数值分析课程设计

湖南工业大学

课程设计

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理学院学院（系、部）2013-2014 学年第 2 学期

课程名称数值分析指导教师职称副教授

学生姓名专业班级信计1102 学号114111002

题目超松弛迭代法解线性方程组

成绩起止日期2014 年06 月09 日～2014 年06 月13 日

目录清单

湖南工业大学

课程设计任务书

2013-2014学年第2 学期

理学院学院（系、部）信息与计算科学专业1102 班级课程名称：数值分析

设计题目：超松弛迭代法解线性方程组

完成期限：自2014 年06 月09 日至2014 年06 月13 日共1 周

指导教师（签字）：年月日系（教研室）主任（签字）：年月日

数值分析课程设计说明书

超松弛迭代法求解线性方程组

起止日期：2014 年06月09 日至2014 年06 月13 日

学生姓名

班级信息与计算科学11级

学号

成绩

指导教师(签字)

理学院

2014年06月13 日

目录

第1章超松弛迭代法的论述 (6)

1.1 理论依据 (6)

1.2 收敛性判别条件 (7)

1.3 收敛速度的估计 .................................... 错误!未定义书签。第2章程序设计及结果 (7)

2.1 MATLAB程序 (7)

2.2 运行结果及分析 (8)

第三章对题目进行变化 (10)

3.1改进方法 (10)

3.2改进题目 (15)

第四章对算法进行展望 (17)

结论 (18)

参考文献 (19)

附录 (19)

应用SOR 方法（取5.1,2..1=ω）解 ??

???=+-=-+-=-8

102,7210,

9103232121x x x x x x x

的方程组.要求3*10||||-∞<-x x k ，T x ]1,1,1[*=

第1章 超松弛迭代法的论述

1.1 理论依据

超松弛迭代法定义

[1]

超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR 迭代法，它是在Gauss-Seidel 法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法.设解方程组的Gauss-Seidel 法记为

1(1)

(1)()11

1(),1,2,,i n

k k k i

i ij j ij j j j i ii x

b a x a x i n

a -++==+=--=∑∑ （1）

再由()

k i x 与(1)

k i

x +加权平均得

(1)(1)(1)()()()(1)(),1,2,

,k k k k k k i i i i i x x x x x x i n ωωω+++=-+=+-=

这里ω＞0称为松弛参数，将(1)代入则得

1

(1)()

(1)()1

1

(1)(),1,2,

,i n

k k k k i i i ij j ij

j j j i ii x x b a x a

x i n

a ωω-++==+=-+--

=∑∑ （2）

称为SOR 迭代法，ω＞0称为松弛因子，当ω=1时(2)即为Gauss-Seidel 法，将(2)

写成矩阵形式，则得

(1)()(1)()(1)()k k k k Dx Dx b Lx Ux ωω++=-+++

于是得SOR 迭代的矩阵表示[3]

(1)()k k i x G x f ωω

+=+ (3)