北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章1 简单旋转体 含解析

§1简单几何体

1．1简单旋转体

1．旋转体

(1)概念：

一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转

面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．

(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．

2．球

(1)概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心，如图中的O.连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径，如图中的OA，OE等．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径，如图中的BC，EF等．

(2)球的表示：用表示球心的字母表示球，如图中的球体表示为球O.

3．圆柱、圆锥、圆台的比较

名称定义相关概念图形表示

圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余

各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫

作圆柱

高：

在旋转轴上这条边的

长度；

圆锥

以直角三角形的一条直角边所在的直线为

旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围

成的几何体叫作圆锥

底面：

垂直于旋转轴的边旋

转而成的圆面；

侧面：

不垂直于旋转轴的边

旋转而成的曲面；

母线：

无论转到什么位置，

这条边都叫作侧面的

母线

圆台以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．()

(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱．()

(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．()

(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．()

答案：(1)×(2)×(3)×(4)√

2．下列命题中正确的个数是()

①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；

②圆柱不是旋转体；

③圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的；

④在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．A．1B．2

C．3 D．4

解析：选B.①正确；②错误；③正确；④错误．故选B.

3．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

答案：B

4．给出下列命题：

①球的半径是球面上任意一点与球心连成的线段；

②球的直径是球面上任意两点间的线段；

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；

④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．

正确命题的序号是________．

解析：连接球心和球面上任意一点的线段，叫球的半径，显然①正确；球面上的两点连线经过球心时，这条线段才是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；④中的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．

答案：①

1．剖析圆柱的结构特征

(1)圆柱的底面是圆面而不是圆，且两个底面互相平行．

(2)圆柱的任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线相互平行且相等．

(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面是全等的矩形．

2．剖析圆锥的结构特征

(1)底面是圆面．

(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点．

(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面是全等的等腰三角形．

3．剖析圆台的结构特征

(1)圆台的上、下底面互相平行且是不等的圆面．

(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点．

(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的截面是全等的等腰梯形．

4．剖析球的结构特征

球是旋转体，球面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体．

旋转体的概念及其结构特征

判断下列说法是否正确，请说明理由：

(1)一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥；

(2)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；

(3)球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；

(4)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．

[解](1)正确．由于等腰直角三角形的两条直角边相等，所以分别绕两条直角边旋转得

到的两个圆锥的底面大小及母线长度、高等都相等，所以是两个相同的圆锥．

(2)错误．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不能得到一个圆锥和一个圆台．

(3)正确．由球的定义易知该说法正确．

(4)正确．由圆锥母线的定义知，圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线．

(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线．

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

1.(1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()

(2)一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？

解：(1)选B.这个几何体由上到下可分为3部分，分别是圆锥、圆台、圆柱，故选B.

(2)如图①和②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥．

如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥．

如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．

旋转体中有关元素的计算问题

(1)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为()

A．2πB．π

C．2 D．1

(2)圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径分别为________、________.

[解析](1)如图，轴截面ABCD的面积S＝AB×BC＝1×2＝2.故选C.

(2)不妨设圆台上底面半径为r，下底面半径为2r，如图作出圆台的轴截面，并延长母线交于S，∠ASO＝30°.

在Rt△SA′O′中，r

＝sin 30°，

SA′

则SA′＝2r.

＝sin 30°，则SA＝4r，有SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a，在Rt△SAO中，2r

SA

所以圆台的上、下底面半径分别为a，2a.

[答案](1)C(2)a2a

在本例(2)条件不变的前提下，试求圆台的高．

解：过A′作A′B⊥AO于B，则在Rt△A′BA中，

A ′A ＝2a ，由例题(2)解析中结论可知： A

B ＝2a －a ＝a ，解得A ′B ＝

4a 2－a 2＝3a ，即圆台的高是3a .

解决旋转体中计算问题的方法

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．

[注意] 在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．

2.(1)点O 1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点，过O 1与底面平行的截

面面积是底面面积的( )

A.1

3 B ．23

C.14

D ．19

(2)将一个边长为a 的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面的面积． 解：(1)

选D.作出圆锥轴截面如图所示， 由题知SO 1∶SO ＝1∶3， 所以O 1B ∶OA ＝1∶3. 所以S ⊙O 1∶S ⊙O ＝1∶9.

(2)设圆柱的底面半径为r ，则2πr ＝a ，r ＝a 2π，故轴截面的长为a ，宽为a π，面积为a

π·a

＝a 2

π

.

规范解答

旋转体中的计算问题

为x cm 的内接圆柱．

(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ； (2)当x 为何值时，S 最大？ [解]

(1)如图为几何体的轴截面，设圆柱的底面半径为r cm ，则r 2＝6－x

6，

得r ＝6－x

3，

(3分) 所以S ＝－2

3

x 2＋4x .

(6分) (2)S ＝－23x 2＋4x ＝－2

3(x －3)2＋6，

(10分) 所以当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.

(12分)

处利用相似三角形确定圆柱底面半径和高的关系是解题的关键点.

处求S 最大值时容易失分，一是转化不对造成失分，二是不知如何求而失分.

1．下列几何体是圆柱的是( )

解析：选B.由圆柱的结构特征：上、下底面为两个相等的圆面，可知选B. 2．下列说法正确的是( ) A ．圆锥的母线长等于底面圆直径 B ．圆柱的母线与轴垂直 C ．圆台的母线与轴平行 D ．球的直径必过球心 答案：D

3．用一个平面截半径为5 cm 的球，球心与截面圆心之间的距离为4 cm ，则截面圆的

周长为________cm.

解析：设截面圆的半径为r cm，依题意有r＝52－42＝3，于是截面圆的周长为2π×3＝6π(cm)．

答案：6π

4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线所在直线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．

解：

圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm，3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S.

在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，

则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，

SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.

又S轴截面＝1

2(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.

所以圆台的高OO1＝14 cm，母线长AA1＝2OO1＝14 2 cm，两底面半径分别为7 cm，21 cm.

,[学生用书P85(单独成册)])

[A基础达标]

1．关于下列几何体，说法正确的是()

A．图①是圆柱

B．图②和图③是圆锥

C．图④和图⑤是圆台

D．图⑤是圆台

解析：选D.图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图

②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．

2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()

A．圆柱B．圆台

C．球体D．棱台

答案：D

3．一条直线被一个半径为17的球截得的线段长为30，则球心到直线的距离为() A．13 B．12

C．8 D．24

解析：选C.如图所示，所求距离d＝172－152＝8.

4．矩形ABCD(不是正方形)绕边所在直线旋转得到不同形状的圆柱的个数是()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选B.因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．

5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线所在直线与旋转轴的夹角为30°，则圆锥的高为()

A．10 3 cm B．20 3 cm

C．20 cm D．10 cm

解析：选A.圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高，设为h.

这个等腰三角形的腰长为20 cm，顶角的一半为30°.

所以h＝20cos 30°＝10 3 cm.

6．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面面积为________．

解析：圆柱的轴截面面积为5×2×2＝20.

答案：20

7．若把图(1)中的4个图形分别绕虚线旋转一周，能形成图(2)中的几何体，按顺序与1，2，3，4对应的几何体分别是图(2)中的________．

答案：a，d，b，c

8.

在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm、最长80 cm，则斜截圆柱侧面展开图的面积S＝________cm2.

解析：将侧面展开可得S＝1

2(50＋80)×40π＝2 600π(cm

2)．

答案：2 600π

9．如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个几何体，试说明这个几何体的结构特征．

解：如图所示，这个几何体是由一个圆锥和一个半球拼接而成．

10．已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求圆台的母线长．

解：如图是圆台的轴截面，

由题意知AO ＝2 cm ，A ′O ′＝1 cm ，SA ＝12 cm. 由

A ′O ′AO ＝SA ′SA ，得SA ′＝A ′O ′AO ·SA ＝1

2

×12＝6(cm)． 所以AA ′＝SA －SA ′＝12－6＝6(cm)． 所以圆台的母线长为6 cm.

[B 能力提升]

11．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )

解析：选B.由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.

12．下图中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________(填序号)．

解析：几何体的上底面已经挖去，故②错．当截面不过轴时，与圆锥的截线不可能是直线，故③④错．

答案：①⑤ 13.

如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且P A ＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？

解：将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．

所以A1B1＝1

2

·2πr＝πr＝10π(cm)．

过点Q作QS⊥AA1于点S，

在Rt△PQS中，

PS＝80－40－30＝10(cm)，

QS＝A1B1＝10π(cm)．

所以PQ＝PS2＋QS2

＝10π2＋1(cm)．

即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.

14．(选做题)已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．

解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示．

设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的

长分别为x和2x.因为△VA1C1∽△VMN，所以2x

2r ＝

h－x

h，

所以2hx＝2rh－2rx，得x＝2rh

2r＋2h

.

即圆锥内接正方体的棱长为2rh

.

2r＋2h