平行线的性质及判定(人教版)(含答案)
五年级下册人教版数学知识点认识平行线与垂直线
五年级下册人教版数学知识点认识平行线与垂直线五年级下册人教版数学知识点：认识平行线与垂直线在五年级下册的数学学习中，平行线与垂直线是一个重要的知识点。
正确理解和掌握平行线与垂直线的概念及其性质对我们进一步学习几何知识具有重要意义。
本文将介绍平行线与垂直线的定义、特性以及如何在平面图形中判断它们的关系。
一、平行线的定义与特性1. 平行线的定义：平行线是在同一个平面内，永不相交的直线。
当两条直线之间没有任何交点时，它们是平行线。
2. 平行线的性质：平行线具有以下重要性质：（1）平行线之间的距离相等：若两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离相等，那么这两条直线是平行线。
（2）平行线与平面图形的关系：如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么它与这个平面内的平行线都平行。
（3）平行线传递性：如果有一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线也是平行的。
（4）平行线的判定：通过测量线段长度、使用两角相等定理等方法可以判定直线是否平行。
二、垂直线的定义与特性1. 垂直线的定义：垂直线是与另一条线段或直线形成直角的线段或直线。
2. 垂直线的性质：垂直线具有以下重要性质：（1）垂直线之间的夹角为90度：两条直线相交而形成的夹角为90度时，它们是垂直线。
（2）垂直线的判定：通过测量角度、使用垂直角性质等方法可以判定直线是否垂直。
三、平行线与垂直线在平面图形中的应用1. 平行线的应用：在解决几何问题中，平行线的应用非常广泛。
例如，我们可以利用平行线的性质来判断图形的对称性、计算物体的阴影长度、构造几何图形等。
2. 垂直线的应用：垂直线在几何问题的解决中也占有重要地位。
比如，我们可以利用垂直线的性质来判断几何图形的直角、计算图形的面积等。
总结：通过对五年级下册人教版数学的学习，我们了解到了平行线与垂直线的定义、性质以及在平面图形中的应用。
正确理解和掌握这些知识点，有助于我们在解决几何问题时能够灵活运用，提高数学解题的能力。
初一数学下册(人教版)第五章5.3知识点总结含同步练习及答案
描述：初一数学下册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第五章 相交线与平行线 5.3 平行线的性质一、学习任务1. 能够熟练的运用平行线的性质定理和判定定理解题．2. 发展空间观念、逻辑推理能力和有条理的表达能力．二、知识清单平行线的性质三、知识讲解1.平行线的性质平行线性质① 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；② 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；③ 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．平行线间的拐点问题① 已知 ，如图，当点 处于以下位置时， 与 ， 的关系是：② 已知 ，如图，当存在 个 点时， 的值．③ 已知 ，如图，当存在 个 点时，， 与 的关系．AB ∥CD E ∠E ∠B ∠D AB ∥CD n E ∠B +∠D +∠+∠+∠+⋯+∠E 1E 2E 3E n AB ∥CD n E ∠B ∠D ∠+∠+∠+⋯+∠E 1E 2E 3E n例题：四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）AB ∥CD如图所示，已知直线 ，，则 _______．解：．AB ∥CD ∠1=50∘∠2=50∘答案：1. 如图，直线 ，直线 与 ， 相交，，则 ．A ．B ．C ．D ．Ba ∥bc a b ∠1=65∘∠2=()115∘65∘35∘25∘答案：2. 一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为 A ．先向左转 ，再向左转 B ．先向左转 ，再向右转 C ．先向左转 ，再向右转 D ．先向左转 ，再向左转 B()130∘50∘50∘50∘50∘40∘50∘40∘答案：3. 如图，，直线 分别交 、 于点 、 ，若 ，则 的度数为 ．A ．B ．C ．D ．DAB ∥CD BC AB CD B C ∠1=50∘∠2()40∘50∘120∘130∘4. 如图，直线 ，， 交直线 于点，，则 的度数是 a ∥b AC ⊥AB AC b C ∠1=60∘∠2()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
7年级数学 平行线判定及性质 (1)
D EEF1 23 A CO知识精讲7 年级数学下：平行线的性质定理模块一：平行线的性质定理平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补． 例题解析【例 1】如图，AC //DB ， ∠DBC = 56 ，则∠ACB = ． 【答案】124 度．【解析】因为 AC //DB （已知）， 所以∠DBC + ∠ACB = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补），因为∠DBC = 56 （已知），所以∠ACB = 180︒ - 56︒ = 124︒ （等式性质）D B【例 2】（1）如图，已知 DE //BC ，∠A = ∠C ，则与∠AED 相等的角（不包含∠AED ）有 个；（2）如图，若 AB //FD ，则∠B = ，若 AC //ED ，则∠DFC = ．AAB C 【答案】（1）2 个；（2） ∠3 ；∠2．B D 【解析】（1）因为 DE //BC （已知）， 所以∠AED = ∠C （两直线平行，同位角相等），又因为∠A = ∠C （已知），所以∠A = ∠C = ∠AED （等量代换）；（2）∠B = ∠3（两直线平行，同位角相等）；∠DFC = ∠2． 【例 3】如图，直线 a / /b ，则 x - y 的值等于（ ） aA ．20B ．80C ．120D ．180 b【答案】A【解析】因为 a / /b ，所以 x = 30又因为3y + x = 180 ，解得 y = 50 ，故 x - y = 30 - 50 = 20︒ ．【例 4】如图，直线 a / /b ，点 B 在直线b 上，且 AB ⊥ BC ， ∠1 =A ． 35B ． 45C ． 55D ．125【答案】A 【解析】因为 AB ⊥ BC （已知），所以∠ABC = 90︒ （垂直的意义）因为 a / /b （已知）， 所以 ∠1 = ∠CBD （两直线平行，同位角相等） 因为∠1 = 55 （已知）， 所以∠CBD = 55 （等量代换）因为∠2 + ∠ABC + ∠CBD = 180 （平角的意义）所以∠2 = 180︒ - 55︒ - 90︒ = 35︒ （等式性质）B【例5】如图，直线a / /b ，c ⊥d ，则下列说法中正确的个数有（）（1）∠2 +∠4 = 90 ；（2）∠1 +∠4 = 90 ；（3）∠1 =∠3 ；（4）∠3 +∠4 = 90 ．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】（1）正确：因为a / /b ，所以∠2 与∠3 互为同位角，d又因为c ⊥d ，所以∠3 +∠4 = 90︒，所以∠2 +∠4 = 90︒；（2）错误：∠1 =∠4 （两直线平行，同位角相等）；（3）错误∠1 +∠3 = 90︒；（4）正确．所以本题选B【例6】如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．【例7】如图，已知AB / /CD ，∠x 等于（）A．75 B．80 C．85 D．95 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角；所以易知∠x = (180︒-120︒) + 25︒= 85︒．A B120°xD 25°C【例8】如图，AB / /CD，MP / / AB，MN 平分∠AMD，∠A = 40 ，∠D = 30 ，则∠NMP 等于（）A．10 B．15 C．5 D．7.5 【答案】C【解析】因为AB / /MP （已知）所以∠A =∠AMP （两直线平行，内错角相等）因为AB / /CD （已知），所以MP / /CD （平行的传递性）所以∠D =∠DMP （两直线平行，内错角相等）B MCAN PD因为∠AMD =∠AMP +∠DMP （角的和差），∠A = 40 ，∠D = 30 （已知）所以∠AMD = 30 + 40 = 70 （等式性质）因为MN平分∠AMD （已知），所以∠AMN =∠NMD = 35 （角平分线的意义）所以∠NMP = 40︒- 35︒= 5︒（等式性质）E【例9】如图，AB / /CD ，∠1 = (2x + 20) ，∠2 = (8x - 40) ，求∠1 及∠2 的度数．【答案】∠1 = 40︒，∠2 = 40︒． A1 B【解析】因为AB / /CD （已知），所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）2 即(2x + 20) = (8x - 40) C DF 解得：x = 10所以∠1 = 40︒，∠2 = 40︒（等式性质）H 2G1C F D3 1 24【例 10】如图，已知∠1 = 40 ，∠2 = 140 ，∠3 = 40 ，能推断出 AB / /CD / / EF 吗？为什么？【答案】能；见解析． 【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：∠2 + ∠1 = 180︒，∠2 + ∠3 = 180︒ 所以 AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行） 所以 AB //EF ，即 AB //CD //EF ，即证．N【例 11】已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，求∠A 与∠B 的度数．【答案】∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ ．【解析】由题意可知， ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，所以∠A = 2∠B - 30︒ ，即∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例 12】已知：如图， ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠B ，AC / / DE ，且 B 、C 、D 在一条直线上．试说明 AE / / BD ．AE【答案】见解析． 【解析】因为 AC / / DE （已知）， 所以∠2 = ∠4 （两直线平行，内错角相等）因为∠1 = ∠2 （已知），所以∠1 = ∠（4 等量代换）所以 AB / /CE （内错角相等，两直线平行） 所以∠B = ∠ECD （两直线平行，同位角相等） B 因为∠3 = ∠B （已知），所以∠3 = ∠ECD （等量代换）所以 AE / / BD （内错角相等，两直线平行）【例 13】已知：如图，E 、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE 、AF 分别交 BC 于 G 、H ，∠ A = ∠ D ， ∠ 1= ∠ 2，试说明： ∠ B = ∠ C ．E 【答案】见解析 A B【解析】因为∠1 = ∠（2 已知），∠1 = ∠AHB （对顶角相等）所以∠2 = ∠AHB （等量代换）， 所以 AF / / E D （同位角相等，两直线平行） 所以∠D = ∠AFC （两直线平行，同位角相等）因为∠A = ∠D （已知）， 所以∠A = ∠AFC （等量代换）所以 AB / /CD （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠C （两直线平行，内错角相等）【例 14】如图，直线 GC 截两条直线 AB 、CD ，AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平 分线，且 AE / /CF ，那么 AB ∥CD 吗？为什么？【答案】见解析 【解析】因为 AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线（已知）所以∠GAE = ∠EAB ，∠ACF = ∠FCD （角平分线的性质）因为 AE / /CF （已知），所以∠GAE = ∠ACF （两直线平行， 3A1 E2 D同位角相等）所以∠EAB =∠FCD（等量代换）所以AB / /CD ( 同位角相等，两直线平行)【例15】如图∠1 =∠2 ，DC / /OA ，AB / /OD ，那么∠C =∠B【答案】见解析【解析】因为DC / /OA （已知），所以∠COA =∠C（两直线平行，内错角相等），即∠COB +∠1 =∠C因为AB / /OD （已知），所以∠DOB =∠B即∠2 +∠COB =∠B ，又因为∠1 =∠2 （已知），所以∠B =∠C （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】如图，已知AD 平分∠BAC ，∠1 =∠2 ，试说明∠1 =∠F 的理由．【答案】见解析F【解析】因为AD 平分∠BAC （已知），所以∠2 =∠BAD （角平分线的意义）因为∠1 =∠2 （已知），所以∠1 =∠BAD （等量代换）所以EF / / AD （同位角相等，两直线平行）所以∠F =∠2 （两直线平行，同位角相等） B C 所以∠1 =∠F （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】已知：如图，∠AGH =∠B，∠CGH =∠BEF ，EF⊥AB 于F，试说明CG⊥AB．【答案】见解析【解析】因为∠AGH =∠B （已知）C所以HG / /CB （同位角相等，两直线平行）所以∠CGH =∠BCG （两直线平行，内错角相等）E 因为∠CGH =∠BEF （已知），H所以∠BEF =∠BCG （等量代换）A B所以EF / /CG （同位角相等，两直线平行）G F因为EF⊥AB（已知），所以CG⊥AB．【例18】已知，正方形ABCD 的边长为4 cm ，求三角形EBC 的面积．D【答案】8 平方厘米． A E 【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC，且其高即是正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：4 ⨯ 4 ÷ 2 = 8cm2C【例19】如图，AD//BC，BC =5AD ，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．2A D【答案】5: 2 ．4B CBD EA GD【解析】因为 AD / /BC （已知）所以三角形 ABC 与三角形 ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等）所以 S ∆ABC : S ∆ACD = BC : AD = 5：2 （两三角形高相等，面积比等于底之比）【例 20】如图， AB / /GE ， CD / / FG ，BE =EF =FC ，三角形 AEG 的面积等于 7，求四边形 AEFD 的面积． 【答案】21 【解析】联结 BG 、CG ． 因为 AB / /GE（已知）所以 S∆BEG B = S ∆AEG （同底等高的两个三角形面积相等） E F C因为 BE =EF （已知）， 所以 S ∆BEG = S ∆GEF （等底等高的两个三角形面积相等）所以 S ∆AEG = S ∆GEF =7（等量代换）， 同理 S ∆GEF = S ∆DFG = 7 ．所以 S 四边形AEFD = S ∆AEG + S ∆GEF + S ∆DFG = 7 + 7 + 7 = 21．【例 21】已知 E 是平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，DE 延长线交 AB 延长线于 F ，试说明CS ∆ABE 与S ∆CEF 相等的理由． 【答案】见解析 1A1 F【解析】因为 S △ADE = S △DCF = 2 S 四边形ABCD ，所以 S △CEF = S ∆DCF - S ∆DCE = 2S 四边形ABCD - S ∆DCE ， 所以 S = S - S - S = S - 1 S - S = 1 S - S∆ABE 四边形ABCD ∆ADE ∆DCE 四边形ABCD 2 四边形ABCD ∆DCE 2 四边形ABCD ∆DCE所以 S ∆ABE = S ∆CEF模块二：辅助线的添加例题解析 【例 1】如图，已知 AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ． 【答案】见解析 【解析】过点 C 作 AB 的平行线 CF ， 因为 AB ∥ED （已知） 所以 AB / /CF / / ED （平行的传递性）A BC F 所以∠B = ∠BCF ，∠D = ∠DCF （两直线平行，内错角相等）所以∠B + ∠D = ∠BCF + ∠DCF = ∠BCD （等式性质） E D【例 2】如图所示，已知， ∠A +∠B +∠C = 360︒ ，试说明 AE ∥CD ． 5F E【答案】见解析A E【解析】过点 B 向右作 BF //AE ， 所以∠A + ∠ABF = 180（︒ 两直线平行，同旁内角互补）因为∠A +∠B +∠C = 360︒ （已知）B F所以∠FBC + ∠C = 180︒ （等式性质） C D所以 BF / /CD （同旁内角互补，两直线平行）所以 AE / /CD （平行的传递性）【例 3】如图，已知：AB //CD ，试说明： ∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （至少用三种方法）．【答案】见解析 A【解析】方法一：连接 BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于 180因为 AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补） C 所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360°方法二：过点 E 作 EF //CD ，因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质）即∠B +∠D +∠BED =360°；方法三：过点 E 作 EF / / BA因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠ABE + ∠BEF = 180︒ ，∠FED + ∠EDC = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补） 所以∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （等式性质）；方法四：过点 E 作 EF ⊥CD 的延长线与 F ，EG 垂直于 AB 的延长线于 G ，则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【例4】如图所示，在六边形 ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明 BC ∥EF 的理由．【答案】见解析 A F【解析】连接 AD 、BEB因为 AF ∥CD （已知） E所以∠FAD = ∠ADC （两直线平行，内错角相等） C D因为∠BAF = ∠CDE （已知）， 所以∠BAD = ∠ADE （等式性质）所以 AB ∥DE （内错角相等，两直线平行）所以∠ABE = ∠BED （两直线平行，内错角相等）因为∠ABC = ∠FED （已知）， 所以∠EBC = ∠BEF （等式性质）所以 BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【例 5】如图已知，AB //CD ，∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系．3 3【答案】∠E : ∠F = 3：2 ． C【解析】过点 E 、点 F 分别作 AB 的平行线 EG 、FH ． 6A BD2 1 因为 EG / / AB ，FH / / AB所以 AB / / EG / FH / /CD (等量代换)所以∠ABF = ∠BFH （两直线平行，内错角相等）所以∠CDF = ∠DFH （两直线平行，内错角相等）所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF （等量代换）同理： ∠BED = ∠DEG + ∠BEG = ∠ABE + ∠CDE （等量代换）因为∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE3 3所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF = 2 (∠ABE + ∠CDE ) = 2∠BED3 3 所以∠E : ∠F = 3：2【例 6】如图，已知：AC //BD ，联结 AB ，则 AC 、BD 及线段 AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点 P 落在某个部分时，联结 PA 、PB ，构成 ∠ PAC 、∠ APB 、∠ PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是 0 °角）（1） 当点 P 落在第①部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB ；（2） 当点 P 落在第②部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB 是否成立?（3）当点 P 落在第③部分时，全面探究∠ PAC 、 ∠ APB 、 ∠ PBD 之间的关系是 ，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．A 3 A 3C C C A 3 C2 1B 4 D B 4 D B 4 B 4 D【解析】（1）过点 P 作 PE // AC ．因为 AC / / BD ，所以 AC / / PE / / BD （平行的传递性）所以∠PAC = ∠APE ，∠BPE = ∠PBD （两直线平行，内错角相等）因为∠APB = ∠APE + ∠BPE （角的和差）所以∠APB = ∠PAC + ∠PBD （等量代换）（2）不成立，过点 P 作 AC 的平行线即可证明．（3）分类讨论如下：①当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ；②当动点 P 在射线 BA 上时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB 或∠PAC = ∠PBD + ∠APB 或∠APB = 0︒，∠PAC = ∠PBD （任写一个即可） ③当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ．2 P 1 A3 2 1随堂练习【习题1】 填空：（1） 如图（1），AB //CD ，CE 平分∠ACD ， ∠A = 120 ，则∠ECD ；（2） 如图（2），已知 AB //CD ， ∠B = 100 ，EF 平分∠BEC ， EG ⊥ EF ，则∠DEG = ．【难度】★G B AFC 【答案】（1）30°； （2）50°．E图（2） C【解析】（1）因为 AB ∥CD （已知），所以∠A + ∠ACD = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = 120 （已知）， 所以∠ACD = 180 -120 = 60 （等式性质）又因为 CE 平分∠ACD （已知）， 所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为 AB ∥CD （已知）， 所以∠B + ∠BEC = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠B = 100 （已知）， 所以∠BEC = 180 -100 = 80 （等式性质）又因为 EF 平分∠BEC （已知）， 所以∠BEF =40°（角平分线的意义）因为 EG ⊥EF （已知）， 所以∠GEF = 90 （垂直的意义）因为∠DEG + ∠GEF + ∠CEF = 180 （平角的意义）所以∠DEG = 180 - 90 - 40 = 50 （等式性质）【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】 填空：（1）如图，直线 a / /b ，三角形 ABC 的面积是 42 cm 2 ，AB =6 cm ，则 a 、b 间的距离为 ；（2）如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，则三角形 ACD 和三角形 ABC 的面 积之比为 ．【难度】★ 【答案】（1）14 厘米 ；（2） 1 ．2 AD【解析】（1）三角形 ABC 的高为： 42 ⨯ 2 ÷离B 为 14 厘米； C（2）因为三角形 ACD 和三角形 ABC 高相等，所以面积之比等于底之比，即 S ∆ACD = S ∆ABC AD =1AB 2【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．A B E 图（1） D D ．【习题3】 如图，已知 FC //AB //DE ， ∠α : ∠D : ∠B = 2 : 3 : 4 ,则∠α 、∠D 、∠B 的度数分别为 ．【难度】★ 【答案】∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ． 【解析】因为 FC //AB //DE （已知），A 所以∠B + ∠CFB = 180 (∠D = ∠CFD （两直线平行，内错角相等）设∠α = 2x ，∠D = 3x ，∠B = 4x ，则可列方程：180 - 4x + 2x = 3x ，解得： x = 36︒则∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 3 倍多 12°，则这两个角是( )．A ．42°和 138°B ．都是 10°C ．42°和 138°或都是 10°D ．以上都不对【难度】★★【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为 A 、B ，则有： ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 3 倍多 12°，则有： ∠A = 3∠B + 12︒ ，即180︒- ∠B = 3∠B + 12︒，解得：∠B = 42︒，∠A = 138︒ ．【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】 如图，已知 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线 PQ 、MN的位置关系．P Q【难度】★★ 【答案】见解析． 1【解析】因为 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知） R所以∠PQN = 2∠1 ， ∠MNQ = 2∠2 （角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质） 2 所以 PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行） M N【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】 如图，已知：AB ∥CD ，EF 和 AB 、CD 相交于 G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】 AB / /CD （已知） ∴∠BGH = ∠DHF （两直线平行，同位角相等） 又 MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF ∴∠1 = 1 ∠BGH , ∠2 = 1 ∠DHF 2 2 ∴∠1 = ∠（2 等量代换） ∴GM / / H N （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定A B 12 OC BC M1【习题7】 如图所示，在直角三角形 ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点 O 到各边的距离相等，求这个距离是多少．【难度】★★【答案】1． 【解析】设这个距离是 x ，则有：S ∆ABC = 6 = 1( AC + BC + AB ) ⨯ x = 6x ， 解得： x = 1 ． 2 【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】 如图，已知 AB ，CD 分别垂直 EF 于 B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明： BM / / AF ．A【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】因为 CD ⊥EF ， 所以∠CDF = 90 （垂直的意义） 因为∠DCF =60°（已知）， 所以∠F =30°（三角形的内角F 和等于 1D 80°） B E 因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F （等量代换）所以 BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】 如图，已知直线l 1 / /l 2 ；（1）若∠1 = (x + 2 y ) ， ∠2 = x ， ∠4 = ( y + 30) 求∠1 ， ∠2 ， ∠4 的度数；（2）若∠2 = x ， ∠3 = y ， ∠4 = [2(2x - y )] ，求 x 、 y 的值． 1 2 3 l【难度】★★ 【答案】见解析 4l 2【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以 x + 2 y + x 180︒ ，即 x +y =90°因为l 1∥l 2 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = y +30， 解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°；（2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以 x +y =180°，因为l 1∥l 2 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = 4x - 2 y ， 解得：x =72°，y =108°．【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．【习题10】 如图， ∠ ADC =∠ABC ， ∠ 1+ ∠ FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明 BC 为∠DBE 的平分线．【难度】★★★ E【答案】见解析． 【解析】因为∠ 1+ ∠ FDB =180°（已知）， 又因为∠1 = ∠ABD （对顶角相等） 所以∠ABD + ∠BDF = 180 （等量代换）所以 AB / / F D （同旁内角互补，两直线平行）F D CA E C所以∠ABD = ∠2 （两直线平行，内错角相等）因为∠ADC = ∠ABC （已知）， 所以∠ADB = ∠CBD （等式性质）因为 AE / / FC （已证）， 所以∠EBD = ∠FDB （两直线平行，内错角相等）即∠ADB + ∠ADF = ∠CBD + ∠CBE （角的和差）因为 AD 是∠FDB 平分线， 所以∠ADB = ∠ADF = ∠CBD = ∠EBC （角平分线的意义） 即 BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】 如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么? D【难度】★★★【答案】相等，证明见解析． F【解析】因为∠DAE + ∠EAC + ∠BAC = 180 （平角的意义）又∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 （三角形内角和等于 180°）所以∠DAE + ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB （等式性质） B 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知）所以∠ABC = ∠ACB = ∠DAE = ∠CAE所以 AE / / B C （内错角相等，两直线平行）所以 AE 与 BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等）所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．课后作业【作业1】 如图，AB //CD ，直线l 分别交 AB 、CD 于 E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠EFG = 40 ，则∠EGF 的度数是（ ）A ． 60B ． 70C ． 80D ． 90【难度】★【答案】B 【解析】因为 AB //CD （已知），所以∠BEF + ∠EFG = 180 因为∠EFG = 40 （已知）， 所以∠BEF =140°（等式性质） 因为 EG 平分∠BEF （已知），所以∠BEG = 1∠BEF = 70 （角平分线的意义）2 因为 AB //CD （已知）， 所以∠BEG = ∠EGF （两直线平行，内错角相等）所以∠EGF =70°（等量代换）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】 如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（ ）A ． ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180B ． ∠1 + ∠2 - ∠3 = 90C ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180D ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 90【难度】★【答案】C A B C D2D 1 2E 3 【解析】由题意可得： (180︒- ∠3) + (180︒- ∠2) + ∠1 = 180︒ ，解得： ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180︒【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】 若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（ ）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行，（3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个【难度】★【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；（3）×； （4）只有当这对同旁内角互补时才成立，×【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】 直线 a ∥c ，且直线 a 到直线c 的距离是 3；直线b / /c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线 a 到直线b 的距离为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．2 或 8【难度】★★【答案】D【解析】当直线 a 和直线 b 在直线 c 的两侧时，距离为 8；当直线 a 和直线 b 在直线 c 的同一侧时，距离为 2．【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】 已知：如图 5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． A【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠1 = ∠B （已知） 所以 DE / / B C （同位角相等，两直线平行）所以∠2 = ∠C （两直线平行，同位角相等）又因为 EF / / AB （已知）， 所以∠3 = ∠B 所以∠3 = ∠C （等量代换）B FC （两直线平行，同位角相等） 【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】 已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ．【难度】★★ l【答案】略． 【解析】设∠2 的对顶角为∠3， 因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换） 所以 AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）A 1 BC D 又因为 AB ∥CD （已知） 所以 CD ∥EF （平行的传递性） E 2 F【总结】本题主要考查平行线的判定．D ′ C′ F【作业7】 如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ．【难度】★★【答案】略． 【解析】因为∠4=∠B （已知）所以 CD ∥AB （同位角相等，两直线平行） 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等） 又因为∠1=∠3（已知）， 所以∠1=∠2（等量代换），A B所以 AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】 如图， AD / / BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A : ∠ABC = 2 :1 ，求∠DBC 的度数．【难度】★★A D 【答案】30°．【解析】因为 AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补） B C又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知）， 所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质）又因为 BD 平分∠ABC （已知）， 所以∠DBC =30°（角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D 、C 分别落在 D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则∠C 'FB 的度数为 ． A E D 【难度】★★【答案】65°【解析】因为翻折， 所以∠D 'EF = ∠DEF （翻折的性质） B 因为∠AED ' + ∠D 'EF + ∠DEF = 180 （平角的意义） 又∠AED ′＝65°（已知）， 所以∠D 'EF = ∠DEF = 180 - ∠AED '= 57.5 （等式性质）2 因为 AD / / BC （已知）， 所以∠DEF + ∠EFC = 180 （两直线平行，同旁内角互补） ∠EFB = ∠DEF （两直线平行，内错角相等）所以∠EFB = 57.5 ， ∠EFC = 180 - 57.5 = 122.5 （等式性质）因为∠EFC ' = ∠EFC （翻折的性质） 所以∠C 'FB = ∠EFC ' - ∠EFB = 65︒ ．【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】 如图，已知 AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分∠FEG ， ∠A = ∠D = 110 ，试说明线段 EH 的长是 AD 、BC 间的距离． AE D 【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为 AD //BC （已知）所以∠A + ∠B = 180 ， ∠C + ∠D = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = ∠D = 110 （已知）， 所以∠B =∠C =70°（等式性质）B F H G因为 AB //EF ，DC //EG （已知），D4 3 C 1 2所以∠EFG=∠B，∠EGF=∠C（两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换），所以∠FEG=40°因为EH 平分∠FEG （已知），所以∠FEH=1∠FEG=20 （角平分线的意义）2所以∠FHE = 180 -∠FEH =∠EFH = 90 （三角形内角和等于180°）即EH 的长是AD、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】如图，AB ⊥l ，CD ⊥l （点B、D 是垂足），直线EF 分别交AB、CD 于点G、H．如果∠EGB =m ，∠FGB =n ，且∠EHD = (3m -n ) ，试求出∠EGB 、∠BGF 、∠EHD的度数．【难度】★★★【答案】∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【解析】因为AB ⊥l ，CD ⊥l （已知）所以AB / /CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以∠FGB +∠EHD =180 （两直线平行，同旁内角互补）∠EGB =∠EHD （两直线平行，同位角相等）即n + 3m -n = 180 ，m = 3m -n ，解得：m = 60︒，n = 120︒．所以∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．【作业12】如图，已知AB / /CD ，EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN ，那么∠GEF +∠DFH = 90 ，试说明理由．【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为AB / /CD （已知）所以∠AEF =∠CFN （两直线平行，同位角相等）因为∠CFN +∠DFN = 180︒（平角的性质）又因为EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN （已知）所以∠AEG +∠GEF +∠DFH +∠NFH = 180︒（角的和差）即2∠GEF +∠DFH = 180︒，所以∠GEF +∠DFH = 90 ．【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】如图，已知AB∥EF，∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°，试说明x、y、z 之间的关系．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意，过C、D 两点分别作AB 的平行线CM、DN 因为AB∥EF（已知）所以AB / /CM / / DN / / EF （平行的传递性）N所以∠B =∠BCM ，∠MCD =∠CDN ，∠EDN =∠E （两直线平行，内错角相等）因为∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°（已知）所以x - 45 =y -z （等式性质）即x -y +z = 45 ．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1。
理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论;2．掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理3．掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设＂和“结论”两部分组成，对于给定的命题,能找出它的题设和结论;教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线１．定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线ａ与b平行,记作a∥b．要点诠释:（１）平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行.(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系.２．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3.推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：（1)平行公理特别强调“经过直线外一点"，而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质．(2）公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.(3)“平行公理的推论"也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行。
如上图,几何语言：∵∠3=∠2∴ＡＢ∥CD(同位角相等,两直线平行）判定方法２:内错角相等,两直线平行。
如上图，几何语言:∵∠１＝∠2∴AＢ∥ＣＤ(内错角相等,两直线平行）判定方法3:同旁内角互补,两直线平行．如上图,几何语言:∵∠4＋∠2=１80°∴ＡB∥ＣD(同旁内角互补,两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形。
要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行，同旁内角互补。
要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补"都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行".(２)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（１)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离.（2) 两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
平行线的性质及判定(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平行线的判定有几个？分别是什么？问题2：平行线的性质有几个？分别是什么？平行线的性质及判定（人教版）一、单选题(共12道，每道8分)1.如图，若∠1=∠2，则( )A.AD∥BCB.AD=BCC.AB∥CDD.AB=CD答案：C解题思路：∠1和∠2是直线AB和直线CD被直线AC所截得到的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD．故选C．试题难度：三颗星知识点：平行线的判定2.如图，若AB∥EF，则∠ADE=_____，理由是_________．( )A.∠B；两直线平行，同位角相等B.∠DEF；内错角相等，两直线平行C.∠DEF；两直线平行，内错角相等D.∠CEF；两直线平行，同位角相等答案：C解题思路：∠ADE和∠DEF是由两条平行直线AB和EF被直线DE所截得到的内错角，若AB∥EF，则∠ADE=∠DEF，理由是两直线平行，内错角相等．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质3.如图，两直线a，b被直线c所截，形成八个角，可以判断a∥b的是( )A.∠2+∠4=180°B.∠3+∠8=180°C.∠5+∠6=180°D.∠7+∠8=180°答案：B解题思路：选项B：∵∠2=∠8（对顶角相等）∠3+∠8=180°（已知）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的判定4.如图，下列推理及所注明的依据都正确的是( )A.因为∠1=∠ABC，所以DE∥BC（内错角相等，两直线平行）B.因为∠2=∠3，所以DE∥BC（两直线平行，内错角相等）C.因为DE∥BC，所以∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）D.因为∠AEB+∠C=180°，所以DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）解题思路：选项A中，由条件∠1=∠ABC，∠1和∠ABC不是同位角、内错角，而且也转化不成这样的角，所以不能证明DE∥BC，故选项A错误；选项B中，条件是∠2=∠3，结论是DE∥BC，依据是内错角相等，两直线平行，故选项B 错误；选项C中，条件是DE∥BC，结论是∠2=∠3，依据是两直线平行，内错角相等，故选项C 正确；选项D中，∠AEB+∠C=180°，但∠AEB和∠C不是同旁内角，是同位角，所以不能证明DE∥BC，故选项D错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质5.如图，点E在AC的延长线上，若BD∥AE，则下列结论错误的是( )A.∠3=∠4B.∠1=∠2C.∠D=∠DCED.∠D+∠ACD=180°答案：B解题思路：由BD∥AE，根据两直线平行，内错角相等得∠3=∠4，∠D=∠DCE，根据两直线平行，同旁内角互补得∠D+∠ACD=180°，但∠1与∠2的关系无法判断，因为∠1与∠2是直线AB与直线CD被直线BC所截得到的内错角，但直线AB与直线CD是否平行，不知道．故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质6.如图，下列推理及所注明的理由都正确的是( )A.若AB∥DG，则∠BAC=∠DCA，理由是内错角相等，两直线平行B.若AE∥CF，则∠3=∠4，理由是两直线平行，内错角相等C.若AE∥CF，则∠E=∠F，理由是内错角相等，两直线平行D.若AB∥DG，则∠3=∠4，理由是两直线平行，内错角相等答案：B解题思路：分析：利用平行线的判定和性质时，要分清楚条件和结论，找出截线和被截线．选项A中，AB∥DG是条件，内错角∠BAC=∠DCA是结论，因此依据是两直线平行，内错角相等，选项A错误；选项B中，AE∥CF是条件，内错角∠3=∠4是结论，因此依据是两直线平行，内错角相等，选项B正确；选项C中，AE∥CF是条件，内错角∠E=∠F是结论，因此依据是两直线平行，内错角相等，选项C错误；选项D中，∠3和∠4不是两条平行直线AB和DG被第三条直线所截得到的角，选项D错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质7.下列说法：①若∠A+∠B=180°，则∠A，∠B互补；②若∠A+∠B=180°，则∠A，∠B是同旁内角；③若∠A，∠B互补，则∠A+∠B=180°；④若∠A，∠B是同旁内角，则∠A+∠B=180°．其中正确的是( )A.①②③④B.①③C.①③④D.①②③答案：B解题思路：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，反之，当两个角互补时，这两个角的和是180°，所以①和③正确；同旁内角是位置角，与大小无关，只有两条平行直线被第三条直线所截时，才有同旁内角互补，所以②和④错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：互补8.如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：C解题思路：由c⊥a，c⊥b，可得a∥b，然后再由两直线平行，同位角相等得∠2=∠1，因为∠1=50°，所以∠2=50°．故选C．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质9.如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，则∠ACD的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°答案：B解题思路：如图，∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAC=2∠BAD（角平分线的定义）∵∠BAD=70°（已知）∴∠BAC=2×70°=140°（等量代换）∵AB∥CD（已知）∴∠1+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠1=180°-∠BAC=180°-140°=40°（等式性质）故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质10.已知：如图，AC∥ED，AB∥FD，∠A=54°，则∠EDF的度数为( )A.36°B.45°C.54°D.60°答案：C解题思路：分析：由AB∥FD，利用两直线平行，同位角相等得∠A=∠DFC；由AC∥ED，利用两直线平行，内错角相等得∠EDF=∠DFC；进而得到∠EDF=∠A=54°．解：如图，∵AB∥FD（已知）∴∠A=∠DFC（两直线平行，同位角相等）∵AC∥ED（已知）∴∠EDF=∠DFC（两直线平行，内错角相等）∴∠A=∠EDF（等量代换）∵∠A=54°（已知）∴∠EDF=54°（等量代换）故选C．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质11.已知：如图，AB∥CD，BC∥DE．求证：∠B+∠D＝180°．证明：如图，∵AB∥CD（已知）∴____________（两直线平行，内错角相等）∵BC∥DE（已知）∴____________（两直线平行，同旁内角互补）∴∠B+∠D＝180°（________________________）①∠B=∠C；②∠B=∠E；③∠C=∠D；④∠C+∠D=180°；⑤∠D=∠E；⑥等量代换；⑦同角的补角相等．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①④⑦B.②④⑥C.①④⑥D.③⑤⑦答案：C解题思路：第一个空：条件是AB∥CD，结合下面的推理过程中用到了∠B以及这一步的依据是两直线平行，内错角相等，因此应填是∠B=∠C，所以选①；第二个空：条件是BC∥DE，结合下面的推理过程中用到了∠D以及这一步的依据是两直线平行，同旁内角互补，因此应该填写的是∠C+∠D=180°，所以选④；第三个空：条件应该是上面的两步∠B=∠C，∠C+∠D=180°，结论是∠B+∠D＝180°，由条件到结论的依据是等量代换，所以选⑥；故选C．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质12.已知：如图，AC，EF相交于点O，∠E=∠F，∠1=∠2．求证：AB∥DG．证明：如图，∵∠E=∠F（已知）∴____________（内错角相等，两直线平行）∴∠3=∠4（____________________）∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=∠2+∠4（等式性质）即∠BAC=∠DCA∴____________（内错角相等，两直线平行）①AB∥DG；②AE∥CF；③两直线平行，内错角相等；④内错角相等，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①④①B.②③⑤C.②③①D.①③②答案：C解题思路：第一个空：条件是∠E=∠F，结合下面的推理过程以及这一步的依据是内错角相等，两直线平行，所以应填AE∥CF，所以选②；第二个空：条件是上一步得到的结论AE∥CF，结论是∠3=∠4，由平行得到内错角相等，所以应填的依据是两直线平行，内错角相等，所以选③；第三个空：条件是上一步得到的结论∠BAC=∠DCA，以及这一步的依据是内错角相等，两直线平行，所以应填AB∥DG，所以选①．故选C．试题难度：三颗星知识点：平行的判定学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：已知两直线平行，你能想到什么？问题2：若要证明两直线平行，需要考虑什么？。
平行线的判定及性质(相交线与平行线) (1)
图1c ba 87654321图2FEDC B21A 图354321ba图4DCBA 54321图5F E D C BA4321图61FE DCBA 平行线的判定及性质一、知识提要1. 平行线的判定① 位角相等，两直线平行。
② 错角相等，两直线平行。
③ 旁内角互补，两直线平行。
2. 平行线的性质：① 直线平行，同位角相等。
② 两直线平行，内错角相等。
③ 两直线平行，同旁内角互补。
二、精讲精练1. 如图1，直线a 、b 都与直线c 相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°.其中能判断a //b 的条件是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．①②③④2. 如图2，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D ，∠1＋∠2＝180°，则CD 与EF 的关系是 .3. 如图3，能判断直线a //b 的条件是 .（任写一条）4. 如图4，如果∠ ＝∠ ，可得AD //BC ，你的根据是 .5. 如图5，∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＝100°，则当∠4＝ 时，AB //EF .6. 如图6，若∠1＝ ，那么AB //EF ，若∠1＝ ，那么DF //AC ，若∠DEC + ＝180°，那么DE //BC ．7. 如图7，AB //CD ，BC //DE ，则∠B +∠D 的值为 .E D C BA 图7图8ED C B A 1234图9图11图12图10E F DCBA3214321l 2l 1图13D H AG CFE B1图14E D CBA321FEDCB A18. 如图8，已知AD //BC ，∠B ＝30°，DB 平分∠ADE ，则∠DEC 为 .9. 如图9，∠1=82°，∠2＝98°，∠3=80°，则∠4＝ 度. 10. 如图10，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数等于 ．11. 如图11，l 1//l 2，∠1＝105°，∠2＝40°，则∠3＝ .12. 如图12，AD //BC ，AB //CD ，E 在CB 的延长线上，EF 经过点A ，∠C ＝50°，∠F AD ＝60°，则∠EAB ＝ .13. 如图13，DH //EG //BC ，且DC //EF ，那么图中和∠1相等的角的个数是 个.14. 阅读理解1） 如图14，如果∠1=∠2，那么根据 ，可得 // ．2） 如果∠DAB +∠ABC =180°，那么根据 ，可得 // ．3） 当 // 时，根据 ，可得∠C +∠ABC =180°；4） 当 // 时，根据 ，可得∠3=∠C ．15. 完成推理填空：如图，已知∠A ＝∠F ，∠C ＝∠D ，求证：BD //CE . 证明：∵∠A ＝∠F （已知）FEDCBA321H FED CBA NM A E BCFD∴AC //DF （ ） ∴∠D ＝∠ （ ） 又∵∠C ＝∠D （已知）， ∴∠1＝∠C （等量代换）∴BD //CE （ ）.16. 如图，已知直线AB 和直线CD 被直线EF 所截，交点分别为E 、F ，∠AEF ＝∠EFD .（1）直线AB 和直线CD 平行吗？为什么？（2）若EM 是∠AEF 的平分线，FN 是∠EFD 的平分线，则EM 与FN 平行吗？为什么？17. 如图，已知∠B =25°，∠BCD =45°，∠CDE =30°，∠E =10°，求证：AB //EF ．18. 已知，如图，∠1＝∠ACB ，∠2＝∠3，FH ⊥AB 于H ，问CD 与AB 有什么关系？说明理由.l 1l 2110°60°α图3图23y °x °30°1234A BCDE F 图1123ABCDEF图5A BCDE 图4三、测试提高【板块一】平行线的判定1. 如图1，∠1＝∠A ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．AB //FD B ．ED //AC C ．∠B ＝∠1D ．∠3＝∠1【板块二】平行线的性质2. 如图2，直线a 与直线b 互相平行，则x y 的值是( )A ．30B ．20C ．50D ．60 3. 如图3，直线l 1//l 2，则∠α=（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130° 4. 如图4，AB //CD ，∠BAE =120°，∠DCE =30°，则∠AEC =（ ）A ．90°B ．150°C ．75°D ．60°【板块三】综合练习5. 如图5，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，∠1＝∠3．下列正确的结论有（ ）个．①DE //BF ；②AB //CD ；③∠1=∠2；④∠A =∠C . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4四、课后作业1. 若∠1与∠2是同位角，且∠1=60°，则∠2是（ ） A .60°B .120°C .120°或60°D .不能确定FE DCB A图4图1nm21GFED C B A321图3FEDCBA2. 两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（ ）A .互相重合B .互相平行C .互相垂直D .相交3. 如图1，若m ∥n ，∠1=105°，则∠2= .4. 如图2，直线AB ∥CD ，若∠2是∠1的2倍，则∠2的度数是（ ）A .60°B .90°C .120°D .150°图1 图2 图3 5. 如图3，EF ∥AD ，∠1=∠2，∠BAC =70°.将求∠AGD 的过程填写完整：因为EF ∥AD ，所以∠2= .又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3.所以AB ∥ .所以∠BAC + =180°.又因为∠BAC =70°，所以∠AGD = ． 6. 如图4，已知DE ∥BC ，DF 、BE 分别平分∠ADE 和∠ABC 求证：∠FDE =∠DEB .证明： ∵DE ∥BC∴∠ADE = （ ）∵DF 、BE 分别平分∠ADE 、∠ABC∴∠ADF =12 ∴∠ABE =12 （ ）∴∠ADF =∠ABE （ ） ∴ ∥ ( ) ∴∠FDE =∠ （ ）7. 如图，AB ∥CD ，∠B =40°，∠E =30°，求∠D 的度数.DCBA 2121E D CBAHG C B A F E D218. 如图，已知DE ∥BC ，∠1=∠2，求证：∠B =∠C ．9. 已知：如图∠1=∠2，∠C =∠D ，请问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．。
人教版七年级下册数学平行线的判定及性质证明题训练(含答案)
人教版七年级下册数学平行线的判定及性质证明题训练（含答案）1．如图，三角形ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，点F ，G 在AG 上，连接,,DG BG EF ．己知12∠=∠，3180ABC ∠+∠=︒，求证：∥BG EF ．将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．证明：∵_____________（已知）∴∥DG BC （_______________________）∴．CBG ∠=________（____________________）∵12∠=∠（已知）∴2∠=________（等量代换）∴∥BG EF （___________________）2．如图，已知12∠=∠，A F ∠=∠，试说明C D ∠=∠的理由．解：把1∠的对顶角记作3∠，所以13∠=∠（对顶角相等）．因为12∠=∠（已知），所以23∠∠=（ ），所以 ∥ （ ）．（请继续完成接下去的说理过程）3．如图，CD ∥AB ，点O 在直线AB 上，OE 平分∠BOD ，OF ⊥OE ，∠D ＝110°，求∠DOF 的度数．4．如图，DH 交BF 于点E ，CH 交BF 于点G ，12∠=∠，34∠=∠，5B ∠=∠．试判断CH 和DF 的位置关系并说明理由．5．已知：如图，直线DE//AB．求证：∠B+∠D=∠BCD．6．如图，已知AB CD∥，BE平分ABC∠，CE平分BCD∠，求证1290∠+∠=︒．证明：∵BE平分ABC∠（已知），∴2∠=（），同理1∠=，∴1122∠+∠=，又∵AB CD∥（已知）∴ABC BCD∠+∠=（），∴1290∠+∠=︒．7．请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：已知：如图，BC，AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．证明：∵AD∥BC（已知），∴∠3＝（）．∵∠3＝∠4（已知），∴∠4＝（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（）．即∠BAF＝．∴∠4＝∠BAF．（）．∴AB∥CD（）．8．如图，已知∠A＝120°，∠FEC＝120°，∠1＝∠2，试说明∠FDG＝∠EFD．请补全证明过程，即在下列括号内填上结论或理由．解：∵∠A＝120°，∠FEC＝120°（已知），∴∠A＝（）．∴AB∥（）．又∵∠1＝∠2（已知），∴EF ∥ （ ）．∴∠FDG ＝∠EFD （ ）．9．在三角形ABC 中，CD AB ⊥于D ，F 是BC 上一点，FH AB ⊥于H ，E 在AC 上，EDC BFH ∠=∠．(1)如图1，求证：∥DE BC ；(2)如图2，若90ACB ∠=︒，请直接写出图中与ECD ∠互余的角，不需要证明．10．已知：如图，直线MN HQ ∥，直线MN 交EF ，PO 于点A ，B ，直线HQ 交EF ，PO 于点D ，C ，DG 与OP 交于点G ，若1103∠=︒，277∠=︒，396∠=︒．（1）求证：EF OP ∥；（2）请直接写出CDG ∠的度数．11．如图直线a b ∥，直线EF 与,a b 分别和交于点,,A B AC AB AC ⊥、交直线b 于点C ．（1）若160∠=︒，直接写出2∠= ；（2）若3,4,5AC AB BC ===，则点B 到直线AC 的距离是 ；（3）在图中直接画出并求出点A 到直线BC 的距离．12．如图，已知AB CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE = 150°，求∠C 的度数．13．如图，在ABC 中，CD 平分ACB ∠交AB 于D ，EF 平分AED ∠交AB 于F ，已知ADE B ∠=∠，求证：EF CD ∥．14．已知：如图，AB ∥CD ∥EF ，点G 、H 、M 分别在AB 、CD 、EF 上．求证：GHM AGH EMH ∠∠∠=+．15．如图所示，点B 、E 分别在AC 、DF 上，BD 、CE 均与AF 相交，A F ∠=∠，C D ∠=∠，求证：12∠=∠．16．如图，在ABC 中，DE ∥AC ，DF ∥AB ．（1）判断∠A 与∠EDF 之间的大小关系，并说明理由．（2）求∠A +∠B +∠C 的度数．17．已知：如图，ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，EF 交DC 于点F ，32180∠+∠=︒ ，1B ∠=∠．（1）求证：∥DE BC ；（2）若DE 平分ADC ∠，33B ∠=∠，求2∠的度数．18．如图，AB ∥DG ，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD ∥EF ；（2）若DG 是∠ADC 的平分线，∠2＝142°，求∠B 的度数．19．问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是：如图2，过P 作PE AB ∥，通过平行线性质，可得APC ∠=______．问题迁移：如图3，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．（1）当点P 在A 、B 两点之间运动时，CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系．20．直线AB CD∠．∥，直线EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分MND（1）如图1，若MR平分EMB∠，则MR与NP的位置关系是．∠，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．（2）如图2，若MR平分AMN（3）如图3，若MR平分BMN∠，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．参考答案：1．解：证明：∵3180ABC ∠+∠=︒（已知）∴∥DG BC （同旁内角互补，两直线平行）∴．1CBG ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵12∠=∠（已知）∴2CBG ∠=∠（等量代换）∴∥BG EF （同位角相等，两直线平行）2．解：把1∠的对顶角记作3∠，所以13∠=∠（对顶角相等）．因为12∠=∠（已知），所以23∠∠=（等量代换），所以//BD CE （同位角相等，两直线平行），所以4C ∠=∠（两直线平行，同位角相等），又因为A F ∠=∠，所以//DF AC （同位角相等，两直线平行），所以4D ∠=∠（两直线平行，内错角相等），所以C D ∠=∠（等量代换）．故答案为：等量代换；BD ；CE ；同位角相等，两直线平行．3．解：∵CD AB ∥∴110DOB D ∠=∠=︒∵OE 平分∠BOD ∴1552DOE DOB ∠=∠=︒ 又∵OF ⊥OE∴90EOF ∠=︒∴905535DOF EOF DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：35︒4．解：CH DF，理由如下：∵34∠=∠，∴CD BF，∴5180BED∠+∠=︒，∵5B∠=∠，∴180B BED∠+∠=︒，∴BC DH，∴2H∠=∠，∵12∠=∠，∴1H∠=∠，∴CH DF．5．证明：过点C作CF∥AB，∴∠B=∠BCF，∵DE//AB．CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠D=∠DCF，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=∠B+∠D．6．证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠2=12∠ABC（角平分线的定义），同理∠1=12∠BCD，∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠BCD)，又∵AB∥CD（已知）∴∠ABC +∠BCD =180°（两直线平行，同旁内角互补 ），∴∠1+∠2=90°． 故答案为：12∠ABC ；角平分线的定义；12∠BCD ；(∠ABC +∠BCD )；180°；两直线平行，同旁内角互补．7．证明：∵AD ∥BC （已知），∴∠3＝∠CAD （两直线平行，内错角相等）．∵∠3＝∠4（已知），∴∠4＝∠CAD （等量代换）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠CAF ＝∠2+∠CAF （等式的性质）．即∠BAF ＝∠CAD ．∴∠4＝∠BAF ．（等量代换）．∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）．8．解：∵∠A =120°，∠FEC =120°（已知），∴∠A =∠FEC （等量代换），∴AB ∥EF （同位角相等，两直线平行），又∵∠1=∠2（已知），∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），∴EF ∥CD （平行于同一条直线的两直线互相平行），∴∠FDG =∠EFD （两直线平行，内错角相等），故答案为：∠FEC ；等量代换；EF ；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；CD ；平行于同一条直线的两直线互相平行；两直线平行，内错角相等．9．证明：∵CD AB ⊥，FH AB ⊥，∴//CD FH ，∴BCD BFH ∠=∠．∵EDC BFH ∠=∠，∴BCD EDC ∠=∠，∴//ED BC ．(2)与ECD ∠互余的角有：EDC BCD BFH A ∠∠∠∠，，，．证明：∵//ED BC ，∴90DEC ACB ∠=∠=︒，EDC BCD ∠=∠，∴90ECD EDC ∠+∠=︒，90ECD BCD ∠+∠=︒．∵//CD FH ，∴BCD BFH ∠=∠，∴90ECD BFH ∠+∠=︒．∵CD AB ⊥，∴90ACD A ∠+∠=︒，即90ECD A ∠+∠=︒．综上，可知与ECD ∠互余的角有：EDC BCD BFH A ∠∠∠∠，，，．10．解：（1）∵1103∠=︒，∴77∠=︒ABC ，∵277∠=︒，∴2ABC ∠=∠，∴EF OP ∥；（2）∵MN HQ ∥，EF OP ∥，∴1103∠=∠=∠=︒FDC FAB ，3180∠+∠=︒FDG ，∵396∠=︒，∴180********∠=︒-∠=︒-︒=︒FDG ，∴1038419∠=∠-∠=︒-︒=︒CDG FDC FDG ．11．解：（1）∵a b ∥，∴12180BAC ∠+∠+∠=︒，∵AC AB ⊥，160∠=︒，∴230∠=︒，故答案为：30︒；（2）∵AC AB⊥，∴点B到直线AC的距离为线段4AB=，故答案为：4；（3）如图所示：过点A作AD BC⊥，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，∵AC AB⊥，∴ABC∆为直角三角形，∴1122ABCS AC AB BC AD∆=⨯⨯=⨯⨯，即1134522AD ⨯⨯=⨯⨯，解得：125 AD=，∴点A到直线BC的距离为125．12．解：∵∠CDE=150°，∴∠CDB=180°-∠CDE=30°，又∵AB CD，∴∠ABD=∠CDB=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=60°，∵AB CD，∴∠C=180°-∠ABC=120°．13．证明：ADE B∠=∠（已知），DE//BC∴（同位角相等，两直线平行），ACB AED∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），CD 平分ACB ∠，EF 平分AED ∠（已知），12ACD ACB ∴∠=∠，12AEF AED ∠=∠（角平分线的定义）， ACD AEF ∴∠=∠（等量代换）.EF //CD ∴（同位角相等，两直线平行）.14．证明：∵AB ∥CD （已知）∴1AGH ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 又 ∵CD ∥EF （已知）∴2EMH ∠=∠，（两直线平行，内错角相等） ∵12GHM ∠∠∠=+（已知）∴GHM AGH EMH ∠∠∠=+（等式性质）15．证明：∵A F ∠=∠，∴AC DF ∥，∴ABD D ∠=∠，又∵C D ∠=∠，∴ABD C ∠=∠，∴DB CE ∥，∴13∠=∠，∵23∠∠=，∴12∠=∠．16．（1）两角相等，理由如下：∵DE ∥AC ，∴∠A =∠BED (两直线平行，同位角相等).∵DF ∥AB ，∴∠EDF =∠BED (两直线平行，内错角相等)， ∴∠A =∠EDF (等量代换).（2）∵DE ∥AC ，∴∠C =∠EDB (两直线平行，同位角相等).∵DF ∥AB ，∴∠B =∠FDC (两直线平行，同位角相等).∵∠EDB +∠EDF +∠FDC =180°，∴∠A +∠B +∠C =180°(等量代换).17．解：（1）∵32180∠+∠=︒，∠2+∠DFE ＝180°， ∴∠3＝∠DFE ，∴EF //AB ，∴∠ADE ＝∠1，又∵1B ∠=∠，∴∠ADE ＝∠B ，∴DE //BC ，（2）∵DE 平分ADC ∠，∴∠ADE ＝∠EDC ，∵DE //BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∵33B ∠=∠∴∠5+∠ADE +∠EDC ＝3B B B ∠+∠+∠＝180°， 解得：36B ∠=︒，∴∠ADC ＝2∠B ＝72°，∵EF //AB ，∴∠2＝∠ADC ＝180°－108°＝72°，18．（1）∵AB ∥DG ，∴∠BAD ＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD +∠2＝180°.∵AD ∥EF .（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG 是∠ADC 的平分线，∴∠CDG ＝∠1＝38°，∵AB ∥DG ，∴∠B ＝∠CDG ＝38°．19．解：问题情境：∵AB ∥CD ，PE ∥AB ，∴PE ∥AB ∥CD ，∴∠A +∠APE =180°，∠C +∠CPE =180°，∵∠P AB =130°，∠PCD =120°，∴∠APE =50°，∠CPE =60°，∴∠APC =∠APE +∠CPE =50°+60°=110°；（1）CPD αβ∠=∠+∠；过点P 作PQ AD ∥，又因为AD BC ∥，所以PQ AD BC ∥∥，则ADP DPE ∠=∠，BCP CPE ∠=∠，所以CPD DPE CPE ADP BCP ∠=∠+∠=∠+∠；（2）情况1：如图所示，当点P 在B 、O 两点之间时，过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE =∠ADP =∠α，∠CPE =∠BCP =∠β， ∴∠CPD =∠DPE -∠CPE =∠α-∠β，情况2：如图所示，点P 在射线AM 上时，过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE =∠ADP =∠α，∠CPE =∠BCP =∠β， ∴∠CPD =∠CPE -∠DPE =∠β-∠α20．（1）如题图1，AB CD ∥EMB END ∴∠=∠MR 平分EMB ∠，NP 平分MND ∠．11,22EMR EMB ENP END ∴∠=∠∠=∠ EMR ENP ∴∠=∠∴MR ∥NP ；（2）如题图2，AB CD ∥AMN END ∴∠=∠MR 平分AMN ∠，NP 平分MND ∠．11,22RMN AMN ENP END ∴∠=∠∠=∠ RMN ENP ∴∠=∠∴MR ∥NP ；（3）如图，设,MR PN 交于点Q ，过点Q 作QG AB ∥AB CD ∥180BMN END ∴∠+∠=︒，QG CD ∥ ,MQG BMR GQN PND ∴∠=∠∠=∠ MR 平分BMN ∠，NP 平分MND ∠．11,22BMR BMN PND END ∴∠=∠∠=∠ 90BMR PND ∴∠+∠=︒90MQN MQG NQG ∴∠=∠+∠=︒ ∴MR ⊥NP ；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、单选题(共12道，每道8分)
1.如图，若∠1=∠2，则( )
A.AD∥BC B.AD=BC
C.AB∥CD D.AB=CD
答案：C
解题思路：
∠1和∠2是直线AB和直线CD被直线AC所截得到的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
9.如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，则∠ACD的度数为( )
A.35° B.40°
C.45° D.50°
答案：B
解题思路：
如图，
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAC=2∠BAD（角平分线的定义）
∵∠BAD=70°（已知）
∴∠BAC=2×70°=140°（等量代换）
④若∠A，∠B是同旁内角，则∠A+∠B=180°．
其中正确的是( )
A.①②③④ B.①③
C.①③④ D.①②③
答案：B
解题思路：
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，反之，当两个角互补时，这两个角的和是180°，所以①和③正确；
同旁内角是位置角，与大小无关，只有两条平行直线被第三条直线所截时，才有同旁内角互补，所以②和④错误．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
6.如图，下列推理及所注明的理由都正确的是( )
A.若AB∥DG，则∠BAC=∠DCA，理由是内错角相等，两直线平行
B.若AE∥CF，则∠3=∠4，理由是两直线平行，内错角相等
C.若AE∥CF，则∠E=∠F，理由是内错角相等，两直线平行
D.若AB∥DG，则∠3=∠4，理由是两直线平行，内错角相等
因此依据是两直线平行，内错角相等，选项C错误；
选项D中，∠3和∠4不是两条平行直线AB和DG被第三条直线所截得到的角，选项D错误．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
7.下列说法：
①若∠A+∠B=180°，则∠A，∠B互补；
②若∠A+∠B=180°，则∠A，∠B是同旁内角；
③若∠A，∠B互补，则∠A+∠B=180°；
A.∠3=∠4 B.∠1=∠2
C.∠D=∠DCE D.∠D+∠ACD=180°
答案：B
解题思路：
由BD∥AE，根据两直线平行，内错角相等得∠3=∠4，∠D=∠DCE，根据两直线平行，同旁内角互补得∠D+∠ACD=180°，但∠1与∠2的关系无法判断，因为∠1与∠2是直线AB与直线CD被直线BC所截得到的内错角，但直线AB与直线CD是否平行，不知道．
2.如图，若AB∥EF，则∠ADE=_____，理由是_________．( )
A.∠B；两直线平行，同位角相等B.∠DEF；内错角相等，两直线平行
C.∠DEF；两直线平行，内错角相等D.∠CEF；两直线平行，同位角相等
答案：C
解题思路：
∠ADE和∠DEF是由两条平行直线AB和EF被直线DE所截得到的内错角，
答案：B
解题思路：
分析：利用平行线的判定和性质时，要分清楚条件和结论，找出截线和被截线．
选项A中，AB∥DG是条件，内错角∠BAC=∠DCA是结论，
因此依据是两直线平行，内错角相等，选项A错误；
选项B中，AE∥CF是条件，内错角∠3=∠4是结论，
因此依据是两直线平行，内错角相等，选项B正确；
选项C中，AE∥CF是条件，内错角∠E=∠F是结论，
答案：C
解题思路：
分析：由AB∥FD，利用两直线平行，同位角相等得∠A=∠DFC；
由AC∥ED，利用两直线平行，内错角相等得∠EDF=∠DFC；
进而得到∠EDF=∠A=54°．
解：如图，
∵AB∥FD（已知）
∴∠A=∠DFC（两直线平行，同位角相等）
∵AC∥ED（已知）
∴∠EDF=∠DFC（两直线平行，内错角相等）
选项B：
∵∠2=∠8（对顶角相等）
∠3+∠8=180°（已知）
∴∠2+∠3=180°（等量代换）
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
故选B．
试题难度：三颗星知识点：平行线的判定
4.如图，下列推理及所注明的依据都正确的是( )
A.因为∠1=∠ABC，所以DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
B.因为∠2=∠3，所以DE∥BC（两直线平行，内错角相等）
∴∠A=∠EDF（等量代换）
∵∠A=54°（已知）
∴∠EDF=54°（等量代换）
若AB∥EF，则∠ADE=∠DEF，理由是两直线平行，内错角相等．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
3.如图，两直线a，b被直线c所截，形成八个角，可以判断a∥b的是( )
A.∠2+∠4=180° B.∠3+∠8=180°
C.∠5+∠6=180° D.∠7+∠8=180°
答案：B
解题思路：
选项C中，条件是DE∥BC，结论是∠2=∠3，依据是两直线平行，内错角相等，故选项C正确；
选项D中，∠AEB+∠C=180°，但∠AEB和∠C不是同旁内角，是同位角，所以不能证明DE∥BC，故选项D错误．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
5.如图，点E在AC的延长线上，若BD∥AE，则下列结论错误的是( )
∵AB∥CD（已知）
∴∠1+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠1=180°-∠BAC
=180°-140°
=40°（等式性质）
故选B．
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
10.已知：如图，AC∥ED，AB∥FD，∠A=54°，则∠EDF的度数为( )
A.36° B.45°
C.54° D.60°
C.因为DE∥BC，所以∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）
D.因为∠AEB+∠C=180°，所以DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
答案：C
解题思路：
选项A中，由条件∠1=∠ABC，∠1和∠ABC不是同位角、内错角，而且也转化不成这样的角，所以不能证明DE∥BC，故选项A错误；
选项B中，条件是∠2=∠3，结论是DE∥BC，依据是内错角相等，两直线平行，故选项B错误；
故选B．
试题难度：三颗星知识点：互补
8.如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，
则∠2的度数为( )
A.30° B.40°
C.50° D.60°
答案：C
解题思路：
由c⊥a，c⊥b，可得a∥b，
然后再由两直线平行，同位角相等得∠2=∠1，
因为∠1=50°，所以∠2=50°．