平行线的性质和判定
平行线的性质知识点
平行线的性质知识点平行线是几何学中常见的概念，其性质和特点对于理解和解决几何问题非常重要。
本文将介绍平行线的定义、性质以及与平行线相关的定理。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
简单来说，如果两条直线在同一个平面内，并且它们永远不会相交，那么它们就是平行线。
二、平行线的判定方法1. 同位角判定法：当一条直线与另外两条直线相交时，如果同位角对应相等（即两条直线被切分的同位角互相相等），则这两条直线是平行线。
2. 内错角判定法：当一条直线与另一条直线相交时，如果内错角互相补角相等（即两条直线被切分的内错角互为补角），则这两条直线是平行线。
3. 平行线判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行线。
三、平行线的性质1. 平行线具有等倾斜角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的同位角，它们的角度相等。
2. 平行线具有同旁内错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的内错角，它们是互补角。
3. 平行线具有同旁外错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的外错角，它们是对应角或互补角。
4. 平行线具有同旁错角成比例性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的错角，它们成比例关系。
5. 平行线之间的距离始终相等：如果从两条平行线上任意取一对相对应的点，连接这两条点所在直线上的线段，得到的线段与两条平行线之间的距离是相等的。
四、平行线的相关定理1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的同位角对应相等。
2. 平行线外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的外错角互补。
3. 平行线内角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角互补。
4. 平行线内外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角与外错角是对应角或互补角。
总结：平行线是几何学中的重要概念，具有许多重要性质和特点。
通过掌握平行线的定义、判定方法、性质以及相关定理，可以在解决几何问题时更加灵活运用平行线的知识，加深对几何学的理解和掌握。
初一平行线的判定及性质
平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念;掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质;并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义;知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成;对于给定的命题;能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线;如果直线a与b平行;记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交;三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行;实际是指它们所在的直线平行;两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内;两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地;重合的直线视为一条直线;不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点;有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行;那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”;而非直线上的点;要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等;两直线平行判定方法2：内错角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等;两直线平行判定方法3：同旁内角互补;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补;得出平行;即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行;同位角相等；性质2：两直线平行;内错角相等；性质3：两直线平行;同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容;切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行;是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系;是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线;并且夹在这两条平行线间的线段的长度;叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点;向另一条直线作垂线;垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后;它们的距离就是个定值;不随垂线段的位置的改变而改变;即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句;叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成;题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……;那么…….”;也可写成：“若……;则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题;叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题;叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发;经过推理证实得到的另一个真命题;定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下;一个命题的正确性需要经过推理;才能作出判断;这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据;不能“想当然”;这些根据可以是已知条件;学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的;必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题;只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内;将一个图形沿某个方向移动一定的距离;图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小;只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离;平移不改变线段、角的大小;具体来说：1平移后;对应线段平行且相等；2平移后;对应角相等；3平移后;对应点所连线段平行且相等；4平移后;新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内;下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行..其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d;如果a∥b、c∥b、c∥d;则a∥d.2两条直线被第三条直线所截;同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截;同位角相等.4在同一平面内;如果两直线都垂直于同一条直线;那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3. 如图;给出下列四个条件：1AC＝BD； 2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD;其中能使AD∥BC的条件有.A．12 B．34 C．24 D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°;第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°;第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°;第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°;第二次向左拐130°例4.如图所示;已知∠B＝25°;∠BCD＝45°;∠CDE＝30°;∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示;在∠BCD的内部作∠BCM＝25°;在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°;∠E＝10°已知;∴∠B＝∠BCM;∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM;EF∥DN内错角相等;两直线平行．又∵∠BCD＝45°;∠CDE＝30°已知;∴∠DCM＝20°;∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等;两直线平行．∵AB∥CM;EF∥DN已证;∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示;分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°;∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°;∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE＝30°;∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°;∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB＝∠EMD等量代换．所以AB∥EF内错角相等;两直线平行．变式3已知;如图;BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;且∠1与∠2互余;试判断直线AB、CD的位置关系;请说明理由．解：AB∥CD;理由如下：∵BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;∴∠ABD＝2∠1;∠CDB＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°;∴∠ABD+∠CDB＝180°．∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行．变式4已知;如图;AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∠1+∠2=180°;求证：CD//EF．答案证明：∵AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∴AB∥CD．又∵∠1+∠2=180°;∴AB∥EF．∴CD//EF．类型三、平行线的性质例5．如图所示;如果AB∥DF;DE∥BC;且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗为什么．解：∵DE∥BC;∴∠4＝∠1＝65°两直线平行;内错角相等．∠2+∠1＝180°两直线平行;同旁内角互补．∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF ∥AB 已知;∴ ∠3＝∠2两直线平行;同位角相等．∴ ∠3＝115°等量代换．变式5如图;已知1234//,//l l l l ;且∠1=48°;则∠2＝ ;∠3＝ ;∠4＝ .答案48°;132°;48°变式6如图所示;直线l 1∥l 2;点A 、B 在直线l 2上;点C 、D 在直线l 1上;若△ABC 的面积为S 1;△ABD 的面积为S 2;则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题;如果是命题;是正确的 还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交;有几个交点；③若a ∥b;b ∥c;则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等;那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……;那么……”的形式．1两直线平行;同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行;那么同位角相等.2如果两个角是对顶角;那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角;那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示;将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置;若∠CAB ＝50°;∠ABC ＝100°;则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9 上海静安区一模如图所示;三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示;AB∥EF;那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB;∵CD∥AB;∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行;同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行;同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b;c∥d;所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上;另一边互相平行;则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图;能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB;GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°;第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°;第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°;第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°;第二次向左拐40°．5．如图所示;下列条件中;不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后;小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法;她是通过折一张半透明的纸得到的如图;1—4:从图中可知;小敏画平行线的依据有①两直线平行;同位角相等．②两直线平行;内错角相等．③同位角相等;两直线平行．④内错角相等;两直线平行．A.①②B. ②③C. ③④D. ④①二、填空题7. 在同一平面内的三条直线;它们的交点个数可能是________．8．如图;DF平分∠CDE;∠CDF＝55°;∠C＝70°;则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1;a2;a3…;a100;若a1⊥a2;a2∥a3;a3⊥a4…;按此规律;a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行;其中一个角为40°;则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C;如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行;则A、B、C三点;其依据是12.如图;AB⊥EF于点G;CD⊥EF于点H;GP平分∠EGB;HQ平分∠CHF;则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图;∠1＝60°;∠2＝60°;∠3＝100°;要使AB∥EF;∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示;她想知道它的上下边缘是否平行;而小敏身边只有一个量角器;你能帮助她解决这一问题吗15．如图;把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠;已知∠ADB＝20°;那么∠BAF为多少度时;才能使AB′∥BD16．如图所示;由∠1＝∠2;BD平分∠ABC;可推出哪两条线段平行;写出推理过程;如果推出另两条线段平行;则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1. 答案A解析只有④正确;其它均错．2. 答案D3. 答案B解析内错角相等;两直线平行．4. 答案B5. 答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6. 答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程;图中的虚线与已知的直线垂直;过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7. 答案0或1或2或3个；8. 答案BC; DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°;而∠FDE＝∠CDF＝55°;所以∠CFD＝∠FDE．9. 答案a1∥a100；解析为了方便;我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100;因为a1⊥a2∥a3;所以a1⊥a3;而a3⊥a4;所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9;a9∥a12∥a13;…;接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100;所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线;平行公理；解析此题考查是平行公理;它是论证推理的基础;应熟练应用．12.答案AB∥CD;GP∥HQ；解析理由：∵AB⊥EF;CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．∴∠1＝12EGB＝45°．∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．同理∠GHQ＝135°;∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥HQ．三、解答题13. 解析解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°;∠2＝60°;∴∠1＝∠2;∴AB∥CD又∵∠3＝∠4＝100°;∴CD∥EF;∴AB∥EF．14．解析解：如图所示;用量角器在两个边缘之间画一条线段MN;用量角器测得∠1＝50°;∠2＝50°;因为∠1＝∠2;所以由内错角相等;两直线平行;可知画板的上下边缘是平行的．15. 解析解：要使AB′∥BD;只要∠B′AD＝∠ADB＝20°;∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．∴∠BAF＝12∠B′AB＝12×110°＝55°．16．解析解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC已知．∴∠1＝∠DBC角平分线定义．又∵∠1＝∠2已知;∴∠2＝∠DBC等量代换．∴AD∥BC内错角相等;两直线平行．。
平行线与相交线的性质与判定
平行线与相交线的性质与判定平行线和相交线是几何学中常见的两种线的情况。
它们各自具有一些独特的性质和判定方法。
本文将就平行线和相交线的性质以及判定方法进行详细探讨。
一、平行线的性质与判定平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
平行线具有以下重要性质和判定方法：1. 性质一：平行线的夹角相等。
如果两条平行线被一条第三线所切，那么在切割线两侧形成的对应角、内错角和同旁内角都是相等的。
2. 性质二：平行线的对应线段成比例。
如果一条平行线上有两个点，与另一条平行线上的两个点相连接，那么这四个点所确定的线段之间的比例是相等的。
3. 性质三：平行线与平行线之间的关系。
如果一条直线与两条平行线相交，那么它将与两条平行线所切割出来的其他直线成对应角，这些对应角都是相等的。
4. 判定方法一：两条直线的斜率相等。
如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行线。
5. 判定方法二：一组平行线的倾斜角度相同。
如果两条直线的倾斜角度相同，那么这两条直线是平行线。
二、相交线的性质与判定相交线是指在同一个平面上交于一点的两条直线。
相交线具有以下重要性质和判定方法：1. 性质一：相交线形成的对应角相等。
如果两条相交线被一条第三线所切，那么在切割线两侧形成的对应角、内错角和同旁内角都是相等的。
2. 性质二：相交线的对应线段成比例。
如果一条相交线上有两个点，与另一条相交线上的两个点相连接，那么这四个点所确定的线段之间的比例是相等的。
3. 性质三：相交线与相交线之间的关系。
如果一条直线与两条相交线相交，那么它将与这两条相交线所切割出来的其他直线成对应角，这些对应角都是相等的。
4. 判定方法一：两条直线的角度和为180度。
如果两条直线的角度和为180度，那么这两条直线是相交线。
5. 判定方法二：一组相交线的交点坐标相同。
如果两条直线的交点坐标相同，那么这两条直线是相交线。
三、平行线与相交线的应用举例平行线和相交线的性质与判定方法在实际应用中具有广泛的应用。
平行线的性质
平行线的性质平行线是几何学中重要的概念之一，它们有着独特的性质和特点。
本文将介绍平行线的性质，包括定义、判定方法以及与其他几何对象的关系。
一、定义及判定方法平行线是指在同一平面上永不相交的直线。
根据平行线的定义可以得出以下性质：1. 平行线具有相同的斜率：如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行线。
反之，如果两条直线平行，那么它们的斜率一定相等。
2. 平行线具有相同的夹角：如果两条直线分别与一条横穿它们的直线相交，且交角相等，那么这两条直线是平行线。
反之，如果两条直线平行，那么它们与同一条横穿它们的直线的交角一定相等。
3. 平行线具有相同的倾斜角：倾斜角指直线与水平线之间的夹角。
如果两条直线的倾斜角相等，那么这两条直线是平行线。
反之，如果两条直线平行，它们与水平线的倾斜角一定相等。
二、平行线与其他几何对象的关系1. 平行线与角的关系：当一条直线与两条平行线相交时，所对应的内角或外角具有特定的关系。
如果同时给定两条直线为平行线，以及一条与它们相交的第三条直线，那么我们可以根据角的性质计算出交角的大小。
2. 平行线与三角形的关系：如果一条直线与一个三角形的两条边分别平行，那么这条直线将会将这两条边分成对应的等分线段，从而形成一组相似三角形。
3. 平行线与平行四边形的关系：平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
在平行四边形中，对角线相交于一点，并且相交点将对角线等分。
同时，两对相对边及相对角也具有相等关系。
三、应用举例平行线的性质在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑工程：在建造房屋或桥梁等结构时，工程师需要利用平行线的性质来确保构件的平行度和垂直度。
2. 地理测量：地理测量中使用的经纬线是地球表面上的平行线，它们能够提供位置和方向信息。
3. 电路布局：在电路设计中，平行线的性质被应用于布线和电路板设计，以确保信号传输的稳定性和减少电磁干扰。
4. 图形学：在计算机图形学中，平行线的性质被用于3D渲染和投影算法，以模拟真实世界中的透视效果。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1。
理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论;2．掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理3．掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设＂和“结论”两部分组成，对于给定的命题,能找出它的题设和结论;教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线１．定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线ａ与b平行,记作a∥b．要点诠释:（１）平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行.(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系.２．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3.推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：（1)平行公理特别强调“经过直线外一点"，而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质．(2）公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.(3)“平行公理的推论"也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行。
如上图,几何语言：∵∠3=∠2∴ＡＢ∥CD(同位角相等,两直线平行）判定方法２:内错角相等,两直线平行。
如上图，几何语言:∵∠１＝∠2∴AＢ∥ＣＤ(内错角相等,两直线平行）判定方法3:同旁内角互补,两直线平行．如上图,几何语言:∵∠4＋∠2=１80°∴ＡB∥ＣD(同旁内角互补,两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形。
要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行，同旁内角互补。
要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补"都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行".(２)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（１)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离.（2) 两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
平行线的性质及判定
平行线的性质及判定定 义示例剖析平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．∥a b ，∥AB CD 等．平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补．若∥a b ，则12∠=∠； 若∥a b ，则23∠=∠；若∥a b ，则34180∠+∠=︒．平行线的判定：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行；若12∠=∠，则∥a b ；ba 4321ba 4321知识互联网思路导航题型一：平行线的定义、性质及判定同旁内角互补，两直线平行． 若23∠=∠，则∥a b ；若34180∠+∠=︒，则∥a b ．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．若∥，∥b a c a ，则∥b c ．【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A ．同位角相等B ．内错角相等C ．同旁内角互补D ．以上都不对⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥B ．∵180CD ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥⑷ 如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．50°B ．40°C ．150°D ．130°⑸ 如图，直线AB CD ∥，EF CD ⊥，F 为垂足，如果20GEF ∠=°，则1∠的度数是（ ）A ．20°B ．60°C ．70°D ．30°⑹ 如图，直线a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=°，则2∠的度数为______(c )b aAc b a典题精练DCBAba 21DGF1E CB A⑺ 如图，1∠和2∠互补，那么图中平行的直线有（ ）A ．a b ∥B ．c d ∥C ．d e ∥D ．c e ∥⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12∠=∠；②34∠=∠；③2490∠+∠=°；④45180∠+∠=°，其中正确的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 ⑼ 如图，直线12l l ∥，AB CD ⊥，134∠=°，那么2∠的度数是 ．⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164∠=°，那么2∠等于 ．【铺垫】多选题：下列说法错误的有（ ）A ：不相交的两条直线是平行线．B ：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．C ：三条直线a 、b 、c ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥；同理，若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥．D ：已知α∠的两边与β∠的两边平行，若48α∠=°，则48β∠=°．E ：若AB CD ∥，CD EF ∥，则AB EF ∥．理由是等量代换． F ：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．21ba CBA1234521l 2l 1DCB A2121edc baG ：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．【例2】 ⑴ 如图，∥AB CD ,B D ∠=∠,请说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵，∴（ ）． ∵， ∴ （等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）．⑵ 填空，完成下列说理过程.如图，DP 平分ADC ∠交AB 于点P ，90DPC ∠=︒，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由.解：∵DP 平分ADC ∠， ∴∠3＝∠ （ ） ∵APB ∠= °，且90DPC ∠=︒，∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3. （ ）∴∠2＝∠4.⑶ 如图,已知DE AC ∥，DF AB ∥，求A B C ∠+∠+∠度数．解：∵DE AC ∥（ ），∴C ∠= （ ）， 3∠= （ ） 又∵DF AB ∥（ ） ∴B ∠= （ ） A ∠= （ ） ∴3A ∠=∠（ ）∴123A B C BDC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠= （ ）【例3】 ⑶ 如图，已知直线AB CD ∥， 115C ∠=°，25A ∠=°，则E ∠的度数为 度．⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的 条件： . AB CD ∥180BAD D ∠+∠=°B D ∠=∠BAD ∠+180=°12∠=∠4321FEDCBA21D C BA AE图3EDC B AF PD C B A4321321 ABCDEG H M F⑶ 如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：① 12∠=∠；② 34∠=∠；③ A DCE ∠=∠； ④ D DCE ∠=∠；⑤ 180A ABD ∠+∠=°； ⑥ 180A ACD ∠+∠=°；⑦ AB CD =. 能说明AC BD ∥的条件有 .⑶ 如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ，已知1260∠=∠=°，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ． 则3∠=（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．130°【例4】 ⑴ 已知：如图1，CD 平分ACB ∠，DE BC ∥，80AED ∠=°，求EDC ∠． ⑵ 已知：如图2，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，BE FD ⊥于G ．求证：AB CD ∥．图1 图2【备选1】⑴如图1，一个宽度相等的纸条折叠一下，如果1100∠=︒，则2∠的度数是 .⑵如图2，把一张四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，若AB CD ∥，AD BC ∥，15DBC ∠=︒，则BOD ∠= .⑶如图3，直线1l 、2l 分别和3l 、4l 相交，若1∠与3∠互余，2∠与3∠的余角互补，4110∠=︒， 那么3∠= .图1图2图3⑷如右图，已知AB CD ∥，AD BC ∥，60B ∠=︒，50EDA ∠=︒， 则CDO ∠= .EDCBA21G F EDCB A21B CDEOA 4321l 3l 4l 1l 24321EDCB AAED【备选2】已知，如图，DE BC ⊥于E ，FG BC ⊥于G ，12∠=∠．求证：EH AC ∥.【备选3】如图，已知AB 、CD 分别垂直EF 于B 、D ，且60FCD ∠=︒，130∠=︒，求证：BM AF ∥.【备选4】如图，已知12180∠+∠=，3B ∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并对结论进行证明．【例5】 如图，已知：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点M 、N ，MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠. 求证：MG ∥NH ． 从本题我能得到的结论是：【选讲】下列条件中，位置关系互相垂直的是（ ）①对顶角的角平分线；②邻补角的平分线；③平行线的同位角的平分线；④平行线的内错角的平分线；⑤平行线的同旁内角的平分线. A ．①② B ．③④ C ．①⑤ D ．②⑤1A MFE DCB思路导航题型二：基本模型中平行线的证明N MHG F E D C BA 图3G HF 21E B DAC123ABD E F模 型示例剖析若∥a b ，则12∠=∠若∥∥a b c ，则1213180，∠=∠∠+∠=︒若∥a b ，则123∠=∠+∠若∥a b ，则123360∠+∠+∠=︒【例6】 已知：如图∥AB CD ,点E 为其内部任意一点，求证：BED B D ∠=∠+∠．【例7】 如图，已知AB DE ∥，80ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，求BCD ∠的度数．ab21a bc321ba 321ab321典题精练FEDCBAA BCDEEDCBA321 Bb C DM ca【拓展】如图所示，已知直线a b ∥，直线c 和直线a 、b 交于C 、D 两点，在C 、D 之间有一点M ，如果点M 在C 、D 之间运动，问1∠、2∠、3∠之间有怎样的关系？ 这种关系是否发生变化？试着证明你的结论.【例8】 如图，已知3180DCB ∠+∠=，12∠=∠，:4:5CME GEM ∠∠=，求CME ∠的度数．训练1. 已知ABC ∠的两边AB ，BC 分别与DEF ∠的两边DE ，EF 平行，问ABC ∠与DEF ∠有何关系？证明你的结论．从这道题目中，你能得到怎样的结论？训练2. 如图，∥AB CD ,150∠=︒,2110∠=︒,则3∠= ．训练3. 已知：如图，AB 、CD 被EF 所截，EG 平分BEF ∠，FG平分EFD ∠，且1290∠+∠=︒． 证明：AB CD ∥． 思维拓展训练（选讲）A B D C1 2 3NMF 21E B A C 训练4. 已知：如图，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，1E ∠=∠．证明：AD 平分BAC ∠．题型一 平行线的定义、性质及判定 巩固练习【练习1】 已知如图，1C ∠=∠，2B ∠=∠，MN 与EF 平行吗？为什么？【练习2】 ⑴ 如图1，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是 ．⑵ 如图2，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是 ． ⑶ 如图3，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°，则3∠的度数为（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°【练习3】 ⑶ 已知：如图1，110D ∠=°，70EFD ∠=°，12∠=∠，求证：3B ∠=∠．证明：∵110D ∠=°，70EFD ∠=°（已知）∴180D EFD ∠+∠=° ∴AD ∥ （ ） 又∵12∠=∠（已知）∴ ∥ （ ）∴ ∥ （ ） ∴3B ∠=∠（ ） 复习巩固图2 图221ba l 图3nm 321图1DC B A图1321F E DCB A 1GED CBA⑵ 如图2，EF AD ∥，12∠=∠，70BAC ∠=°．将求AGD ∠的过程填写完整． 解：∵EF AD ∥，∴2∠= （ ） 又∵12∠=∠ ∴13∠=∠（ ）∴AB ∥ （ ）∴BAC ∠+ 180=°（ ） 又∵70BAC ∠=° ∴AGD ∠= ．【练习4】 如图，已知DA AB ⊥，DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=°，求证：BC AB ⊥．题型二 基本模型中平行线的证明 巩固练习【练习5】 已知：如图，点E 为其内部任意一点，BED B D ∠=∠+∠. 求证：∥AB CD .ED CBA图2132G A E B D FCFABCD E。
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定【知识点梳理】平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。
平行线的性质：平行线之间的距离处处相等.两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）平行线的画法：平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．☆平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行☆平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行☆平行线的判定两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行方法四垂直于同一条直线的两条直线互相平行方法五（平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行方法六（平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行☆平行线的性质：性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简称：两条直线平行，同位角相等性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两条直线平行，内错角相等性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简称：两条直线平行，同旁内角互补☆两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。
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公路的走向为北偏东60°. 如果A、B两地同时开工，
那么∠α是时，才能使公路准确接通。
5.如图，直解三角板的直角顶点落在直尺边上，
若∠1=56°，则∠2的度数为（ ）
A. 56° B. 44° C.34° D.28°
6.如图，∠1=40°，当∠B的度数为（ ）时，
求∠APC的度数
（2）变式训练：若“图1”变成“图2”，其余条件不变，你还能求∠APC的度数吗？
14.如图，已知：AB ∥CD，MG平分∠AMN ,NH平分∠DNM，
求证：MG∥NH。
平行线的性质和判定(综合课）
学习目标：1.分清平行线的性质和判定，已知平行用性质,要证平行用判定.
2.能够综合运用平行线性质和判定解决问题.
学习重点：平行线性质和判定综合应用
学习难点：平行线性质和判定灵活运用
学习过程：
一、复习提问
1.
2.平行线的性质有哪些？两直线平行，同位角；
两直线平行，内错角；
两直线平行，同旁内角；
2.如图，若AB∥CD，截线EF与AB、CD分别
相交于M、N两点.请你从中选出两个你认为
相等的一对角____________.
3.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A、同位角相等，两直线平行
B、内错角相等，两直线平行
C、同旁内角互补，两直线平行
D、两直线平行，同位角相等
（3）总结：已知平行用性质，要证平行用判定
4.重要的结论：
（1）过一点且只有条直线与这条直线平行。
（2）垂直于同一条直线的两条直线。
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角。
二、基础训练
1.如图，用吸管吮吸易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部
夹角∠2＝70°，那么吸管与易拉罐下部夹角∠1＝______度．
直线CD与BE平行。
A.160°B.140°C.60°D.50°
7.如图,AB∥EF,∠ECD=∠E,则CD∥AB.在括号内填写理由:
解：∵ ∠ECD=∠E,（ ）
∴ CD∥EF( )
∵ AB∥EF,（ ）
∴ CD∥AB( ).
三、能力训练
8.如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，∠1=121°.
求∠3的度数。
9.如图，已知∠1=∠B，∠A=40°，求∠2的度数。
10.如图，已知：∠1＝∠2，求证：∠3＋∠4=180o
11.如图，已知：AB∥DE，∠B+∠E=180°,
求证：BC∥EF。
12.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30o，
求∠C的度数。
四、拓展训练
13.（1）如图所示,已知AB∥CD,∠A=45°，∠C=30°，
3.平行线的判定有哪些？（1）同位角，两直线平行；
（2）内错角，两直线平行；线的两条直线；
4.平行线的性质与判定的区别与联系
（1）区别：性质是根据两条直线平行，去证角相等或互补．
判定是根据两角相等或互补，去证两条直线平行．
（2）联系：它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提；