不等式选讲-高考文科数学热点专题
二．【知识要点】
1．绝对值的概念和几何意义 代数：|a|＝a－（aa（≥a0＜）0，）. 几何意义：|a|表示数轴上坐标为±a 的点 A 到原点的距离．
2．绝对值不等式性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. (1)|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时取等号； (2)|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≤0 时取等号． 3．绝对值不等式的解 法 原则是转化为不含绝对值的不等式求解．
，
∴
．
同理
②
③
由①+②+③得：
，
当且仅当 a b c 时各个等号同时成立．
∴
．
（II）∵
，
当且仅当 a b c 时各个等号同时成立．
∴
．
（八）不等式的应用
例 8. 设
，若 f x 2 的解集为1,3 .
（1）求实数 a 的值；
（2）若 【答案】（1）1（2）3 【解析】（1）
，求
的最小值. ,
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
练习 2．已知 a,b, c 均为正实数.
（I）求证：
；
（II）求证：
.
【答案】（I）见解析；（II）见解析.
【解析】（I）
因导果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．
6．分析法证明不等式
证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它 成立的充分条件
，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质、或已证明的定理 等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．
（2）①当
时，
②当
时，
③当 时， 综上，不等式解集为
的最小值为
，得
，
,得 ，
，得 ，
练习 2．已知函数 （I）当 时，求不等式
． 的解集；
（II）求证： 【答案】（I）
． ；（II）详见解析.
练习 3．已知
，其中 。
（1）当 ＝1 时，求不等式
的解集；
（2）若不等式
的解集为｛x｜x≤－1｝，求 的值。
，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
三．方法总结 1.含绝对值不等式的求解策略 (1)解含有绝对 值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是：①由定义分段讨论(简称零
点分区间法)；②利用绝对值不等式的性质(题型法)；③平方法；④数形结合法等. (2)解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分
7．反证法证明不等式
先假设要证的命题不成立
，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条 件( 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论，以说明假设不正确
，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． 8．放缩法证明不等式
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小
例 1．设函数 （1）若 （2）求证：
，解不等式 ．
． ；
【答案】（1）
;（2）详见解析.
【解析】（1）因为 ，所以
，
即
或
故不等式
的解集为
（2）由已知得：
所以 在
即 所以
上递减，在
递增
练习 1 已知函数
，
.
（Ⅰ）若
恒成立，求
的最小值；
（Ⅱ）若
，求不等式
的解集.
【答案】（1）2（2）
【解析】（1）
，
(1)作差比较法：
知道 a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明 a>b，只要证明ａ－ｂ＞０
即可，这种方法称为作差比较法．
(2)作商比较法：
由
a＞b＞0⇔ab＞1
且
a>0，b＞0，因此当
a>0，b>0
时要证明
a>b，只要证明
a b
1 即可，这种方法称为作
商比较法．
5．综合法证明不等式
从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由
④转化为一元二次不等式求解，体现了转化思想.
练习 1．已知函数
，
（1）当 时，解不等式
；
（2）若不等式
对任意
恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）当 时，
，所以
集，所以
的解集为
（2）由题意，
对任意的
. 恒成立，即
，
即求不同区间对应解
对任意的
恒成立，令
，
所以函数
的图象应该恒在 的下方，数形结合可得
.
【点睛】本题主 要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点
分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将
绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵
活应用，这是命题的新动向．
类讨论.注意：①要考虑参数的总取值范围.②用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏. (3)含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法.
(4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，特别注意等号成立的条件. 2.作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，其关键是变形，通常通过因式分解，利用各因式的 符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断. 3.综合法证明不等式时，主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的推理下推导 出结论，综合法往往是分析法的逆过程，所以在实际证明时，用分析法分析，用综合法表述证明推理过程. 4.某些不等式的条件与结论，或不等式的左右两边联系不明显，用作差法又难以对差进行变形，难以运 用综合法直接证明，这时常用分析法，以便发现联系.分析的过程中，综合条件 、定理等因素进行探索，把 分析与综合结合起来，形成分析综合法. 5.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法，凡是含有“至少”“唯一”或者含有其他否定 词的命题，适宜用反证法. 6.放缩法是一种常用的证题技巧，放缩必须有目标，而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常 用的放缩技巧有添舍放缩，拆项对比放缩，利用函数的单调性和重要不等式放缩等. 四.典例分析 （一）解绝对值不等式
设 AP x (米)，则
,所以
当且仅当 x 200 x 时，取等号。即
(米)，
(2)由正弦定理 故围墙总造价
，得
因为 AP AQ ， 所以
所以围墙总造价的取值范围为
， (元)
(米 2)
(米 2)
【答案】（1）
(米)，
(米 2)；（2）
.
【解析】(1)设 AP x ，利用题意列出面积的表达式，最后利用均值不等式求解最值即可，注意讨论等号
成立的条件和实际问题的定义域；
(2)利用题意结合正弦定理求得围墙造价的函数解析式，利用三角形的性质求得 cosAQP 的范围即可求得
造价的取值范围.
试题解析：
基本型：a＞0，|x|＜a⇔-a<x<a ；
|x|＞a⇔x<-a 或 x>a ．
(1)c＞0，|ax＋b|≤c⇔
，|ax＋b|≥c⇔
．
(2)c＞0，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
三种解法：图解法(数形结合)、零点分区法(定义)、绝对值的几何意义(数轴)．
4．比较法证明不等式
当 a 0 时，
，
当 a 0 时， 当 a 0 时，也无解.
（2）由
，此时无解， ，
则
，
所以
，此时
.
练习 1.．已知函数
.
（1）答案】（1）
对任意 恒成立，求 （2）
的最小值.
练习 2．如图，某生态园将一块三角形地 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园，已知角 A 为120 ， AB, AC 的长度均大于 200 米，现在边界 AP, AQ 处建围墙，在 PQ 处围竹篱笆. （1）若围墙 AP 、 AQ 总长度为 200 米，如何可使得三角形地块 APQ 面积最大？ （2）已知竹篱笆长为 50 3 米， AP 段围墙高 1 米， AQ 段围墙高 2 米，造价均为每平方米 100 元，若 AP AQ ，求围墙总造价的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）当 时，由
，得
，
，
（2） 即 显然
，解得
或
，所以
对 恒成立，即
，
，
的解集为 ，
对 恒成立，
令
，则
．
，在
单调递增 ，
，
【点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
专题 35 不等式选讲
一．【学习目标】 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ①|a＋b|≤|a|＋|b|； ②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)
高考文科数学不等式选讲考点精细选---精品管理资料
不等式选讲考点精细选一、知识点整合：1．含有绝对值的不等式的解法(1)｜f(x)|>a（a>0)⇔f(x）>a或f（x）〈－a；(2)｜f(x)|<a(a>0）⇔－a<f（x）〈a.（3）对形如｜x－a|＋｜x－b|≤c，|x－a｜＋|x－b｜≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－｜b|≤|a±b|≤｜a|＋|b｜.3．柯西不等式（1)设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2)≥(ac＋bd）2，当且仅当ad ＝bc时等号成立．（2)若a i,b i(i∈N*)为实数，则(错误!a错误!)(错误!b错误!）≥（错误!a i b i）2，当且仅当错误!＝a2b2＝…＝错误!(当某b j＝0时，认为a j＝0，j＝1,2,…，n）时等号成立．（3）柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则｜α｜·｜β｜≥|α·β|,当且仅当这两个向量共线时等号成立．4．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．练习精细选1．若关于实数x的不等式|x－5｜＋|x＋3｜<a无解，则实数a的取值范围是____．答案(－∞,8］解析∵｜x－5|＋|x＋3｜＝|5－x|＋｜x＋3|≥｜5－x＋x＋3|＝8，∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，要使|x－5｜＋｜x＋3|〈a无解，只需a≤8。
2．（2013·江西）在实数范围内，不等式|｜x－2|－1|≤1的解集为________．答案[0,4]解析由||x－2｜－1|≤1得－1≤|x－2｜－1≤1,解错误!得0≤x≤4.∴不等式的解集为[0,4］．3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1,mn＝2，则(am＋bn）(bm＋an）的最小值为________．答案 2解析由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2）≥(ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时“＝"成立，得(am＋bn）(bm＋an）≥（am·an＋错误!错误!)2＝mn(a＋b）2＝2.4．若不等式｜kx－4｜≤2的解集为｛x|1≤x≤3}，则实数k＝________.答案 2解析∵｜kx－4｜≤2，∴－2≤kx－4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x｜1≤x≤3｝，∴k＝2.5．设x，y∈R,且xy≠0，则错误!·错误!的最小值为________．答案9解析错误!错误!＝5＋错误!＋4x2y2≥5＋2 错误!＝9，当且仅当x2y2＝错误!时“＝”成立．三、典型题型分析题型一含绝对值的不等式的解法例1已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|,g（x）＝x＋3.（1)当a＝－2时，求不等式f（x）〈g（x)的解集;（2）设a>－1，且当x∈错误!时，f(x)≤g（x)，求a的取值范围．审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；（2)在x∈错误!时去绝对值，利用函数最值求a的范围．解（1）当a＝－2时，不等式f(x）〈g(x）化为｜2x－1|＋|2x－2|－x－3<0。
文科高考数学热点07 数列与不等式(解析版)
热点07 数列与不等式【命题趋势】 在目前高考卷的考点中，数列主要以两小或一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题与三角函数，解三角形的内容交替考查，早在2014年和2015年卷中，以数列的通项与求和为主，而近3年的第17题（即解答题的第1题的位置），完全是考查解三角形.但是数列仍然作为解答题第一题的热点.由于三角函数与数列均属于解答题第一题，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目，对于不等式一般以线性规划以及作为一个工具配合其他知识点出现.主要是以基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等本.专题针对高考中数列，不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式.请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结.【知识点分析以及满分技巧】等差数列如果记住基本的通项公式以及求和公式，所有的等差数列问题都可以解决. 数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案，本专题有相应的题目供参考.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.一元二次不等式的解是全体实数（或在实数集上恒成立），一般分析二次项系数的符R 号以及判别式的符号，设，求解原则如下：()()20f x ax bx c a =++≠（1）在上恒成立，则；()0f x >R 00a >⎧⎨∆<⎩（2）在上恒成立，则；()0f x <R 00a <⎧⎨∆<⎩（3）在上恒成立，则；()0f x ≥R 00a >⎧⎨∆≤⎩（4）在上恒成立，则.()0f x ≤R 00a <⎧⎨∆≤⎩线性规划类题目技巧是可以直接采用边界点代入解析式求出最值即可.对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件.【考查题型】选择，填空，解答题（数列）【限时检测】（建议用时：50分钟）1．（2020·全国高考真题（文））设是等比数列，且，，{}n a 1231a a a ++=234+2a a a +=则（ ）678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D【分析】设等比数列的公比为，则，{}n a q ()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==因此，.()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==故选：D.2．（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记{}n a 19a =-51a =-，则数列（ ）．12(1,2,)n n T a a a n ==……{}n T A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B【分析】由题意可知，等差数列的公差，511925151a a d --+===--则其通项公式为：，()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-注意到，123456701a a a a a a a <<<<<<=<< 且由可知，50T <()06,i T i i N <≥∈由可知数列不存在最小项，()117,ii i T a i i N T -=>≥∈{}n T 由于，1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=故数列中的正项只有有限项：，.{}n T 263T =46315945T =⨯=故数列中存在最大项，且最大项为.{}n T 4T 故选：B.3．（2020·江西省临川第二中学高三二模（文））设等差数列的前项和为，且{}n a n n S ，则（ ）3944a a a +=+15S =A ．45B ．50C ．60D ．80【答案】C【分析】是等差数列，，，{}n a 3944a a a +=+4844a a a ∴+=+84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C4．（2020·进贤县第一中学高三其他模拟（文））定义为个正数的1nii nu=∑n 123,,,n u u u u ⋅⋅⋅“快乐数”.若已知正项数列的前项的“快乐数”为，则数列{}n a n 131n +的前项和为（ ）136(2)(2)n n a a +⎧⎫⎨⎬++⎩⎭2019A ．B ．C ．D ．20182019201920202019201820191010【答案】B【分析】设为数列的前项和n S {}n a n 由“快乐数”定义可知：，即131n n S n =+23n S n n =+当时，1n =114a S ==当且时，2n ≥n *∈N 162nn n a S S n -=-=-经验证可知满足 14a =62na n =-()62n a n n N*∴=-∈()()()()136361112266611n n a a n n n n n n +∴===-++⋅+++数列的前项和为：∴()()13622nn a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭20191111120191223201920202020-+-+⋅⋅⋅+-=本题正确选项：B5．（2020·武威第六中学高三二模（文））已知等比数列，，，且{}n a 11a =418a =，则的取值范围是（ ）12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<k A ．B ．C ．D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，则，解得，{}n a q 34118a q a ==12q =∴，112n n a -=∴，1121111222n n n n n a a +--=⨯=∴数列是首项为，公比为的等比数列，1{}n n a a +1214∴，1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<- ∴．故的取值范围是．选D ．23k ≥k 2[,)3+∞6．（2020·四川省内江市第六中学高三其他模拟（文））已知等比数列中，公比为{}n a q，，且，，成等差数列，又，数列的前项和为，则23a =1-q 73log n n b a ={}n b n n T 9T =（）A ．B ．C ．D ．36284532【答案】A【分析】因为，，成等差数列，所以，解得：1-q7217q =-+3q =又，所以23a =2212333n n n n a a q ---==⨯=所以313log log 31n n n b a n -===-所以()()1991299911913622b b T b b b +-+-=+++=== 故选A7．（2020·安徽高三三模（文））数列的前项和为，若，且{}n a n n S ()212n S n an =--，，成等比数列，则该数列的通项公式为（ ）2a 4a 5a A ．B ．C ．D ．72n a n =-61n a n =-23n a n =+6n a n=-【答案】D【分析】：因为()212n S n an =--所以当时，．由，，成等比数列，则2n ≥()11212n n n a S S n a -=-=---2a 4a 5a ，解得，此时；当时，()()()2739a a a -=--11a =()516n a n n =--=-1n =满足上式，所以，()21111152n a S ==--=6na n =-故选：D ．8．（2020·全国高三专题练习（文））设为正项递增等比数列的前项和，且n S {}n a n ，则的值为（ ）3241522,16a a a a a +=+=6S A ．63B ．64C ．127D ．128【答案】A【分析】因为，132516a a a ==所以，34a =又，32422,a a a +=+所以，4824q q +=+即，22520q q -+=解得或（舍去），2q =12q =所以，3121a a q ==所以.()()6616111263112a q S q-⨯-===--故选：A9．（2020·全国高三专题练习（文））已知两正数、满足，则x y 1x y +=的最小值为（ ）．11z x y x y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭AB ．C ．D．2-4254【答案】D 【分析】由题意，，21111()222y x x y xy z x y xy xy xy x y xy x y xy xy xy ⎛⎫+-⎛⎫=++=+++=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则，当且仅当时，等号成立，t xy =21024x y t xy +⎛⎫<=≤= ⎪⎝⎭12x y ==又函数在上单调递减，22y t t =+-10,4⎛⎤ ⎝⎦所以当时，函数取最小值，14t =22y t t =+-1258244+-=所以的最小值为.z 254故选：D ．10．（2020·全国高三专题练习（文））若对任意的、，不等式x y R ∈恒成立，则实数的取值范围为（ ）()223x y xy x y a ++≥+-a A ．B ．C ．D ．(],1-∞-(],1-∞[)1,-+∞[)1,+∞【答案】D【分析】不等式对任意恒成立等价于223()x y xy x y a ++≥+-x y ∈R 、不等式对任意恒成立，()223330x y x y y a +-+-+≥x y ∈R 、，()()2223433369120y y y a y y a ∴∆=---+=-++-≤，()2242314a y y y ∴≥-++=--+当时，取得最大值，，解得.1y =223y y -++444a ∴≥1a ≥因此，实数的取值范围是.a [)1,+∞故选：D.11．（2020·全国高三专题练习（文））设、为实数，若，则x y 2241x y xy ++=2x y +的最大值为（ ）AB ．C ．D．14【答案】A【分析】，∴，2241x y xy ++= 224431x y xy xy ++-=由基本不等式可得，即()()2223322213222382x y y x y xy x x y +==⎛⎫+-=⋅⋅≤⋅ ⎪+⎝⎭，()2285x y +≤当且仅当时取等号，，2x y =2x y ∴+故选：A.12．（2020·全国高三专题练习（文））若关于的不等式()的解x 210x bx c a ++<1ab >集为空集，则的最小值为（ ）1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--AB ．C ．D．24【答案】D【分析】关于的不等式()的解集为空集x 210x bx c a ++<1ab >所以，，得，10a >240c b a -≤24ab c ≥∴，221(2)122(1)12(1)a b c ab a b T ab ab ab +++=+≥---令，则，1ab m -=0m >∴，212(1)(1)22422m m m T m m ++++≥=++≥当且仅当时，等号成立，2m =即的最小值为4，1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--故选：D.13．（2020·全国高三专题练习（文））设，.与的等比中项，则0a >0b >3a3b 的最小值为（ ）12a b+A ．3B ．C ．D ．2+3+【答案】D【分析】是与的等比中项，3a3b∴，2333a b⋅==∴.1a b +=∵，.0a >0b >∴，()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当时取等号.2b ==∴的最小值为.12a b+3+故选：D.14．（2020·全国高三月考（理））已知实数、满足约束条件，则x y 10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的取值范围为（ ）31z y x =--A ．B ．C ．D ．(][),12,-∞-⋃+∞[]1,2-[]0,3(][),03,-∞⋃+∞【答案】A【分析】画出如图所示的可行域，目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率.31z y x =--()(,1)P x y x ≠()1,3M 联立，解得，可得点，同理可得点.10220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩01x y =⎧⎨=⎩()0,1A ()2,2C 如图易知，，所以或.31210MA k -==-32112MC k -==--1z ≤-2z ≥故选：A.15．（2020·全国高三专题练习（文））已知，，当时，不等式0m >0xy >2x y +=恒成立，则的取值范围是（ ）12m x y +≥m AB ．C ．D ．2m ≤<m 1≥01m <≤12m <≤【答案】B【分析】因为，，，0m >0xy >2x y +=所以，()1111122m m my x x y m x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(111122m m ⎛≥++=++ ⎝当且仅当，即时，取等号，2x y my x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩x y ==又因为不等式恒成立，12mx y +≥所以，(1122m ++≥即，230+≥，即 ，1≥m 1≥故选：B16．（2020·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则=（ ）n n S a A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –1【答案】B【分析】设等比数列的公比为，q由可得：，536412,24a a a a -=-=421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩所以，1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---因此.1121222n n n n n S a ---==-故选：B.17．（2020·江西高三期中（文））在区间上，不等式有解，则m 1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦2410mx x -+<的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．4m ≤74m <4m <3m <【答案】C【分析】解：令()241f x mx x =-+当时，原不等式为，解得，满足条件；0m =410x -+<14x >当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有0m <20x m =<2410mx x -+<1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦解，只需，即解得()20f <4700m m -<⎧⎨<⎩0m <当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有0m >20x m =>2410mx x -+<1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦解，当，即时，只需，即无解；2103m <<6m >103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭110936m m ⎧-<⎪⎨⎪>⎩当，即时，只需，即解得；22m >01m <<()20f <47001m m -<⎧⎨<<⎩01m <<当，即时，只需，即解得；1223m ≤≤16m ≤≤20f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭481016m m m ⎧-+<⎪⎨⎪≤≤⎩14m ≤<综上可得4m <故选：C18．（2020·全国高考真题（文））设等比数列{a n }满足，．124a a +=318a a -=（1）求{a n }的通项公式；（2）记为数列{log 3a n}的前n 项和．若，求m ．n S 13m m m S S S +++=【答案】（1）；（2）.13-=n n a 6m =【分析】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 根据题意，有，解得，1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩113a q =⎧⎨=⎩所以；13-=n n a （2）令，313log log 31n n n b a n -===-所以，(01)(1)22n n n n n S +--==根据，可得，13m m m S S S +++=(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=整理得，因为，所以，2560m m --=0m >6m =19．（2020·四川宜宾市·高三一模（文））已知是递增的等差数列，且是方程{}n a 24,a a 的两根.210210x x -+=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）记，数列的前项和为，求证：.21n n n c a a +={}n c n n T 13n T <【答案】（1）；（2）证明见解析.21n a n =-【分析】（1）因为方程两根为或7，210210x x -+=3x =又､是方程的两根，数列是递增的等差数列，2a 4a 210210x x -+={}n a ，，设公差为，则，解得，.23a ∴=47a =d 11337a d a d +=⎧⎨+=⎩11a =2d =1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-（2）由（1）知，，21n a n =-211111(21)(23)42123n n n c a a n n n n +===--+-+（∴1111111111(1)(1)45372123432123n T n n n n =-+-++-=+---+++ 11111(3421233n n =-+<++）20．（2020·全国高三其他模拟（文））已知数列的前项和，数列{}n a n 2n S n ={}nn b a -是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列和数列的通项公式；{}n a {}n n b a -（2）求数列的前项和．{}n b n nT【答案】（1）；；（2）.21n a n =-2n n n b a -=n T 1222n n +=-+【分析】（1）由题意知111a S ==当时，，符合2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-11a =21n a n =-所以，21n a n =-由题意知．2nn n b a -=（2）由（1）可知，，221nn b n =+-()()()()12122121212221321122nn n n n n T b b b n -+-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-=+-1222n n +=-+21．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））已知数列的前项和满足{}n a n n S ，且.123n n a S +=+13a =（1）求数列的通项公式；{}n a （2）已知数列满足，求数列的前项和.{}n b n n b na ={}n b n nT【答案】（1）；（2）.3nn a =1213344n n n T +-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭【分析】（1）∵，∴时，，123n n a S +=+2n ≥123n n a S -=+∴，∴，112()2n n n n n a a S S a +-=-=-()132n n a a n +=≥又∵，∴，∴是以3为首项，3为公比的等比数列，∴21239a S =+=213a a ={}n a ；1333n n n a -=⨯=（2）由（1）知，，所以，3n n a =3nn b n =⋅∴①，213233nn T n =⨯+⨯++⋅ ∴②，231313233n n T n +=⨯+⨯++⋅ 由①②得：-231233333n n n T n +-=++++-⋅ ()11313132331322n n n n T n n ++-⎛⎫-=-⨯=-⋅-⎪-⎝⎭1213344n n n T +-⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭22．（2020·全国高三专题练习（文））已知数列是公差不为零的等差数列，{}n a 92a =-，且满足，，成等比数列.3a 13a 8a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，数列的前项和为，求使得最小的的值.12n n n n b a a a ++={}n b n n S n S n 【答案】（1）；（2）7329n a n =-【分析】（1）设数列的公差为，{}n a d ()0d ≠因为，，，成等比数列，所以，92a =-3a 13a 8a 21338a a a =即，整理得，解得或（舍去）.()()()224262d d d -+=----230d d -=3d =0d =故.()99329n a a n d n =+-=-（2）当时，，当时，，19n ≤≤0n a <10n ≥0n a >因为，12n n n n b a a a ++=当时，，当时，，17n ≤≤0n b <10n ≥0n b >而且，，()()8891052110b a a a ==-⨯-⨯=9910112148b a a a =-⨯⨯==-因此，所以使得最小的为7.97S S >n S n。
高三冲刺高考(文科数学)不等式选讲
对点训练
已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．
考点三 与绝对值不等式有关的恒成立问题
——弄清绝对值的几何意义
[例3] 已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>－a，求a的取值范围．
对点训练
已知a，b，c为正数，且满足a＋b＋c＝3.
(1)证明： 1 + 1 + 1 ≥3；
ab bc ac
(2)证明： 2 + 2 + 2 ≥3.
a+ bc b+ ac c+ ab
考点二 含绝对值不等式的解法 ——掀起“绝对值”的盖头
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集 为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
归纳总结 解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略
不等式恒 不等式f(x)>A在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)min>A. 成立问题 不等式f(x)<B在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)max<B.
在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，等价于在区间D上 不等式能 f(x)max>A. 成立问题 在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，等价于在区间D上
归纳总结 绝对值不等式的常用解法
高考复习课件高考二轮文科数学专题8第23讲不等式选讲
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式 恒成立问题．
3．不等式的证明
例3已知 a，b，c 为正实数，求证： (1)ab2＋ba2≥a＋b；(2)ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
【解析】(1)ab2＋b≥ ab2·b＝2a，同理ba2＋a≥2b. ∴ab2＋ba2＋a＋b≥2(a＋b)，∴ab2＋ba2≥a＋b， ∴原不等式成立． (2)∵ab2＋b≥2 ab2·b＝2a，同理bc2＋c≥2b，ca2＋ a≥2c.∴ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)， ∴ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c，∴原不等式成立． 【点评】本题考查不等式的证明和基本不等式的
②若 a＋ b> c＋ d，则( a＋ b)2>( c＋ d)2， 即 a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－ d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 综上， a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条 件．
【解析】a>－1
8．已知集合 A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝ x∈R|x＝4t＋1t －6，t∈（0，＋∞），则集合 A∩B ＝____________．
【解析】{x|－2≤x≤5} |x＋3|＋|x－4|≤9，当 x<－3 时，－x－3－(x－ 4)≤9，即－4≤x<－3；当－3≤x≤4 时，x＋3－(x－ 4)＝7≤9 恒成立；当 x>4 时，x＋3＋x－4≤9，即 4<x≤5. 综上所述，A＝{x|－4≤x≤5}．又∵x＝4t＋1t －6，t∈ (0，＋∞)，∴x≥2 4t·1t －6＝－2，当 t＝12时取等号． ∴B＝{x|x≥－2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤5}．
高考数学复习备战：最新真题解析—不等式选讲
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
（2）法一：利用基本不等式得到 ，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵ ， ， 都为正整数，且 ．
∴ ，
当且仅当 时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得 ，
当且仅当 时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得 ．
令 ，
则 ．
令 ，则 在 上单调递增．
∴ ，即 ．
(1)当 时， 等价于 ，
该不等式恒成立，所以 ；
当 时， 等价于 ，
解得 ，此时不等式无解；
当 时， 等价于 ，解得 ，所以 ．
综上所述，不等式的解为 ．
(2)由 ，得 ，
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时， 恒成立，
因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ．综上所述， 的取值范围是 ．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数 ．
当 时， ，解得 ，
故不等式 的解集为 或 ；
(2)由（1）可知：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为3，即 ，则 ，即
则 ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)设 时， 的最小值为M.若正实数a，b，满足 ，求 的最小值.
高考文科不等式知识点
高考文科不等式知识点高考是每个学生都需要面对的重要考试，而作为文科生来说，数学是其中一个必考科目。
在数学中，不等式是一个关键的知识点，而且在高考中也占据了相当大的比重。
本文将与大家分享一些高考文科中常见的不等式知识点，帮助大家更好地应对数学考试。
一. 基本不等式基本不等式是学习不等式的基础，理解了基本不等式才能更好地应用到其他相关知识点中。
基本不等式有两个核心概念：大小关系和符号规律。
1. 大小关系：在不等式中，对于两个不等式，若其中一个式子的每一项都小于另一个式子，那么可以断定这个式子的大小关系。
例如，若a>b，x<y，则可以确定ax<by。
2. 符号规律：不等式中的符号规律是一个重要的概念，在解不等式的过程中需要特别注意。
例如，若a>b，x<y，则可以确定a-x>b-y。
二. 基本不等式的运算法则在解不等式的过程中，运算法则是不可忽视的。
这些法则是基于数学运算的性质来得出的，但在使用中需要注意它们的适用范围。
1. 加减法原则：在不等式中，若两个不等式都同加（减）一个数，则这两个不等式的大小关系不变。
例如，若a>b，则a+c>b+c。
2. 乘法原则：在不等式中，若一个不等式两边同乘（除）一个正数，则不等号不变；若两边同乘（除）一个负数，则不等号反向。
例如，若a>b，则2a>2b，当c>0时，ca>cb；当c<0时，ca<cb。
三. 不等式的解集解不等式是高考中常见的题型，对于解不等式有以下几个常见的解集形式：1. 区间表示法：在不等式的解集中，如果使用区间表示法，可以清晰地展示解集的范围。
例如，对于不等式1<x<4，可以使用区间表示为(1,4)。
2. 简化形式：有时候，解集可以通过简化不等式的形式得出。
例如，对于不等式x+3≤7，可以得出解集为x≤4。
四. 基本不等式的应用1. 一元一次不等式：在高考中，一元一次不等式是非常常见的题型。
专题十五 不等式选讲(讲解部分) 高考数学(课标版,文科)复习课件
例1 (2018东北三省三校第一次模拟,23)已知不等式|2x-5|+|2x+1|>ax-1. (1)当a=1时,求不等式的解集; (2)若不等式的解集为R,求a的取值范围.
解题导引 (1)利用零点分段法解不等式; (2)利用数形结合法求出直线的斜率,从而求得a的取值范围.
解析 (1)令f(x)=|2x-5|+|2x+1|,
∴
2 a
+
1 b
=
1 2
2 a
1 b
(a+2b)=
1 2
2
2
a b
4b a
≥
1 2
4
2
a b
4b a
=4,
当且仅当a=1,b= 1 时,等号成立.
2
∴ 2 + 1 的最小值为4.
ab
方法技巧
方法1 含绝对值不等式的解法
解法一:利用绝对值不等式的几何意义求解. 解法二:利用“零点分段法”求解. 解法三:通过构造函数,利用函数的图象求解.
-4x 4,x
则f(x)=|2x-5|+|2x+1|= 6,-
1 2
x
-1 2
5, 2
,
4x-4,x
5 2
,
因为a=1,所以当x≤- 1 时,由-4x+4>x-1,解得x<1,所以x≤- 1 ;
2
2
当- 1 <x≤ 5 时,由6>x-1,解得x<7,所以- 1 <x≤ 5 ;
22
22
当x> 5 时,由4x-4>x-1,解得x>1,所以x> 5 .
或
x 4, 2x-8
专题15 不等式选讲-2019年高考数学(文)考试大纲解读 含解析
选考内容
（二）不等式选讲
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1）.
（2）.
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
.
2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.
（1）柯西不等式的向量形式：
（2）.
（3）.
（此不等式通常称为平面三角不等式.）
3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
4．会用向量递归方法讨论排序不等式.
5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.
6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：
了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.
7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等.
2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等.
（2）当(0,1)x ∈时成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．
若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；
若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<
，所以21a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]． 考向三 不等式的证明 样题4 已知函数
的单调递增区间为.
（1）求不等式
的解集； （2）设，证明：.
（2）要证只需证，即证.。
高考文科数学二轮专题复习：12 不等式选讲
专题12 不等式选讲不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破. 【知识要点】1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 2．绝对值三角不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑ni ＝1a 2i )(∑ni ＝1b 2i )≥(∑ni ＝1a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a |·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． 【复习要求】（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：① ;b a b a +≤+② ;b c c a b a -+-≤-（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c b ax ≤+ c b ax ≥+ a b x c x ≥-+-（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。
高考数学(文科)专题突破-不等式选讲
考情分析
高频考点
核心归纳
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考情分析
高频考点
核心归纳
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命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
绝对值不等式的解法
【思考】 如何解绝对值不等式? 例1已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①
(分类讨论)
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点
命题热点三 命题热点四核心Fra bibliotek纳-10-
题后反思1.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方 法:
命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点
命题热点三 命题热点四
核心归纳
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对点训练2已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)>5的解集为{x|x>2 或x<-3}.
(1)求a的值; (2)若不等式f(x)-f ≤k在R上有解,求k的取值范围.
解 (1)由|ax+1|>5,得ax>4或ax<-6. 又f(x)>5的解集为{x|x>2或x<-3}, 当a>0时,解得x> 或x<- ,则a=2; 当a≤0时,经验证不合题意. 综上,a=2.
考情分析