动量与角动量分析

解：建立如图坐标系, 由动量定理得
mv1
Fxt mv2x mv1x
x
mv cos (mv cos)
2mvcos
mv2
Fyt mv2y mv1y
mvsin α mvsin 0
y
F
Fx
2mv cos
t
14.1N
如直接用动量定理矢量形式，是否会更简洁？。。。
mv2
mv1
p
I p p0
质点系的运动方程，是质点系内各个质点的运动方 程的集合。 质点系的总动量，是质点系内各个质点的动量的矢 量和。
以两个质点组成的系统为研究对象：
根据牛顿第二定律（微分 形式）：
F1
f12
dp1 dt
F2
f 21
dp2 dt
对于质点 m1 和 m2 组成的系统：
F1 F2
dp1 dt
dp2 dt
d dt
求：子弹穿过后，两木块分别以多大速度运动？
解：子弹穿过第一块木块时， 两木块速度相同，均为v1，
Ft1 (m1 m2 )v1
子弹穿过第二块木块时，第 t1 m1 m2
,
v2
Ft1 m1 m2
Ft2 m2
注：子弹对木块的推 力是木块对子弹的阻 力的反作用力。
(M m)u1 Mu2 0
u1 M m
u2
M
1
2
例3-3-1 一载人小船静止于湖面上，小船的质量为 100kg，船头到船尾共长3.6m，人的质量为50kg。 试问当人匀速从船尾走到船头时，船将移动多少距 离？假定水的阻力不计。
解：假定船的质量为M，速度为 v，人的质量为 m， 相对于船的速度为 u，其方向应与 v 的方向相反。 选 x 轴沿 v 的方向，则水平方向上的动量守恒， 有：
小结
冲量： 1. 冲量是矢量，其方向是由质点动量增量的方向所 决定的。 2. 冲量是一个过程量，表示力在某一段时间内的积 累效果。所以谈及冲量，必须明确是哪一个力在哪段 时间上的冲量。
动量： 1. 动量是矢量，动量的方向就是速度的方向。 2. 动量是一个状态量，具有即时性。
对于一个物理量，如果定义时对应的是某一时刻(某 一瞬时)，则该物理量是状态量，如位矢、速度、动 量、动能等都是状态量。
分量式： 在有限时间内：
dpx mivix Fxdt
i
dpy miviy Fydt
i
dpz miviz Fzdt
i
t
p
i t0 Fidt i Ii p0 dp p p0
表明：在 t0 到 t 这段时间内，作用在质点系上所有 外力的冲量的矢量和等于质点系在同一时间内动量
在p 一定时，t 越小，则 F 越大。
例如：人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞 事件中，作用时间很短，冲力很大。
例2 一质量为 0.05kg、速率为10m·s-1 的钢球，以与钢 板法线呈45º角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来。设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板
所受到的平均冲力 F 。
对于传送带静止的煤粉重量）。
分析：以t 时间内落在
传送带上的煤粉m作为
研究对象。
h
A
v
y
v
p 初： p0x 0
v0
p0
p
p0y v0m 末： px vm
x
py 0
解1：煤粉自料斗下落接触传送带前具有竖直向下的 速度
v0 2gh
设传送带对煤粉的平均作用力为 f，由动量定理得：
fxt vm 0, fyt 0 (v0m)
v2
•
由 v人地 ＝ v人船 + v船地，得：
x
•O
v2 u v, v1 u v
Mv m1(u v) m2 (u v) 0 v m1 m2 u
M m1 m2
因为 m1 > m2 ，故 v > 0，所以船沿x轴的正向运动。
2. 动量守恒的分量表述 如果质点系沿某坐标轴方向所受合外力为零，则沿该坐标轴 方向的总动量的分量守恒。
在直角坐标系中：
当 Fx = 0 时， mivix px const. i
当 Fy = 0 时， miviy py const. i
当 Fz = 0 时， miviz pz const. i
m qm t
f y t
f t
fx qmv f y qmv0 qm 2gh
fx t
f
f
2 x
f
2 y
149N
arctan f y 57.4
fx
解2：设 t 时刻传送带上煤粉的质量为M，在此后t 时间内将有m的煤粉落在传送带上。取 M m 为
研究对象，则t 时刻系统总动量在水平方向的分量为
3. 只适用于惯性系；
4. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍，是关于自然界的一 切物理过程的一条最基本的定律。
课堂讨论：质量都是 M 的两个冰车，一同静止在光 滑的水平冰面上，一质量为 m 的人从第一个冰车跳到 第二个冰车，再由第二个冰车回到第一个冰车，求两 个冰车的末速度之比。
解：把冰车和人均视为质点，由人和两个冰车所组成 的系统在水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律可 知：
(1) 谁先走到木桩处？(2) 他用了多少时间？
解： (1) 选船及甲、乙两人为 研究系统，因为系统水平方向 不受外力，故在此方向上动量 守恒。
m1 x
m2 • •O
令船对地速度为v，m1对地的速度为v1，m2对地的速
度为v2。
由动量守恒：
Mv m1v1 m2v2 0
m1 u
u m2
v1 v
Mv m(v u) 0
u
v
上式各项乘上时间 t，得：
Mvt m(v u)t 0
设在 t 时间内人从船尾走到船头，即：ut = l，船 在相同时间内走过的路程为 vt = S，则有：
MS m(S l) 0
故
S ml 503.6 1.2m M m 100 50
课堂练习：质量为M，长为 l 的小船静止于河中，小船 的两头分别站着质量为 m1 和 m2 ( m1 > m2 ) 的人，他们 同时相对于船以相同的速率 u 走向开始位于船正中， 但固定在河中的木桩。若忽略水对船的阻力作用，试 问：
解：以整个绳索为研究对象，它
v0
共受到三个力的作用：重力 G、
x
台面支持力 N 和手的提力 F。在
这三个力的共同作用下，系统的
动量在不断的变化。
在 t 时刻，当绳索提高 x 时系统的动量为：
p
m l
xv0
m l
(l
x) 0
m l
xv0
在 t + dt 时刻，绳索提起 x + dx，系统的动量为：
运用动量定理解题时应注意： 1. 找准研究对象（质点 or 质点系） 2. 写出研究对象的初，末动量的表达式 3. 分清外力和内力，并找到真正起作用的外力。
例3-2-3 长为 l、质量为 m 的柔软绳盘在水平面上。 用手将绳的一端以恒定速率 v0 向上提起，求当提起 高度为 x 时手的提力。
分析：由于被提起的绳的质量是随提起的高度变化的，在 t 时 刻到 t +Δt 时刻系统动量有变化，根据动量定理，可求出手的 提力。
如果定义时对应的是时间间隔，则该物理量是过程量， 如位移、路程、冲量、功等都是过程量。
讨论题：胸口碎大石 重锤猛击
Fdt dp mdv
“迅速打击”和“沉重的石板”是保护石板下的人 不受损伤的关键。
思考题：
两根完全相同的线，用手拉下面的那 根线，
1. 向下猛一扽； 下面的线断而球不动
2. 用力慢慢拉线，上面的线先断
分别是那根线先断？
F
（假设拉力大于线能承受的耐力（极限张力））
例1：绳子一端固定，另一端系一质量为 m 的小球，小球 以匀角速度ω 绕竖直轴 OO’ 做圆周运动，绳子与竖直轴之 间的夹角为θ，已知 A、B 为圆周直径上的两端点，求小球 由A 点运动到 B 点，绳子的拉力的冲量。
O
分析：应用动量定理。
( p1
p2 )
f12 f21 0 牛顿第三定律
推广至任意多个质点所组成的质点系：
d
i Fi dt i pi
F dp dt
质点系的牛顿第二定律的微分形式—系统的总动量 随时间的变化率等于该系统所受的合外力。
Fdt dp
表明：质点系所受合外力的冲量等于系统总动量的 增量。这就是质点系动量定理的微分形式。
第三章 动量与角动量
本章研究力作用在物体上的时间积累效果，也就是力 作用在物体上一段时间以后对物体运动状态的影响。
本章要求：
1. 掌握动量定理、角动量定理，并能运用它们解决 相关的力学问题。
2. 理解质心的概念及质心运动定理。 3. 理解动量守恒定律和角动量守恒定律的内容及物
理意义，了解应用这两个定律的条件，并能够运 用它们解决有关的力学问题。
px (t) Mv m 0 Mv
t t 时刻系总动量在水平方向的分量为：
px (t t) (M m) v m
N
v0 M
v
由动量定理可知：
fxt px (t t) px (t) m v
Mg
fx
m t
v
qmv
f yt mv0 qmv0
例3-2-2 一颗子弹水平的穿过并排放置在光滑水平桌面的木块， 以知两个木块的质量分别为 m1 和 m2，子弹穿过它们的时间分 别为 Δt1 和 Δt2，设子弹在木块中所受的阻力恒为F。
3.3 动量守恒定律
若系统所受合外力为零，即 Fi 0 ，则：
i
dP 0 dt
P const.
即：
Pi mivi const.