数学欣赏_08数学之问_f千禧年七大数学难题
世界七大数学难题
世界七大数学难题引言数学作为一门科学，从古至今一直在不断发展和演进。
在数学的发展过程中，一些问题由于其复杂性和困难度而成为了数学界的七大难题。
这些难题涵盖了各个数学领域，迄今为止尚未得到解决。
本文将为您介绍世界七大数学难题的背景、特点及相关研究进展。
一、黎曼猜想黎曼猜想是数论中最著名的未解难题之一。
其由德国数学家黎曼于1859年提出，猜想黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于直线Re(s) = 1/2上。
这个问题的解决涉及一些复杂的数学分析和复变函数理论。
在过去的几十年里，许多数学家致力于黎曼猜想的研究。
虽然已经证明了无穷多个符合猜想的零点，但仍然没有找到一个通用的方法来证明所有零点都满足该猜想。
目前，黎曼猜想仍然是数学界的一个重大挑战。
二、布朗花园问题布朗花园问题最早由英国的布朗(William Feller)提出。
这个问题涉及到随机运动中的连续时间和连续空间。
具体来说，问题是如何计算一颗粒在给定时间内从原点出发，经过第n步后回到原点的概率。
布朗花园问题在过去的几十年里得到了广泛的研究和应用。
该问题涉及到概率论、随机过程和分析等数学领域。
虽然已经有了一些关于布朗花园问题的解决方法，但仍然没有一个统一的理论来解决所有情况。
三、P = NP问题P = NP问题是理论计算机科学中的一个重要问题。
简单来说，如果对于给定问题的答案可以在多项式时间内验证，是否存在一种高效算法能够在多项式时间内找到问题的解。
这个问题的重要性在于，如果能够证明P = NP，那么我们将能够在多项式时间内找到很多目前被认为难以解决的问题。
然而，到目前为止，没有证据证明P = NP，因此这个问题一直被视为数学和计算机科学领域的重大难题。
四、费马大定理费马大定理是数学中最著名的问题之一，也是公认的最古老的数学难题之一。
费马大定理由法国数学家费马于1637年提出，在这个问题中，费马提出了一个等式：xⁿ + yⁿ = zⁿ，其中x、y、z为正整数，n为大于2的正整数。
7大数学难题
7大数学难题数学是许多学科的基础，但有些数学问题非常复杂，让最聪明的数学家们都困扰不已。
以下列出了7个被公认为数学难题的问题，这些问题既有理论深度，又具有广泛的应用价值。
一、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是数论中一个古老且未解决的问题。
它由18世纪德国数学家哥德巴赫提出，猜想任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
尽管许多数学家为此做出了努力，这个猜想至今仍未被证明或反驳。
二、黎曼假设黎曼假设是数学领域中一个非常重要的问题，由德国数学家黎曼提出。
这个假设涉及到复数分析中的一些概念，主要是关于素数的分布。
如果这个假设被证明或反驳，将对许多数学领域产生深远影响。
三、庞加莱猜想庞加莱猜想是几何学中的一个重要问题，由法国数学家庞加莱提出。
这个猜想描述了三维空间中形状的复杂性，涉及到几何拓扑学中的一些概念。
尽管这个猜想已经有了许多重要的推论和应用，但它的完整证明至今仍未找到。
四、素数定理素数定理描述了素数的分布规律，即大于1的自然数中，素数的个数趋近于无穷。
这个定理对于理解素数和合数的性质非常重要，但它的证明需要非常高深的数学技巧。
五、四色问题四色问题是一个经典的几何问题，涉及到地图的染色方式。
这个问题由英国数学家格拉斯哥大学的学生哈密顿在1852年提出，主要是探究用四种颜色对地图进行染色的可能性。
这个问题在1976年被证明，但它的证明过程非常复杂。
六、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是物理学中描述流体运动的一个偏微分方程。
由于这个方程的高度非线性性和复杂性，对于它的求解非常困难。
尽管在某些情况下可以找到近似解或数值解，但它的完整解析解至今仍未找到。
七、丘成桐几何化猜想丘成桐几何化猜想是由著名华裔数学家丘成桐提出的一个关于几何学的重要问题。
这个猜想涉及到几何结构中的一些性质，如果被证明或反驳，将对数学和物理学产生重大影响。
七个千喜年数学难题
zwj@复变函数名人语录——L. BERS更为广阔和自由的境地。
大数学难题”，他们对每个问题悬赏一百万美元。
它们是21世纪最有意思和最具挑战性的问题。
七个千禧年数学难题Clay Mathematics Institute1. Riemann猜想（Riemann假设）1. Riemann猜想（Riemann假设）1. Riemann猜想（Riemann假设）黎曼猜想素数不仅有无穷多个，而且这无穷多个素数以一种微妙和精确的模式出现，素数出现的频率与所谓黎曼ζ函数的非平凡零点紧密相关。
）是实数∑∞=+==1 ,(,1)(n s t it s n s σσζ•仿照多项式情形，欧拉把黎曼函数表∏−是素数p p1平凡零点”•...1...31211)(+++++=s s s ns ζ月20 日卒于意大利塞拉斯卡(Selasca)。
••••••••2. Poincare猜想庞加莱(Poincare)猜想任何单连通的三维流形（正如我们所在的宇宙空间）一定是一个三维球面。
一条封闭的曲线（有长度、没面积），不论它有多么复杂，都在某种意义下等同于一个圆周（圆盘的边界）；一个封闭的无洞的曲面（有面积、没体积），不论它有多么复杂，都在某种意义下等同于一个球面（球的表面）；一块封闭的无洞的空间物体（有体积，无……），就像我们所在的宇宙，它本质上是什么样的？一百多年前……1904年，法国数学家庞加莱基于对一维、二维空间的朴素认识，提出了关于人类生存的宇宙所在的三维空间的著名猜想——庞加莱猜想（）。
庞加莱﹐J.H.(Poincare﹐Jules Henri)1854年4月29 日生于法国南锡(Nancy)；1912年7 月17 日卒于巴黎。
数学﹑物理学﹑天体力学﹑科学哲学。
数学全才百年猜想¾¾¾希尔伯特称为“最后一位数学全才”流形的刻画一个单连通的一维闭流形一定是一个一维球面——圆周，这就是一维单连通闭流形的刻画。
世界七大数学难题与Hilbert的23个问题
世界七大数学难题与Hilbert的23个问题继上文《数学家的猜想错误》提到的七大数学难题和大卫·希尔伯特23个数学难题，今天我们就来详细了解下。
世界七大数学难题，这七个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想。
千年大奖问题美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。
我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。
）“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。
这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。
认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。
不少国家的数学家正在组织联合攻关。
可以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。
01庞加莱猜想1904年，法国数学家亨利·庞加莱（HenriPoincaré）在提出这个猜想：'任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
'换一种简单的说法就是：一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
懵逼中为了大家便于理解庞加莱猜想，有人给出了一个十分形象的例子：假如在一个完全封闭（足够结实）的球形房子里，有一个气球（皮是无限薄的），现在我们将气球不断吹大，到最后，气球的表面和整个房子的墙壁是完全贴住，没有缝隙。
面对这个看似十分简单的猜想，无数位数学家前仆后继，绞尽脑汁，甚至是倾其一生都没能证明这个猜想。
世界七大数学难题
世界七大数学难题这七个"世界难题"是:NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨·米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。
这七个问题都被悬赏一百万美元。
20世纪是数学大发展的一个世纪。
数学的许多重大难题得到完满解决，如费马大定理的证明，有限单群分类工作的完成等，从而使数学的基本理论得到空前发展。
效法希尔伯特，许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题，希冀为新世纪数学的发展指明方向。
这些数学家知名度是高的，但他们的这项行动并没有引起世界数学界的共同关注。
2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个"千年大奖问题"，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个"千年大奖问题"的解决都可获得百万美元的奖励。
克雷数学研究所"千年大奖问题"的选定，其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向，而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。
2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。
会上，97年费尔兹奖获得者伽沃斯以"数学的重要性"为题作了演讲，其后，塔特和阿啼亚公布和介绍了这七个"千年大奖问题"。
克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的详述。
克雷数学研究所对"千年大奖问题"的解决与获奖作了严格规定。
每一个"千年大奖问题"获得解决并不能立即得奖。
任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖.NP完全问题NP完全问题是不确定性图灵机在P时间内能解决的问题，是世界七大数学难题之一。
NP完全问题是NP 类中“最难”的问题，也就是说它们是最可能不属于P类的。
世界上最难的数学题,世界七大数学难题难倒了全世界(美国克雷数学研究所公
世界上最难的数学题，世界七大数学难题难倒了全世界(美国克雷数学研究所公世界七大数学难题：1、P/NP问题（P versus NP）2、霍奇猜想（The Hodge Conjecture）3、庞加莱猜想（The Poincaré Conjecture），此猜想已获得证实。
4、黎曼猜想（The Riemann Hypothesis）5、杨-米尔斯存在性与质量间隙（Yang-Mills Existence and Mass Gap）6、纳维-斯托克斯存在性与光滑性（Navier-Stokes existence and smoothness）7、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）所谓世界七大数学难题，其实是美国克雷数学研究所于2000年5月24日公布的七大数学难题。
也被称为千年奖谜题。
根据克莱数学研究所制定的规则，所有难题的解答都必须在数学期刊上发表，并经过各方验证。
只要他们通过两年的验证期，每解决一个问题的求解者将获得100万美元的奖金。
这些问题与德国数学家大卫·希尔伯特在1900年提出的23个历史数学问题遥相呼应。
一百年过去了，很多问题都解决了。
千年奖谜题的解决很可能带来密码学、航空航天、通信等领域的突破。
一：P/NP问题P/NP问题是世界上最难的数学题之一。
在理论信息学中计算复杂度理论领域里至今没有解决的问题，它也是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一。
P/NP问题中包含了复杂度类P 与NP的关系。
1971年史提芬·古克和Leonid Levin相对独立的提出了下面的问题，即是否两个复杂度类P和NP是恒等的（P=NP?）。
复杂度类P即为所有可以由一个确定型图灵机在多项式表达的时间内解决的问题；类NP由所有可以在多项式时间内验证解是否正确的决定问题组成，或者等效的说，那些解可以在非确定型图灵机上在多项式时间内找出的问题的集合。
千禧年七大数学难题
千禧年七大数学难题千禧年七大难题分别为：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼猜想、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳斯-斯托克斯方程、BSD猜想。
庞加莱猜想已被解决。
1.N P完全问题NP完全问题是一道在理论信息学中计算复杂度理论领域里没有解决的问题，即是否两个复杂度类P和NP是恒等的（P=NP?）。
复杂度类P包含所有那些可以由一个确定型图灵机在多项式表达的时间内解决的问题；类NP由所有其肯定解可以在给定正确信息的多项式时间内验证的决定问题组成，或者等效的说，那些解可以在非确定图灵机上在多项式时间内找出的问题的集合。
很可能，计算理论最大的未解决问题就是关于这两类的关系的:P和NP相等吗?经过50多年的研究以及百万美元的奖金和大量投入巨大，现在依然没有实质性结果的研究足以显示该问题是困难的，并且一些形式化的结果证明为什么该问题可能很难解决。
如果NP完全问题解决，即P=NP，那么所有属于NP的问题也能在多项式时间内解决。
但事实上，无论P是否等于NP，这个问题在向计算机程序的能力界限发起挑战的同时，也会很大程度上的帮助计算机科学的发展。
（多项式时间（Polynomi al time）在计算复杂度理论中，指的是一个问题的计算时间不大于问题大小的多项式倍数。
任何抽象机器都拥有一复杂度类，此类包括可于此机器以多项式时间求解的问题。
）2.霍奇猜想霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。
由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想，与费马大定理和黎曼猜想成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构几何拓扑载体和工具。
猜想的主要内容即为在非奇异复射影代数簇上, 任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合，并断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。
七大数学问题
七大数学问题，也称为千禧年七大问题，是指在20世纪时被世界数学家界认为是最重要的数学问题。
这些问题由美国数学家斯蒂芬·斯莫尔（Stephen Smale）于1998年提出。
这些问题的解决将对数学领域产生深远的影响，并可能导致新的数学分支的发展。
以下是这七大数学问题：
1. 黎曼猜想：关于素数分布的一种假设，认为与自然数规模无限增长相关的素数数量，可以通过某种方法表达出来。
2. P=NP问题：一个复杂度理论问题，涉及到计算机科学和数学中的一个难题，即是否存在一个高效算法，可以用于解决那些看似需要超级计算机才能完成的问题。
3. 黑洞捕获信息问题：由于量子物理与广义相对论之间的矛盾，黑洞是否会捕获并保留所吞噬物质的信息引起了争议。
4. Navier-Stokes方程的存在和光滑性问题：流体力学方程的一个问题，涉及到流体运动的数学模型是否存在唯一的解。
5. Yang-Mills存在性和质量空穴问题：一个理论物理问题，涉及到粒子间相互作用的力学模型是否存在解，并且它们之间的粒子质量是如何产生的。
6. 费马猜想：关于勾股定理的一个问题，涉及到三次及以上指数幂方程的整数解是否存在。
7. Birch-Swinnerton-Dyer猜想：椭圆曲线上的一种猜想，涉及到一个数学常数和椭圆曲线上点的数量之间的关系。
目前，这些问题中只有一个——P=NP问题——已被解决。
其他六个问题仍然是数学领域的重要研究方向。
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多项式函数有两种表示方法，即
P(x)= anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
和
P(x)= an (x-x1) (x-x2) … (x-xn) 。
仿照多项式情形，欧拉把黎曼函数表示为无穷 乘积的形式：
1 (s) s p是素数 1 p
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一个问题称为是P的，如果它可以通过运行 多项式次(即运行时间至多是输入量大小的多项 式函数的一种算法)获得解决； 一个问题是 NP 的，如果所提出的解答可以 用多项式次算法来检验。 P等于NP吗? 大部分复杂性理论工作者相信： P ≠ NP. 例如，今天的大多数密码都是建立在一 种假设的基础上，即对大整数（比如200位）进 行因子分解从计算上说是不可行的问题。
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黎曼又把它开拓到整个复数平面，成为复 变量s的函数，这包含了非常多的信息，当然 它包含了所有素数的信息。 正如多项式的情形一样，函数的信息大部 分包含在其零点的信息当中，因此，黎曼函 数的零点就成为大家关心的头等大事。
希尔伯特说……
只要一门学科分支能提出大 量的问题，它就充满着生命力； 而问题缺乏则预示着独立发展的 衰亡或终止。正如人类的每项事 业都追求着确定的目标一样，数 学研究也需要自己的问题。正是 通过这些问题的解决，研究者锻 炼其钢铁般的意志，发现新方法 和新观点，达到更为广阔和自由 的境地。
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“Yang-Mills场的存在性和质量缺口”就 是与四维量子场论的数学理解相关的一个问 题。具体表述为： Yang-Mills场的存在性和质量缺口问题
对于任意紧致单群G，在R4 上存在 以群G为规范群的有质量量子的YangMills场。
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3. P问题对NP问题
这个问题与哲学上什么是可知的，什么 是不可知的问题密切相关,属于计算复杂性理 论。
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在一个盛大晚会上。你想知道这一大 厅中是否有你已经认识的人。你的朋友向 你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附 近角落的女士丹丹。不费一秒钟，你就能 向那里扫视，并且发现你的朋友是正确的。 然而，如果没有这样的暗示，你就必须环 顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看 是否有你认识的人。生成问题的一个解通 常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
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黎 曼 ﹐G.F.B., (Riemann﹐Georg Friedrich Bernhard)1826 年9 月17 日生于德国汉 诺威的布雷斯塞伦茨 (Breselenz) ； 1866 年 7 月20 日卒于意大利塞拉 斯卡(Selasca)。
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Riemann 猜想的具体表述依赖于黎曼 函数：
(s)
n
n 1
1
s
,
s it ( , t 是实数 ）
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在多数情况下，在向世界难题 进军过程中所作的努力与尝试，所 产生的思想与方法等，这些对数学 发展的促进与推动，其意义要大于 难题本身的意义和难题的最终解决。
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2. Poincare猜想
已经解决了 庞加莱(Poincare)猜想
任何单连通的三维流形（正如我们 所在的宇宙空间）一定是一个三维球面。
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当解是一个Abel簇的点时，Birch和SwinnertonDyer猜想认为，有理点的解的多少与一个有关 的Zeta函数 (s) 在点 s = 1 附近 的性态有关。 具体来讲：
Birch和Swinnerton-Dyer猜想
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数学之问
The Question of Mathematics
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数学之问 简明深刻
问题是数学的心脏，是数学发展的动力 . 数学的历史就是数学问题的提出、探索、解 决的历史.
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判定一个答案是可以很快利用内部 知识来验证，还是没有这样的提示而需 要花费大量时间来求解，被看作逻辑和 计算机科学中最突出的问题之一。它是 斯蒂文 • 考克 (StephenCook) 于 1971 年陈 述的。
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古代几何作图三大难题 费马大定理 哥德巴赫猜想 四色猜想 庞加莱猜想 千禧年七大数学难题
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4. Hodge猜想
这个问题与Poincare猜想一样是关于流形的，但 是它没有那么简单明了的表述。二十世纪的数学家们 发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法，其基本 想法是：在多大程度上，可以把给定的复杂对象的形 状通过把维数不断增加的简单几何块儿粘合在一起来 形成。不幸的是，在实际操作中，几何块变得模糊起 来，在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释 （意义）的部件。Hodge猜想与此有关。
黎曼函数的所有非平凡零点的 实部等于1/2，即满足
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1 1 1 ( s) 1 s s ... s ... 2 3 n
复平面
Im
无穷多零点
平凡零点: -2, -4, -6, …. 0
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6. Navier-Stokes方程的存在性与光滑性
数学家和物理学家深信，无论是微风还是 湍流，都可以通过理解Navier-Stokes方程的解， 来对它们进行解释和预言。Navier-Stokes方程描 述了Rn (n=2 或3) 中流体的运动。这个方程要对 关于位置x ∈ Rn和时间t ≥ 0定义的未知速度向量 u(x,t) = (ui(x,t))1≤i≤n ∈ Rn以及压力p(x,t) ∈ Rn求 解。其基本的问题是判断Navier-Stokes方程是否 存在光滑的、在物理上合理的解。
通过一幕幕历史镜头生动地再现一些数 学问题的缘起、产生、发展、争端，直至最 终解决的各个历程，可以了解数学家如何提 问？如何思考？关注什么？意义何在？对于 正确认识数学的本质具有重要意义.
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当解是一个Abel簇的点时，如果(1) = 0 ， 则存在无穷多个有理点解，相反，如果(1) ≠ 0 ， 则只存在有限多个有理点解。
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古代三大数学难题，近代三大数学 难题，以及七个现代数学问题，跨越 2000 多年，倾注了无数数学家的心血。 有些已经解决，有些尚未解决。有些有 明显的应用价值，有些却看不到直接的 应用前景。但是它们的确是数学问题的 一个缩影，反映了数学问题的共同特征：
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5. Yang-Mills场的存在性和质量缺口
这个问题要求对量子场论的未知物理和 相应的数学构造有较深入的理解，量子场是 指时空中满足一定要求的一个算子取值的广 义函数。大约半个世纪以前，Yang（杨振宁） 和Mills发现：量子物理揭示了在基本粒子物 理与几何对象的数学之间的令人瞩目的关系。
可以知道，黎曼函数在负偶数 –2, -4, -6 ,… 等处有零点，人们称这些为“平凡零点”。