BFE =∠ABD =45︒，∴BF BD BE AB==，由旋转知，∠ABE =∠DBF ，∴△ABE ∽△DBF ，∴DF BD AE AB==，∴DF AE ；(3)如图3，连接DE ，CE ，∵EA =ED ，∴点E 在AD 的中垂线上，∴AE =DE ，BE =CE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD =∠ABC =90︒，AB =BC ，∴BE =CE =BC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠CBE =60︒，∴∠ABE =∠ABC -∠CBE =90︒-60︒=30︒，如图4，同理，△BCE 是等边三角形，∴∠ABE =∠ABC +∠CBE =90︒+60︒=150︒，即：α=150︒，故答案为：30︒或150︒．【点睛】本题属于相似形的综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用相似比表示线段之间的关系． 27．（1）213222y x x =--；（2）(5,3)P ；（3）存在，点M 到y 轴的距离为4116 【分析】(1)由待定系数法可求解析式；(2)设直线BP 与x 轴交于点E ，过点P 作PD ⊥OA 于D ，设点P (a ，12a 2-32a -2)，则PD =12a 2-32a -2，利用参数求出BP 解析式，可求点E 坐标，由三角形面积公式可求a ，即可得点P 坐标；(3)如图2，延长BM 到N ，使BN =BO ，连接ON 交AB 于H ，过点H 作HF ⊥AO 于F ，由全等三角形的性质和锐角三角函数求出点N 坐标，求出BN 解析式，可求点M 坐标，即可求解．【详解】(1)∵二次函数y =ax 2+bx -2的图象过点A (4，0)，点C (3，-2)，∴164209322a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数表达式为：213222y x x =-﹣； (2)设直线BP 与x 轴交于点E ，过点P 作PD ⊥OA 于D ，设点P (a ，12a 2-32a -2)，则PD =12a 2-32a -2， ∵二次函数213222y x x =-﹣与y 轴交于点B ， ∴点B (0，-2)，设BP 解析式为：2y kx =-， ∴12a 2-32a -2=ka ﹣2， ∴1322k a =-， ∴BP 解析式为：y =(1322a -)x ﹣2， ∴y =0时，43x a =-， ∴点E (4a 3-，0)， ∵S △PBA =5，∵S △PBA =()12P C AE y y ⨯-, ∴2141342252322a a a ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯--+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ∴a =-1(不合题意舍去)，a =5，∴点P (5，3)；(3)如图2，延长BM 到N ，使BN =BO ，连接ON 交AB 于H ，过点H 作HF ⊥AO 于F ，∵BN=BO，∠ABO=∠ABM，AB=AB，∴△ABO≌△ABN(SAS)∴AO=AN，且BN=BO，∴AB垂直平分ON，∴OH=HN，AB⊥ON，∵AO=4，BO=2，∴AB=，∵S△AOB=12×OA×OB=12×AB×OH，∴OH5 =，∴AH==，∵cos∠BAO=AO AF AB AH=，=∴AF=165，∴HF85 ==，OF=AO﹣AF=4﹣165=45，∴点H(45，-85)，∵OH=HN，∴点N(85，﹣165)设直线BN解析式为：y=mx﹣2，∴﹣165=85m﹣2，∴m=﹣34，∴直线BN解析式为：y=﹣34x﹣2，∴12x2﹣32x﹣2=﹣34x﹣2，∴x=0(不合题意舍去)，x=34，∴点M坐标(34，﹣4116)，∴点M到y轴的距离为41 16．【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建合适的辅助线，灵活运用所学知识解决问题，难度有点大．。

山东省济南市2021版九年级上学期数学期末考试试卷B卷

山东省济南市2021版九年级上学期数学期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2020·锦江模拟) 新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018九上·海口月考) 一元二次方程 x 2 - 2 x+ m= 0 总有实数根，则 m 应满足的条件是（）A . m＞1B . m＜1C . m≥1D . m≤13. （2分）一只不透明的袋子中装有1个黑球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黑球的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·襄阳) 将抛物线y=2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A . y=2x2+1B . y=2x2﹣3C . y=2（x﹣8）2+1D . y=2（x﹣8）2﹣35. （2分） (2020九上·重庆月考) 下列说法，正确的是（）A . 等弦所对的圆周角相等B . 弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心C . 切线垂直于圆的半径D . 平分弦的直径垂直于弦6. （2分） (2017九上·青龙期末) 如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A .B . BC2=AB•BCC .D .7. （2分）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（）．A . x（x+1）=182B . x（x+1）=182×C . x（x-1）=182D . x（x-1）=182×28. （2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转900得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC’，则∠CC’B’的度数是（）。

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