有理函数及三角函数有理式的积分

有理函数及三角函数有理式的积分§3.6有理函数及三角函数有理式的积分教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。

重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用教学过程：一、问题的提出前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积分法）已经求出了一些不定积分。

从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易。

即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。

例如，sin x ’ dx x' dx----- dx-—, e dx -------- 3，x In x #1 x被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数范围内却积不出来，这是因为被积函数的原函数不是初等函数。

本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。

求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。

“变”，即代数恒等变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。

“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等）。

“分”，即分部积分法。

“套”，即套基本公式。

求不定积分的主要技巧在一个“巧” 字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合运用上述方法。

二、有理函数的积分有理函数盹）是指由两个多项式的商所表函数，即卩r # 、n n 1P（x） a0x a1x a n1x a nR（x）Q（x） b o x m b i x m 1b m i x b m其中m和n都是非负整数；九叭归，务及b0,b1,b2, ,b m都是实数，通常总假定分子多项式P（x ）与分母多项式Q（x）之间没有公因式，并且a0 0，b0 o.当n m 时，称R (x )为真分式；而当n m 时，称R (x ) 为假分式■一个假分式总可化为一个多项式和一个真 分式之和的形式.例如x 4 x 3 2 x 1 —2 x x 1x 1 x 1 .多项式的积分容易计算，因此， 积分主要是解决真分式的积分问题， 积分往往是转化为最简分式来计算. 先来讨论真分式分解为最简分式问题P(x) 在实数范围内，真分式 丽总可以分解成最 简分式之和，且具有这样的对应关系：① 如果Q(x)中有因式(x a)k ，那么分解后相应有 下列k 个最简分式之和A 1 A 2A k (x a)k (x a)k 1(x a) 其中A 、A 2、・・・、A k 都是常数.特别地，如果k 1 ,A那么分解后只有一项门；② 如果Q (x )中有因式(x 2 P x q )k ( P 2 4q 0)，那么 分解后相应有下列k 个最简分式之和M 1x N 1 M 2x N 2M k x N k (x 2 px q)k (x 2 px q)k 1x 2 px q 其中N i 都是常数.特别地，如果k 1，那 Mx N么分解后只有一项x 2 px q 有理真分式总能分解为若干个部分分式之有理函数的 而真分式的 鉴此，我们和的形式(部分分式是指这样一种简单分式，其分母为一次因式或二次质因式)。

从而得到，有 理真分式的积分总可以归纳为以下四种形式的部分分式的积分:n dx ( p 2 4q 0),其中系数A 、M 、N 为常数px q)综上所述，有理函数分解为多项式及部分分 式之和以后，各个部分都能积出，且原函数都是 初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函 数。

由上述定理，我们得到求有理真分式不定积 分空Ldx 的步骤书为：Q m (x)第一步 将Q m”)分解为(2)的形式； 第二步将阳分解为(3)的形式；Q m (x)第三步 求各部分分式的原函数。

下面通过具体的举例来说明分解的方法和 步骤. 例1把x(x 1)2分解为最简分式之和.(1) —^dx; x a A n dx (x a)2Mx N dx x px q(p 2 4q 0)解：根据真分式的性质可设1 A B C2 2= x (x 1) (x 1)X(x 1)上式两端去分母后，得1 A(x 1)2 Bx Cx(x 1) (1)或1 (A C)x2 ( 2A B C)x A (2)因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有A C 02A B C 0A 1从而解得A 1， B 1，C 1.1 丄 1 1于是得x(x 1)2= X (x 1)2 (x 1).注：此题定A、B、C还有另法：在恒等式⑴中，代入适当的x值，即可求出待定的常数.在式⑴中令x 1，得B 1 ；令x 0，得A 1 ；再令x 2，得 C 1 .于是得1 1 1 1x(x 1)2= x (x 1)2 (x 1)■x 3 例2把x2 5x 6分解为最简分式之和.解：因为x2 5x 6 (x 2)(x 3)x 3 A B所以，令x2 5x 6 n n，其中A、B为待定上式两端去分母后，得x 3 A(x 3) B(x 2) (3)或x 3 (A B)x (3A 2B)比较两端系数有A B 1(3A B) 3从而解得 A 5 , B 6■所以 x 35 6 ~2 x 5x 6 x 2 x 3 注：此题也可以采用上例第二种方法确定待 定系数.x 2例 3 把(x 2)(x 2 2X解：因为分母中x 2 解为 A (x2)(x 2 2x 2) x 二 两端去分母得C)(x 比较两端对应项的系数不难求得C 2所以2 x(x 2)(x 2 2x 2)门厂 2x 22)分解为最简分式之和. 2x 2为二次质因式，故应分Bx C x 2 2x 2 x 2 A(x 2 2x 2) (Bx 2)A 2B 1由上可知，有理函数总能分解为多项式及最简分式之和，其积分最终归结为多项式、A Mx N Mx Nk 2 2k n (x a) 、x px q、(x px q) (k N, k 1, p 4qAx a、0)等五类函数的积分•显然，前面四类都比较容易积出，我们将在下面的例子中进行介绍，而对于最后一类积分较繁，其结果可通过查阅积分表求得，这里不作讨论.解：因为x3 4x2 2x 9----- 2dx x 5x 6x3 4x2 2x 9x 5x 6又由前面例2知x3 4x2 2x 9 —dxx 5x 6x 3 x2 5x 6_5所以,-2xx2 5x 6 x1丄x 262x3旦dxx 3例5求解：因为5ln x 2 6ln1x(x 2dx1)21x(x 1)2= x12(x 1) (x 1)所以^77 dx 丄xSxxln x1(x 1)21(x 1)2dx(x 1)—In x 1 Cx 12x .dxdx例6 求(x 2)(x22x 2) 解：由例3可得2x , 22 dx dx(x 2)(x22x 2) x 2dx1(2x 2) 1 x 2 」 2 亠.2dx 2dx 乂x2 2x 2 x22x 2 x 2 dxx 2x 2dx __1 dx 2x 2 x 2 2x 2 22x 2) d(x 1)2x 2 2x 2 (x 1) 1 22x 2 arcta n(x 1) C从而______ ________ dx Inarctan(x 1) C (x 2)(x 2 2x 2) J x 2 2x 2 二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所 构成的函数称为三角有理式。

由于各种三角函数 都可用sinx 及cosx 的四则运算来表示，故三角函数有 理式也可以说是由sinx. cosx 及常数经过有限次四 则云素所构成的函数，记为R(sinx,cosx),其中R(u,v)表 示两个变量的 有理式，积分R (sinx,c o sx)dx 称为三角有理式的积分。

下面通过举例来说明这类函数的积分方法.1例］ 7 ^求 1 sinx cosx解：因为1 _2x2 2 x 2 1 d(x 2 1 -In x 2x x 2sin cos2 2 sin x .2 x 2 x sin cos 一222 x . 2 xcos sin - 2 2 cosx.2 x 2 x sin cos一2 2U，则xx 2ta n — 22x1 tan —2 2 x 1 tan—2 2 x 1 tan2 所以,令吨2usi nx1 u2 cosx代入原积分得2arctanu ，于是:21 u2du1 u2 dx 1 u 21 2 u 4tan - 2最后需要指出的是：分方法是常规方法，虽然有效但往往非常麻烦， 因此，在具体解题时，应尽量采用其它简便方法， 只有在用其它方法难以积分的情况下才采用上 述方法.如下面的例题2例9求厂dx解：此题属于有理函数积分，可采用上述常规 方法做，但用下列方法计算较简便23x ,1 d(x 1)1dx1 sin x cosx2 2, 2u 1 u 1 u 1 2 21 u1 u — du 1 uxIn 1 tan — C2In 1 u C一般说来, .x作变量代换tan 2 分即有对于三角函数有理式积分，总可 u , 其转化为u 的有理函数的积R(sin x, cosx)dx1 2u 1 c u 1 2u ~2 u2 duusin x例 8 求 sin x(1.x 解：令tan 21 sin x , dx sin x(1 cosx)dxcosx)，则x1 1 u2 u2arcta nu于是2 du1|n 2 1|n 2u'tan 4上面所谈两类函数的积 3一 ln x— dx —x3 1 3 x3 1 3x 5 d例 10 求（x D 2 x .解：此题也属于有理函数积分，用下列做法计 算较简便x^dx © 1^26dx 1dx 6 Jdx(x 1)(x 1) Tl dx (x 1)1 1C d(x J 6 E d(x "ln x 1Cx 1 sin x例 11 求 1 sin x % .解：此例属于三角函数有理式积分，用下面做 法计算较为简便形如csinx dcosxdx （a 2 b 2 0）的积分，一般可将被 a sinxbcosx积函数的分子凑成分母与分母的导数的线形组 合，即令csinx d cosx A(asinx bcosx) B(asinx bcosx)，通过比较等式两端sinx 和cosx 的系数，求出A 和B. 对形如 sinmxcosnxdx, sinmxsinnxdx, cosmxcosnxdx 的积 ，般是将被积函数积化和差后再积分。