9.3平行线的性质
平行线的性质及推导方法
平行线的性质及推导方法平行线，是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
平行线的性质与推导方法是几何学中的重要内容，下面我们将详细介绍平行线的性质及推导方法。
一、平行线的性质1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线将被两条平行线所截成的锐角和钝角互补。
证明：设直线l与平行线m和n相交于A点，BC与m、n平行。
由平行线的性质可知∠ABC=∠ACD，又∠ABC+∠ACD=180°（线l与m、n相交，∠ABC和∠ACD互补），所以∠ABC和∠ACD互补。
2. 平行线的性质之间的关系：如果两条平行线被一条交线所截，那么它们与这条交线所构成的内错角、内外错角、对顶角以及同位角是相等的。
证明：设直线l与平行线m和n相交于点O，AB与m平行，CD与n平行。
先证明内错角相等，连接AC、BD。
由三角形的内角和为180°可知∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=180°，∠ACB+∠BCA+∠ADB=180°（∠CDA和∠DAB互补），所以∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=∠ACB+∠BCA+∠ADB，化简得∠CDA=∠ADB。
同理可证∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠DCB，∠ADC=∠BCD。
二、平行线的推导方法1. 利用平行线的性质证明线段比例关系。
证明：设AB与CD分别是平行线m和n上的两个点，交线AC与BD相交于E点。
若已知AE:EC=BD:DE，要证明AB:BC=BD:DC（即证明∆ABD∽∆CBD）。
由已知的比例关系可得：AE/EC=BD/DE，即AE/BD=EC/DE。
又因为∠AEB和∠CDE为同位角，根据同位角定理可知∠AEB=∠CDE。
由此可得∆ABE∽∆CDE，进一步得出AB:BE=CD:DE。
同理可证∆CBD∽∆ADE，从而得出BC:BD=DE:DA。
综合上述比例关系，可以得出AB:BC=BD:DC，证明了平行线性质下的线段比例关系。
平行线的性质归纳总结
平行线的性质归纳总结平行线是几何学中一个重要的概念，它们具有一系列独特的性质和规律。
在本文中，我们将对平行线的性质进行归纳总结。
一、平行线的定义和符号表示平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
我们可以用符号"||" 表示平行线。
二、平行线的性质1. 垂直的平行线若一条直线与另外两条不同的直线相交，且与其中一条直线垂直，那么另外两条直线是平行的。
例如：若直线l与直线m相交，直线l与直线n垂直，那么直线m与直线n是平行的。
2. 平行线的性质1：同向性若两条平行线与同一直线相交，折角之间的关系保持不变。
例如：若直线l与直线m平行，直线m与直线n相交，则角A与角B是对应角，角A与角C是内错角。
3. 平行线的性质2：内角性质当两条平行线被一条截线所切分时，内错角互补，即它们的和等于180度。
180度。
4. 平行线的性质3：外角性质当两条平行线被一条截线所切分时，外错角相等。
例如：若直线l与直线m平行，直线n为截线，则角A = 角C。
5. 平行线的性质4：同位角当两条平行线被一条截线所切分时，同位角相等。
例如：若直线l与直线m平行，直线n为截线，则角A = 角D。
6. 平行线的性质5：内错角当两条平行线被一条截线所切分时，内错角相等。
例如：若直线l与直线m平行，直线n为截线，则角B = 角C。
7. 平行线的性质6：同旁内角当两条平行线被一条截线所切分时，同旁内角互补，即它们的和等于180度。
例如：若直线l与直线m平行，直线n为截线，则角B + 角D = 180度。
8. 平行线的性质7：同旁外角当两条平行线被一条截线所切分时，同旁外角相等。
9. 平行线的性质8：错综对应角若两条平行线被多条截线所切分，那么对应角相等。
例如：若直线l与直线m平行，直线n和直线p均为截线，则角A = 角E，角B = 角F，角C = 角G。
10. 平行线的性质9：平行线之间的距离两条平行线之间的距离是恒定的，且等于它们之间任意一点到两条平行线的距离。
平行线的性质ppt课件
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
平行线的性质课件
利用平行线性质解决几何最值问题
平行线定义：在同一平面内，永不 相交的两条直线
几何最值问题：求线段、角度、面 积等几何量的最大值或最小值
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
平行线性质：平行线之间的线段相 等
利用平行线性质解决几何最值问题 的方法：通过平行线之间的线段相 等，找到几何量的最大值或最小值
平行线的性质在解析几 何中的应用
面的交点
平行线与平面 的夹角：平行 线与平面的夹 角为直线与平
面的夹角
平行线与平面的 平行性：平行线 与平面的平行性 为直线与平面的
平行性
总结与思考
总结平行线的性质及其应用
平行线的定义： 在同一平面内， 永不相交的两
条直线
平行线的性质： 平行线之间的 角度相等，平 行线之间的线
段相等
平行线的应用： 在几何证明、 工程测量、建 筑设计等领域
利用平行线性质解决函数问题
平行线与函数的 关系：平行线是 函数的基本性质 之一，可以应用 于求解函数问题
平行线性质的应 用：利用平行线 性质可以求解函 数的最大值、最 小值、极值等问
题
平行线性质的证 明：利用平行线 性质可以 在更高级的数学 领域中也有广泛 的应用，如微积 分、线性代数等
平行线的性质在代数中 的应用
利用平行线性质解决线性方程组问题
平行线性质：两条直线平行，同位角相等
线性方程组：一组线性方程组成的方程组
利用平行线性质解线性方程组：通过观察方程组中的同位角，找出方程组中的平行线， 从而解出方程组
应用实例：求解线性方程组，如3x+2y=5，4x+3y=6，通过观察方程组中的同位角， 找出方程组中的平行线，从而解出方程组
9.3 平行线的性质
C E 3
1.如图梯子的各条横档互相平行∠1=100 °, 求∠2 的度数.
解： ∵ DC∥AB , ∴∠1= ∠3= 100 °.
（两直线平行,同位角相等） 又∵ ∠2+ ∠3 =180°,
∴ ∠2 = 80°.
C A
2 3 1
D B
2.如图(1),若AD∥BC,则 1 5 4 8 ∠______= ∠_______, ∠_______= ∠_______,
书写格式: ∵ AB ∥ CD, (已知) ∴ ∠2+∠3=180 ．( 两直线平行，同旁内角互补)
例 如图，直线a∥b,c∥d,∠1=106 º ,求∠2，∠3的 度数.
解：∵ a∥b,
c a 1 2 b 3 d
∴ ∠1=∠2.
又∵ ∠1=106º， ∴ ∠2=106º.
∵ c∥d,
∴ ∠2=∠3. 又∵ ∠2=106º，
∴ ∠3=106º.
请任意画两条互相平行的直线a、b，在直线a上，
任意取两点A，B.然后量出点A、B到直线b的距离,并加 以比较，你能得到什么结果？
A
B
a
AC＝DB
C
D
b
两条平行线中，一条直线上的
点到另一条直线的距离处处相
A
B
a
b
等.
C
这个距离就叫做这两条平行线之间的距离.
D
如上图的线段AC，BD的长相等，它们就是平行线a， b之间的距离. 注意是垂线段的长，而不是垂线段
如图,已知平行线AB,CD被直线AE所截.
(1)从1 110可以知道2是多少度，为什么? (2)从1 110可以知道3是多少度，为什么?
(3)从1 110可以知道4是多少度，为什么?
9.3平行线的性质(青岛版)
a
b
c
1
a
2
b
∠1=∠2
是不是任意一条直线去截平行线a、b 所得的同位角都相等呢？
性质发现a1 2 Nhomakorabea结论
平行线的性质1
b
两条平行线被第三条直线所截， c 同位角相等.
简写为： 两直线平行，同位角相等. 符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
合作交流二
如图：已知a//b,那么2与3相等吗？ 为什么?
2 1
c
3
a b
4
变式１：已知条件不变，求∠3，∠4的度数？
变式2:已知∠3 =∠4，∠1=47°,求∠2的度数？
解：∵ ∠3 =∠4( ∴a∥b (
) )
d
c
2 1
a
b ）
4
3
又∵∠ 1 = 470 (
∴∠ 2= 470 （
)
如图在四边形ABCD中,已知AB∥CD, ∠B = 600. ①求∠C的度数; ②由已知条件能否求得∠A的度数?
∴∠2=∠3.
合作交流三
如图,已知a//b, 那么2与4有 什么关系呢？ 为什么?
a b c
1 4 2
解： ∵ a//b （已知）, ∴ 1= 2（两直线平行 ， 同位角相等 ）. ∵ 1+ 4=180° （邻补角 定义 ）, ∴ 2 + 4=180° （等量代换 ）.
D G F
1 C
2
E
A
A
目前，它与 地面所成的 较小的角 为∠1=85º 3 2
1
A
B
连结两点的线段的长度叫两点间的距离 P
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
平行线的性质
平行线的性质平行线是几何学中一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和规律。
本文将从定义、性质以及常见应用几个方面来探讨平行线的特点。
一、定义平行线指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
两条平行线之间的距离是不变的，无论它们延伸多远。
二、性质1. 平行线具有相同的斜率：对于两条平行线，它们的斜率相等。
可以通过直线的斜率公式来证明这个性质。
2. 平行线没有交点：平行线不会相交，因此在它们之间不存在交点。
这一性质是平行线的基本特征。
3. 平行线的内角和性质：当一条直线与两条平行线相交时，相应的内角和是补角。
也就是说，这些内角的和等于180度。
4. 平行线的外角性质：当一条直线与两条平行线相交时，相应的外角是等于对应内角的。
5. 平行线的转角性质：当有两条平行线与一条交线相交时，它们所对应的转角相等。
三、应用平行线的性质在几何学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景。
1. 建筑与设计：在建筑和设计过程中，平行线的概念经常被用来处理墙壁、地板、屋顶等元素的布局。
通过确保平行线之间的距离一致，可以营造出整齐、协调的空间效果。
2. 路面交通：在道路设计和交通规划中，平行线的性质被用于绘制车行道、人行道和停车位等交通设施。
通过确保平行线的平直性和正确的间距，可以提高交通流畅度和安全性。
3. 数学证明：平行线的性质在数学证明中扮演重要的角色。
通过运用平行线的相关性质和定理，可以推导出更复杂的几何定理，解决各种几何问题。
总结：平行线是几何学中一个基础而重要的概念，它具有独特的性质和规律。
通过理解和应用平行线的性质，我们可以更好地解决几何问题，同时在建筑、设计和交通规划等领域中发挥重要作用。
掌握平行线的性质对于理解几何学和应用几何学都是至关重要的。
初一数学下册9.3平行线的性质
如图“三线八角”，把所有的同位角、内错角、同旁内角 都找出来（注意分清他们的位置特点）。
c 4 如果图形中的直线a， b是两条平行直线， 那么所构成的同位角， 内错角，同旁内角之 间有什么数量关系哪？ 3 8 7 5 6 2 b 1 a
学习目标：
1、探索平行线的性质，并能用文字语言、 符号语言表示性质。 2、能用性质进行推理和计算。 3、理解平行线之间的距离的概念。
D
3、如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC， ∠1＝55°，则∠2＝
A C 1 a
b
2 B
4、如图AB∥CD，AD交BC于点O，∠A=500， ∠AOB=1000。求∠C的度数。 A
O
B
C
D
作业布置
必做题：教材第37页习题9.3第1、3题。 选做题：教材第37页习题9.3第4、5题。
！
c 解： 因为a//b （已知）, 所以 1= 5（两直线 平行，同位角相等）. 因为 1+ 2=180° （补角定义）, 所以 2+ 5=180° （等量代换）.
性质发现
a
1
结论
平行线的性质3
b
2 5
两条平行线被第三条直线所截， c 同旁内角互补.
简写为： 两直线平行，同旁内角互补. 符号语言: 因为a∥b,
所以 ∠3=∠5( 等量代换 )
a
1 5
c
性质发现
a
1 3 5
结论
平行线的性质2
b
两条平行线被第三条直线所截， c 内错角相等.
简写为： 两直线平行，内错角相等. 符号语言: 因为a∥b,
所以∠3=∠5.
活动三
平行线的性质和判定方法
平行线的性质和判定方法在几何学中，平行线是指在同一平面中不相交且永不相交的两条直线。
平行线的研究是几何学的基础之一，它具有一系列独特的性质和判定方法。
本文将重点介绍平行线的性质和判定方法，帮助读者更好地理解和应用平行线的概念。
一、平行线的性质1. 等倾性：如果一条直线与一对平行线相交，那么它把这对平行线分成两个等倾的交错三角形。
2. 备注角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的任一对应角，它们的对应角相等，即对应角相等是平行线的必要且充分条件。
3. 内错角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的内错角，它们的内错角之和为180°。
4. 外错角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的外错角，它们的外错角之和也为180°。
5. 直角性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么它与这两条平行线所形成的内错角相等，也与这两条平行线所形成的外错角相等。
以上是平行线的一些典型性质，它们对于解决几何学中的相关问题具有重要的作用，需要熟练掌握。
二、平行线的判定方法1. 通过角度判定：如果两条直线的夹角等于180°，则它们是平行线。
这是最简单且直观的判断方法，适用于已知夹角度数的情况。
2. 通过斜率判定：两条直线平行的概念也可以通过斜率来判定。
如果两条直线的斜率相等且截距不同，那么它们是平行线。
3. 通过向量判定：设直线L1的一个向量为a，直线L2的一个向量为b，如果向量a与向量b共线，则直线L1与直线L2是平行线。
4. 通过等距判定：如果两条直线上的任意两点之间的距离相等，则这两条直线是平行线。
这种判定方法适用于已知直线上的坐标点的情况。
需要注意的是，以上的判定方法有时并不是充分条件，例如斜率相等只能说明两条直线可能平行，还需要结合其它条件来综合判断是否为平行线。
综上所述，平行线具有一系列独特的性质和判定方法，适用于解决不同类型的几何问题。
9.3平行线的性质(新)
c a 8 b 7 7 1 3 2 5 6 6
4 4
角 度 数 角
∠1
∠2
∠3
∠4
60° 120° 60° 120°
∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度 数
60°
120° 60° 120°
两直线平行的性质(1):
E A
5 C F
1
B
D
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. (简单记为：两直线平行，同位角相等.)
因为 AB∥DE， 所以∠ 3 =∠ 2 = 118 °(两直线平行,同位角相等）.
如图梯子的各条横档互相平行， ∠1=100 °，求∠2 的度数。
2
解： 因为 CD∥AB 所以∠ 3 = ∠ 1 = 100 ° （两直线平行,同位角相等）
C 3 A 1
D
B
又因为 ∠2+ ∠3 =180° 所以 ∠2 = 180° —∠3 = 180°—100°= 80°.
3、两直线平行, 同旁内角互补.
如右图，直线a ∥ b，c ∥ d， ∠1= 106 ° 求∠ 2、∠3的度数。
解：（1） 因为 a ∥ b，∠1，∠2是直线a与
直线b被直线c所截得的内错角
所以∠ 1=∠2， 又因为∠ 1=106 ° 所以 ∠ 2=106 ° （2）因为 c ∥ d，∠2，∠3是直线c与直线d被直线b所截的同位角 所以∠ 2=∠3, 又因为 ∠ 2=106 ° 所以∠ 3=106 °
A 1 2
C E
4
3
D
⑶ 因为AB∥CD，所以∠1+∠4=____（两直线平行， 180° 互补 同旁内角____） 所以 ∠4= 180°—∠1 ____________=_________ __________= 180°—110° 70°
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如图2：已知a//b,那么2与3相等吗？为什么?
解∵a∥b
∴∠1=∠2
又∵∠1=∠3
∴∠2=∠3
如图1. 如图2. 如图3.
平行线的性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
∵a∥b,∴∠2=∠3.
如图3,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么?
解：∵a//b ,∴1=2∵1+4=180°∴2+4=180°
科目
课题
9.3平行线的性质
课型
新授
主备人
陈忠菊
组长签字
李文健
审核教Biblioteka 姓名教学目标1.探索平行线的性质。
2.运用平行线的性质进行说理，解决与三线八角有关的计算问题。
3.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。
重点难点
1.探索平行线的性质。
2.运用平行线的性质进行说理，解决与三线八角有关的计算问题。
(1)∠DAB的度数
（2)∠EAC的度数
（3∠BAC+∠B+∠C的度数
拓展延伸
（第1题） （第3题） 拓展延伸
如图，DE//BC，EF//AB,写出图中所有与∠DEF相等的角，并说明理由。
布置作业：课本37页:必做1，2, 4,选做B组5
教学反思
2.在直线l1上任取一点A,经过点A画AC┴l2,垂足是C,那么AC与直线l1有什么位置关系？为什么？
3.在直线l1上再任取一点B,经过点B画BD┴l2,垂足是D,那么BD与直线l1有什么位置关系？为什么？
4.用圆规比较垂线段AC与垂线段BD的大小,把你的发现与同学交流。
如果两条直线平行,那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等.这个距离叫做这两条平行线之间的距离.
教学环节
教学过程设计（教学内容、师生互动、设计说明等）
个案补充
创设情境自主探究
合作交流，互动释疑
观察与思考：
让学生自学课本35页“观察与思考”，通过观察、画图、剪拼、叠合推理等活动，探索平行线的性质定理1.
如图1.a∥b,∠1和∠2是一组什么角，相等吗？用什么方法得到的？是否所有的同位角都相等？
平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
达标测试：
1.如图,直线a,b被直线c所截，且a//b,如果∠1=65⁰,则∠2=(),根据是( ),∠3=(),根据是()。
2.两条平行直线被第三条直线所截,∠1与∠2是同旁内角,且∠1=50⁰,则∠2=()
A 50⁰B 130⁰C 50⁰或130⁰D 40⁰
3.如图，A是直线DE上的一点,DE//BC，∠B=38⁰，∠C=57⁰，求:
平行线的性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
∵a∥b,∴2+4=180°.
教学环节
教学过程（教学内容、师生互动、设计说明等）
个案补充
精讲点拨
拓展延伸
达标测试
巩固提高
课堂小结
布置作业
例1
如图,直线a//b,c//d,∠1=106⁰.求∠2,∠3的度数.
交流与发现
1.画两条平行直线l1和l2