有理函数及三角函数有理式的积分
合集下载
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
有理函数
（其中各系数待定）； 其中各系数待定）；
例1
x+3 x2 − 5x + 6
=
分母因式分解
=
x + 3 ( x − 2 )( x − 3 )
比（ 较 系 数 法 ）
部分分式之和
A B , + x−2 x−3
x + 3 = A( x − 3 ) + B ( x − 2 ),
通分后分子相等
⇒
∴ x + 3 = ( + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
3、有理函数积分法
(1) 假分式
多项式除法
→
多项式 + 真分式;
x3 + x + 1 1 如 = x+ 2 2 x +1 x +1
(2) 真分式
待定系数法
→
： 部分分式之和
P( x ) 化为部分分式之和的步骤： 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x ) 在实数系作标准分解： （1）对分母 Q ( x )在实数系作标准分解： b0 ( x − λ1 )α1 L( x − λk )α k ( x 2 + p1 x + q1 ) β1 L( x 2 + ph x + qh ) β h
（其中 x 2 + p i x + q i , i = 1, L , h 为 不可约因式 )
( x − a ) k ，对应的部分分式为 （2）分母中因式 ） A1 A2 Ak , + + L+ k k −1 ( x − a) ( x − a) x−a
都是待定 常数. 待定的 其中 A1 , A2 ,L , Ak 都是待定的常数
有理函数及三角函数有理式的积分
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
解:
备用题 1. 求不定积分
x6
1 (1
x2
)
dx
.
分母次数较高, 宜使用倒代换.
解：令 t 1 , 则
,故
x
x6
1 (1
x
t6
(
1 t2
讨论积分
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx,
x2
px
q
x
p2
2
q
p2 4
,
令 x pt
2
记 x2 px q t 2 a2 , Mx N Mt b,
则 a2 q p2 , b N Mp ,
4
2
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
(t2
Mt a2 )n
dt
(t2
b a2 )n
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
x sin2 2
x 2
1 tan2 x
1
tan2
有理函数的积分
1.有理函数的积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，一般形式为其中都是常数，为非负整数。
我们只需考虑真分式的积分，先来考虑两种特殊类型：（Ⅰ）这种类型是容易积出来的，（Ⅱ）作适当换元（令）,可化为上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为：对第二个不定积分，记用分部积分法可导出递推公式：整理得重复使用递推公式，最终归结为计算而可积出来为这样就可完成对不定积分（Ⅱ）的计算。
对任一个有理函数而言，均可写成一个多项式与一个有理真分式的和，而多项式的积分问题已经解决，下面主要考虑有理真分式(不妨设)的积分问题。
为叙述简便，不妨设．其方法是将化成许多简单分式（即类型（Ⅰ）、（Ⅱ））的代数和然后逐项积分。
由于类型（Ⅰ）、（Ⅱ）总是可“积出来”的，从面有理函数总是可以“积出来”。
下面简述分解有理真分式（）的步骤：第一步按代数学的结论，将分母分解成实系数的一次因式与二次因式的乘幂之积。
其中均为自然数。
第二步根据因式分解结构，写出的部分分式的待定形式：对于每个形如的因式，所对应的部分分式为对于每个形如的因式，所对应的部分分式为把各个因式所对应的部分分式加起来，就完成了对的部分分式分解。
第三步确定待定系数：通分后比较分子上的多次式的系数，得待定系数的线性方程组，由此解得待定系数的值。
例8.13 求2.三角函数有理式和积分由及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于的有理式（或三角函数有理式）。
用表示对于这种函数的不定积分我们总可通过代换，化为以为变量的有理函数的积分。
理由是，，，又，故从而上面的讨论说明：三角函数有理式也总是可以“积出来”的，但对具体问题而言，用上述方法往往计算量太大，因此，有时要考虑用其它简便方法。
（1）如果是的奇函数时，即则设即可。
例如求（1）；（2）．（2）如果是的奇函数时，即则设即可。
例如求．（3）如果是关于与的偶函数时，即则设即可。
例如求（1）；（2）．（4）请研究被积函数为（为自然数）时的情况。
第4节 有理函数的积分
(1)
1 1 1 1 . ∴ = + − 2 2 x ( x − 1) x ( x − 1) x − 1
9
1 A Bx + C , + 例4 2 = 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1 + x
1 = A(1 + x 2 ) + ( Bx + C )(1 + 2 x ),
整理得 1 = ( A + 2 B ) x 2 + ( B + 2C ) x + C + A,
∫
16
例10. 求
∫ (x2 + 2x + 2)2 dx
2
x
2
(x + 2x + 2) − (2x + 2) dx 解: 原式 = ∫ 2 2 (x + 2x + 2) 2 dx d(x + 2x + 2) =∫ −∫ 2 2 2 (x +1) +1 (x + 2x + 2)
= arctan( x +1) +
令t = cos x
令t = sin x
令t = tan x
19
例1. 求
x 为奇函数, 故令t = sin x , (cos2 x − 2) cos x dx (sin 2 x +1) d sin x 原式 = ∫ = −∫ 2 4
解: 因被积函数关于 cos
∫ 1+ sin 2 x + sin 4 x dx .
2 1 2x 1 1 = ln(1 + 2 x ) − ∫ dx + ∫ dx 2 2 5 5 1+ x 5 1+ x 2 1 1 2 = ln(1 + 2 x ) − ln(1 + x ) + arctan x + C . 5 5 5
8有理函数
2u + 1 + u2 − 1 − u2 du =∫ 2 (1 + u)(1 + u )
(1 + u)2 − (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du − ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u
1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) − ln | 1 + u | + C 2 x Q u = tan 2 x x = + ln | sec | − ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2
2B A + 2B = 0, 4 2 1 B + 2C = 0, ⇒ A = , B = − , C = , 5 5 5 A + C = 1, 4 2 1 − x+ 1 ∴ = 5 + 5 25. 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1+ x
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
有理函数和可化为有理函数的 不定积分
一、有理函数的不定积分
二、三角函数有理式的不定积分 三、简单无理函数的不定积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义： 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n + a1 x n−1 + L + an−1 x + an = m m −1 Q( x ) b0 x + b1 x + L + bm −1 x + bm
有理函数及三角函数有理式的积分
有理函数及三角函数有理式的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指可以表示为常熟分式的函数，称为有理函数。
有理函数主要由多项式和
不定积分所组成。
1.直接积分法：即把有理函数积分后的结果表达式化成原函数的另一种表达形式，常
用整理、贝塞尔曲线等方法来解决。
2.常熟分式积分法：将有理函数分解成分加函数，然后分别积分，再把积分结果求和。
三角函数是一类有特殊解析特性的函数，它们其中包括正弦、余弦函数、正切函数等等。
由于三角函数以及它们的倒数和反函数都有解析特性，因此其积分是容易解决的。
1.利用倒数公式积分：针对三角函数有一系列专有倒数公式，其中包括 Ma 矩阵公式
和高尔文三角函数积分公式。
2.利用反函数积分：由于三角函数都有反函数，因此也可以利用反函数将三角函数的
积分问题转化为反函数的积分问题，从而轻松解决。
3.利用改元积分：改元积分是把变量改为一些更简单的函数，然后分别积分得出结果，可以将三角函数的积分转化为改元积分，以减少积分的难度。
总之，有理函数和三角函数都可以通过不同的方法解决积分问题，在解决的时候需要
根据具体的函数情况来选择最适合的积分法，才能更好的解决积分问题。
有理函数的不定积分
A Mx + N ; ( k ∈N+ , p2 − 4q < 0) (x − a)k (x2 + p x + q)k
注：
1）若Q( x)含有因子( x − a) k , 则分解式中含有： ] [ Ak A1 A2 + +⋯ + ( A1 , A2 ,⋯ , Ak 为常数）； k 2 x − a ( x − a) ( x − a)
x x 2sin 2 cos 2
x 2tan 2
1+ sin x x 例 ∫ 5. dx(令t = tan ) sin x(1+ cos x) 2
=∫
1+
2t
2t 1+t 2
1−t 2 ) 1 2( + 1+t 1+t 2
⋅ 2 2 dt 1+t
1 1 = ∫ t + 2 + dt 2 t
1 1 2 = t + 2t + ln t + C 2 2
1 2x x x 1 = tan + tan + ln tan + C 4 2 2 2 2
例6. 求
dx x 1 2 解法1: 解法 ∫ (令t = tan ) = ∫ ⋅ dt 2 2t 1 + t 1+ sin x 2 1+
dx 例4. 求 ∫ 4 x +1 1 (x2 +1) − (x2 −1) 解: 原式 = ∫ dx 4 2 x +1
1+ 1 1− 1 1 1 x2 x2 = ∫ 2 dx − ∫ 2 dx 2 x +1 2 x +1 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2dx
x22x 2
d(x 1)
(x 1)21
2x 2arcta n(x 1) C
(x2)2
arcta n(x 1) C
x22x 2
2dx
(x 2)(x22x 2)
二、三角函数有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式。
数都可用sin x及cosx的四则运算来表示，故三角函数有理式也可以说是由 常数经过有限次四则云素所构成的函数，记为 有理式，积分R(si nx,cosx)dx称为三角有理式的积分。
x 3
例2把x25x
6分解为最简分式之和.
解：因为x5x
6
(x 2)(x 3)
x 3
A
B
2
所以，令x 5x上式两端去分母后，
6
得
x 2
x 3
，其中A、B为待定常数.
或
x
3 A(x 3)
B(x
2)
比较两端系数有
x
3 (A B)x
(3A
2B)
A
i B 1
(3A B) 3
从而解得A
5,
B 6•所以
x 3
5
下面通过举例来说明这类函数的积分方法.
易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还
“积不出”。例如，
sin x dx
dx,
x In x
被积函数都是初等函数， 看起来也并不复杂， 但是在初等函数范围内却积不出来，这是
因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分
计算技巧。
求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”
“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等
变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、 提取公因子；三角恒等变形：半角、 倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、 分母配完全平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。“换”，即第二类换元法（三角代换、 倒代换、指数代换法等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。
§3.6有理函数及三角函数有理式的积分
教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握
有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。
重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用
难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用
教学过程:
一、问题的提出
前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积 分法）已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按 照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容
1，
C)(x 2)
C 2
2
(x 2)(x 2x 2)
x2
x22x 2
由上可知，有理函数总能分解为多项式及最简分式之和,AAMx NMx N
X a、(x a)、X px q、(x数的积分.显然，前面四类都比较容易积出， 一类积分较繁，
其积分最终归结为多项式、
解：因为
又由前面例
3X
k2
px q) (k N,k 1, p 4q 0)等五类函 我们将在下面的例子中进行介绍，而对于最后 其结果可通过查阅积分表求得，这里不作讨论
求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合 运用上述方法。
二、有理函数的积分 有理函数R（x）是指由两个多项式的商所表函数，即
nn1
P（x） a°xaixa* ix a*
R（x）Q（x）b°xmbixm 1bmiX bm
其中m和n都是非负整数；ao，ai，a2,，an及5,4,5,，bm都是实数，通常总假定 分子多项式P（x）与分母多项式Q（x）之间没有公因式，并且ao0，bo0.
6
x
：25x
6x2
x 3
注：此题也可以采用上例第二种方法确定待定系数.
2
x
2
例3把(X2)(x2x2)分解为最简分式之和.
解：因为分母中x
2x 2为二次质因式,
2
X
故应分解为
两端去分母得
(x 2)(x22x 2)
Bx C
2x 2
2 2
x A(x 2x
比较两端对应项的系数不难求得A2，
所以
2)
B
(Bx
2dx
例6求(x 2)(x 2x 2)
解：由例3可得
(X 1)2
1
(X 1)
dx
—dx
x 1
(x 2)(x22x
又x2
dx
从而
2x
dx——2——dx
2)x 2dx
1
(2x 2)1
二dx
x22x 2
2x 2丄
「dx
x22x 2
2
d(x 2x 2)
2
x
1
2
1
2
1|n
2
2x 2
x2
x 2
2x
x2
In
2dx
P(x)
综上所述，有理函数分解为多项式及部分分式之和以后，各个部分都能积出， 且原函数
都是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。
由上述定理，我们得到求有理真分式不定积分旦凶dx的步骤书为：
Qm(x)
第一步 将Qm(x)分解为(2)的形式；
第二步 将旦型分解为(3)的形式；
Qm(x)
第三步求各部分分式的原函数。
2A B
C 0
A
1
从而解得A1,B
1,C
1.
1
1
1
1
于是得x(
x 1)
2
=x
(x 1)2
(x 1).
注：此题定A、B、C还有另法： 在恒等式⑴中，代入适当的x值，即可求出待定的 常数•
在式⑴中
令x令x再令x
1，得B 1；
0,得A 1：
2，得C
1.
于是得
1
1 1
1
x(x
1)2=
x (x 1)2
(x 1)
下面通过具体的举例来说明分解的方法和步骤.
1
例1把x(x1f分解为最简分式之和•
解：根据真分式的性质可设
1
A
B
C
x(x
1)2=
x (x
1)2
(x
1)
上式两端去分母后，得
1
A(x
1)2
Bx Cx
(x
1)
(1)
或
1
(A
C)x2
(2A
B
C)x A
⑵
因为这是恒等式，等式两端对应项的
勺系数应相等，
于是有
A
C 0
x34x22x9 ,
2dx
x 5x6x34x22x 9
x25x 6
x 3
~2
2知x 5x 6
4x22x 9
dx
X
x25x
6
3
所以,
例5求 解：因为
2
X
2
X
X
2
£
x(x
5x6
51n x
2dx
1)
所以
2dx
x(x 1)
Ldx
3
61n x
x(x 1)
(x
1
(X 1)
2dx (x 1)2
1
x 1
2X
Inx
In x 1
当n m时，称R（x）为真分式；而当n m时，称R（x）为假分式.
一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式•例如
43
x x2,x1
2x x 12—
x 1x 1.
多项式的积分容易计算，因此，有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题，
式的积分往往是转化为最简分式来计算•鉴此，我们先来讨论真分式分解为最简分式问题
x22x 2
d(x 1)
(x 1)21
2x 2arcta n(x 1) C
(x2)2
arcta n(x 1) C
x22x 2
2dx
(x 2)(x22x 2)
二、三角函数有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式。
数都可用sin x及cosx的四则运算来表示，故三角函数有理式也可以说是由 常数经过有限次四则云素所构成的函数，记为 有理式，积分R(si nx,cosx)dx称为三角有理式的积分。
x 3
例2把x25x
6分解为最简分式之和.
解：因为x5x
6
(x 2)(x 3)
x 3
A
B
2
所以，令x 5x上式两端去分母后，
6
得
x 2
x 3
，其中A、B为待定常数.
或
x
3 A(x 3)
B(x
2)
比较两端系数有
x
3 (A B)x
(3A
2B)
A
i B 1
(3A B) 3
从而解得A
5,
B 6•所以
x 3
5
下面通过举例来说明这类函数的积分方法.
易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还
“积不出”。例如，
sin x dx
dx,
x In x
被积函数都是初等函数， 看起来也并不复杂， 但是在初等函数范围内却积不出来，这是
因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分
计算技巧。
求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”
“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等
变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、 提取公因子；三角恒等变形：半角、 倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、 分母配完全平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。“换”，即第二类换元法（三角代换、 倒代换、指数代换法等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。
§3.6有理函数及三角函数有理式的积分
教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握
有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。
重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用
难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用
教学过程:
一、问题的提出
前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积 分法）已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按 照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容
1，
C)(x 2)
C 2
2
(x 2)(x 2x 2)
x2
x22x 2
由上可知，有理函数总能分解为多项式及最简分式之和,AAMx NMx N
X a、(x a)、X px q、(x数的积分.显然，前面四类都比较容易积出， 一类积分较繁，
其积分最终归结为多项式、
解：因为
又由前面例
3X
k2
px q) (k N,k 1, p 4q 0)等五类函 我们将在下面的例子中进行介绍，而对于最后 其结果可通过查阅积分表求得，这里不作讨论
求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合 运用上述方法。
二、有理函数的积分 有理函数R（x）是指由两个多项式的商所表函数，即
nn1
P（x） a°xaixa* ix a*
R（x）Q（x）b°xmbixm 1bmiX bm
其中m和n都是非负整数；ao，ai，a2,，an及5,4,5,，bm都是实数，通常总假定 分子多项式P（x）与分母多项式Q（x）之间没有公因式，并且ao0，bo0.
6
x
：25x
6x2
x 3
注：此题也可以采用上例第二种方法确定待定系数.
2
x
2
例3把(X2)(x2x2)分解为最简分式之和.
解：因为分母中x
2x 2为二次质因式,
2
X
故应分解为
两端去分母得
(x 2)(x22x 2)
Bx C
2x 2
2 2
x A(x 2x
比较两端对应项的系数不难求得A2，
所以
2)
B
(Bx
2dx
例6求(x 2)(x 2x 2)
解：由例3可得
(X 1)2
1
(X 1)
dx
—dx
x 1
(x 2)(x22x
又x2
dx
从而
2x
dx——2——dx
2)x 2dx
1
(2x 2)1
二dx
x22x 2
2x 2丄
「dx
x22x 2
2
d(x 2x 2)
2
x
1
2
1
2
1|n
2
2x 2
x2
x 2
2x
x2
In
2dx
P(x)
综上所述，有理函数分解为多项式及部分分式之和以后，各个部分都能积出， 且原函数
都是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。
由上述定理，我们得到求有理真分式不定积分旦凶dx的步骤书为：
Qm(x)
第一步 将Qm(x)分解为(2)的形式；
第二步 将旦型分解为(3)的形式；
Qm(x)
第三步求各部分分式的原函数。
2A B
C 0
A
1
从而解得A1,B
1,C
1.
1
1
1
1
于是得x(
x 1)
2
=x
(x 1)2
(x 1).
注：此题定A、B、C还有另法： 在恒等式⑴中，代入适当的x值，即可求出待定的 常数•
在式⑴中
令x令x再令x
1，得B 1；
0,得A 1：
2，得C
1.
于是得
1
1 1
1
x(x
1)2=
x (x 1)2
(x 1)
下面通过具体的举例来说明分解的方法和步骤.
1
例1把x(x1f分解为最简分式之和•
解：根据真分式的性质可设
1
A
B
C
x(x
1)2=
x (x
1)2
(x
1)
上式两端去分母后，得
1
A(x
1)2
Bx Cx
(x
1)
(1)
或
1
(A
C)x2
(2A
B
C)x A
⑵
因为这是恒等式，等式两端对应项的
勺系数应相等，
于是有
A
C 0
x34x22x9 ,
2dx
x 5x6x34x22x 9
x25x 6
x 3
~2
2知x 5x 6
4x22x 9
dx
X
x25x
6
3
所以,
例5求 解：因为
2
X
2
X
X
2
£
x(x
5x6
51n x
2dx
1)
所以
2dx
x(x 1)
Ldx
3
61n x
x(x 1)
(x
1
(X 1)
2dx (x 1)2
1
x 1
2X
Inx
In x 1
当n m时，称R（x）为真分式；而当n m时，称R（x）为假分式.
一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式•例如
43
x x2,x1
2x x 12—
x 1x 1.
多项式的积分容易计算，因此，有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题，
式的积分往往是转化为最简分式来计算•鉴此，我们先来讨论真分式分解为最简分式问题