第6课时_三角形全等的判定(4)“HL”
hl判定定理
hl判定定理
HL判定定理是证明两个直角三角形全等的定理，通过证明两个直角三角形斜边和直角边对应相等来证明两个三角形全等。
具体表述为：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为HL）是一种特殊判定方法。
其中，H是hypotenuse （斜边）的缩写，L是leg（直角边）的缩写。
需要注意的是，这个定理的前提是一定要是直角三角形。
另外，这个定理可以和SSS（三边全等定理）相互转化。
也就是说，如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形也一定全等。
05 三角形全等的判定(四)HL
11．三角形全等的判定(四)HL预习归纳斜边和分别相等的两个直角三角形全等，简写成或．例题讲解【例】(2014·贵州) 如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°基础题训练1．判定两直角三角形全等的方法有(填简写)．2．如图，若PB⊥AB于B，PC⊥AC于C，且PB＝PC，则AB＝，理由是(填全等三角形及三角形全等的理由)．3．如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°4．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，欲证OB＝OC，可以先利用“HL”说明得到AB＝DC，再利用证明△AOB≌得到OB＝OC．5．如图，四边形ABDC中，∠ABD＝∠ACD＝90°，BD＝CD．求证：AD⊥BC．AB CDOAB CDABCP A CBD6．如图，已知∠A ＝90°，AB ＝BD ，ED ⊥BC 于D ． 求证：DE ＋CE ＝AC ．7．如图，∠ACB ＝∠BDA ＝90°，若要使△ACB ≌△BDA ，还需添加一个什么条件？把它们写出来(不再添加字母)⑴ ，理由 ； ⑵ ，理由 ； ⑶ ，理由 ； ⑷ ，理由 ．中档题训练8．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 、BD 相交于O ，如果AC ＝BD ．那么下列结论中：①AD ＝BC ；②∠DAC ＝∠CBD ；③OC ＝OD ．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②C ．①D ．③9．如图，已知AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，AE ＝DF ，AB ＝DC ，AC 与BD 有怎样的关系？你能进行证明吗？10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，且DE ＝DF ． 求证：AB ＝AC ．ABECDDC BC D ABODCAB OBADCE F11．如图，AB ＝AE ，BC ＝DE ，AF ⊥CD 于F ，∠B ＝∠E ． 求证：AF 平分∠BAE ．综合题训练12．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P (4，4)处，两直角边与坐标轴交于点A 和点B ．⑴求OA ＋OB 的值；⑵将直角三角形绕点P (逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A 和点B ，求OA －OB 的值．A BC DEF ABC DF Exx。
直角三角形全等的判定(HL)(教学设计)-八年级数学上册同步备课系列(人教版)
12.2.4直角三角形全等的判定(HL)教学设计一、教学目标：1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．二、教学重、难点：重点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL．难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．三、教学准备：课件、三角尺、圆规等。
四、教学过程：复习回顾1.判定两个三角形全等方法____________________.2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.(1)若∠A=∠D，AB=DE.则与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).(2)若∠A=∠D，BC=EF.则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).(3)若AB=DE，BC=EF.则△ABC与△DEF_______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？知识精讲探究：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=A B.把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).注意：(1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法.因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△.书写格式为：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，==AB A B BC B C′′′′∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)典例解析例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=B D.求证BC=AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠C 与∠D 都是直角，在Rt △ABC 和Rt △BA D 中，BDAC BA AB ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴BC =AD.【针对练习】如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D 、E 两地.DA ⊥AB ，EB ⊥A B.D ，E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？解：AD =BE ，理由如下：依题意可得，AC =BC ，CD =CE .∵DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，∴∠A =∠B =90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中，BCAC CE CD ∴Rt △ACD ≌Rt △BCE (HL)，∴AD =BE.例2.如图，AC ⊥AD ，BC ⊥BD ，AC=BD ，求证：AD=BC .证明:连接D C.∵AC ⊥AD ，BC ⊥BD ，∴∠A =∠B =90°，在Rt △ADC 和Rt △BC D 中，AB BA AC BD∴Rt △ADC ≌Rt △BCD (HL)，∴AD =BC.【针对练习】已知：如图，AB ，AD DC ，AB AD ，求证：BC DC ．证明：连接AC,如下图，∵AB ⊥BC,AD ⊥DC,∴∠B =∠D =90°,在Rt △ABC 和Rt △AD C 中，AC AC AD AB∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL),∴BC =BD.例3.如图，已知AD 是△ABC 的角平分线,且BD =CD ，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足分别为E 、F .求证BE =CF.证明:AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，∴∠AED =∠AFD =90°，在△AED 和△AFD 中，AED AFD EAD FAD AD AD∴△AED ≌△AFD (AAS)，∴DE =DF ，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，BD CD DE DF∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴BE =CF .【针对练习】已知：如图，点A 、E 、C 同一条直线上，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝A D ．求证：BE ＝DE．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴在Rt ABC 与Rt ADC 中，AB AD AC AC，∴Rt ABC ADC ≌R t （HL ），∴∠BAE ＝∠DAE ，在ABE △与ADE 中，AB AD BAE DAE AE AE，∴ABE ADE ≌（SAS ），∴BE ＝DE ．例4.如图，在△AB C 中，∠C ＝90°，AD 是∠CAB 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，点F 在边AC 上，连接DF ．（1）求证：AC ＝AE ；（2）若DF ＝DB ，试说明∠B 与∠AFD 的数量关系；（3）在（2）的条件下，若AB ＝m ，AF ＝n ，求BE 的长（用含m ，n 的代数式表示）．（1）证明：∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴∠C ＝∠AED ＝90°，在△ACD 和△AE D 中，C AED CAD EAD AD AD，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC ＝AE ；（2）解：∠B +∠AFD ＝180°，理由如下：由（1）得：△ACD ≌△AED ，∴DC ＝DE ，在Rt △CDF 和Rt △ED B 中，DC DE DF DB，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD+∠AFD＝180°，∴∠B+∠AFD＝180°；（3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB，∴CF＝BE，由（1）知AC＝AE，∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+BE，∵AC＝AF+CF，∴AB＝AF+2BE，∵AB＝m，AF＝n，∴BE＝12（m﹣n）．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。
第6课时 直角三角形全等的判定HL
第6课时 直角三角形全等的判定（HL ）【学习目标】1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2．知道直角三角形全等的条件，并能加以应用.知识导读1． 已知：线段a ，c (a<c) 和一个直角α，求作：Rt △ABC ，使∠C =∠α，AB=c ，CB= a .（尺规作图）a cα2、与同桌重叠比较，看所作的Rt △ABC 是否重合？结论： 两个直角三角形全等.（简称“斜边、直角边”或“HL ”） 练习1．如图1，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）,根据 （用简写法）.2．判断两个直角三角形全等的条件不正确的是（ ）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一条直角边对应相等D. 两个锐角对应相等3．如图2，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由.当堂检测1．判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（ ）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（4）两边对应相等的两个直角三角形全等..（）（5）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.（）2. 已知：如图, DN=EM , 且DN⊥AB于D , EM⊥AC于E , BM=CN．求证：∠B=∠C.3．如图3，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共有（）A.5对B.4对C. 3对D.2对4．如图4，已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，BE=AC，延长BE交AC于F，求证：BF是△ABC中AC边上的高.（提示：关键证明△ADC≌△BDE）5. 如图, 已知：∠ACB和∠ADB都是直角, BC=BD , E是AB上任一点,求证：CE=DE．。
37 三角形全等的判定4(HL)课件
范例 例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD， AC=BD。 D C 求证：BC=AD。
隐含条件： 公共边 A 方法： 根据条件选择合适的三角形
B
练习
教材P43 练习1
范例 例2.如图，∠ABD=∠ACD=90°， BD=CD，AD与BC相交于点E。 求证：BE=CE。 B A
E
C
D
巩固
2.如图，已知AB=CD，AE⊥BC，DF⊥ BC，CE=BF。 求证：AE=DF。 C D
归纳
B
E
A
C D
F
直角三角形全等判定： 斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等。
可以简写成：“斜边、直角边”或“HL
巩固 1. Rt△ABC与Rt△DEF的各边如图所 示，那么Rt△ABC与Rt△DEF全等吗？ 为什么？ 4cm F A E
6cm
C
4cm
6cm
B 注意：字母的对应位置。
D
4.如图所示，已知D是△ABC的 BC边上的中点，DE⊥AC， DF⊥AB，垂足分别为E，F， 且BF=CE 求证：∠B=∠C
小结 1、直角三角形全等判定： HL, SSS，SAS，ASA(AAS) 2、隐含条件的找法 公共边（角）或部分共边（角） 3、直角三角形全等判定的应用： 通过证明直角三角形全等，从而证 明相关的边相等或角相等
人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(4)HL》教学设计
人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(4)HL》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(4)HL》这一节主要介绍了三角形全等的判定方法之一——HL（Hypotenuse-Leg）判定法。
通过本节课的学习，学生能够理解和掌握HL判定法的含义及其应用，能够运用HL判定法证明三角形全等。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了三角形全等的概念，并学习了SSS（Side-Side-Side）、SAS（Side-Angle-Side）和ASA（Angle-Side-Angle）三种判定方法。
但在本节课中，学生需要理解并掌握HL判定法，并能将其应用于实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能：理解HL判定法的含义，掌握HL判定法的应用。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生运用HL判定法证明三角形全等的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：理解和掌握HL判定法及其应用。
2.难点：灵活运用HL判定法证明三角形全等。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和合作学习法。
通过设置问题情境，引导学生观察、思考、操作和交流，培养学生运用HL判定法证明三角形全等的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作涵盖HL判定法的含义、应用和例题的教学课件。
2.学习材料：为学生准备相关的三角形全等的案例和练习题。
3.教学工具：准备直尺、三角板等教学工具，以便学生在课堂上进行操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示三角形全等的图片，引导学生回顾已学的SSS、SAS和ASA判定方法。
提问：你们还能想到其他判定三角形全等的方法吗？从而引出本节课的内容——HL判定法。
2.呈现（10分钟）介绍HL判定法的含义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
通过课件展示HL判定法的证明过程，让学生理解并掌握HL判定法。
12.2.4 三角形全等的判定(四)(HL)人教版数学八年级上册课件
足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
D
C
HL
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
B
AC=BD
变式3 如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC
的位置关系.
A
HL
Rt△ABD≌Rt△CDB
B
∠ADB=∠CBD
AD∥BC
D C
B
C
A'
B'
C'
课堂练习
1.下列条件：
①两条直角边对应相等；
②斜边和一锐角对应相等；
C'
解：全等，依据是SAS.
利用“HL”判定直角三角形全 等
问题4：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个
Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °，B′C′=BC，A ′B ′=AB，
把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们
能重合吗？
A
B
C
直角三角形全等的判定（“HL”）
掌握用一般方法及特殊方法证明两直角三角形全等.
能够将证明一组角相等或线段相等转化证全等.善于 利用图中隐含的公共边或角.
课前预习
1.布置学生的课前预习任务； 2.进行预习方法指导； 3.对学生预习任务进行检查与评定。
回顾引入
想一想，填一填：
图形
A
B
C
A'
B'
C'
条件
是否能判定三角形全等
三边相等（SSS）
N A
A'
B
C
M
B'
C'
作法：（1）先画∠MCN=90°，
人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(HL)》教学设计
人教版数学七年级上册《三角形全等的判定（HL）》教学设计一. 教材分析《三角形全等的判定（HL）》是人教版数学七年级上册的教学内容。
本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质以及三角形相似的基础上进行学习的。
本节内容的主要目的是让学生了解并掌握三角形全等的概念，以及掌握判定两个三角形全等的方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了三角形的基本概念、性质以及三角形相似的知识。
但是，对于三角形全等的概念和判定方法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，理解和掌握三角形全等的判定方法。
三. 教学目标1.让学生了解并掌握三角形全等的概念。
2.让学生掌握判定两个三角形全等的方法。
3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形全等的概念，以及判定两个三角形全等的方法。
2.教学难点：对于一些特殊形状的三角形，如何运用判定方法进行全等的判定。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、操作等活动，自主探索并掌握三角形全等的判定方法。
2.运用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解三角形全等的概念和判定方法。
3.学生进行小组讨论和交流，培养学生的合作能力和表达能力。
六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。
2.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形相似的知识，然后引入三角形全等的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件和实物模型，展示一些三角形全等的例子，让学生观察并思考如何判断两个三角形全等。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生尝试运用判定方法判断两个三角形是否全等。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师给出一些判断题，让学生独立判断两个三角形是否全等。
教师选取部分学生的答案进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考一些特殊形状的三角形，如何运用判定方法进行全等的判定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第6课时 三角形全等的判定（“HL ”） 核心概念：斜边直角边公理 核心思想：推理论证 核心方法：观察实验法
一.预习案 得分：
一.课前导读
请阅读课本P13-P14，完成下列内容.
1.用尺规作图法根据要求作图，并回答问题： 已知：△ABC,∠C=90°.
求作：△A ′B ′C ′，使∠C ′=90°,B ′C ′=BC ，A ′B ′=AB.
问题：
（1）△A ′B ′C ′与△ABC 全等吗？
（2）上述作图说明：已知____三角形的______和_________作一个三角形，所得的三角形与原三角形全等.
2.①通过上题，我们发现：
__________________________的两个直角三角形全等(简写为______或______).
②请用符号语言表示该种判定方法： 在___△ABC 和__△A ′B ′C ′中
⎩⎨
⎧_
__________
___________
∴______≌______（_____）
二.尝试练习
1.完成下面的证明过程：
如图，AD ⊥BC, AB=AC.求证：△ABD ≌△ACD. 证明：∵AD ⊥BC
∴∠____=∠___=90° 在_______和_______中，
⎩⎨
⎧==______
___________
_____ ∴ ≌ （____）.
2.如图, AC ⊥CB, DB ⊥CB, AB=DC.求证:∠A=∠D.
3.如图,AB=CD,AE ⊥CB, DF ⊥CB ，CE=BF. 求证:AE=DF.
三．回顾与拓展
1．如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，BC=EF ，AB ∥DE ，∠A=∠D.求证：AC=DF.
2．如图, ∠ACB=90°,AC=BC,BE ⊥CE,AD ⊥CE. 求证：①△ACD ≌△CBE ，②DE=AD-BE.
二．学习案得分：
【知识点拨】
1.“斜边直角边”公理的具体内容是什么？如何用
符号语言表示？
2.如何用“斜边直角边”公理证两三角形全等，从
而实现证角（或线段）相等？
【课内训练】
1.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°,若要使△ACB≌
△BDA,还需要添加一个条件：
____________,你添加的依
据是_________.
2.如图，AC⊥BD于C，E在AC上，AB=DE，BC=CE.
求证：∠A=∠D.
3.如图，点E、B在AD上，∠C=∠F=90°，CB=FE，
AE=BD.求证：AC=DF.
4.如图，已知AB=CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
AE=CF.
(1)图中有几对三角形全等？请写出来．
(2)请选取其中一对全等三角形,写出证明过程.
三.反馈案得分：_______
1.如图，已知AB=AC，那么添加下列一个条件后，
仍无法判定△ABD≌△ACD的是（）
A．BD=CD
B．∠BAD=∠CAD
C．∠B=∠C
D．∠ADB=∠ADC
2.如图,∠B=∠D=90°,AB=AD.求证:BC=DC.
3.如图，点E、C在BF上，AB⊥BF,DE⊥BF ,AC=DF，
BE=CF.求证: ∠A=∠D．
4.如图，△ABC中,点D是BC的中点, DE⊥AB于E,
DF⊥AC于F,DE=DF.
(1)图中有几对三角形全等？请写出来．
(2) 请选取其中一对全等三角形,写出证明过程.。