度量空间的列紧性与紧性

1.4度量空间的列紧性与紧性
1.4.1度量空间的紧性Compactness
在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成
令{ 集)0x ∈(2)列紧集的子集是列紧集； (3)列紧集必是有界集，反之不真． 证明(1)、(2)易证．下面仅证(3)．
假设A X ⊂是列紧集，但A 无界．取1x A ∈固定，则存在2x A ∈，使得12(,)1d x x ≥．对于12,x x ，必存在3x A ∈，使得13(,)1d x x ≥、23(,)1d x x ≥．由于A 是无界集，可依此类推得到X 的点列{}n X 满足：只要i j ≠，就有(,)1i j d x x ≥．显然点列{}n X 无收敛子列，从而A 不是列紧集导致矛盾，故A 是有界集．
反过来，
A 是有界集，A 未必列紧．反例：空间2[,]X L ππ=-上的闭球
B O =有界，而不是列紧集(见例1.1)．□
注2：R 中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集．(由于R 中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧．)
注3：自然数{1,2,,,}n N =不是列紧集．(N 无界) 推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间．
证明(1)若X 为紧空间，那么X 本身为列紧集，而列紧集有界，故X 为有界空间． (2)若X 为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知X 中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X A 具0()f x E =∈即{点列{}n x (()n n y f x =)存在收敛的子列{}k
n x ，0k
n x x A →∈．从而
00lim lim lim ()()k k n n n n k k y y y f x f x E
→∞
→∞
→∞
====∈，
即E 是闭集．□
定理1.4.3最值定理
设A 是度量空间X 中的紧集，f 是定义在X 上的实值连续函数(泛函)，即:f X →R ，那么f 在A 上取得最大值与最小值．
证明设()E f A =，由上述引理知E 是R 中的紧集．所以E 是R 中的有界集，于是上、下确界存在，设
sup{()|}M f x x A =∈，inf{()|}m f x x A =∈．
下证M 是f 在A 上取得的最大值，同理可证m 是f 在A 上取得的最小值．由确界性的定义知，n ∀，n x A ∃∈，使得
1()n f x M n >-
，即可得11
()n M f x M M n n
-<≤<+-． 再由A 为紧集知存在{}{}k
n n x x ⊂，使得*k
n x x A →∈(k →∞),于是 令k →∞，有*()f x M =，因此M 是f 在A 上取得的最大值．□
x'，使得d (,)x B
O x ε∈⊂
的一个ε网示意图网；平面上坐标为整数的点集是网．
是全体有理数Q 的0.6如果对于任给的ε，总存在X 中的1
(,)n
i i A O x ε=⊂
，其中,1
n
i i A =⊂
．
证明当A 是全有界集时，0ε∀>，12{,,,}n x x x X ∃⊂,使得1
(,)2n
i i A O x ε
=⊂
．不妨设1i n ∀≤≤有(,)
2
i O x A ε
φ
≠，选取(,)2
i i y O x A ε
∈，显然12{,,,}n y y y Y ⊂以及(,)(,)2
i i O x O y ε
ε⊂，因此
1
1
(,)(,)2n
n i i i i A O x O y ε
ε==⊂
⊂
．□
注6：在n R 中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．
定理1.4.4全有界集的特性
设X 是度量空间，A X ⊂，若A 是全有界集，则(1)A 是有界集；(2)A 是可分集． 证明(1)设A 是全有界集，取1ε=，由定义知，n ∃∈N 及12{,,,}n x x x X ⊂,使得
1
(,1)n
i i A O x =⊂
．
现令121max{(,)}i i n
M d x x ≤≤=+，则易知1(,)A O x M ⊂，可见A 是有界集． (2)设A 是全有界集，下证A 有可列的稠密子集． 由引理1.4.2知对于1
n ε=(1,2,
n =)，存在()()()1
2
{,,,}n
n n n n k B x x x A =⊂，使得()1(,)n
k n i A O x n ⊂
，
A ，0δ∀>，存在1
n B ，使
01
(,d x n δ<，从而，中稠密，显然1
n i B ∞
=是可列集，故
：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集． 例如全体实数对应的离散度量空间0(,)R d 中的子集{1,23}，，是有界集，却不是全有 0网，取
1x ∈A ∈，使1(d x }n x A ⊂，
而{A 存为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了盖了{}n x ，于是至少有一个开球(记为1S )中含有{}n x 的一个子列(1)1{}k x S ⊂．
同样以有限集2B 的各点为中心，以2ε为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了(1){}k x ，
于是至少有一个开球(记为2S )中含有1{}k x 的一个子列(2)
2{}k x S ⊂．依次可得一系列点列：
(1){}k x ：(1)(1)(1)
(1)
123,,,,,k x x x x ． (2){}k x ：(2)(2)(2)(2)123,,,
,,
k x x x x ． ,,,
．
(){}i k x ：()()()
()123,,,
,,
i i i i k x x x x ．
且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为{}n x 的子列，即
是{}n x 的子列．下证(){}k k x 是基本列．
0ε∀>，取K ，使得12
K K ε
ε=
<，那么当,k p K >时，不妨设p k >，则有()p p k x S ∈，记开球
k S 的中心为*
k
x ，那么有 ()()()**()
(,)(,)+(,)2p k p k p k p k k k k k k d x x d x x d x x εεεε
≤≤+=<，
故(){}k k x 是{}n x 的基本子列．□
推论1.4.2豪斯道夫(Hausdorff)定理设X 是度量空间，A X ⊂． 1.4.5X 完备，
所以X
,,
,1}n
设[,]A C a b ⊂，则A 是列紧集的充要条件为以下两条成立． (1)A 一致有界：0M ∃>，x A ∀∈，对任何[,]t a b ∈有()x t M ≤成立；
(2)A 等度连续：0ε∀>，0δ∃>(δ与t 及x 无关)，当12,[,]t t a b ∈及12t t δ-<时，x A ∀∈有
12()()x t x t ε
-<．
注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念．
推论1.4.3阿尔采拉(Arzela)引理设{[,],}i i F f f C a b i I =∈∈是[,]C a b 的一致有界且等度连续的函数族，则从F 中必可选出在[,]C a b 上一致连续的子序列{()}n f t ．
定理1.4.7设(1)p A l p ⊂≥，则A 是列紧集的充要条件为以下两条成立．
(1)A 一致有界：0M ∃>，12(,,,,)k x x x x A ∀=∈，有11()p
p
k k x M ∞
=<∑；
(2)A 等度连续：0ε∀>，N ∃，12(,,,,)k x x x x A ∀=∈，有11
(
)p
p
k k N x ε
∞
=+<∑
．
例1.4.2设0(,)X d 为离散的度量空间，A X ⊂，证明：A 是紧集的充要条件为A 是有限点集．(2-18)
证明(1)充分性⇐：设A 是有限点集，则A 必为闭集，又无点列，故为紧集． ⇒A ''0(d x 为紧的度量空间，M 是{}n x
是闭子。