浅谈三角函数有理式积分的求法

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一道三角函数有理式不定积分的计算方法探讨

一道三角函数有理式不定积分的计算方法探讨作者：胡艳霞来源：《科技资讯》2018年第24期摘要：本文对一道三角函数有理式不定积分进行了多种解法的探讨，运用了不定积分的多种积分方法，其中综合应用了凑微分、第二类换元法（包括三角代换和倒代换）和分部积分法，而且把不定积分的几种主要积分方法给学活了。

通过一题多解，有利于学生突破思维的局限性，拓宽学生的解题思路，帮助学生掌握不定积分方法之间的纵横联系，进而培养学生的发散思维和综合能力。

关键词：三角函数有理式不定积分一题多解高等数学中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）08（c）-0194-02Abstract： In this paper， a trigonometric function rational expression indefinite integral discussed a variety of solution. It is helpful for students to break through the limitations of thinking through multiple solutions， widening the thinking of solving problems of students， further training students' divergent thinking and comprehensive ability.Key Words： Trigonometric function rational expression； Indefinite integral； Multi-solutions； Higher mathematics不定积分是《高等数学》的一个非常重要的内容，也是微积分学的一个重要组成部分。

而计算不定积分是积分的一块核心内容，由于不定积分的计算方法因题而异、灵活多变、技巧性比较强，这对于初学者来说是一个难点。

4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)

原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du

5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6

(x
x+3 - 2)( x - 3)

A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )

2

三角函数的积分

有理函数及三角函数有理式的积分

2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
解:
备用题 1. 求不定积分
x6
1 (1
x2
)
dx
.
分母次数较高, 宜使用倒代换.
解：令 t 1 , 则
,故
x
x6
1 (1
x
t6
(
1 t2
讨论积分
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx,
x2
px
q
x
p2
2
q
p2 4
,
令 x pt
2
记 x2 px q t 2 a2 , Mx N Mt b,
则 a2 q p2 , b N Mp ,
4
2
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
(t2
Mt a2 )n
dt
(t2
b a2 )n
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
x sin2 2
x 2
1 tan2 x
1
tan2

三角函数的有理式积分

三角函数的有理式积分
本文将介绍三角函数的有理式积分的求解方法。

首先，我们会讲解什么是有理式，以及三角函数的相关定义和性质。

接着，我们将以三角函数为主题，详细介绍有理式积分的基本思路和方法，并配以实例讲解，以便读者更好地理解和掌握这一知识点。

最后，我们会总结一些注意事项和技巧，帮助读者在做题过程中避免一些常见错误，提高解题效率和准确率。

本文适合高中数学和大学数学相关专业的学生、教师和爱好者阅读和参考。

- 1 -。

有理函数及三角函数有理式的积分

有理函数及三角函数有理式的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指可以表示为常熟分式的函数，称为有理函数。

有理函数主要由多项式和
不定积分所组成。

1.直接积分法：即把有理函数积分后的结果表达式化成原函数的另一种表达形式，常
用整理、贝塞尔曲线等方法来解决。

2.常熟分式积分法：将有理函数分解成分加函数，然后分别积分，再把积分结果求和。

三角函数是一类有特殊解析特性的函数，它们其中包括正弦、余弦函数、正切函数等等。

由于三角函数以及它们的倒数和反函数都有解析特性，因此其积分是容易解决的。

1.利用倒数公式积分：针对三角函数有一系列专有倒数公式，其中包括 Ma 矩阵公式
和高尔文三角函数积分公式。

2.利用反函数积分：由于三角函数都有反函数，因此也可以利用反函数将三角函数的
积分问题转化为反函数的积分问题，从而轻松解决。

3.利用改元积分：改元积分是把变量改为一些更简单的函数，然后分别积分得出结果，可以将三角函数的积分转化为改元积分，以减少积分的难度。

总之，有理函数和三角函数都可以通过不同的方法解决积分问题，在解决的时候需要
根据具体的函数情况来选择最适合的积分法，才能更好的解决积分问题。

三角有理式积分

三角有理式积分
三角有理式积分是实际生活中经常使用的一种积分形式，它以三角函数作为基函数来计算积分。

它的定义非常简单：在n维的平面上，把函数f（x，y）分解成n’以三角函数π（x，y）为基函数的线性有理组合，则它的定积分为：
III（f，π）=∫∫∫f（x，y）π（x，y）dxdy。

三角有理式积分的优点是可以很容易地将拆分成线性有理组合，这样积分就可以比较准确地运用函数表达式进行计算，节约大量的计算时间和精力。

除此之外，另一个优点是，由于它有理式表达式的性质，噪声信号可以很容易削弱，建立准确的积分量。

另外，三角有理式积分可以消除回旋和复数成分，以便能够准确地确定积分结果。

它还可以用来解决积分微分方程，可以更有效地求解微分方程，从而更好地计算某种物理过程发生的详细步骤。

由此可见，三角有理式积分在工程、物理和数学等领域确实拥有重要的应用。

三角有理式积分作为一种新型的数学方法，它既可以提高计算效率，又可以消除噪声，这种特性使得它在计算中的绝对优势无可限量。

未来，它可能会被广泛应用于工程、物理和数学等多方面。

有理函数和三角函数有理式的积分法

§3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分..在那里，因为被积函数都很特殊，因为被积函数都很特殊，所以用所以用所以用“拼凑的方法”“拼凑的方法”就求出了它们的积分就求出了它们的积分..这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了. .1.有理函数的积分法有理函数的积分()d ()p x x q x ò[ [其中其中()p x 和()q x 都是多项式都是多项式] ] 总可以积出来，即可把它表示成初等函数总可以积出来，即可把它表示成初等函数..积分方法的要点是：第一，若有理函数()()p x q x 中，分子()p x 的次数不低于分母()q x 的次数，则称它为假分式假分式..在这种情形下，就用多项式除法（见下面例2727）），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即()()()()()p x r x s x q x q x =+ [ [其中分子其中分子()r x 的次数低于分母()q x 的次数的次数] ] 于是，()d ()p x x q x ò()()d d ()r x s x x x q x =+òò右端第一项是多项式的积分右端第一项是多项式的积分((用分项积分法可以积出来用分项积分法可以积出来))，所以就变成求有理函数真分式的积分()d ()r x x q x ò. . 关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题. . 例27 例如求有理函数假分式的积分522d 36x x x x -++ò首先像做整数除法那样，做多项式除法：由此可得63225++-x x x 3212323336x x x x +æö=-+ç÷+èø其次再逐项积分，即(余式) 23+x (被除式) （除式）255336000202x x x x x ++++-+++xx x x 40220233-+-+-+-（商式）31233x x -5342222212321132d d d d 33123363636x x x x x x x x x x x x x x x -+++æö=-+=-+ç÷+++èøòòòò这样就变成求这样就变成求((右端最后一个右端最后一个))有理函数真分式的积分有理函数真分式的积分. .第二，第二，对于真分式对于真分式()()r x q x ，先把分母上的多项式()q x 分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积二次因式的乘积((根据代数基本定理，这是可能的).).然后用待定系数法然后用待定系数法然后用待定系数法((或拼凑方法或拼凑方法))把()()r x q x 化成不超出下面这些“最简分式”的和：化成不超出下面这些“最简分式”的和：22,,,()()n m A B Cx D Ex Fx a x b x px q x rx s ++--++++(n 和m 为正整数为正整数)) (分子比分母上的基因式低一次分子比分母上的基因式低一次) )这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. . 我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法. .⑴分母为一次重因式的真分式的积分法例28 例如求例如求2353d (2)x x x ++ò，可令，可令2323532(2)(2)(2)x A B C x x x x +=++++++将右端通分，将右端通分，并比较两端分子，并比较两端分子，并比较两端分子，即即C x B x A x ++++º+)2()2(3522，则得三元线性方程组则得三元线性方程组ïîïíì=++=+=（常数项）的系数）（的系数）（3240452C B A x B A x A ，解得解得ïîïíì=-==23205C B A 于是得于是得3232)2(23)2(2025)2(35+++-+=++x x x x x 因此，因此， 2353d (2)x x x ++ò2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =-++++òòò220235ln 222(2)x x x =++-++【注1】上面求待定系数的方法是比较两端x 的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据2253(2)(2)x A x B x C +º++++，则，则第一步，让2x =-，得23C =；第二步，在2253(2)(2)x A x B x C +º++++两端关于x 求导数，得102(2)x A x B º++. 再令2x =-，得20B =-；第三步，在102(2)x A x B º++两端关于x 求导数，则得102A =，即5A =.【注2】把真分式2353(2)x x ++化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法: :25323(510)22x x x x +=-+++,222253510232023522(2)(2)(2)x x x x x x x +-=+=-++++++ 232353520232(2)(2)(2)x x x x x +=-+++++ ( (你看懂了吗你看懂了吗你看懂了吗?) ?)⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法例如求d ()()cx d x x a x b +--ò，可令，可令 bx Ba x Ab x a x d cx -+-=--+))((（A 和B 为待定系数）为待定系数）然后根据恒等式()()cx d A x b B x a +º-+-，求出待定系数A 和B .于是，于是，d ()()cx d x x a x b +=--òd d ln ||ln ||A B x x A x a B x b x a x b +=-+---òò例29 求2d (3)(5)x x x x ---ò.解设53)5)(3(2-+-=---x Bx A x x x (B A ,为待定常数为待定常数) ) 则得)3()5(2-+-º-x B x A x ，即，即2)35()(-º+-+x B A x B A 比较两端常数项和x 的系数，则得线性方程组的系数，则得线性方程组îíì=+=+1235BA B A 解得23,21=-=B A ( (求求B A 和的另一个方法见下注的另一个方法见下注).).).因此，因此，因此， 523321)5)(3(2-+--=---x x x x x 从而得从而得2d(3)(5)x x x x ---ò113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x x x =--+-=--+---òò【注】在式2(5)(3)x A x B x -º-+-中，让3x =，则得12A =-，所以12A =-；再让5x =，则得32B =，所以32B =.⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法例如例如[[注意注意,,分母没有实根2(40)p q -<]，22222111(1)d d d 424x x ux px q u A p q px ==+++-æö++ç÷èøòòò24,22q p p u x A æö-ç÷=+=ç÷èø(套用积分公式)1arctan u A A =2222arctan 44q q x p p p+-=-2222(2)(2)d (0)d d 2b bx p p x ax ba a ax a ax x x px qx px qx px qæö++-+ç÷+èø¹==++++++òòò222d()21d 22ax px q a b p x a x px q x px q++æö=+-ç÷++++èøòò2221ln()d 22aa bx px q p x a x px q æö=+++-ç÷++èøò(套用前一题的结果套用前一题的结果).). ⑷分母为二次重因式的真分式的积分法例30 例如求积分例如求积分322221d (1)x x x x x -+++ò.若用待定系数法，就令若用待定系数法，就令322222221(1)1(1)x xAx B Cx D x x x x x x -+++=+++++++若不用待定系数法，可依次用多项式除法：若不用待定系数法，可依次用多项式除法：第一步，3222212(2)(3)11x x x x x x x x -++=-+++++；第二步，32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x -+-+=+++++++于是，于是，32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x xx x x x x x x x -+-+=+++++++òòò其中右端第一个积分其中右端第一个积分22222231(21)71d(1)7d d d 1212121322x x x x x x x x x x x x x x -+-++==-++++++æöæö++ç÷ç÷èøèøòòòò217221ln(1)arctan 2233x x x +=++-×而第二个积分而第二个积分2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xxx x x x x x x x x +++++==+++++++++òòòò2222113d (1)1322x x x x =-+++éùæöæöêú++ç÷ç÷êúèøèøëûò[套积分公式⒇] ⑸分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法例如，求22d ()()bx cx d x x a x px q ++-++ò时，可令时，可令 q x p x C x B a x Aq x p x a x d x c x b ++++-=++-++222))((然后根据恒等式然后根据恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++º++++-求出待定系数A 、B 和C . 于是，于是，22d ()()bx cx dx x a x px q ++-++ò2ln ||d Bx C A x a x x px q +=-+++ò (注意2xpx q ++没有实根没有实根,,即240p q -<)2.三角函数有理式的积分法所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数x sin 与x cos 经过有限次的有理运算经过有限次的有理运算((加、减、乘、除加、减、乘、除))得到的函数，记成)cos ,(sin x x R .下面介绍的是形如积分的是形如积分(sin ,cos )d R x x x ò的积分法的积分法..例如积分例如积分2cos d 2sin cos x x x x +ò，1d 2sin cos 1x x x -+ò，1d (0)cos x ab a b x ¹+ò等.实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分..这里介绍的是一般方法这里介绍的是一般方法..你在做题时．．．．．，还是要具体问题具体分析．．．．．．．．．．．，未必就一定要用这里介绍的方法．．．．．．．．．．．．．．（因为一般情形下，这里介绍的方法要麻烦一些）方法要麻烦一些）. .令2tan xt =(称它为半角替换或万能替换称它为半角替换或万能替换))，则，则2222122tan12tan22sec 2tan22cos2tan22cos2sin2sin t t x x xx xx x x x +=+==== 22222222112tan12tan 1)2tan 1(2cos 2sin 2cos cos t t x x x x x x x +-=+-=-=-= t t t x d 12)arctan 2(d d 2+==于是，于是，(sin ,cos )d R x x xò2222212,d 111t t R t t t t-æö=ç÷+++èøò这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分..在有些情形下，像前面做过的那样，不必用半角替换，而用其它三角替换会更简单必用半角替换，而用其它三角替换会更简单..例如例如()i 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令cos t x =； ()ii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令sin t x =； ()iii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=时，令tan t x =.习题1.求下面的原函数：⑴25d (3)x x x --ò； ⑵⑵325d (2)x x x --ò；⑶23354d (1)x x x x -+-ò； ⑷⑷3223242d 21x x x x x x -++-+ò. 答案：⑴323ln -+-x x；⑵2)2(2122-+--x x ；⑶2)1(1111ln 3-----x x x ； ⑷171ln 94232---++x x x x .2.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x d )3)(2(73ò---； ⑵⑵x x x x d 2152ò-++； ⑶⑶x x x x x x d )2)(2(2342ò+---. 答案：⑴3ln 22ln -+-x x ；⑵1ln 22ln 3-++x x ；⑶2ln 252ln ln 21++-+x x x . 3.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x x d )1)(2(23222ò++-+； ⑵⑵x x x x x d )32)(1(2ò+++； ⑶⑶x x x d 134ò+. 答案：⑴x x arctan )1ln(2-+；⑵21arctan 21)32ln(411ln 212++++++-x x x x ；⑶312arctan 311)1(ln 6121222--+-++x x x x x . 4.根据提示，请把下面的演算做到底：根据提示，请把下面的演算做到底：⑴tan 21d 2sin cos 1x t x x x æö=ç÷èø====-+ò⑵(cos )1d (2cos )sin t x x x x ======+ò⑶2(sin )cos d 2sin cos t x xx x x ======+ò⑷3(tan )3sin d sin cos t x xx x x======+ò答案：⑴22tan2tan ln21+x x ；⑵32)cos 1()cos 1()cos 2(ln 61x x x +-+；⑶12sin 1ln 222sin 1x x +--+；⑷÷÷øöççèæ---+-x x x x x x x sin 3sin cos 2arctan 31cos sin 1)cos (sin ln 612.。

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浅谈三角函数有理式积分的求法
摘要：本文主要通过恒等变形法、凑微分法、变量代换法、裂项法等方法对三角函数有理式积分的求法进行了一些探讨。

关键词：三角函数有理式积分
R（sinx，cosx）表示以sinx、cosx为变元的有理式，即对于sinx、cosx及常数施行有理运算即加减乘除四则运算的结果。

如、、等。

它们都是对cosx、sinx 及常数施行有理运算得到的结果。

笔者对形如R（sinx，cosx）dx的积分算法做了一些探讨，下面就对此类方法作一介绍。

1 恒等变形法
由于三角函数有许多特有的性质，如各种三角函数之间有一些公式相互联系，三角函数的导数仍是三角函数，如sin2x+cos2x=1，（sin2x+cos2x）2=1，1+tan2x=sec2x，（sinx）′=cosx等，这使得三角函数有理式的积分可通过三角函数的恒等变形，将其化为分项积分求出。

一般通过适当的三角恒等式及有关的三角函数的微分公式就能把这些积分求出。

例1：求（sin3x+cos2x）dx；
解：原式= sin3xdx +cos2xdx
=（cos2x-1）d cosx + （1+cos2x）dx
=cos3x-cosx+x+sin2x+C
例2：求dx；
解：原式=cot2xcsc4xdx=-cot2x（1+cot2x）dcotx
=-cot3x-cot5x+C
例3：求dx；
解：原式=（1-）dx = x-dx
=x-dx = x-dx
=x-dtanx=x-arctan（tanx）+C
例4：求dx；
解：设3sinx+2cosx=A（2sinx+3cosx）+B（2sinx+3cosx）′
= A（2sinx+3cosx）+B（2cosx-3sinx）
比较上式两端sinx与cosx的系数，得到
2A-3B=33A+2B=2 ，解得：A=，B=-
故原式= dx
= x-ln|2sinx+3cosx|+C
2 凑微分法
此类方法需熟练地运用有关微分公式，通过一些微分关系式凑微分求之。

例5：求dx；
解：原式=dsinx=
= =arctan（2sin2x-1）+C
例6：求dx；
解：原式=•dx= •dsinx
= dlnsinx = lnlnsinx+C
3 变量代换法
这种求三角函数有理式积分的基本思想是通过变量代换，把积分变成新变量的有理式积分。

常用的变量代换有
（1）余弦代换法：即作变量代换u=cosx，把被积函数化为u的有理函数，此代换法称为余弦代换法。

（2）正弦代换法：即作变量代换u=sinx，把被积函数化为u的有理函数，称此代换法为正弦代换法。

（3）正切或余切代换法：即作变量代换tanx=u，或cotx=u，把被积函数化
为u的有理函数，称此代换法为正切或余切代换法。

（4）万能变换：即作变量代换u=tan，把被积函数化为u的有理函数，称此变换为万能变换。

例7：求cos2xsin5xdx；
解：原式=cos2xsin4x•sinxdx =-cos2x（1-cos2x）2dcosx
= -（cos2x-2cos4x+cos6x）dcosx
= -cos3x+cos5x-cos7x+C
例8：求dx；
解：令t=x+，则原式=dx
=dt = （1-）dt
=1dt-dsint = -ln|sint|+C
= x+-lnsinx++C
例9：求dx；
解：令u=tan，sinx=，cosx=，dx=
故原式=•du=du=(1+)du
=u+ln(1+u2)+C = tan+ln(1+tan2)+C
=tan+lnsec2+C = tan-2lncos+C
4 裂项法
有些三角有理分式函数，其分母由两个或多个因子所组成，有时可用裂项法将被积函数拆分两（多）项的代数和，从而求出其积分。