湖南名校联考联合体2021届高三上学期12月联考数学试卷 PDF版含答案
湖南省湘中名校教研教改联合体高三上学期12月联考理数试题 含参考答案.
数学（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1.若复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ）． A ． i B ．i - C ．2i D ．2i -2.已知集合{}(){}2|11120,|231,A x x x B x x n n Z =--<==+∈，则A B 等于（ ）．A ．{}2B ．{}2,8C ．{}4,10D ．{}2,4,8,10 3. 下列说法正确的是（ ）．A ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p 且q 为真命题”是“p 或q 为真命题” 的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“2,230x R x x ∀∈++>”D ．命题p ：“,s i n c o s 2x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题4. 利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果 3.84k >，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）．A ． 5%B ． 75%C ． 99.5%D ．95%5.已知向量()(),3,,3a x b x ==-，若()2a b b +⊥，则a =（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．26.设()[)[]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -⎰的值为（ ）．A ．423π+B ．32π+C ．443π+ D ．34π+7.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布．（ ） A ．12 B ． 1629 C ． 1631 D ．8158. 一个凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ ）．A ．．．9 D ．10 9.若正数,a b 满足：121a b +=，则2122a b +--的最小值为（ ）． A ．2 B．2 C ．52D．14+ 10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x R ∈恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）． A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ． ()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．(),2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦11.已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：①ABC ∆一定是钝角三角形 ②ABC ∆可能是直角三角形 ③ABC ∆可能是等腰三角形 ④ABC ∆不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ）．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 12.已知函数()3213f x x ax bx c =-+++有两个极值点12,x x ，若()112x f x x <<，则关于x 方程()()()220f x af x b --=的实根个数不可能为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题，90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数,x y 满足不等式组023010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最小值是____________．14.设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-，则0125a a a a ++++=____________．15.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足0FA FB FC ++=，则111AB AC BCk k k ++=____________． 16.定义在x R ∈上的函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，且()2f x -是偶函数，若对一切实数x ，不等式()()2sin 2sin 1f x f x m ->--恒成立，则实数m 的取值范围为____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,2sin a b c a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.18.（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. η表示经销一件该商品的利润.（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η. 19.（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，0//,90,PA AD BC ABC ∠=⊥平面,4,2,6ABC PA AD AB BC ====.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PC D --的余弦值. 20.（本小题满分12分）如图，曲线C 由上半椭圆()22122:10,0y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线()2:10C y x y =-+≤连接而成，1C 与2C 的公共点为,A B ，其中1C（1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于点,P Q (均异于点,A B )，是否存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过A 点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分） 设函数()()1ln f x x a x a R x=--∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点()()()()1122,,,A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分. 22.（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程) 已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标系方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，其中点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}|24x x <<． （1）求实数,a b 的值；（2参考答案一、选择题二、填空题13. -1 14. 33 15.0 16. 2m <-或4m > 三、解答题17.解：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，∴1sin 2B =， 由ABC ∆为锐角三角形得6B π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∴1sin 232A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分3Aπ⎛⎫<+<⎪⎝⎭cos sinA C+的取值范围为322⎛⎫⎪⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．12分18.解：（1）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．()()()()310.40.216,110.2160.784P A P A P A=-==-=-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）η的可能取值为200元，250元，300元，()()()()()()()()20010.4250230.20.20.4300120025010.40.40.2P PP P PP P Pηξηξξηξη=======+==+===-=-==--=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分η的分布列为：2000.42500.43000.2240Eη=⨯+⨯+⨯=元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解法一：（1）∵PA⊥平面,ABCD BD⊂平面ABCD，∴BD PA⊥，又tan tanAD BCABD BACAB AB∠==∠==∴0030,BAC60ABD∠=∠=，∴090AEB∠=，即BD AC⊥（E 为AC与BD交点）．又PA AC，∴BD⊥平面PAC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）过E作EF PC⊥，垂足为F，连接DF．∵DE⊥平面,PAC EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC DF⊥，∴EFD ∠为二面角A PC D --的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 又09030DAC BAC ∠=-∠=，∴sin 1DE AD DAC =∠=，sin AE AB ABE =∠=又AC =PC 8EC ==，由Rt EFC Rt PAC ∆∆得332PA EC EF PC ==． 在Rt EFD ∆中，tan DE EFD EF∠== ∴二面角APC D --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二：（1）如图，建立坐标系，则()()()()()0,0,0,,,0,2,0,0,0,4A B C D P ，∴()()()0,0,4,23,6,0,23,2,0AP AC BD ===-，∴0,0BD AP BD AC ==， ∴,BD AP BD AC ⊥⊥， 又PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设平面PCD 的法向量为(),,1n x y =， 则0,0CD n PD n ==，又()()23,4,0,0,2,4CD PD =--=-，∴2340240x y y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，解得42xy ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴2,13n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分平面PAC 的法向量取为()m BD ==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分393cos ,31m n m n m n==+．∴二面角A PC D --的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）在12,C C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()()1,0,1,0A B -是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =2221a c b -==可得2a =，∴2,1a b ==．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）方法一：由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()()10y k x k =-≠， 代入1C 的方程，整理得：()22224240k x k x k +-++-=（*）设点P 的坐标为(),P P x y ，∵直线l 过点B ，∴1x =是方程（*）的一个根，由求根公式，得2244P k x k -=+，从而284P ky k -=+，∴点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理，由()()()21010y k x k y x y =-≠⎧⎪⎨=-+≤⎪⎩，得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．．．．．．．8分 依题意可知AP AQ ⊥，∴()()22,4,1,24kAP k AQ k k k =-=-++． ∵AP AQ ⊥，∴0AP AQ =，即()2224204k k k k --+=⎡⎤⎣⎦+， ∵0k ≠，∴()420k k -+=，解得83k =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为()813y x =--．．．．．．．．．．．．12分 方法二：若设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，比照方法一给分．21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2222111a x ax f x x x x -+'=+-=，令()21g x x ax =-+，其判别式24a ∆=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分①当2a ≤时，()0,0f x '∆≤>，故()f x 在()0,+∞上单调递增，②当2a <-时，()0,0g x ∆>>的两根都小于0，在()0,+∞上，()0f x '>， 故()f x 在()0,+∞上单调递增，③当2a >时，()0,0g x ∆>=的两根为12x x ==，当10x x <<时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>， 故()f x 分别在()()120,,x x +∞，上单调递增，在()12,x x 上单调递减．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知，2a >． 因为()()()()1212121212ln ln x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以()()1212121212ln ln 11f x f x x x k ax x x x x x --==+---， 又由（1）知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k ax x -=--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分若存在a ，使得2k a =-．则1212ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-，亦即()222212ln 01x x x x --=>（*）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 再由（1）知，函数()12ln h t t t t=--在()0,+∞上单调递增，而21x >， 所以222112ln 12ln101x x x -->--=．这与（*）式矛盾，故不存在a ，使得2k a =-．．．．．12分 选做题22．解：（1）因为点,,,A B C D 的极坐标为54112,,2,,2,,2,3636ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以点,,,A B C D的直角坐标为(()(),,1,,1--．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设()00,P x y ：则()002cos 3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数， []22222220044405620sin 32,52t PA PB PC PD x y ϕ=+++=++=+∈．．．．．．．．．10分23．解：（1）由x a b +<，则b a x b a --<<-，所以2b a --=且4b a -=， 得3,1a b =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）=≤==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分=，即2t =时取等号；如果采用平方或换元也可，参照给分．。
高中等湘豫名校高三数学12月联考试题 文含解析 试题
长郡中学、雅礼中学、一中、高中等湘豫名校2021届高三数学12月联考试题 文〔含解析〕一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕6|,,3M y y x N y N x ⎧⎫==∈∈⎨⎬+⎩⎭的元素个数是〔 〕A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据136x ≤+≤及x ∈N 即可求出y 的所有可能取值. 【详解】因为6|,,3M y y x N y N x ⎧⎫==∈∈⎨⎬+⎩⎭，所以当0x =时，2y N =∈；当1x =时，32y N =∉；当2x =时，65y N =∉；当3x =时，1y N =∈；当4x ≥时，01y <<，∴y N ∉.综上{}6|,,1,23M y y x N y N x ⎧⎫==∈∈=⎨⎬+⎩⎭，元素个数是2个. 应选：A.【点睛】此题主要考察集合的表示中描绘法和列举法的互相转化问题，属根底题.2019(12)z i i =--的一共轭复数为〔 〕A. 2i -B. 2i +C. 2i --D. 2i -+【答案】C【分析】 直接计算即可. 【详解】2019(12)(12)2z i i i i i =--=---=-+，2z i =--，应选：C.【点睛】此题主要考察复数的运算，关键是求出2019i i =-，属根底题.ABC ∆中，2AB =，1AC =，D 为BC 边上一点，且DC BD =，那么AD BC ⋅=〔 〕 A. －3 B. 32-C. 3D.32【答案】B 【解析】 【分析】先由DC BD =得出D 为BC 边上的中点，即1()2AD AC AB =+，然后再根据BC AC AB =-，即可得出AD BC ⋅的值.【详解】∵DC BD =，∴D 为BC 边上的中点，1()2AD AC AB =+， ∴()()12AD BC AC AB AC AB ⋅=+⋅-()()222211312222AC AB =-=-=-， 应选：B.【点睛】此题主要考察平面向量的运算，关键是把AD 、BC 用基底AB 、AC 表示，属常规考题.4.cos 33πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，(0,)θπ∈，那么sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕B. 3±D. 3±【答案】C【分析】 由sin sin cos 6233ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求值. 【详解】因为362πππθθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由诱导公式知sin sin cos 62333ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 应选：C.【点睛】此题主要考察诱导公式sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭的灵敏应用，属根底题. 23a =，3log b e =，3118c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么有〔 〕 A. a b c >> B. a c b >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的知识先估算23a =，3logb e =，3118c -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值或者范围，即可比拟大小. 【详解】)2121032333331a ⨯===>=，且11133333822⨯<==，∴12a <<，33log e log 31b =<=，113331228c -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故c a b >>.应选：D.【点睛】此题主要考察利用指数函数、对数函数的性质比拟大小的问题，属常规考题.x 与加工时间是y 的统计数据如表：现已求得上表数据的回归方程y bx a =+中的值是b 1.6，那么据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间是约为〔 〕 A. 155分钟 B. 156分钟C. 157分钟D. 158分钟 【答案】A 【解析】 【分析】先求出样本中心点(),x y ，然后代入y bx a =+求出a ，从而求出回归方程及可作出预测. 【详解】由题意得：122331223x ++==，153045303y ++==，回归直线过样本中心点(22,30)，故有3022 1.6a =⨯+，∴ 5.2a =-， 故 1.6 5.2y x =-，当100x =时，154.8155y =≈. 应选：A.【点睛】此题主要考察线性回归方程的求解及应用，其中回归直线过样本中心点(),x y 是解题的关键，属常规考题.7.?易传·系辞上?有“河出图，洛出书〞之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方〞，是中华文化、阴阳术数之源，其中河图的排列构造是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，假设从阳数和阴数中各取一数，那么其差的绝对值为3的概率为〔 〕A.15B.625C.725D.825【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算公式逐步求解即可.【详解】因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数有：5525⨯=种，满足差的绝对值为3的有：(1,4)，(3,6)，(5,2)，(5,8)，(7,10)，(7,4)，(9,6)一共7种，那么725P =. 应选：C.【点睛】此题主要考察古典概型的问题，属根底题.421()1x f x x+=+的最小值为a ，将函数1()sin ()3g x x x a π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象向左平移2π个单位长度得到函数()h x 的图象，那么下面结论正确的选项是〔 〕 A. 函数()h x 是奇函数B. 函数()h x 在区间[,]-ππ上是增函数C. 函数()h x 图象关于(2,0)π对称D. 函数()h x 图象关于直线3x π=对称【答案】D 【解析】 【分析】先利用根本不等式求出a 的值，再利用图象变换的知识求出函数()h x 的解析式，最后根据函数()h x 的性质逐个判断即可.【详解】∵422222111()11213x f x x x x x x+=+=++⋅=，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，∴3a =.那么1()sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()g x 的图象向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图象，那么111()sin sin cos 323323h x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 对于A 选项，∵11()cos cos ()33h x x x h x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，∴函数()h x 是偶函数，A 选项错误；对于B 选项，∵x ππ-，∴1333x ππ-，∴函数()h x 在[,]-ππ上不单调，B 选项错误；对于C 选项，∵21(2)cos 032h ππ==-≠，∴函数()h x 图象不关于(2,0)π对称，C 选项错误；对于D 选项，∵(3)cos 1h ππ==-，∴函数()h x 图象关于直线3x π=对称，D 选项正确. 应选：D.【点睛】此题主要考察根本不等式、三角函数的图像变换、三角函数的性质的应用等问题，属综合题，难度中等.9.执行如下图的程序框图，假设输出的值是5，那么框图中①处可以填入〔 〕A. 6?SB. 10?SC. 15?SD.21?S【答案】C 【解析】 【分析】按循环构造的知识依次执行相关步骤即可.【详解】第一次循环：1S =，不满足条件，2i =； 第二次循环：3S =，不满足条件，3i =； 第三次循环：6S =，不满足条件，4i =； 第四次循环：10S =，不满足条件，5i =； 第五次循环：15S =，满足条件，输出的值是5. 所以判断框中的条件可填写上“15?S 〞 应选：C.【点睛】此题主要考察循环构造中输出的结果求出判断框中的内容的问题，属常规考题.C 的焦点在y 轴上，离心率为72，点P 是抛物线24y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的间隔 与到直线1x =-的间隔 之和的最小值为2，那么该双曲线的方程为〔 〕A. 22143x y -= B. 22143y x -=C. 22134x y -= D.22134y x -= 【答案】B 【解析】 【分析】设F 为抛物线24y x =的焦点，那么P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的间隔 与到直线1x =-的间隔 之和等于1PF PF +，根据11PF PFF F +得1F F =求出c =2求出2a 、2b 即可. 【详解】设F 为抛物线24y x =的焦点，那么(1,0)F ，拋物线：24y x =准线方程为1x =-，因此P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的间隔 与到直线1x =-的间隔 之和等于1PF PF +，因为11PF PFF F +，所以1F F ==∴c =又c a =，∴24a =，23b =， 即双曲线的方程为22143y x -=.应选：B.【点睛】此题主要考察双曲线的HY 方程的求法，此题关键是根据11PF PFF F +先求出c 的值，试题综合性强，属中等难度题.11.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制?大衍历?中创造了一种二次不等距插值算法:假设函数()y f x =在123,,x x x x x x ===()123x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，那么在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数来近似代替:()()()11121f x y k x x k x x =+-+-()2x x -，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---.假设令120,2x x π==，3x π=，请根据上述算法，估算sin5π的值是( ) A.1425 B.35C.1625D.1725【答案】C 【解析】 【分析】设()sin y f x x ==，利用120,2x x π==，3x π=然后分别求出1230,1,0y y y ===，进而代入3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---，求出k ，最后即可求解sin 5π的值【详解】设()sin y f x x ==，120,2x x π==，3x π=，那么有1230,1,0y y y ===，那么11022k ππ-==-，0122k πππ-==--，224k π=-，由()()()()2111212244f x y k x x k x x x x x x ππ≈+-+--=-+，可得2244sin x x x ππ≈-+16sin525π≈，答案选C 【点睛】此题考察函数近似值的求解，代入运算即可，属于难题R 的函数()f x ，对任意的x ∈R 都有()2f x x '<，且1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭.当[0,2]απ∈时，不等式13(sin )cos 2024f αα+->的解集为〔 〕 A. 2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 20,,233πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 50,,266πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】构造函数2()()g x f x x =-，根据()()20g x f x x ''=-<得出()g x 是单调递减函数，再将等式13(sin )cos 2024f αα+->变形为1(sin )2g g α⎛⎫> ⎪⎝⎭，利用()g x 的单调性可得1sin 2α<，解之即可. 【详解】设2()()g x f x x =-，()()20g x f x x ''=-<，∴()g x 是单调递减函数，不等式13(sin )cos 2024f αα+->变形为()213(sin )12sin 24f αα+->，即为21(sin )sin 4f αα->，∵211112224g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么有1(sin )2g g α⎛⎫> ⎪⎝⎭，又∵()g x 是单调递减函数，∴1sin 2α<. ∵[0,2]απ∈，∴06πα<或者526παπ<，即50,,266ππαπ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦应选：D.【点睛】此题主要考察构造函数并利用其单调性解不等式问题，涉及导数、三角函数等知识，综合性强，对计算才能要求较高，属中等难度题.二、填空题〔木题一共4小题，每一小题5分，一共20分.〕222,1()log (1),1x x x f x x x ⎧-≤-=⎨+>-⎩，那么((1))f f -=__________．【答案】2 【解析】先求()1f -，进而求出答案．【详解】因为222,1()log (1),1x x x f x x x ⎧-≤-=⎨+>-⎩，所以2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=那么2((1))(3)log (31)2f f f -==+=.【点睛】此题考察分段函数求值问题，属于简单题．14.假设特称命题：“0x R ∃∈，使得2004430mx mx +-成立〞是假命题，那么实数m 的取值范围是______. 【答案】(3,0]- 【解析】 【分析】由全称命题：“x ∀∈R ，24430mx mx +-<成立〞是真命题，将问题转化为不等式24430mx mx +-<恒成立，再分情况讨论即可.【详解】此题等价为全称命题：“x ∀∈R ，24430mx mx +-<成立〞是真命题. 当0m =时，原不等式化为“30-<〞，x ∀∈R 显然成立；当0m ≠时，只需0,0,m <⎧⎨∆<⎩即20,30,m m m <⎧⎨+<⎩解得30m -<<.综合①②，得30m -<.故答案为：(3,0]-.【点睛】此题主要考察特称命题的真假求参数的取值范围问题，属常规考题.ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设cos sin =+b a C c A ，且a ，b ，c 成等比数列，那么sin =b Bc______.【解析】先将cos sin =+b a C c A 化边为角求出角A ，再根据a ，b ，c 成等比数列和正弦定理将sin b B c 变形为sin sin sin b B a BA c b==即可求解. 【详解】由正弦定理可知，sin sin()sin cos sin cos =+=+B A C A C C A ，易得ccos sin =A c A ，4A π=，又a ，b ，c 成等比数列，所以=b ac b，sin sin sin ===b B a B A c b，那么sin b B c =.故答案为：2【点睛】此题主要考察利用正弦定理进展边角互化问题，解三角形的问题关键是灵敏变形，属中等难度题.ABCD，其三对棱长分别AB CD ==AD BC ==，AC BD ==，那么此四面体的体积为______. 【答案】2 【解析】 【分析】将四面体ABCD 放在长方体内，求出长方体的长、宽、高，再利用割补发即可求得四面体的体积.【详解】设四面体ABCD 所在的长方体棱长分别为a ，b ，c ，那么2222225,13,10,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩解得2,1,3,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以四面体的体积11142323V abc abc abc =-⨯⨯==，故答案为：2.【点睛】此题主要考察空间几何体的体积的计算，关键是把四面体ABCD 放在的长方体考虑问题，属常规考题.三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕 〔一〕必考题〔一共60分.〕{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且4120S=，3a 与4a 的等差中项为26a .〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设()()3311log log n n n b a a +=⋅，数列{}n b的前n 项和为n T ，求n T .【答案】〔1〕3nn a =；〔2〕1n nT n =+ 【解析】 【分析】〔1〕先由3a 与4a 的等差中项为26a 求出公比q ，再由4120S =求出首项1a 即可；〔2〕将n a 代入()()3311log log n n n b a a +=⋅求出n b ，再由裂项相消法求和即可.【详解】〔1〕因为34226a a a +=⨯，所以2311112a q a q a q +=，又0q >，那么2120q q +-=，即3q =或者4q =-〔舍〕.所以()41141(181)120113a q a S q--===--，解得13a =，所以3nn a =.〔2〕因为()()3311log log n n n b a a +=⋅，所以111(1)1nb n n nn ，所以1211111111223111n n n T b b b n n n n =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++.【点睛】此题主要考察等比数列通项公式的求解及裂项相消法求和问题，属常规考题. 18.世界HY人运动会，简称“HY运会〞，每四年举办一届，会期7到10天，比赛设有27个大项，参赛规模约100多个国家近10000余人，规模仅次于奥运会，根据各方达成一共识，HY运会于2021年10月18日至27日在举行，赛期10天，为了HY运会顺利召开，特招聘了3万名志愿者.某部门为了理解志愿者的根本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15人，并根据调查结果画出如下图的频率分布直方图：〔1〕求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄〔同一组的数据用该组区间的中点值代表〕；〔2〕这次HY运会志愿者主要通过直接到HY运会执委会志愿者部现场报名和登录第七届世界HY运会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查.这100位志愿者的报名方式局部数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系〞？男性女性总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.)20k【答案】〔1〕0.020m =，0.025n =，平均年龄为34岁；〔2〕不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系 【解析】 【分析】〔1〕由中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15人，结合频率分布直方图可得(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=，0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，联立解方程组可得m ，n 的值，再利用公式估选算志愿者的平均年龄即可；〔2〕先把列联表补充完好，再由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算即可.【详解】〔1〕∵志愿者年龄在[40,45)内的人数为15人， ∴志愿者年龄在[40,45)内的频率为：150.15100=； 由频率分布直方图得：(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=，化简得：20.07m n +=.①由中位数为34可得：0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，化简得：540.2m n +=，②由①②解得：0.020m =，0.025n =. 志愿者的平均年龄为(22.50.02027.50.04032.50.05037.50.05042.50.03047.50.010)534⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=〔2〕根据题意得到列联表： 男性女性 总计现场报名 193150 网络报名 311950总计 50 50 100∴22100(19193131) 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系. 【点睛】此题主要考察频率分布直方图的应用及HY 性检验的有关计算问题，试题贴近生活，属根底题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =，60BAD ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点.〔1〕求证：平面PAD ⊥平面POB ；〔2〕假设E 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDE ，并求四面体P BDE -的体积.【答案】〔1〕见解析；〔2〕12【解析】〔1〕先证明AD ⊥平面POB ，再利用面面垂直的断定定理即可证明平面PAD ⊥平面POB ；〔2〕连结AC 交BD 于点F ，连结EF ，那么先证明//EF PA 即可证明//PA 平面BDE ，四面体P BDE -的体积要通过等积法转化求得，即P BDE A BDE E ABD V V V ---==，而四面体E ABD -的底面积，高为12PO 容易求得. 【详解】〔1〕证明：因为O 为等边PAD ∆边AD 的中点，所以AD PO ⊥， 又因为在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，所以ABD ∆为等边三角形， 又O 为AD 的中点，所以AD BO ⊥.而POBO O =，所以AD ⊥平面POB ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面POB . 〔2〕连结AC 交BD 于点F ，连结EF ，如下图.因为底面ABCD 为菱形，E 为PC 中点，F 为AC 中点，所以//EF PA ， 又EF ⊂平面BDE ，所以//PA 平面BDE .故P 点到平面BDE 的间隔 等于A 点到平面BDE 的间隔 ，即P BDE A BDE E ABD V V V ---==. 由〔1〕知AD PO ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥底面ABCD ， 因为等边PAD ∆的边长为2，所以3PO =.又因为E 为PC 中点，所以点E 到底面ABCD 的间隔 为132PO =， 易知ABD ∆为边长为2的等边三角形，所以三棱锥E ABD -的体积为：21112332E ABD ABD V h S -∆=⋅⋅==.故所求四面体P BDE -的体积为12. 【点睛】此题主要考察面面垂直、线面平行的断定及利用等积法求四面体的体积问题，属常规考题.C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，以椭圆C的长轴为直径的圆与直线0x y +-=相切.〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >，假设直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程.【答案】〔1〕2213x y +=；〔2〕1y x =- 【解析】 【分析】〔1〕先由短轴长求出b 的值，再根据点到直线的间隔 公式求出a 的值即可；〔2〕设直线l 的方程为y x m =+，先由221,3x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2246330x mx m ++-=，那么1232x x m +=-，()212314x x m =-，再根据直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，得出2132x x +=，最后由方程组()12212213231432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩即可求出m 的值进而求出直线l 的方程.【详解】〔1〕由题意得1b =，a ==23a =，所以椭圆C 的方程为2213x y +=. 〔2〕设直线l 的方程为y x m =+，()3,P P y ，由221,3x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2246330x mx m ++-=. 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<，那么1232x x m +=-，()212314x x m =-. 因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴，过M 作NP 的垂线，那么垂足Q 为线段NP 的中点. 设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，那么2132Q M x x x x +===. 由方程组()12212213231432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩解得2210m m ++=，即1m =-. 而()12,2m =-∈-，所以直线l 的方程为1y x =-.【点睛】此题主要考察求椭圆的HY 方程及直线与椭圆相交时根据有关条件求直线的方程问题，试题综合性强，计算量大，属中等难度题.()sin x f x e x =+，[,)x π∈-+∞.〔1〕假设()sin xf x e x =+，当[0,)x ∈+∞时，解关于x 的不等式()221()f x f x ->；〔2〕证明：()f x 有且仅有2个零点. 【答案】〔1〕(1,)+∞；〔2〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕先由导数的知识判断出()f x 在[0,)+∞上单调递增，再由不等式()221()f x f x ->得22210,0,21,x x x x ⎧-⎪⎨⎪->⎩，解之即可；〔2〕由〔1〕可知函数()f x 在[0,)+∞上没有零点， 当[,0)x π∈-时，令()()e cos xg x f x x '==+，那么()e sin xg x x '=-，易知()0g x '>，那么()f x '在[,0)π-上单调递增，再根据()0f π'-<、(0)0f '>得出0[,0)x π∃∈-，使得()00f x '=，得()f x 在[]0,x π-上单调递减，在[)0,0x 上单调递增，然后由()0f π->、02f π⎛⎫-< ⎪⎝⎭、(0)0f >并结合函数的零点存在性定理可得()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上分别有一个零点. 【详解】〔1〕当0x ≥时，0()e cos e cos 1cos 0xf x x x x '=++=+.故()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴不等式等价于22210,0,21,x x x x ⎧-⎪⎨⎪->⎩解得1x >.故关于x 的不等式的解集为(1,)+∞.〔2〕证明：由〔1〕知函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且min ()(0)10f x f ==>. ∴函数()f x 在[0,)+∞上没有零点.设()()e cos xg x f x x '==+，()e sin xg x x '=-，当[,0)x π∈-时，sin 0x ，e 0x >，∴()0g x '>.∴()g x 在[,0)π-上单调递增.易知()f x '在[,0)π-上单调递增，且0()e 1e 10f ππ-'-=-<-=，(0)20f '=>.故0[,0)x π∃∈-，使得()00f x '=，所以()f x 在[]0,x π-上单调递减，在[)0,0x 上单调递增.又因为()e0f ππ--=>，2e 102f ππ-⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，(0)10=>f .所以()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上分别有一个零点. 综上所述：()f x 有且仅有2个零点.【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单调性并利用函数的单调性解不等式问题，同时考察了利用函数的单调性及函数的零点存在性定理研究函数零点个数问题，试题综合性强，属中等难度题.〔二〕选考题〔一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分.〕xOy 中，曲线C的参数方程为1,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，直线l的方程为：20x +-=，以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程；〔2〕射线:3OA πθ=与曲线C 和直线l 分别交于M 和N 两点，求线段MN 的长.【答案】〔1〕曲线：22(1)3x y -+=，直线：sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；〔2〕1 【解析】【分析】〔1〕消参即可得曲线C 的普通方程，将cos x ρθ=、sin y ρθ=代入20x +-=即可得出直线l 的极坐标方程；〔2〕求出M 和N 两点的极坐标M ρ、N ρ，再通过M N MN ρρ=-计算即可.【详解】〔1〕由1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，〔α为参数〕得曲线C 的普通方程为22(1)3x y -+=. 由直线l的方程为：20x -=sin cos 20θρθ+-=，即sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.〔2〕曲线C 的极坐标方程是22cos 20ρρθ--=， 把3πθ=代入曲线C 的极坐标方程得220ρρ--=，解之得2M ρ=或者1M ρ=-〔舍〕. 把3πθ=代入直线l 的极坐标方程得1N ρ=，所以M N |21|1MN ρρ=-=-=.【点睛】此题主要考察参数方程、普通方程、极坐标方程的互化及利用极坐标的概念求线段的长度问题，属中等难度题.x 的不等式||20x m x -+≤的解集为(,1]-∞-，其中0m >.〔1〕求m 的值；〔2〕假设正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2221b c a a b c++. 【答案】〔1〕1m =；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕解出不等式||20x m x -+≤即可求出m 的值；〔2〕利用根本不等式先证明22b a b a +、22c b c b +、22a c a c +，三式相加即可. 【详解】〔1〕由||20x m x -+，得,20,x m x m x ⎧⎨-+⎩或者,20,x m m x x <⎧⎨-+⎩ 化简得：,3x m m x ⎧⎪⎨⎪⎩或者,,x m x m <⎧⎨-⎩由于0m >，所以不等式组的解集为(,]m -∞-. 由题设可得1m -=-，故1m =.〔2〕由〔1〕可知，1a b c ++=，又由均值不等式有：22b a b a +，22c b c b +，22a c a c+， 三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c+++++++，所以2221 b c aa b ca b c++++=.【点睛】此题主要考察绝对值不等式的解法及利用根本不等式证明不等式问题，属中等难度题.。
【数学】湖南省2021届高三高考联考试卷(解析版)
湖南省2021届高三高考数学联考试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x＞a}，若A∩B＝{x|a＜x＜a+1}，则a＝（）A．2B．1C．0D．﹣1
【答案】A
【解析】∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，A∩B＝{x|a＜x＜a+1}，
∴a+1＝3，解得a＝2．
故选：A．
2．若（z+1）（1+i）＝i，则＝（）
A．B．C．i D．
【答案】C
【解析】∵（z+1）（1+i）＝i，∴z+1＝，
则z＝，故．
故选：C．
3．“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，
此时a2c2＝（ac）2＝b4，则a2，b2，c2成等比数列，即充分性成立，
反之当a＝1，b＝1，c＝﹣1时满足a2，b2，c2成等比数列，但a，b，c不成等比数列，即必要性不成立，
即“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的充分不必要条件，
故选：A．
4．2019年底，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资．某口罩生产厂不断加大投入，提高产量．现对其在2020年2月1日～2月9。
湖南名校联考联合体2021届高三上学期12月联考数学试卷
长郡中学师大附中联考联合体2020年高三12月联考长沙一中数学时量：120分钟满分：150分得分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1.设集合A ={x |x 2-x -2>0},B ={x |0<x <3},则A ∩B =A.(0,2)B.(1,2)C.0,3)D.(2,3)2.若i32ia -+为纯虚数，则实数a 的值为A ．－32B.－23C.23D.323.平面向量a =(l ,2),|b |=3,a •b =－6，则向量a ,b 夹角的余弦值为A ．－55B.－255C.154.《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(——表示一根阳线，一一表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为A.18B.14C.38D.125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆ ybx a =+,将已知数据代入公式Q =21()ni i i y bx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+,使上述代数式取值最小的a ,b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为A ˆ2y x =-+ B.ˆ2y x =--C .ˆ2yx =+ D.ˆ2yx =-6.某单位有6名员工，2020年国庆节期间，决定从6人中留2人值班，另外4人分别去张家界、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游．要求每个景点有1人游览，每个人只游览一个景点，且这6个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有A.120种B.180种C .240种D .320种7.已知数列{a n }前n 项和为S n ，命题p :1()2n n n a a S +=,命题q :{a n }为等差数列，则p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知A .B 分别为椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ,PB与直线x =3交于M ,N 两点，△PMN 与△P A B 的外接圆的周长分别为L 1,L 2，则12L L 的最小值为A.54B.34C.24D.14二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9.空气质量指数大小分为五级．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[0,50]，[51,100]，[101,200],[201,.300],[301,500]分别对应“优”、“良”、“轻(中)度污染”、“中度(重)污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有A ．这14天中有4天空气质量指数为“良”B .这14天中空气质量指数的中位数是103C.从2日到5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日10.设动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上(含内部)，且11D P D B λ=，当∠APC 为锐角时，实数λ可能的取值是A.12B.13C.14D.1511.在∆ABC 中，下列说法正确的是A.若A >B ,则sin A >sin BB.存在△ABC 满足cos A +cos B ≤0C.若s in A <cos B ,则△ABC 为钝角三角形D.若π2C >，则22sin sin sin C A B >+12.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若f (x )存在唯一零点，下列说法正确的有A..m (x )在R 上递增B .m (x )图象关于点(2.0)中心对称C .任取不相等的实数x 1,x 2∈R 均有1212()()()22m x m x x xm ++<D .π2a ≥三填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f =．!Z-'·+2,.rO ,14.某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥高为．15.已知三棱锥P -ABC 外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ,PB =8，∠HAC =120°,则三棱锥体积的最大值为．16.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B 两点．若∠AOB =120°，△OAB 内切圆的半径r =35a b-，则双曲线的离心率为．四、解答题(本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本题满分10分)在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)nn S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1，，若确定{a n }是等差数列，求{a n }的通项公式，否则，说明理由．(注：如果选择多个条件分别解答．按第一个解答计分)在△ABC中，∠B=π3，AB=l5，点D在边BC上，CD=l,cos∠ADC=126.(1)求sin∠BAD;(2)求△ABC的面积.四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =120°,PA ⊥底面ABCD ,P A =23，E ,F 分别是P C ,P D 的中点．(1)已知BG BC λ=,若平面EFG //平面PAB ,求λ的值；(2)在(1)的条件下，求平面EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.(本题满分12分)已知A ,B 分别椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，过点M (2,0)任作一条非水平直线交椭圆于P ,Q 两点，若椭圆长轴长为8,且过点(3,)4．(1)求椭圆C 的方程；(2)记直线AP ,BQ 的斜率分别为k 1，k 2，则12k k是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．有编号为1,2,3的三只小球，和编号为1,2,3,4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．(1)求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2)求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；(3)记录至少有一只球的盒子．以X表示这些盒子编号的最大值，求EX.已知2()e (21)e x x f x a a x =+--,a 为常数．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若x ≥0时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．。
2021年高三数学12月联考试题 理(含解析)
2021年高三数学12月联考试题理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2-x）}，则P∩Q=(1)设集合P={y|y =2cosx}，Q={x∈N|y =log5A.{x|-2≤x≤2)B.{x|-2≤x<2} C．{0,1,2} D.{0,1}(2)命题p：存在x∈[0，]，使sinx +cosx>；命题q：命题“x o∈(0，+∞)，lnx o=x o-1”的否定是 x∈(0，+∞)，lnx≠x-1，则四个命题(p) V(q)、pq、(p) q、p V（q）中，正确命题的个数为A.l B．2 C．3 D．4(3)已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足，数列{a n}的前n项的和为S n,则S xx为A.504B.588C.-588D.-504(4)在△ABC中，已知向量=(2，2)， =2，= -4，则△ABC的面积为A.4 B．5 C．2 D.3(5)定义在[-2，2]上的函数f(x)满足（x1- x2）[f(x1)-f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2-a>[(2a -2)，则实数a的范围为A.[一l,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[一1,1)(6)设f(x)= sinx+cosx，则函数f(x)在点（-，0）处的切线方程为A． B．C． D.(7)已知函数y=Acos（ax+）+b（a>0，0<<）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A．y=2cos（2x+）-1 B．y=2cos（x一）-1C．y=2cos（x+）-1 D．y=2cos（2x一）一1(8)已知S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，a2·a4 =16，S3 =7，则a8=A．32 B．64 C．128 D．256(9)已知函数f(x）=e x- 2ax，函数g（x）=-x3-ax2. 若不存在x1，x2∈R，使得f'(x1）=g'（x2），则实数a的取值范围为A．（-2,3) B．（-6,0) C.[-2,3] D．[-6,0](10)已知锐角△ABC中，角a+的终边过点P( sinB - cosA,cosB - sinA)，且cos（a+）=，则cos2a的值为A． B． C． D．(11)已知实数x，y满足，若目标函数z= ax+by +5（a>0，b>0）的最小值为2，则的最小值为A． B． C． D．(12)若y=ax+b为函数f(x）=图象的一条切线，则a+b的最小值为A．-4 B．-1 C．1 D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)奇函数f(x）的周期为4，且x∈[0，2]，f(x)=2x-x2，则f(xx)+f(xx)+f(xx)的值为．(14)在平面直角坐标系内，已知B(-3，一3)，C（3，-3），且H(x，y)是曲线x2 +y2 =1任意一点，则的最大值为．(15)已知函数f(x）=sinx+cosx的图象关于x=对称，把函数f(x）的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[-，]上的单调递减区间为__ 。
高三数学2021-2022学年湖南省五市十校高一上学期12月联考数学试题解析
第1篇随着社会经济的快速发展，用电设备在人们的生活和生产中扮演着越来越重要的角色。
然而，由于用电不当、设备老化、维护不到位等原因，导致用电安全事故频发，给人民群众的生命财产安全带来严重威胁。
为加强用电安全管理，保障人民群众生命财产安全，特制定本用电安全导则。
二、用电安全导则规定第一章总则第一条为加强用电安全管理，保障人民群众生命财产安全，根据《中华人民共和国安全生产法》、《中华人民共和国电力法》等法律法规，结合我国实际情况，制定本导则。
第二条本导则适用于我国境内各类用电单位、个人和用电设施。
第三条用电安全工作应当遵循“预防为主、综合治理”的方针，坚持“安全第一、预防为主、综合治理”的原则，落实用电安全责任制。
第二章用电安全基本原则第四条用电安全基本原则包括：（一）安全第一：在用电过程中，始终把人身安全放在首位，确保用电安全。
（二）预防为主：加强用电安全管理，预防事故发生，减少事故损失。
（三）综合治理：加强用电安全管理，综合治理，形成齐抓共管的良好局面。
（四）以人为本：尊重和保障人民群众的生命财产安全，关心员工身心健康。
第三章用电安全基本要求第五条用电单位应当建立健全用电安全管理制度，明确用电安全管理职责，加强用电安全教育培训。
第六条用电单位应当加强用电设备的管理和维护，确保设备安全可靠运行。
第七条用电单位应当定期对用电设施进行检查、试验和维护，发现问题及时整改。
第八条用电单位应当采取有效措施，防止用电设施受到自然灾害、人为破坏等因素的影响。
第九条用电单位应当加强用电设备操作人员的安全管理，严格执行操作规程，确保操作安全。
第十条用电单位应当加强对用电设施的接地保护，防止电气设备发生漏电事故。
第十一条用电单位应当加强对用电设施的防雷、防静电措施，确保用电安全。
第十二条用电单位应当加强对用电设施的防火、防爆措施，防止火灾、爆炸事故的发生。
第十三条用电单位应当加强对用电设施的防腐蚀、防磨损措施，延长设备使用寿命。
2021年高三上学期12月联考试题 数学(文) 含答案
2021年高三上学期12月联考试题 数学（文） 含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是 （ ）A ．1B ．C ．D ．2．已知集合，，则( )A ． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）A ．4B ．1C ．D ．4．设，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（ ）A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 36．已知等比数列为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝5a n ＋1，则数列的公比q ＝（ ）A ．2或12 B. 2 C ．12D ．-2 7．若,则,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。
特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。
在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。
如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 411．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A． B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）Array二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三12月联考数学试题 含答案
2021年高三12月联考数学试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接写在答题．．卡相应位置上．．．．．．．1．全集，集合，则__________．2．设复数（，，是虚数单位），若，则的值为__________．3．函数定义域为__________．4．棱长均为的正四棱锥的体积为__________．5．已知实数，满足不等式组则的最大值为__________．6．若“，”是假命题，则实数的取值范围是__________．7．将函数的图象至少向右平移__________个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．8．已知等差数列的首项为．若为等比数列，则__________．9．在平面直角坐标系，设双曲线（，）的焦距为（）．当，任意变化时，的最大值是__________．10．已知，，则的值为__________．11．已知函数定义域为，其中，值域，则满足条件的数组为__________．12．在平面直角坐标系中，已知圆：，直线与圆相交于，两点，且，则的取值范围为__________．13．已知函数，平行四边形四个顶点都在函数图像上，且，，则平行四边形的面积为__________．14．已知数列各项为正整数，满足．若，则所有可能取值的集合为__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．16．（本小题满分14分）如图，在四面体中，，，点，分别为棱，上的点，点为棱的中点，且平面平面．求证：（1）；（2）平面平面．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为．若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，．（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；（2）求当取何值时，凹槽的强度最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点，分别为椭圆的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，交于点，其中点在第一象限，设直线的斜率为．（1）当时，证明直线平分线段；（2）已知点，则：①若，求；②求四边形面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知数列满足，，且对任意，都有．（1）求，；（2）设（）．①求数列的通项公式；②设数列的前项和，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知（）．（1）当时，求的单调区间；（2）函数有两个零点，，且①求的取值范围；②实数满足，求的最大值．xx届高三“四校联考”试卷数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（本小题满分10分）如图，已知凸四边形的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心在上，且与四边形的其余三边相切．点在边上，且．求证：，，，四点共圆．B．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点，求．C．（本小题满分10分）已知极坐标系中的曲线与曲线交于，两点，求线段的长．D．（本小题满分10分）已知，，求证：．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中中，已知定点，，分别是轴、轴上的点，点在直线上，满足：，．（1）求动点的轨迹方程；（2）设为点轨迹的一个焦点，、为轨迹在第一象限内的任意两点，直线，的斜率分别为，，且满足，求证：直线过定点．23．（本小题满分10分）已知函数，设为的导数，．（1）求，，；（2）求的表达式，并证明你的结论．xx届高三“四校联考”数学学科参考答案及评分建议一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.二、解答题15.（本题满分14分）【解】（1）由余弦定理，，……………………………………………………3分将，代入，解得：．………………………………………………………………6分（2）由正弦定理，，由正弦定理可得，，将，代入解得．………………………………………………………………14分16.（本题满分14分）证明：（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，………………………………………………………………………………………4分又为的中点，故为的中点，同理可得，为的中点，所以．……………………………………………………………………………………7分（2）因为，由（1）知，为的中点，所以，又，即，由（1）知，，所以，又，，平面，所以平面，………………………………………………………………………………12分又平面，故平面平面．…………………………………………………………………………14分17.（本小题满分14分）【解】（Ⅰ）易知半圆的半径为，故半圆的弧长为．所以，得……………………………………………………………………………………2分依题意知：得所以，（）．………………………………………………………6分（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为，横截面的面积为，则有，，………………………………………………9分因为，所以，当时，，当时，，所以当，凹槽的强度最大．……………………………………………………………13分答：所以当，凹槽的强度最大．………………………………………………………14分18.（本小题满分16分）【解】（1）点 椭圆的方程为设，，则，的直线方程为：（2）①设点到直线的距离为，，则…………………………………………………………………………………………6分 ，即由，解得；由，解得………………………8分，即 或．………………………10分②点到直线的距离 点到直线的距离()11111222221152255ADBE x y x y S AB d d ⎛+-++=+= ⎝…………………………………12分 ()1111111222222x y x y x y =+-+++=+…………………………………………………………14分()222222111111114444822x y x y x y x y =++≤+++==当且仅当时取等号所以四边形面积的最大值为．…………………………………………………………16分19.（本小题满分16分）【解】（1）由题意，令，，则，解得．…………2分令，，则，解得．…………………………………4分（2）①以代替，得．…………………………………………5分则，即．所以数列是以为公差的等差数列．，．…………………………………………………8分 ②因为()()111111323133231n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭． 所以11111111113447323133131n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．…………11分则，，．因为，，成等比数列，，即．所以，．． 解得．……………………………………………………………………14分又，且，，则．所以存在正整数，，使得，，成等比数列．……………………………16分20.（本小题满分16分）【解】（1）当时，的单调增区间为，单调减区间为．……………………………………2分（2）①（）当时，，在上至多只有一个零点，与条件矛盾（舍）当时，令，得列表极小值有两个不同的零点 即……………………………………6分当时，，，在上单调递减且图像是不间断的此时，在上有且只有一个零点， 令，则设，，在上单调递增， 又在上单调递增且图像是不间断的在上有且只有一个零点综上，……………………………………………………………………………………9分 ②有条件知将两式分别相加，相减得，()11221121211222lnln ln ln ln 11x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-∴+=+=+ ⎪-⎝⎭- 设由题意得对于任意成立整理即得在成立令，当时，………………………………………………12分在上单调递增，则，满足条件当时，令，()12210,12m t m -==-=（舍）当时，，在上单调递减与条件矛盾综上，……………………………………………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】A．（几何证明选讲）证明：因为，所以，因为四边形的顶点在一个圆周上，所以，从而，所以，，，四点共圆．B．（矩阵与变换）【解】依题意，，即解得…………………4分由逆矩阵公式知，矩阵的逆矩阵，…………………………8分所以．…………………………………………………10分C．选修4—4：极坐标与参数方程【解】曲线化为；………………………………………………………4分同样可化为，……………………………………………………8分联立方程组，解得，，所以．所以（），解得（负值已舍）．…………………………………………10分D．（不等式选讲）证明：因为，，且，（当且仅当时“”成立）所以， ①…………………………………………4分 又，（当且仅当时“”成立）②………………………………………8分由①②得（当且仅当时“”成立）．………………………………10分【必做题】22.【解】（1）设点坐标，点坐标，点坐标．由，，得消去，得所以点轨迹方程为．………………………………………………………………3分（2）设，两点的坐标分别为，，则， 相减：所以…………………………………………………………………5分，，由得所以，得直线：，即………………………7分令，得22112111212141444x x x y x x x x x y y +--=-==-=- 所以直线过定点．………………………………………………………………10分23.（本小题满分10分）【解】（1）()()()()10sin cos ax axf x f x ae bx c be bx c '==+++()()sin ax e a bx c bx c ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中，()()()()21sin cos ax ax f x f x ae bx c be bx c ϕϕ'⎤==+++++⎦()()sin cos ax a bx c b bx c ϕϕ=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()()2232sin 2cos 2ax ax f x f x a b ae bx c be bx c ϕϕ'⎡⎤==++++++⎣⎦……………………………………………………………3分（2）猜想，①当时，成立②假设时，猜想成立即…………………………………………………5分当时，()()()222sin cos k ax ax a b ae bx c k be bx c k ϕϕ⎡⎤=++++++⎣⎦ ()()()1222n axa b e bx c k bx c k ϕϕ+⎡⎤=++++++⎥⎦ ()()()1222sin 1k ax a b e bx c k k ϕ+=++++当时，猜想成立由①②对成立………………………………10分l33845 8435 萵40011 9C4B 鱋37055 90BF 邿22852 5944 奄25977 6579 敹38757 9765 靥21512 5408 合2#37502 927E 鉾V25893 6525 攥64。
湖南省长郡中学、师大附中、长沙市一中联合体2021届高三12月联考 数学(含答案)
长郡中学师大附中 联考联合体2020年高三12月联考长沙一中数 学时量：120分钟满分：150 分得分一、单项选择题(本题共8 小题 ，每小题 5 分，共 40 分．在每小题 给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求．)1.设集合A = {x |x 2- x - 2> 0} ,B ={x |0 < x < 3} , 则A ∩B =A. (0,2)B.(1,2)C. 0,3)D. (2,3)2.若i 32ia -+为纯虚数，则实数a 的值为A ．－B. －C.D. 322323323.平面向量 a = ( l , 2) ,| b |=3, a • b =－6，则向量 a , b 夹角的余弦值为A ．－ B. － C. D.5525515454.《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(——表示一根阳线， 一一表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有 1 根阳线和 2 根阴线的概率为A. B.1814C. D. 38125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆybx a =+, 将已知数据代入公式 Q =21()ni i i y bx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+,使上述代数式取值最小的a , b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为A ˆ2yx =-+ B. ˆ2y x =--C . ˆ2y x =+ D. ˆ2yx =-6.某单位有 6 名员工，2020 年国庆节期间，决定从 6人中留 2人值班，另外 4人分别去张 家界 、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游．要求每个景点有 1 人游览，每个人只游览一个景点 ，且这 6 个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有A. 120 种B. 180 种C . 240 种D . 320 种7.已知数列{a n }前 n 项和为S n ，命题p : 1()2n n n a a S +=,命题q : {a n } 为等差数列 ，则p 是 q 成立的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知 A . B 分别为椭圆22:14x C y +=的 左 、右 顶 点 ，P 为椭圆 C 上一动点，PA , PB 与直线x = 3 交于 M , N 两点，△PMN 与△P A B 的外接圆的周长分别为L 1,L 2，则12L L 的最小值为A. B. C. D. 54342414二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9.空气质量指数大小分为五级 ．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在： [0, 50]， [51, 100]， [101, 200] , [ 201, .300 ] , [ 301, 500 ] 分别对应“优”、“良”、“ 轻(中 )度 污染”、“ 中度(重)污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有A ． 这14 天中有 4 天空气质 量指数 为“良”B . 这 1 4天中空气 质量指数的中位数是 103C.从 2 日到 5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9日 到 11日10.设动点 P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上(含内部)，且11D P D B λ= ，当∠APC 为锐角时，实 数λ可能的取值是A.B.1213C.D.141511.在∆ABC 中，下列说法正确的是A.若 A > B , 则 sin A > sin BB. 存在△ABC 满 足cos A + cos B ≤0C.若 s in A <cos B , 则△ABC 为钝角三角形D.若π2C > ，则22sin sin sin C A B >+12.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若f (x )存在唯一零点，下列说法正确的有A..m (x )在 R 上递增B .m (x )图象关于点( 2 . 0)中心对称C .任取不相等的实数x 1,x 2∈R 均有1212()()()22m x m x x x m ++<D .π2a ≥三 填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．)13.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f = ．! Z-'· + 2 ,.r O ,14. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图 为半圆面，则该圆锥高为 ．15.已知三棱锥 P -ABC 外接球的表面积为 100π， PB ⊥平面ABC , PB =8，∠HAC = 120°, 则三 棱锥体积的最大值为 ．16.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B两点．若∠AOB =120°，△OAB 内切圆的半径r =则双曲线的离心率为 ．四、解答题(本题共 6 小题 ．共 70 分．解答应写 出 文字说 明、证明过程或 演算步骤．)17.( 本题满分 10 分)在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)n n S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问 题中，并解答该问题．问题：已知数列{a n }的 前 n 项 和为 S n , a 1 = 1， ，若确定{a n }是等差数列，求{a n }的通项公式，否则，说明理由．(注： 如果选择多个条件分别解答．按第一个解答计分)18.( 本题满分 12 分)在△ABC 中，∠B =， AB =l5，点 D 在边BC 上，π3CD = l , cos ∠ADC =.126(1) 求 sin ∠BAD ;(2) 求△ABC 的面积.19.(本题满分 12 分)四棱锥 P -ABCD 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形，∠BAD = 120°, PA ⊥底面ABCD ,P A = 2，E , F 分别是3P C ,P D 的中点．(1 ) 已知BG BC λ= , 若平面 EFG //平面PAB ,求λ的值；(2) 在(1)的条件下，求平面 EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.( 本题满分 12 分)已知 A , B 分别 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点 ，过点 M ( 2,0)任作一条非水平直线交椭圆于 P , Q 两点，若椭圆长轴长为 8,且过点．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 记直线 AP , BQ 的斜率分别为k 1，k 2，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．21. ( 本题满分 12 分)有编号为 1 , 2, 3 的三只小球，和编号为 1, 2 , 3 , 4 的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．(1) 求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2) 求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；(3) 记录至少有一只球的盒子．以X 表示这些盒子编号的最大值，求EX .22. ( 本题满分 12 分)已知2()e (21)e x x f x a a x =+--, a 为常数．(1) 讨论 f ( x )的单调性；(2) 若x ≥0 时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．。
湖南省五市十校教研教改共同体2021-2022学年高三上学期12月第二次大联考数学试题
D．过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为
三、填空题
13．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》､《尚书》､《诗经》､《礼记》､《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在最后1节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有___________种．
B． 在 上单调递增
C． 在 内有2个零点
D． 在 上的最大值为
11．早在西元前 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称 为正数 的算术平均数， 为正数 的几何平均数，并把这两者结合的不等式 叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
由双曲线方程知：实半轴长 ，虚半轴长 ， 且 ，
设圆 与 分别切于 ，如下图所示：
由圆的切线性质知： ， ，
由双曲线定义知： ，即 ，
设 ，则 ，解得： ，
由切线性质可知： 与 横坐标都为 ，
由三角形内切圆的性质知： 为 的角平分线，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
，
，
双曲线 渐近线为： ， 其倾斜角分别为 和 ，
（1）某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率是多少？
（2）治疗重症病人需要使用呼吸机，若该呼吸机的一个系统G由3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作．为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p（ ），且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？