44有理函数的积分
有理函数的积分
sin( x
2
) d x,
dx 1 x4
换句话说, 这些不定积分的结果已不再是初等函数, 数学上讲， “初等函数集合对不定积分运算不封闭”.
二 、可化为有理函数的积分举例 1. 三角函数有理式的积分
设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x ) dx
万能代换
x 令 t tan 2 ,
例2. 求 解: 根据上题的结果
（课本P214 例4）
1 4 1 2x 原式 dx 2 2 5 1 2x 1 x 1 x 1 2 d(1 2 x ) 1 d(1 x 2 ) 1 dx 2 2 5 1 x 5 1 2x 5 1 x
k
Q( x ) b0 ( x a ) ...( x b) ( x 2 px q ) ...( x 2 rx s ) (其中p 2 4q 0,..., r 2 4 s 0).
Mx N ; ( 3) 二次单因式( x px q ), 对应一项 2 x px q
例6. 求
1 1 2 ln t C t 2t 2 2 1 x x 1 2 x tan tan ln tan C 4 2 2 2 2
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
R( x , n ax b ) dx , 令 t n a x b R( x , n
1 sin x sin x(1 cos x ) dx . （课本P216 例5） 2 x 2t 1 t 解: 令 t tan , 则 sin x , 2 cos x 1 t 2 1 t2 2 dx dt 2 1 t 2t 1 1 t 2 1 1 2 原式 1 t 2 dt t 2 dt 2 2t 1 2 t (1 1 tt 2 ) 1 t 2
44有理函数的积分知识讲解
44有理函数的积分知识讲解有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式函数。
有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个非常重要的内容。
下面将介绍有理函数积分的知识。
一、分式分解要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。
分式分解是将一个有理函数分解成多个个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。
分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。
若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。
二、基本积分公式有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。
常用的基本积分公式有以下几种：1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$三、换元积分法针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。
具体方法是：先将分式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。
四、分步积分法对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。
具体方法是：将原式中的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有理函数则是原式的乘积。
然后，用分部积分法求解原式的积分。
总之，有理函数积分是高等数学中的一个非常重要的内容，可以通过分式分解、基本积分公式、换元积分法和分步积分法进行求解。
44有理式的积分
dx _____________；
4、计算
dx
,令t ___,x ___,dx ____ .
ax b m
5、有理函数的原函数都是_________ .
二、求下列不定积分：
1、
x
1
xdx
x 2
x
3
；
3、
1
1 x
4
dx
；
5、
2
sin
x
dx cos
x
5
；
7、
1 x dx ； 1 x x
解决方法 作代换去掉根号.
例9
求积分
1 x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
t 2dt t2 1
2
1
t
2
1
1
dt
2t
ln
t t
1 1
C
2
1
x
x
ln
x
1
x
x
1 2
4、
sin 2 cos 3
x x
dx
；
6、
1
sin x sin
dx x
；
7、
3x
dx ；
x( x 3 x)
8、
(e
xe x x 1)2
dx
；
9、 [ln( x 1 x 2 )]2 dx ； 10、 1 x 2 arcsin xdx ；
高等数学课件D44有理函数积分
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积分的线性性质在解决实际问题中具有广泛的应 用，如求解积分方程、积分不等式等
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积分的线性性质还可以用于简化积分计算，提高 计算效率
积分的可加性
积分的可加性是指两个函数积分的 和等于它们积分的和
可加性可以用于求解一些复杂的积 分问题，例如积分的换元法
分解法
基本概念：将 函数分解为若 干个部分，分
别进行积分
适用范围：适 用于有理函数、 三角函数、指
数函数等
步骤：确定分 解方式，分别 进行积分，最
后合并结果
注意事项：分 解方式要合理， 避免产生不必
要的积分项
换元法
换元法是一种 常用的积分方 法，适用于有
理函数积分
换元法的基本 思想是将复杂 函数转化为简 单函数，从而 简化积分过程
添加标题
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积分公式可以用于求解积分方程
有理函数的积分方法
第三章
直接积分法
直接积分法是一种常用的积分方法，适用于求解有理函数的积分
直接积分法的基本思想是将有理函数分解为若干个部分，然后分别进行积分
直接积分法需要掌握一些基本的积分公式和技巧，如换元法、分部积分法等
直接积分法在求解有理函数的积分时，需要根据函数的特点选择合适的积分方法，以 提高计算效率和准确性
应用范围：适用于 有理函数积分
积分步骤：先分解 为两个部分，然后 分别积分
注意事项：积分过 程中需要注意符号 的变化，以及积分 限的变化
积分公式的推导
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
其次，对P(x)和Q(x)进行分母有理 化，得到P(x)/Q(x)
有理函数积分表
有理函数积分表有理函数积分表是数学中的一个重要工具，用于求解有理函数的不定积分。
有理函数是指多项式函数与有理函数的商，其积分可以通过分部积分、换元积分等方法来求解。
本文将介绍有理函数积分表的使用方法及一些常见的有理函数积分公式。
有理函数积分表是一个包含各种有理函数积分公式的表格，它可以帮助我们快速求解有理函数的不定积分。
在使用有理函数积分表时，我们只需要查找相应的公式，并根据具体的问题进行运用即可。
下面是一些常见的有理函数积分公式：1. $\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$这是最基本的有理函数积分公式之一，其中C为常数。
2. $\int \frac{1}{(x-a)^n}dx = \frac{1}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C$当$n \neq 1$时，其中a为常数，C为常数。
3. $\int \frac{1}{x^2 + a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C$其中a为常数，C为常数。
4. $\int \frac{1}{(x-a)(x-b)}dx = \frac{1}{b-a}\ln \left|\frac{x-a}{x-b}\right| + C$其中a、b为常数，C为常数。
5. $\int \frac{ax+b}{x^2 + px + q}dx = \frac{a}{2} \ln |x^2 + px + q| + (b-ap) \int \frac{1}{x^2 + px + q}dx$其中a、b、p、q为常数。
这些公式只是有理函数积分表中的一小部分，实际上有理函数积分表中还包含许多其他的公式。
在使用有理函数积分表时，我们需要根据具体的问题选择合适的公式，并注意进行适当的变量代换或分部积分等运算。
有理函数积分表的使用方法并不复杂，但需要一定的数学基础和熟练的运算技巧。
在使用有理函数积分表时，我们需要先对给定的有理函数进行分解或化简，然后根据分解后的形式选择合适的公式进行求解。
有理函数的积分
解 (1) 直接拼凑
1 x ( x 1) 1 1 2 2 2 x( x 1) x( x 1) ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 1 1 1 . 2 2 ( x 1) x( x 1) ( x 1) x 1 x
假分式
2x4 x2 3 4 2 2x 1 2 . 2 x 1 x 1
第四节 有理函数的积分
2. 真分式的分解式
P( x) , 如果分母可分解为两个多项式 对于真分式 Q( x)
的乘积 Q( x) Q1 ( x)Q2 ( x) , 且 Q1(x) 与 Q2(x) 没有公因 式，则
n n 1
称为有理函数， 当 n < m 时，称为真分式， 当 n m 时， 称为假分式. 假分式一定可以化成一个多项式与一个真分式之和.
第四节 有理函数的积分
例如，
2 x3 5x 2 3 , 4 3 2 x x 7x 2x 8
真分式
2x4 x2 3 , 2 x 1
三类函数(其中 p2 – 4q < 0 , P1(x) 为小于 k 次的多项式， P2(x) 为小于 2l 次的多项式).
第四节 有理函数的积分 第四节
例1 将下列真分式分解成部分分式之和：
1 x3 x2 (1) ; (2) 2 ; (3) . 2 2 x( x 1)2 x2 5 x 6 ( x 1)( x 2 x 1)
第四节 有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换化 为有理函数的积分. 例如:
n n ax b ; 令 R ( x , ax b ) d x , t
高等数学课件上第44有理函数积分
积分公式的应用场景
物理、工程等领域的计算
解决实际问题，如计算面 积、体积等
数学建模，如微分方程、 积分方程等
科学研究，如统计、概率 等
计算机科学，如数值计算、 算法设计等
积分公式的推导过程
积分的定义：将函 数在某一区间上的 值进行求和，得到 该区间上的积分值
积分的性质：积分 具有线性性、可加 性、可乘性等性质
积分变换：用于进行有理函数的积分变 换
积分不等式证明：用于证明有理函数的 积分不等式
积分估计：用于估计有理函数的积分值
在其他数学分支中的应用
微积分：有理 函数积分是微 积分的重要内 容之一，广泛 应用于求解微 分方程、积分
方程等
概率论与数理 统计：有理函 数积分在概率 论与数理统计 中用于求解概 率密度函数、 概率分布函数
结果相加
注意事项：在分 解被积函数时， 需要注意分解后 的部分能否进行 积分，以及分解 后的部分能否相 加得到原被积函
数
三角换元法
基本思想：将复杂函数转化为简单函数，便于积分 步骤：选择适当的三角函数，将原函数进行变换 注意事项：选择合适的三角函数，注意变换后的函数形式 应用：适用于有理函数积分的计算，特别是含有三角函数的有理函数
适用条件：f(x)为有理函数，且积分区间为[a, b]
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
计算步骤： a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
注意事项： a. 确保f(x)为有理函数 b. 积分区间[a, b]必须正 确 c. 计算过程中可能出现误差，需要多次计算以验证结果
有理函数的积分
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
1 4
sin x cos2 x
dx
1 4
1 sin
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
11
11
11
4 cos2 x d(cos x) 4 sin x dx 4 cos2 x dx
1 4cos
x
1 ln tan 4
x 2
1 tan 4
x
C.
三、简单无理函数的积分
讨论类型 R( x, n ax b), R( x, n ax b ), cx e
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论积分
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
,
x2
px q x
p2
2
q
p2 , 4
令 x pt
2
记 x2 px q t 2 a2 , Mx N Mt b,
则 a2 q p2 , b N Mp ,
4
2
(
x
Mx 2 px
1 a2
)n
dt .
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
sin x 2sin x cos x 22
2tan x 2
sec2 x
解 sin A sin B 2sin A B cos A B
2
2
1 sin x sin 3x sin
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有理函数的积分
(1) 分母中若有因式 (xa)k,( k为正整数), 则分解
后为 (x A 1 a)k(x A a 2)k1 xA ka
(其中A1,A2, ,Ak都是常数)
若
k1,分解后有
x
A
a
.
(2) 分母中若有因式(x2p xq)k,其中
p24q0,
则分解后为
(x M 2 1 x p N q 1 x ) k (x 2 M 2 p x N q x 2 ) k 1 x M 2 k x p N k q x
(Mi,Ni都是常数 (i 1 ,2 , ,k )) 若 k1,分解后有 x2MxpxNq.
注:求有理函数积分的关键是 利用待定系数法将真 分式化为部分分式之和.
例 1
求不定积分
I
x2
x3 dx. 5x6
例 2
求不定积分 I
1 x(x1)2 dx.
例 3 求不定积分 I2x3x 42 x 52 x 25 x 45d.x 解法1 Ix 4 2 x 3 5 x 2 5 x 4 d xx 4 2 x 5 2 x 2 5 4 dx
4.4 有理函数的积分
1. 有理函数的积分 2. 三角函数有理式的积分 3. 简单无理函数的积分
一、有理函数的积分 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数称之.
Q P ( (x x ) ) b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m , 其中 m、n都是非负整数; a0,a1, ,an及 b0,b1, ,bm 都是实数,并且a0 0,b0 0.
2
22
例 4
求不定积分
I
1 dx. x(x7 2)
二、简单无理函数的积分
例 5 求不定积分 I 1 dx. x x
例 6 求不定积分 I x dx. 3 3x1
1
例 7 求不定积分 I
dx.
x(13 x)
例 8 求不定积分 I x5 dx. 1 x2
例 9 求不定积分 I 1 dx.
1 2d (x x 4 4 5 5 x x 2 2 4 4 )(x x 2 1 1 )x x (2 2 4 4 )dx
1 2 l|n x 4 5 x 2 4 |x |n x 4 5 x 2 4 | arx c 1 a ta rx c n C .t
假定分子与分母之间没有公因式:
(1) nm ,这有理函数是真分式;
(2) nm,这有理函数是假分式.
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一 个真分式之和. 例
x3x 2 x1 1xx211
难点 将有理函数化为部分分式之和. 有理函数化为部分分式之和的一般规律:
(1) 分母中若有因式 (xa)k,( k为正整数), 则分解 后为 (x A 1 a)k(x A a 2)k1 xA ka
1ex
内容小结 1. 有理函数的积分 2. 三角函数有理式的积分
3. 简单无理函数的积分 常用根式代换，将无理函数有理化，再积分之.
4. 注意事项 有理函数和三角有理函数的积分理论上均可
采用上述方法进行积分，但往往计算量较大， 因而对具体问题计算时，应观察分析是否能 采用更简便的方法.