机械制图-点线面关系
机械制图电子教案之点,线面的投影精选全文完整版
模块三点、直线、平面的投影〖相关描述〗组成物体的基本几何元素是点、线、面。
为了表达物体的结构，必须首先掌握几何元素的投影规律。
〖知识准备〗学习情境一点的投影一、点的三面投影特性如图3-1，由于投影面相互垂直，所以连影线也相互垂直，八个顶点A、a、aY、a′、a″、aX、O、aZ构成正六面体，根据正六面体的性质，可以得出点的三面投影图的投影特性如下。
（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ；同时aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW。
（2）点的投影到投影轴的距离，反映空间点到另一投影面的距离，即a′aX=a″ aYW=Aa，也即空间点A到H面的距离；aaX=a″aZ=Aa′，也即空间点A到V面的距离；a′aZ=aaYH=Aa″，也即空间点A到W面的距离。
图3-1 立体上点的投影二、点的投影与直角坐标若将三面投影体系看作直角坐标系，则投影面为坐标面，投影轴为坐标轴，这时点O即为坐标原点，如图31所示。
规定OX轴从点O向左为正，OY轴从点O向前为正，OZ轴从点O向上为正，反之为负。
从图31可得，点A(xA，yA,zA)的投影与坐标有下述关系：xA=OaX=a′aZ；yA=OaY=aaX；zA=OaZ=a′aX。
因此，若已知点的坐标(x，y,z)，就可以画出点的投影图。
三、特殊位置点的投影特殊情况下，点可以属于投影面或投影轴。
1.属于投影面的点当点的某一个坐标为0时，点就从属于一个投影面。
如图3-4(a)所示，点A的Z坐标zA=0，则点A在H面上。
点A的水平投影a与空间点A重合，正面投影a′在OX轴上，侧面投影a″在OYW轴上。
所以，属于投影面的点的投影特性如下。
（1）点的一个投影与空间点本身重合。
（2）点的另外两个投影在坐标轴上。
2.在投影轴上的点当点的两个坐标为0时，点就在投影轴上。
如图3-4(b)所示，点B的X坐标xB=0，Y坐标yB=0，则点B在Z轴上。
机械制图点、线、面的投影
X
az
A
a’’
W
O
ay
a
a’
az
a’’
a’
az
a’’
X ax XA O aYW YW X ax
YA a aYH
a0
a
O aYW YW
aYH
a0
H
YH
YH
YH
点的三面投影与坐标的关系：AAaa’=’=aa’a’ax=z=aa’’aayy==aaxzOO==XZAA
Aa’=aax=a’’az=ayO=YA
水平面的交线OX称为X轴，侧面与水平面的交线OY称为Y轴，
侧面与正面的交线OZ称为Z轴，三个投影轴垂直相交于一点O，
称为原点。
精选课件
3
回本讲
二、点在三面投影体系中的投影
点在三个投影面上的投影，就是通过这三个点分别向三个投影面所
作垂线的垂足。点三投影.swf 和点三投影展开.swf
Z
V
Z
W
Z
V a’
Y
YH
精选课件
7
回本章 回本讲
二、重影点的投影
若两点的某两个空间坐标值分别相等，则这两点必处于同一条
投射线上，因此，这两点在与投射线垂直的投影面上的投影重影于
一点。 Z
e’
e’’
V e’
c’(d’)
f’
DE C
d’’
O
F
e’’
W
c’’(f’’)
c’(d’)
f’
d
X
d
f
e(c)
f
Y
e(c)
H
d’’
c’’(f’’)
点线面的投影
主讲：郝善齐
机械制图-点、直线、平面的投影
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
机械工程制图教程2-2点、线、面的投影
点的投影
point
过空间点A作投射线与投 影面P的交点，即为点A在P面 上的投影。
P
●
A
a
●
P
点在一个投影面上的投影 不能确定点的空间位置。
B1
B2
B3
●
●
b
●
●
重影coincidence of projection
上海理工大学《机械制图》课件(C版)
一、点在三投影面体系中的投影
1、三投影面体系的建立
（1）水平面
V
a A b c B
a
b a
b
c
b
a
c
C b a
实形true shape
c
W
b a
H
c
c
投影特性： 1、ab c∥X轴，abc∥Y轴，均为积聚性投影； 2、水平投影abc反映ABC实形。
●
az
ax
X
A
O
ax
●
a
W
a
●
Y
ay
a● H
ay
Y
4.点的投影规律:
（1）点的正面投影与水平投影的连线a a⊥OX轴； （2）点的正面投影与侧面投影的连线a
a
长对正
⊥OZ轴；
高平齐
（3）点的水平投影到OX轴的距离与点的侧面投影到 宽相等 OZ轴的距离相等，即aax= a aZ 。
为了作图方便，可过原点O作YOY的角平分线，则aaY与a aY的延长线必与这条辅助线 交于一点，从而体现aaz=aax 的对应关系。
2．投影面垂直线 perpendicular line 垂直于一个投影面而平行于另两个投影面的直线。 可分为： 铅垂线----垂直于H面，平行于V、W面的直线； 正垂线----垂直于V面，平行于H、W面的直线； 侧垂线----垂直于W面，平行于V、H面的直线。
机械制图-点、线、面的投影
a " B
a' A
b'
a " W B o
b b
X
"
b
X a H Y
a
H
" Y
投影面平行线在所平行的投影面上的投 影反映实长、反映与另外两个投影面的 夹角实际大小；另两个投影平行于相应 的轴，且缩短。
V Z
d’ c’
d' c' D C d” W X d O
d”
c”
YW
c”
d
H
c
c
YH
Z
V
a到OX轴的距离= a到OZ轴的距离 aa⊥OX轴; aa⊥OZ轴;
练习：点的二求三
已知点的两个投影，可利用点的三面投影特性 求其第三个投影。
Z
a'
X O
a”
YW
aa⊥OX轴; aa⊥OZ轴; a到OX轴的 距离= a到OZ 轴的距离
a
YH
a'
aZ
Z
a''
水平面投影a 正立面投影a’
b”
a”
YW
b”
W
X
b
O
a”
a
a
YH
练习：判断下列直线的类型 并画出第三个视图
a' b' a'
b' a b
b a
练习：立体上的直线
a’
b’
a ’’
c’ d’
b ’’
(c ’’ )
(d ’’ )
a
b
c （d ）
一般位置
铅垂
练习：投影二求三
Z b’
b ’’ c ’’
机械制图-点、直线、平面的投影.doc
机械制图-点、直线、平面的投影机械制图主讲：朱飞第二章点、直线、平面的投影 2 2- - 1 投影法概述 2 2- - 2 点的投影 2 2- - 3 直线的投影 2 2- - 4 平面的投影 2 2- - 5 直线与平面、平面与平面的相对位置本章内容课件目录一、投影法投影面 S 投射中心 A 投射线投影 a P 2 2- - 1 投影法概述二、投影法分类投射中心中心投影法平行投影法斜投影法正投影法正投影的基本特性多面正投影图单面正投影多面正投影直观图多面正投影展开图多面正投影图二、点的三面投影展开图投影图立体图 X X X Y H Y W Z O Y Z Y H Y W Z例2 2- -1 1 已知点A 的正面投影a 和侧面投影a 求作该点的水平投影。
Y W Y H三、点的直角坐标表示法四、各种位置的点 1. 一般位置点。
到三个投影面的距离均不为零。
Y H Y W X Y2. 投影面上的点）到某个投影面的距离（一个坐标值）。
为零。
Y W YH Y3. 投影轴上的点到某两个投影面的距离（二个坐标值）为零。
Y W Y Y H五、两点相对位置 1. 一般情况两点到三个投影面的距离（坐标值）对应不等。
Y H Y Y W2. 特殊情况一两点到一个投影面的距离（坐标值）相等。
Y W Y H Y2. 特殊情况二两点到两个投影面的距离（坐标值）相等。
Y W Y H Y2 2- -3 直线的投影一、各种位置直线及投影特性 1. 一般位置直线由一般位置的两点连线构成。
该直线与三个投影面都倾斜。
投影特性: : 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
Y W Y H Y二、特殊位置直线及特性 1. 投影面平行线在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别平行于直线平行的投影面所包含的两个投影轴。
机械制图点、线、面投影
水平线
正平线
a
b Z a b 实长 a Z a
侧平线
实长
a Z a
γ
β
Xa
b α
YW
X
b
b
YW X a
α b
YW
β
实长
γ
b YH
ba
b
YH
YH
与H面的夹角:α
投影特性
与V 面的夹角:β 与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面的真实倾角。
2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
b
Z b
相似性
c c a
X β
b
γ a
积聚性
o c
YH
相似性
a
YW
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直线，有 积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映该平面对 相应投影面的倾角；
2)如用平面图形表示平面，则在另外两个投影 面上的投影不是实形，但有相似性。
回本章 回本讲
二、投影面的平行面
垂直于两个投影面的平面，平行于第三个投 影面。
根据其所平行的投影面不同，投影面平行 面也可分为三种：
1)水平面——平行于H 面； 2)正平面——平行于V 面； 3)侧平面——平行于W 面。
回本章 回本讲
水平面
正平面
侧平面
名称 水平面 （∥H）
立体图
正平面 （∥V）
侧平面 （∥W)
投影图
投影特性
1)H投影反映实形； 2)V、W投影分别 为平行OX 、OYW 轴的直线段，有 积聚性
第四节 直线和平面、平面和平面的相对位置 ❖ 直线和平面平行
平面和平面平行
机械制图课件-5立体及其表面上的点与线
S
s′
s″
m″
M
m′
a′ A
s
m
s
a
m
a
b、辅助圆法 过圆锥面上点M作一垂直于圆锥轴线的辅助圆， 点M的各个投影必在此辅助圆的相应投影上。过m′作水平线 a′ b′，此为辅助圆的正面投影积聚线。辅助圆的水平投影为 一直径等于a′ b′ 的圆，圆心为s，由m′向下引垂线与此圆相 交，且根据点M的可见性，即可求出 m 。然后再由m′ 和m可 求出m″。
作曲面立体表面上的点和线的投影，就是作它的 曲面或平面表面上的点和线的投影。
1、圆柱
（1）圆柱的投影
分析：圆柱的顶圆平面、底圆平面为水平面，其水平投影反 映实形且重合，正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投 影轴的直线段，且直线段长度等于顶圆和底圆的直径。 投影特点：一个投影面为圆，另两个投影面为矩形。
（2）圆柱表面的点的投影
a’
A b’
c′
C
B
a c
b
a ( b)
c″
宽相等
2、圆锥
（1）圆锥的投影
分析：圆锥的底圆平面为水平面，其水平投影为圆，且反映 实形；其正面投影和侧面投影均积聚为直线段，长度等于底 圆的直径。 投影特点：一个投影面为圆，另两个投影面为三角形。
（2）圆锥表面的点的投影
作图方法有两种：
故点M的水平投影m必在此直 d′ c′
线上，再根据m、m′ 可求出
m″。由于ABCD的侧面投影为 a(d)
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第四节 平面的投影
1、直线与平面平行
分析：过点K可 作无数条水平 线，但要求所 作水平线还要 与△ABC平行， 所以解是唯一 的。由于直线 KM应与平面上 的水平线平行， 因此需要在平 面上取一水平 线
【例1】过已知点K，作一水平线KM平行已知平 面的投影
1、直线与平面平行
分析：由于铅垂线EF的水平 投影积聚成一点，利用其积 聚性，它与平面的交点K的水 平投影可直接得到，然后就 可求得其他投影。
可见性判别：求出交点后， 为了使图形清晰，还需在线、 面投影的重叠部分判别其可 见性，并把被平面图形遮住 的部分画成虚线。
11
66
3) 线、面均是一般位置 例 直线AB与三角形DEF均为一般位置， 求AB与三角形CDE的交点K，并判别可见性。
如一直线与平面上 任一直线平行，则此直 线与该平面平行
【例2】判别直线AB与平面△CDE是否平行
分析：过平面上任意一 点作一条与AB平行的直 线，若该直线属于平面 △CDE，则直线AB平行 于平面，否则，直线AB 与平面不平行
65
DF平行于AB，但F点不在平 面△CDE上，因此直线DF不 属于平面，故直线AB与平面 不平行
（1）分析 根据两平行的迹线
平面，其各同面迹线 应相互平行和点在面 上，点必在面的直线 上。
因此作图应使所作 平面包含已知点K且 其迹线平行于已知平 面P的相应迹线。
21
（2）作图
如图所示，首先过 点K作一辅助线与已 知平面P的一迹线平 行，如图中作正平线 KM//PV 并求得其水平 迹点M。
再过迹点M作QH//PH、 QV//PV ，平面Q即为 所求。
12
(1)求线面交点的步骤：
（i）包含已知直线作辅助 平面P（一般为投影面的 垂直面）；
（ii）求平面P与已知平面 的交线MN；
（iii）MN与已知直线AB 的交点K即所求；
（iiii）判别各投影的可见 性，完成投影。
13
（2）作图
如图所示，包含已知 直线作铅垂面P，即过ab 的投影PH；
再求平面P与已知 △DEF的交线MN（mn、 m'n'）；而MN与已知直 线AB的交点K（k、k'） 即所求；
直线与平面的相对位置
一.直线与平面的相对位置 • 直线与平面平行 • 直线与平面相交 • 直线与平面垂直 二.平面与平面的相对位置 • 平面与平面平行 • 平面与平面相交 • 平面与平面垂直 三.综合举例
1
1. 直线与平面平行
一直线平行 于平面上的一 直线，则此直 线与该平面平 行。
直线AB平行于P 平面上一 直线CD，则AB必与P 平面 平行
4
【例3】 ：过线作面平行于已知面
例 过直线AB作一平面平行于直线EF，（AB、EF 为二交错直线）。
（1）分析 由线面平行
定义，对交错 直线AB、EF， 只要将EF平行 移动与AB相交 确定的平面即 为所求。
5
（2）作图
如图所示，过直线AB上任意一点（如点B）作 BC//EF，得到相交二直线AB与BC确定的平面即完 成作图。
8
2. 直线与平面相交
直线与平面相交于一点，它是直线和平面 的公有点。
线面相交问题是如何作图求交点和判别线 面投影之间的可见性。
线面相交的基本作图与直线、平面相对于 投影面的位置有关。可按如下三方面进行讨 论：
1) 面为投影面的垂直面时； 2) 线为投影面的垂直线时； 3) 线、面均是一般位置时。
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第四节 平面的投影
2、直线与平面相交
1) 面为投影面的垂直面时
【例7】 求直线AB与铅垂面CDEF 的交点K
分析 由于铅垂面CDEF的水平 投影积聚成一条直线，它 与AB的交点K的投影可 直接得到
67
10
第一章完
第四节 平面的投影
2) 线为投影面的垂 直线时
【例6】 求铅垂线EF与平面 ABC的交点K
判别各投影的可见性， 完成投影。
14
例:求一般位置直线AB和迹线平面Q的交点 如图所示，作图过程与前述完全一样。
15
3. 直线与平面垂直
直线垂直（包括交错垂直）于平面上的两条相交 直线，则该直线垂直于平面。
如图，直线AB垂直于平面P上的相交直线L1、L2 （或交错垂直于直线l1、l2）,则AB垂直于P。
平面与平面的相对位置有 平行、相交和垂直。
19
1. 平面与平面平行 一平面上的相交两直线对应平行于另一平面 上的相交两直线，则两平面平行。 如图，平面P和Q上各有相交直线p1、p2和q1、 q2，若p1 //q1、p2//q2，则P//Q。
20
基本作图1 过点作平面平行于已知平面。
例 如图，过点K作一迹线平面Q平行于已知平面P。
22
基本作图2 补全平面形的投影。
例2 已知相交二直线DE、FG所确定 的平面平行于三角形ABC，补全三角形ABC的投影。
（1）分析 根据两平面平
行的性质和线面 的从属关系，应 使所作平面包含 与已知平面上对 应的相交直线平 行的直线，以次 完成△ABC投影。
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（2）作图
如图所示，首先可过 已知点C（c、c′）作直 线CI、CII分别与相交二 直线DE、FG平行且点I、 II取在直线AB上。V投影 为c′1′、c′2′，并 求得H投影为c1、c2。
6
【例4】判别直线是否平行于已知平面。
例 判别直线AB是否平行于已知平面P。 （1）分析
由线面平行 定义，只要判 断在已知平面 上是否能作出 一直线与已知 直线平行即可。
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（2）作图
如图所示，在平面P上作直线MN，使 m'n'//a'b′(或mn//ab)，检查另一同面投影 mn不平行ab，所以直线AB不平行平面P。
再连1、2与过a′、 b′的投影连线相交即得 到ab。
最后连接ac、bc 完成 三角形ABC的投影。
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2.平面与平面相交
平面与平面相交于一直线，它是二平面的 公有线。
面面相交问题是如何作图求交线和判别二 面投影之间的遮蔽（即可见性）。
反之，若直线垂直于平面，则直线必垂直于该平 面上的所有直线。
L1、L2一般 取P平面上 的正平线和 水平线
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基本作图1 过点K作直线KD垂直于平面。其中 （a）三角形ABC；（b）迹线平面P。
有错吗?
17
基本作图2 作直线AB的中垂面。其中（a） 由相交两直线确定；（b）作迹线平面P。
18
二. 平面与平面的相对位置