2017-2018年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2017-2018学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）复数i3等于（）A．1B．﹣1C．﹣i D．i2．（3分）已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正切函数不是周期函数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）3．（3分）已知向量，，满足||=||+||，则（）A．=+B．=﹣﹣C．与同向D．与同向4．（3分）命题“任意三角形都有外接圆”的否定为（）A．任意三角形都没有外接圆B．任意三角形不都有外接圆C．有的三角形没有外接圆D．有的三角形有外接圆5．（3分）“α=β”是“sinα=sinβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件6．（3分）命题“当AB=AC时，△ABC为等腰三角形”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．1B．3C．2D．07．（3分）双曲线的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）8．（3分）已知直线l 1的方向向量，l2的方向向量，且l2⊥l1，则m=（）A．8B．﹣8C．1D．﹣19．（3分）设抛物线y2=4x的焦点弦的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），且AB⊥x轴，那么|AB|=（）A．7B．4C．6D．510．（3分）若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于（）A．30°B．120°C．150°D．60°11．（3分）设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，P椭圆上任意一点（P点不与左右顶点重合），则△F2P F1的最大面积是（）A．3B．5C．6D．412．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②若a2+b2=0，则a，b全为0；③命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题；其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．14．（4分）若=（2，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣4），则|﹣|=．15．（4分）已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m=．16．（4分）椭圆=1的左焦点为F1，过右焦点F2的直线与椭圆相交于点A、B．则△A F1B的周长是．三、解答题（共48分）17．（8分）已知抛物线y2=12x，双曲线，它们有一个共同的焦点．求：（1）m的值及双曲线的离心率；（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程．18．（8分）如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB=BC=2，AD=1，AS⊥平面ABCD，AB⊥AD，且AS=AB．求直线SC与底面ABCD所成角θ的余弦值．19．（9分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：函数f（x）=（m2﹣m+1）x在（﹣∞，+∞）上是增函数．若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围．20．（11分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，AB=1（1）证明：AF⊥DE（2）AF⊥平面A1ED．21．（12分）在平面xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l 方程为，直线l 与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的值．2017-2018学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）复数i3等于（）A．1B．﹣1C．﹣i D．i【解答】解：i3=i2•i=﹣i．故选：C．2．（3分）已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正切函数不是周期函数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【解答】解：命题p：所有有理数都是实数；正确，则p是真命题，命题q：正切函数不是周期函数，错误，则q是假命题，则（￢p）∨（￢q）为命题，其余为假命题，故选：D．3．（3分）已知向量，，满足||=||+||，则（）A．=+B．=﹣﹣C．与同向D．与同向【解答】解：向量，，满足||=||+||，所以C线段AB之间，所以与同向．故选：D．4．（3分）命题“任意三角形都有外接圆”的否定为（）A．任意三角形都没有外接圆B．任意三角形不都有外接圆C．有的三角形没有外接圆D．有的三角形有外接圆【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“任意三角形都有外接圆”的否定为“有的三角形没有外接圆”．故选：C．5．（3分）“α=β”是“sinα=sinβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵当两个角相等时，可以得到两个角的正弦值相同，即α=β⇒sinα=sinβ，而当两个角的正弦值相等时，可以得到两个角是终边相同的角或终边关于纵轴对称的角，即后者不能推出前者，∴α=β是sinα=sinβ的充分不必要条件，故选：A．6．（3分）命题“当AB=AC时，△ABC为等腰三角形”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．1B．3C．2D．0【解答】解：原命题“当AB=AC时，△ABC为等腰三角形”，它是真命题；它的逆命题是：“若△ABC为等腰三角形，则AB=AC”，是假命题；其否命题是“若AB≠AC，则△ABC不是等腰三角形”，也是假命题；其逆否命题是：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，是真命题；综上，原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有1个．故选：A．7．（3分）双曲线的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）【解答】解：∵双曲线的方程为，∴a2=4，b2=1，可得c==由此可得双曲线的焦点坐标为（±，0）故选：C．8．（3分）已知直线l 1的方向向量，l2的方向向量，且l2⊥l1，则m=（）A．8B．﹣8C．1D．﹣1【解答】解：∵直线l 1的方向向量，l2的方向向量，且l2⊥l1，∴=2++2=0，解得m=﹣8．故选：B．9．（3分）设抛物线y2=4x的焦点弦的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），且AB⊥x轴，那么|AB|=（）A．7B．4C．6D．5【解答】解：∵抛物线y2=4x，∴p=2，焦点坐标（1，0），y2=4，解得y1=2，y2=﹣2，根据抛物线的定义可得|AB|=|y1﹣y2|=4．故选：B．10．（3分）若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于（）A．30°B．120°C．150°D．60°【解答】解：∵直线l的方向向量与平面α的法向量大的夹角等于150°，∴直线l的方向向量与平面α的法向量小的夹角等于30°∴直线l与平面α所成的角等于60°．故选：D．11．（3分）设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，P椭圆上任意一点（P点不与左右顶点重合），则△F2P F1的最大面积是（）A．3B．5C．6D．4【解答】解：设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，a=，b=2，所以|F1F2|=2c=6，是常数，P椭圆上任意一点（P点不与左右顶点重合），则△F2P F1的最大面积是P为短轴端点时，三角形面积最大：×|F1F2|×b==6．故选：C．12．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，易证EF⊥平面ABC1D1，可求得EF=B1C=．故选：B．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②若a2+b2=0，则a，b全为0；③命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题；其中是真命题的是②（填上你认为正确的命题的序号）．【解答】解：①“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形一定全等，显然不正确；②因为a2≥0，b2≥0；若a2+b2=0，则a，b全为0；是真命题；③命题“若A∩B=B，则B⊆A”，所以原命题是假命题，则它的逆否命题也是假命题；故答案为：②14．（4分）若=（2，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣4），则|﹣|=5．【解答】解：∵=（2，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣4），∴=（3，﹣4，5），|﹣|==5．故答案为：．15．（4分）已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m=．【解答】解：∵z1=m+2i，z2=3﹣4i，∴=，又为实数，∴，得m=﹣．故答案为：﹣．16．（4分）椭圆=1的左焦点为F1，过右焦点F2的直线与椭圆相交于点A、B．则△A F1B的周长是8．【解答】解：∵椭圆方程为：=1，∴椭圆的长半轴a=2，由椭圆的定义可得，AF1+AF2=2a=4，且BF1+BF2=2a=4，∴△ABF1的周长为：AB+AF1+BF1=（AF1+BF1）+（AF2+BF2）=4a=8，故答案为：8．三、解答题（共48分）17．（8分）已知抛物线y2=12x，双曲线，它们有一个共同的焦点．求：（1）m的值及双曲线的离心率；（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程．【解答】解：（1）抛物线y2=12x的焦点为（3，0），双曲线（m＞0），可得1+m=9，解得m=8，双曲线的a=1，c=3，则e==3；（2）抛物线y2=12x的准线方程为x=﹣3，双曲线x2﹣=1的渐近线方程为．18．（8分）如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB=BC=2，AD=1，AS⊥平面ABCD，AB⊥AD，且AS=AB．求直线SC与底面ABCD所成角θ的余弦值．【解答】解：连结AC，∵AS⊥平面ABCD，∴∠SCA为直线SC与平面ABCD所成的角．∵AB=BC=2，AB⊥BC，∴AC=2，又AS=AB=2，∴SC=2．∴cos∠SCA==．∴直线SC与底面ABCD所成角θ的余弦值为．19．（9分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：函数f（x）=（m2﹣m+1）x在（﹣∞，+∞）上是增函数．若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围．【解答】解：∵x2+mx+1=0有两个不等的实根，∴判别式△=m2﹣4＞0，得m＞2或，m＜﹣2，即p：{m|m＞2或，m＜﹣2}，由函数f（x）=（m2﹣m+1）x在（﹣∞，+∞）上是增函数，得m2﹣m+1＞1，即m2﹣m＞0，得m＞1或m＜0，即q：{m|m＞1或m＜0}因为“p或q为真，非p为真”所以p假q真．非p：{m|﹣2≤m≤2}，q：{m|m＞1或m＜0}所以{m|﹣2≤m＜0或1＜m≤2}20．（11分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，AB=1（1）证明：AF⊥DE（2）AF⊥平面A1ED．【解答】（本题满分为12分）证明：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．AB=1，依题意得：D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．易知=（1，2，1），=（﹣1，，0），由•=0．可得：AF⊥ED．（2）由（1）可知AF⊥ED．=（1，2，1），=（﹣1，﹣，4），所以：•=0，又因为：AF⊥EA1，AF⊥ED．又EA1∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．21．（12分）在平面xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l 方程为，直线l 与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e===，则a=2b，将P（2，1）代入椭圆方程：，则，解得：b2=2，a2=8，∴椭圆C 的方程：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入椭圆方程：，整理得：x2+2x﹣2=0，x1+x2=2，x1x2=﹣2则|AB|===，∴|AB|的值．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。