度量空间中的紧致性
拓扑学入门
拓扑学入门拓扑学是数学的一个分支，它研究的是空间的性质，特别是那些在连续变形下保持不变的性质。
这种变形不包括撕裂或粘贴，只是像橡皮泥那样的弯曲和拉伸。
拓扑学的研究对象形成了各种拓扑空间，最简单的例子包括欧几里得空间、复平面和更高维的类似结构。
基本概念- 开集与闭集：在拓扑空间中，集合可以是开的或闭的。
开集的内部不包含边界点，而闭集则包含其所有边界点。
- 紧致性：如果一个空间内的每个开放覆盖都有一个有限子覆盖，那么这个空间就是紧致的。
紧致性是拓扑学中非常重要的一个概念。
- 连通性：如果空间内的任意两点都可以通过完全位于该空间内的路径相连，那么这个空间就是连通的。
- 同胚：如果两个拓扑空间之间存在连续的双向映射，并且这个映射和其逆映射都是连续的，那么这两个空间就称为同胚。
重要定理与应用- 乌雷松引理：在度量空间中，一个集合是紧闭集当且仅当它是闭集的交集。
- 蒂茨纲定理：在拓扑学中，一个非空的正规拓扑空间可以被分解为两个互不相交的紧闭集的并集。
- 布劳威尔不动点定理：在一个圆盘内，任何一个连续函数至少有一个不动点，即存在至少一点x满足f(x) = x。
拓扑学的分类- 代数拓扑：使用代数工具来研究拓扑空间的性质。
- 微分拓扑：结合微分几何与拓扑学，主要关注平滑流形。
- 一般拓扑：研究拓扑空间及其性质，不依赖于特定的几何结构。
学习资源为了更深入地了解拓扑学，可以阅读以下书籍和资料：1. 《Introduction to Topology》 by James Munkres2. 《Topology》 by Klaus Janich3. 在线课程平台如Coursera和edX提供的相关课程结语拓扑学不仅是数学的一个重要分支，也在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
通过学习拓扑学，我们能更好地理解周围世界的形状和结构。
希望本文能为你打开拓扑学的大门，带你进入这一神秘而又迷人的领域。
拓扑学中的紧致性与连通性
拓扑学中的紧致性与连通性拓扑学是数学中的一个分支，研究的是集合中的空间结构和变形性质。
在拓扑学中，紧致性与连通性是两个重要的概念。
本文将介绍拓扑学中的紧致性与连通性的定义、性质以及它们在数学和实际应用中的意义。
一、紧致性紧致性是拓扑学中一个基本而重要的概念。
一个拓扑空间被称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
换句话说，对于一个紧致空间的任意开覆盖，我们都可以从中选出有限个开集作为子覆盖，使得这些开集覆盖着整个空间。
紧致性具有许多重要的性质。
首先，闭子空间的紧致性是从父空间继承下来的。
也就是说，如果一个空间是紧致的，那么它的闭子空间也是紧致的。
其次，紧致性是一种传递性。
如果一个空间是另一个空间的闭子空间，并且这个闭子空间是紧致的，那么这个空间也是紧致的。
这一性质使得我们在研究紧致性时可以通过从小空间到大空间的层层推广来得到更多的结论。
紧致性在数学中有广泛的应用。
在函数空间和度量空间中，紧致性是很多定理的基础。
例如，连续函数在紧致空间上具有最大值和最小值，积分在紧致空间上具有有界性等。
二、连通性连通性是另一个重要的概念，它描述了拓扑空间的不可分割性。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能被分解为两个非空的、不相交的开集并集。
换句话说，连通空间不可以被插入一个不连通的空间。
连通性也具有一些重要的性质。
首先，连通性是保持在闭子空间之间的。
也就是说，如果一个空间是连通的，那么它的闭子空间也是连通的。
其次，连通性可以通过路径连通来定义。
如果一个空间中的任意两点都可以通过一条连续曲线相连，那么这个空间是路径连通的。
路径连通空间一定是连通的，但连通空间不一定是路径连通的。
连通性在许多领域中具有重要意义。
在数学中，连通性可以用于证明一些重要的性质，例如黎曼曲面的互同性定理。
在实际应用中，连通性可以帮助我们分析网络、图像等复杂系统。
总结起来，拓扑学中的紧致性和连通性是两个基本而重要的概念。
紧致性描述了拓扑空间的覆盖性质，而连通性描述了拓扑空间的不可分割性。
拓扑学中的完备空间与紧性
拓扑学中的完备空间与紧性拓扑学是数学的一个分支，研究空间及其性质的学科。
在拓扑学中，完备空间与紧性是两个非常重要的概念。
本文将介绍完备空间和紧性的定义、性质以及它们在拓扑学中的应用。
一、完备空间完备空间是指具有某种度量的空间，在这个度量下，所有的柯西序列都有极限。
柯西序列是指一个序列，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得序列中所有下标大于N的项的距离都小于ε。
完备空间可以用来描述序列的连续性和极限的存在性。
完备空间的定义可以扩展到一般的度量空间和赋范空间。
对于度量空间来说，完备性是指该空间中的任意柯西序列都收敛于该空间内的某个点。
对于赋范空间来说，完备性也是指该空间中的任意柯西序列都收敛于该空间内的某个点。
完备空间的一个重要性质是，任何收敛序列在完备空间中都有极限。
这个性质对于研究序列的极限和连续函数的性质非常有用。
例如，在实数轴上，任何收敛序列都有极限，所以实数轴是一个完备空间。
二、紧性紧性是指给定一个拓扑空间，若其每个开覆盖都有有限子覆盖，那么该拓扑空间是紧的。
换句话说，紧性是一种性质，用于描述拓扑空间中点集的紧凑性和有限性。
在拓扑学中，紧性是一种非常重要的概念，它与连续性、紧致性以及有界性有密切的联系。
紧性有许多等价的定义。
其中一种定义是：若拓扑空间的每个无穷开覆盖都存在有限子覆盖，则该空间是紧的。
紧性的一个重要性质是，闭子空间的紧性是继承于父空间的。
也就是说，若给定一个紧空间，其闭子空间也是紧的。
这一性质使得紧性在拓扑学的研究中非常有用。
三、完备空间与紧性的关系在一些特定的情况下，完备空间与紧性之间存在一定的关联。
例如，完备的度量空间上的闭子集一定是紧的。
这个结论可以通过证明闭子集的柯西序列在该子集中有极限来得出。
此外，如果一个拓扑空间是完备的且紧的，那么根据Heine-Borel定理，该空间是有界闭集。
这个定理在分析学中有着重要的应用。
四、应用举例完备空间与紧性在拓扑学、函数分析、实变函数等领域有广泛的应用。
《点集拓扑讲义》第八章 紧致性
定 理 8.1.4 设 X1, X2, , Xn 是 n 个 紧 致 空 间 (n2)，则拓扑积空间 X1 X2 Xn也是一个紧致 空间，即紧致性质是一个有限可积的性质.
证明：我们只需对 n=2 的情形给以证明.
设 (X1,T1) , (X2,T2) 是紧致拓扑空间,由积空间定 义 可 知 B {U V |U T1,V T2} 是 积 空 间 X1 X 2 的 一个基，根据定理 8.1.3，我们只需证明由 B 的元 素构成的 X1 X2的任意一个开覆盖都有一个有限 子覆盖即可得 X1 X 2是一个紧致空间.
定理 8.1.4(一点紧化定理)每一个拓扑空间必
定是某一紧致空间的开子空间.
证明 ：设(X,T) 是一个拓扑空间，令 是一个 不属于 X 的元素，令
X X {},T T T1
其中 T1 {E X | X E 是拓扑空间(X,T )中的紧致闭 集}
第一步，验证 T *是 X *的一个拓扑. (1) 据定义 T T ,又由于 X X ,而是 X 中的一个紧致闭集,因此 X T1 T .
x)则
M
x
是包含点
x
的开集，
根据
(U
1 x
Vx1)
(U
2 x
Vx2
)
(U
n(x) x
Vxn( x )
)
(M x Vx1) (M x Vx2 )
(M x Vxn(x) )
= M x (Vx1 Vx2
Vxn( x) )
=Mx X2
可见 Ax 是集合 M x X2的一个覆盖，(图 8.1.1)，此外
11. 设 X 是一个拓扑空间,B 是 X 的一个拓扑基, 则 X 是一个紧致空间当且仅当由 B 中的元素构成的 X 的每一个覆盖都有一个有限子覆盖.
函数论中的度量空间理论解析
函数论中的度量空间理论解析前言度量空间理论是函数论的基础，它为函数的收敛性、连续性和一致收敛性等概念提供了严格的数学定义和分析工具。
度量空间理论在函数论中的应用非常广泛，它不仅可以用来证明函数的各种性质，还可以用来构造新的函数空间并研究函数空间的结构。
度量空间的概念度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，使得对于任意x, y, z∈X，都有以下性质：1.非负性：d(x, y) ≥ 0，并且d(x, y) = 0当且仅当x = y。
2.对称性：d(x, y) = d(y, x)。
3.三角不等式：d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。
函数空间的度量在函数论中，度量空间通常是函数空间。
函数空间是一个集合X，其中元素是定义在某个集合上的函数。
对于函数空间，度量函数通常是函数之间的距离，例如：1.最大范数：对于定义在[a, b]上的连续函数f和g，最大范数定义为：d(f,g)=maxx∈[a,b]|f(x)−g(x)|2.平方可积范数：对于定义在[a, b]上的平方可积函数f和g，平方可积范数定义为：d(f,g)=(∫|f(x)−g(x)|2ba dx)1/2函数的收敛性在函数论中，函数的收敛性是一个重要的概念。
函数的收敛性是指函数序列{fn}在某个度量空间中收敛到某个函数f。
函数的收敛性有以下几种类型：1.点收敛：对于任意x∈X，都有limn→∞ fn(x) = f(x)。
2.一致收敛：对于任意ε>0，存在N∈N，使得对于任意n≥N和任意x∈X，都有|fn(x) - f(x)| < ε。
3.均匀收敛：对于任意ε>0，存在N∈N，使得对于任意n≥N和任意x, y∈X，都有|fn(x) - fn(y)| < ε。
函数的连续性函数的连续性也是函数论中的一个重要概念。
函数的连续性是指函数在某个点的邻域内是连续的。
函数的连续性有以下几种类型：1.点连续：对于任意x∈X，存在δ>0，使得对于任意y∈X，如果|x - y| < δ，则有|f(x) - f(y)| < ε。
拓扑学中的紧致空间判定准则
拓扑学中的紧致空间判定准则拓扑学是数学中研究空间性质和结构的学科，而其中的一个重要概念就是紧致空间。
紧致空间指的是满足一定紧致性质的拓扑空间。
在拓扑学中，判定一个空间是否紧致的问题一直备受关注，并且有多种不同的准则可以用来判定紧致性。
本文将介绍拓扑学中的三个主要紧致空间判定准则。
一、序列紧致性在拓扑学中，一种常见的判定紧致性的方法是利用序列。
考虑一个拓扑空间X，如果对于X中的任意序列{xi}都存在一个收敛子序列{xi_k}，使得该子序列的极限点落在X中，那么X就是一个序列紧致空间。
例如，对于实数集R上的序列{xn}，如果该序列有一个收敛子序列，且极限点也属于实数集R，那么实数集R是一个序列紧致空间。
同样地，如果对于n维欧几里得空间R^n上的序列{xn}，存在一个收敛子序列，其极限点也属于R^n，那么R^n也是一个序列紧致空间。
二、覆盖紧致性覆盖紧致性是另一个常用的紧致性判定准则。
一个拓扑空间X被称为覆盖紧致的，如果对于X的任意开覆盖{Ui}，存在有限个开集{U1,U2, ..., Un}，使得X可以被这个有限开集合所覆盖。
换句话说，X的任意开覆盖都有有限子覆盖。
以实数集R为例，考虑一组开区间{(-n, n)}，其中n为正整数。
可以发现对于R而言，该开覆盖是一个覆盖紧致的，因为任意的开订集都可以被有限个这样的开区间所覆盖。
三、有限交性有限交性也是判定紧致性的一个准则。
一个拓扑空间X被称为有限交紧致的，如果X中的任意开集族{Vi}的有限交集为非空集合，则X 是有限交紧致的。
举个例子，考虑实数集R上的开区间{(a, b)}，其中a和b为任意实数。
可以验证，这个开集族的有限交集为空集，因此实数集R不是有限交紧致的。
需要注意的是，序列紧致性、覆盖紧致性和有限交性是拓扑学中常用的几个紧致空间判定准则，并不是相互等价的。
也就是说，一个空间满足其中一个准则，并不意味着它同时满足其他准则。
总结起来，序列紧致性、覆盖紧致性和有限交性是用来判定拓扑空间是否紧致的几个基本准则。
几种紧致性以及其间的关系
§7.4 几种紧致性以及其间的关系本节重点 : 掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系．读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：实数空间中的一个子集 A 如果满足以下条件（ l ）～（ 4）中的任何一条，则满足其他的几条．（l ）A是一个有界闭集；（ 2） A 的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（3）A 中的每一个无限子集都有凝聚点在 A 中；（4）A 中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点．这几个条件的重要意义，读者应当早就有所体会了．不难发现这四条中以惟有（ l ）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（ 4）三条中所涉及的概念都只是牵连到拓扑．我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件（2），（ 3）和（ 4）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是一件有意义的事．本节我们研究这个问题．为了研究问题时的方便，引进以下条件（ 5）作为讨论的中间站．（ 5）A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖．定义 7.4.l 设 X是一个拓扑空间．如果 X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间 X 是一个可数紧致空间．以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证．定理 7.4.1 每一个紧致空间都是可数紧致空间．定理 7.4.2 每一个 Lindeloff 的可数紧致空间都是紧致空间．定义 7.4.2 设 X是一个拓扑空间．如果 X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间 X 是一个列紧空间．定理 7.4.3 每一个可数紧致空间都是列紧空间．证明 设 X 是一个可数紧致空间． 为了证明它是一个列紧空间， 我们只要证明它的每一 个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点．假设 X 有一个可数无限子集 A 没有凝聚点．首先这蕴涵 A 是一个闭集．此外对于每一个 a ∈A ，由于 a 不是 A 的凝聚点， 所以存在 a 的一个开邻域 使得 ∩A={a} ．于是集族 { |a ∈A}∪{ }是 X 的一个开覆盖．由于 X 是可数紧致空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为 { } 由 于 与 A 无交，所以 { } 必定覆盖 A ．因此，A=( ) ∩A={a1,a2, ⋯an} 是一个有限集．这是一个矛盾． 定义 7.4.3 设是一 个由集合构成的序列， 如果它满足条件： 对于每 一个 i ∈Z+成立，即在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列．引理 7.4.4 设 X 是一个拓扑空间．则拓扑空间 X 是一个可数紧致空间当且仅当由X 中任何一个非空闭集下降序列证明 设可数紧致空间 X 中的非空闭集下降序列 使得 于是是 X 的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为 { }由此可得这是一个矛盾．另一方面， 设拓扑空间 X 中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交． 如果 X 不是一个可数紧致空间，则 X 有一个可数开覆盖，设为 { } ，没有有限子覆盖．对于每一个则称序个下降序，有非空的交，即i ∈ Z+，令则{ } 也是 X 的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：是一个非空闭集下降序列，所以 ．由此可见 ．也就 是说 { } 不是 X 的一个覆盖，这是一个矛盾．定理 7.4.5 每一个列紧的 空间都是可数紧致空间．证明 设 X 是一个列紧的 空间．如果 X 不是一个可数紧致空间，则根据引理7.4.4， X 中有一个非空闭集下降序列, 使得 在每一个 中选取一点 ，并且考虑集合 A={ } 如果 A 是一个有限集，则必有一点 x ∈A 和一个正整数的严格递增序列 n1，n2，⋯使得于是 x ∈ ，这与反证假设矛盾．设 A 是一个无限集．由于 X 是一个列紧空间，所以 A 有一个凝聚点，设为 y ．由于 X 是 一个 空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个 i ∈Z+，点 y 也是集合的一个凝聚点；又由于 ．这也与反证 假定矛盾．定义 7.4.4 设 X 是一个拓扑空间．如果 X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，称 拓扑空间 X 是一个序列紧致空间．定理 7.4.6 每一个序列紧致空间都是可数紧致空间．证明 设 X 是一个序列紧致空间， { }是 X 中的一个非空闭集下降序列．在每．对于每一个 i ∈Z+，因此．根据引理 7.4.4X 是一个可数紧致空间．定理 7.4.7 每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间．证明设 X 是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间，设．对于每一个 i ∈ Z+，令和．于是是拓扑空间 X 中的一个非空闭集下降序列，因此根据引理 7.4.4 ，我们有．由于 X满足第一可数性公理，根据定理 5.1.8 ，在点 x 处有一个可数邻域基{ } 满足条件：对于任意 j ∈Z+成立．令对于每一个 i > l ，令, 于是是一个严格递增的正整数序列．并且对于每一个 i ∈ Z+成立．我们来证明序列 { }的子序列 { }收敛于 x：设 U是 x的一个邻域．存在某一个k∈Z+,使得，于是当 i >k 时我们有根据本节中的各个定理，我们可以得到图表7.2 ．根据这个表立即可以知：推论7.4.8 列条件设 X 是一个满足第二可数性公理的空间， A是 X 的一个子集．则下（l ） A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（ 2） A 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖；（3）A 中的每一个序列都有子序列收敛于 A 中的点；（4）A 中的每一个无限子集都有凝聚点在 A 中．特别，对于 n 维欧氏空间的子集以上推论成立，并且推论中的每一个条件都等价于 A 是一个有界闭集．作业:P201 1。
实分析与复分析比较
实分析与复分析比较实分析和复分析是数学中两个重要的分支领域，它们研究的对象和方法有很多相似之处，但也存在一些明显的差异。
本文将对实分析和复分析进行对比，探讨它们的异同点。
实分析实分析是研究实数集上的函数、极限、连续性、微积分等问题的一门学科。
实分析的基本概念包括实数集、开集、闭集、连续函数等。
而实分析的主要工具则是极限理论、微积分和度量空间理论等。
实数集与开闭集在实分析中，实数集起到了非常重要的作用。
实数集是包含无限多个元素的集合，它们可以通过连续分割来构造。
开集和闭集则是实数集中的两个重要概念。
开集是指一个包含了所有内部点的集合，即对于集合中的任意一点，都存在一个邻域完全被包含在该集合内。
闭集则是指一个包含了所有极限点的集合，即对于任意收敛于该闭集内点列，该点列的极限也在闭集内。
一致连续性与可导性在实分析中，函数连续性是一个重要的研究内容。
一致连续性是比连续性更强的概念，它要求在整个定义域内，函数在任意两个点之间的变化都不会过大。
另外一个重要的概念是可导性。
可导性是指函数在某一点处存在切线斜率，并且这个斜率可以通过极限计算得到。
可导性是微积分中一个非常重要的概念，它把函数的变化率与切线的斜率联系起来。
度量空间与紧致性度量空间是实分析中一个基础而又重要的概念。
在度量空间内，可以定义两个点之间的距离，并且通过这个距离来研究空间内各种性质。
紧致性则是度量空间中一个重要且有趣的属性。
一个紧致空间指的是在这个空间内任意开覆盖都可以找到有限子覆盖。
紧致性在实分析中具有广泛应用。
复分析复分析是研究复数域上的函数、极限、解析性等问题的一门学科。
复分析不仅扩展了实分析中很多概念和结果，而且具有许多独特且有趣的属性。
复分析广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
复数与复平面复数由实部和虚部构成，并且可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 是实数。
复数可以看作是二维平面上的点，并且可以通过复平面来进行表示。
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定义7.5.1
定理7.5.2
作业
§7.5度量空间中的紧致性
本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．
由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．本节研究这个问题并给出肯定的回答．
定义7.5.1 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．集合A的直径diam（A）定义为
diam(A)=sup{ρ(x,y)|x,y∈A}若A是有界的
diam(A)=∞ 若A是无界的
定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，A是X的一个开覆盖．实数λ＞0称为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A，只要diam（A）＜λ，则 A包含于开覆盖A的某一个元素之中．
Lebesgue数不一定存在．例如考虑实数空间R的开覆盖
{(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+}
则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数．（请读者自补证明．）
定理7.5.1[Lebesgue数定理] 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数．
证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖．假若开覆盖A没有Lebesgue 数,则对于任何i∈Z+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得diam（E）＜1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中．
在每一个之中任意选取一个点,由于X是一个序列紧致空间，所以序列有一个收敛的子序列．由于A是X的一个开覆盖，故存在A∈A使得y∈A，
并且存在实数ε＞0使得球形邻域B（y，ε）A．由于，所以存在整数M
＞0使得当i>M时．令k为任意一个整数，使得k＞M+2/ε,则对于任何
有
ρ（x，y）≤ρ（x，）＋ρ（，y）＜ε
这证明
A
与的选取矛盾．
定理7.5.2 每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间．
证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖．根据定理7.5.1，X的开覆盖A有一个Lebesgue数，设为λ＞0．
令B={B(x,λ/3)}．它是X的一个开覆盖．我们先来证明B有一个有限子覆盖．
假设B没有有限子覆盖．任意选取一点∈X．对于i＞1，假定点已经取定，由于
不是X的覆盖,选取．按照归纳原则，序列已经取定．易
见对于任何i,j∈Z+,i≠j，有ρ()>λ/3．序列没有任何收敛的子序列．（因为任何y∈X的球形邻域B(y,λ/6)中最多只能包含这个序列中的一个点．）这与X是序列紧致空间相矛盾．
现在设{}是开覆盖B的一个有限子覆盖．由于其中每一个元素的直径都小于λ，所以对于每一个i=1,2,…,n存在使得B(,λ/3)．于是{}是A的一个子覆盖．
因此，根据定理7.5.2以及前一节中的讨论可见：
定理7.5.3 设X是一个度量空间．则下列条件等价：
（1）X是一个紧致空间；
（2）X是一个列紧空间；
（3）X是一个序列紧致空间；
（4）X是一个可数紧致空间．
我们将定理7.5.3的结论列为图表7.3以示强调．
作业:
P205 1．
本章总结：
（1）重点是紧致性、紧致性与分离性的关系．
（2）度量空间（特别是）中的紧致性性质要掌握．
（3）紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的？证明时牵涉到的闭集要注意是哪个空间的闭集．。