2020届上海宝山区数学一模原卷版
2020届年上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测(一模)数学试题(解析版)
2020届年上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测(一模)数学试题一、单选题1．若等式()2323012311(1)(1)x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切x R ∈都成立，其中0a ，1a ，2a ，3a 为实常数，则0123(a a a a +++= ) A.2 B.1-C.4D.1【答案】D【解析】在所给的已知式中，令0x =，可得0123a a a a +++的值． 【详解】解：等式()2323012311(1)(1)x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切x ∈R 都成立，其中0a ，1a ，2a ，3a 为实常数， 则令0x =，可得01231a a a a +++=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 2．“22x ππ⎡⎥∈-⎤⎢⎣⎦，”是“()sin arcsin x x =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】arcsin y x =的定义域为[1-，1]， sin(arcsin )[1x x x ∴=⇔∈-，1]，[2x π∈-，]2π推不出[1x ∈-，1]，[1x ∈-，1][2x π⇒∈-，]2π，∴ “[2x π∈-，]2π是“sin(arcsin)x =”的必要非充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查反三角函数，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 3．关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） A.函数的图像是轴对称图形 B.函数的图像是中心对称图形 C.函数有最大值 D.当0x >时，()y f x =是减函数【答案】A【解析】判断函数为偶函数得到A 正确，B 错误 ，取特殊值，排除C 和D 得到答案. 【详解】()232f x x =-定义域为：{x x ≠ ，()23()2f x f x x -==- 函数为偶函数，故A 正确，B 错误当x 且x >时，()f x →+∞ ，C 错误3(1)3,(2)2f f =-=，不满足()y f x =是减函数，D 错误 故选：A 【点睛】本题考查了函数的性质，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.4．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-uuu r uuu u r uuu r的最小值为（ ）A. B.4C. D.以上都不对【答案】B【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO +-=-=uuu r uuu u r uuu r uuuu r uuu r uuu r ，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点，根据向量的运算，可得122222MF MF MN MO MN NO +-=-=uuu r uuu u r uuu r uuu r uuu r uuu r，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥uuu r ， 所以122224MF MF MN NO a +-=≥=uuu r uuu u r uuu r uuu r， 即122MF MF MN +-uuu r uuu u r uuu r的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题5．函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为______． 【答案】π【解析】利用()sin y A x b ωϕ=++的最小正周期为2πω，即可得出结论．【详解】解：函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为：2222πππ-==， 故答案为：π. 【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了()sin y A x b ωϕ=++的最小正周期为2πω，属于基础题．6．集合U R =，集合{}30A x x =-，{}10B x x =+，则U B A ⋂=ð______． 【答案】(]1,3-【解析】分别求出集合{}|3A x x =>，{}|1B x x =>-，从而求出U C A ，由此能求出U B ⋂ðA . 【详解】 解：集合U =R ，集合{}{}|30|3A x x x x =->=>，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{|3}U C A x x ∴=≤，(]{|13}1,3U B A x x ∴⋂=-<≤=-ð． 故答案为：(]1,3-． 【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．若复数z 满足(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则z ＝_______． 【答案】1-i【解析】根据题意求出复数z ，然后可求出z ． 【详解】 ∵()12i z i +=， ∴22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-， ∴1z i =-． 故答案为：1i -． 【点睛】解答本题的关键是求出复数z 的代数形式，然后再根据共轭复数的概念求解，属于基础题．8．方程()ln 9310x x+-=的根为______． 【答案】0【解析】根据题意，分析可得()ln 9310x x+-=，即9311x x +-=，令3x t =，解可得t 的值，则有31x =，解可得x 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，()ln 9310x x+-=，即9311x x +-=， 令3x t =，(0)t >，则有220t t +-=， 解可得1t =或2-；又由0t >，则有1t =，即31x =，解可得0x =， 故答案为：0．【点睛】本题考查对数、指数的运算，换元法的应用，属于基础题．9．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有______种不同的选法.(用数字作答) 【答案】20【解析】由题意，七个名额分成四份，名额之间没有差别，四个班级之间也没有差别，故把七个名额分成四份即得选法种数，此问题可用插板法解决，七个个体间有六个空，选出三个空插板，即可分成四份，此题易解 【详解】解：由题意，4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块木板把它们分成4份，即中间6个空位，选3个插板，分成四份，总的分法有3620C =种，故答案为：20． 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，理解题意，选用插板法解决本题是解题的关键，插板法是解决无差别个体分组的好办法，其特点是个体上没有差别，只是数量上的不同．10．关于x ，y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=______．【答案】8-【解析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得35x y -=． 【详解】解：由二元一次方程组的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则二元一次方程组为：2305x y x y +=-⎧⎨⨯+=⎩，两式相减可得：8x y +=-，故答案为：8-． 【点睛】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．11．如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q =______．【答案】23-【解析】由题意可知，所有项和11a S q=-，奇数项的和121a S q =-奇，结合已知即可求解. 【详解】解：由题意可知，所有项和11a S q=-， 奇数项的和121a S q =-奇， 112311a aq q∴=--， 解可得，23q =-或1q =(舍) 故答案为：23-. 【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．12．函数()y f x =与ln y x =的图象关于直线y x =-对称，则()f x =______． 【答案】x e --【解析】设点(),x y 在()y f x =的图象上，则(),x y 关于直线y x =-对称的点(),y x --在ln y x =的图象上，代入后解出y 即可．【详解】解：设点(),x y 在()y f x =的图象上，则(),x y 关于直线y x =-对称的点(),y x --在ln y x =的图象上，得到()ln x y -=-，x y e -∴-=，x y e -∴=-，()x f x e -=-，故答案为：x e --． 【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法.属基础题． 13．已知A(2，3)，B(1，4)，且1AB 2=(sinx ，cosy)，x ，y ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则x+y=____________.【答案】π6或-π2【解析】因为A(2，3)，B(1，4)，所以AB =(1，4)-(2，3)=(-1，1)，故1AB 2=11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sinx=-12，cosy=12，又x ，y ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以x=-π6，y=±π3，从而x+y=π6或x+y=-π2. 故答案为：π6或-π214．将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是______． 【答案】23π【解析】函数y =221x y +=，0y ≤，是半径为1的下半圆，将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器为以1R =为半径的半球体，由此能求出结果． 【详解】解：函数y =221x y +=，0y ≤，是半径为1的下半圆，∴将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器为以1R =为半径的半球体，∴将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是：31421233V ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：23π． 【点睛】本题考查几何容器的容积的求法，考查旋转体的性质、球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知b =，45A ∠=，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)【答案】【解析】由正弦定理可得{}2sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合{})2⎡⋃+∞⎣，即可确定一个a的可能取值是【详解】解：由已知及正弦定理sin sin a b A B=sin 2B =， 可得{}2sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合为：{})2⎡⋃+∞⎣． 可得a的可能取值是故答案为： 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 16．如果等差数列{}{},n n a b 的公差都为()0d d ≠，若满足对于任意*n N ∈，都有n n b a kd -=，其中k 为常数，*k N ∈，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim 3n n n a b a b a b →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L ，则k =__________ 【答案】2【解析】由等差数列通项公式得21n a n =-，由新定义可得212n n b a kd n k =+=-+，11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k ==---+--+，分别讨论1k =，2，3，⋯，m ，求得的极限，由数列的单调性可得2k =．【详解】由等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =， 可得12(1)21n a n n =+-=-， 数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列， 可得212n n b a kd n k =+=-+，由11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k==---+--+， 则1122111111111(1)21233221212n n a b a b a b k k kn n k++⋯+=-+-++-++--+， 当1k =时， 若1122111111111lim()lim (1)23352121n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+，不成立； 当2k =时，112211111111111lim()lim (1)4537592123n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 1111141lim (1)432123433n n n →∞=+--=⨯=++，成立； 当3k =时，112211111111111lim()lim (1)67395112125n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 11111112323lim (1)63521232561590n n n n →∞=++---=⨯=+++，不成立； 同理可得k m =时，1122111111lim()(1)2321n n n a b a b a b m m →∞+++=+++-， 由1111(1)23213m m +++=-， 即11213213m m +++=-，可设11213213m mc m =+++--，1120213m m c c m +-=-<+，可得{}m c 递减，20c =，可得仅有2k =时，11221111lim()3n n n a b a b a b →∞+++=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消法求和，以及数列极限的求法，考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力，属于中档题．三、解答题17．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点.（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ； （2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小. 【答案】（1）83（2）arcsin15【解析】（1）求出点E 到平面ABCD 的距离122h PA ==，正方形面积为4，再结合棱锥的体积公式求解即可；（2）建立以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴的空间直角坐标系，利用向量法求出直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小即可. 【详解】解：（1）因为在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，又E 为侧棱PC 的中点，所以点E 到平面ABCD 的距离为114222h PA ==⨯=，又正方形ABCD 的面积为224⨯=， 即正四棱锥E ABCD -的体积11842333ABCD V S h =⨯⨯=⨯⨯=正方形，故正四棱锥E ABCD -的体积为83；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,1,2)E ，(0,2,0)B , 则()1,1,2BE =-,()0,2,4DP =-,()2,0,0DC =, 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即24020y z x -+=⎧⎨=⎩，令2y =，则1z =，即(0,2,1)n =，因为直线BE 与平面PCD 所成角θ，所以sin 6BEn BE nθ⋅===即arcsin15θ=故直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小为arcsin15.【点睛】本题考查了棱锥的体积公式及利用向量法求线面角，重点考查了空间向量的应用，属中档题.18．已知函数()sin211cos22001x f x x -=，将()f x 的图象向左移(0)αα>个单位的函数()y g x =的图象．()1若4πα=，求()y g x =的单调递增区间；()2若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()y g x =的一条对称轴12x π=，求()y g x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域．【答案】()1 5,63k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ ；()22.⎡-⎣ 【解析】()1根据题意，可得()sin22cos 26f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象向左移(0)αα>个单位的函数()y g x =，将4πα=，可得()g x 解析式，从而求单调递增区间；()2根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()g x 的一条对称轴12x π=，即可()y g x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域． 【详解】解：()1由题意，可得()sin22cos 26f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 的图象向左移(0)αα>个单位，可得()()2cos 226g x f x x παα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，4πα=，可得()22cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令22223k x k ππππ-≤+≤，k Z ∈． 得：563k x k ππππ-≤≤-， 故得()g x 的单调递增区间为5,63k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． ()2由()1可得()2cos 226g x x πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数()g x 的一条对称轴12x π=，即22126k ππαπ⨯++=，k Z ∈．126k παπ∴=-，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3πα∴=，则()52cos 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 55112,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， ∴当526x ππ+=时，()g x 取得最小值为2-； ∴当511266x ππ+=时，()g x故得()g x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为：.⎡-⎣ 【点睛】本题考查了余弦函数的图象及性质的应用，属于基础题．19．某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y （单位：度）与时间t （单位：小时，[]0,20t ∈）近似地满足函数132by t t =-++关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量。
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷(完美解析版)
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 符号sinA表示（）A. ∠A的正弦B. ∠A的余弦C. ∠A的正切D. ∠A的余切【答案]A【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【详解】符号sinA表示∠A的正弦．故选：A【点睛】考查了锐角三角函数的定义．在RtABC中，∠C=90°.(1) 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.(2) 余弦：锐角A的邻边忙亏斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA.(3) 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.(4) 三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2. 如果2a =-3b ，那么ab=（）2 3B. -32C. 5D. —1A. -【答案]B【详解】此题应该有一个前提条件是A、 B均不为0,即使有这个条件，当2a =-3b 时，所以此题选B3. 二次函数y = 1- 2x2的图像的开口方向（）A. 向左B. 向右C. 向上D. 向下【答案]D【分析】分析题目，本题可以根据二次函数的性质来解答；由抛物线解析式可知，二次项系数a=-2<0, 可知抛物线开口向下4. 直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA=67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）A. 俯角 67°方向B. 俯角 23°方向C. 仰角 67°方向D. 仰角 23°方向【答案】D.【解析】∠B == 90°，∠BCA == 67°，得∠BAG==23°从低处A处看高处C处，点C在点A的仰角23°方向故选：D.【点睛］此题考查了仰角以及俯角的定义，仰角是向上春的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角5. 已知 a⃗，b⃗⃗为非零向量，如 b⃗⃗=-5a⃗，那么向量 a⃗与b⃗⃗的方向关系是（）A. a⃗ // b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向一致B. a⃗// b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反C. a⃗和b⃗⃗方向互相垂直D. a⃗和b⃗⃗之间夹角的正切值为 5【答案】B【解析】由 b⃗⃗=-5a⃗，-5<0，得 b⃗⃗//-5a⃗且方向相反，所以a⃗// b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反故选：B6. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB=2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积（）A. π + √3B. π -√3C. 2π -2√D. 2π-√【答案】D【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，。
2020年上海市宝山区高三上学期期末数学高考一模试卷含详解
上海市宝山区2020届高三一模数学试卷2019.12一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.若(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则||z =2.已知4251λλ-=-，则λ=3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是cm（钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）A.01a << B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）A.2()log (41)x f x x=+- B.()||2cos f x x x =-C.2210()0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ D.|lg |()10x f x =15.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足的是（）A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<<，下列判断错误的是（）A.当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B.当0a >，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=+C.当0a <，0b >时，辅助角arctan b a ϕπ=+D.当0a <，0b <时，辅助角arctanb aϕπ=-三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=++.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.19.一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于A 、B 两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M 、A 关于y 轴对称，当MAB 的面积最大时，求直线MB 的方程；（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P 、Q ，证明：||||OP OQ ⋅为定值.21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=，令ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +>；（2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.上海市宝山区2020届高三一模数学试卷答案解析版2019.12一、填空题（本大题共12题，每题4分，127-每题5分，共54分）1.若i i z 2)1(=+（i 是虚数单位），则=||z .【答案】2【解析】i iiz +=+=112，得到2=||z 2.已知5124=--λλ，则=λ.【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ3.函数)1(31<=-x y x 的反函数是.【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=xy ]1,0(∈x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛.【答案】66【解析】单循环66212=C 5.以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是.【答案】9)23(22=++y x 【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 6.在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为.【答案】9-【解析】335532359)(1xx C x C -=+-⋅7.不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是.【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x 8.已知方程)(022R k kx x ∈=+-的两个虚根为21,x x ，若2||21=-x x ，则=k .【答案】2±【解析】228||221±=⇒=-=∆-=-k k x x 9.已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=10.有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是cm .【答案】5.4【解析】由题意得，142]3425(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x ，11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c .【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c 12.已知0>>b a ,那么，当代数式)(162b a b a -+取最小值时，点),(b a P 的坐标为.【答案】)2,22(【解析】22()()24b a b a b a b +--≤=Q 1664)(16222≥+≥-+∴aa b a b a 当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b 即⎩⎨⎧==222b a 时取等号，可求得点P 坐标二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）【A 】01a <<【B 】11a e<<【C 】1e -1<a <1【D 】1e +1<a <1【答案】C【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-+<解得：111a e-<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）【A 】2()log (41)xf x x=+-【B 】()2cos f x x x=-【C 】221(0)0(0))(x x xf x x +≠=⎧⎪=⎨⎪⎩【D 】lg ()10xf x =【答案】A【解析】222411()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴选A15．已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（）【A 】两两垂直【B 】两两平行【C 】两两相交【D 】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:sin cos ),a x b x x ϕπϕπ+=+-<≤下列判断错误的是（）【A 】当0,0a b >>时，辅助角arctan b a ϕ=【B 】当0,0a b ><时，辅助角arctan ba ϕπ=+【C 】当0,0a b <>时，辅助角arctan ba ϕπ=+【D 】当0,0a b <<时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B【解析】sin cos )a xb x x x x ϕ⎫+=+=+⎪⎭其中cos b aϕϕϕ===；当0,0a b ><时，cos 0,sin 0,ϕϕϕ><∴∈Q 第四象限，所以B 错。
【2020精品中考数学提分卷】上海宝山区初三一模数学试卷 +答案
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2 2．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣14．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2 B．C．D．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：．10．若2||＝3，那么3||＝．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm 的两地之间的实际距离为千米．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC ＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m 的值．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB 交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．2020年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE＝BD：DF＝1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE＝BD：DF＝1：2，即CE＝2AC，∴AC：CE＝1：3，CE：EA＝2：3．故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似【分析】根据相似三角形的判定方法对A、C进行判断；利用反例可对B、D进行判断．【解答】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而两个等边三角形一定相似．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．【解答】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2 B．C．D．【分析】过点P作PA⊥x轴于点A．由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A．由于点P（2，4），∴PA＝4，OA＝2∴cotα＝＝．故选：B．【点评】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝【分析】根据平面向量的性质，即可判断A、B，C正确，根据向量的计算法则即可得D错误．【解答】解：A、如果m、n为实数，那么m（n）＝（mn），故本选项结论正确；B、如果m、n为实数，那么（m+n）＝m+n，故本选项结论正确；C、如果m、n为实数，那么m（）＝m+m，故本选项结论正确；D、如果m为实数，那么若m＝，那么m＝0或＝，故本选项结论错误．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴AP＝＝4＜5，∴点P在⊙A内，故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为直线x＝3 ．【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得解析式为：y＝2（x﹣3）2，故其图象的对称轴为：直线x＝3．故答案为：直线x＝3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，2）得出即可．【解答】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．10．若2||＝3，那么3||＝．【分析】实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．【解答】解：由2||＝3得到：||＝，故3||＝3×＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm 的两地之间的实际距离为225 千米．【分析】依据甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，即可得到比例尺，即可得出图上4.5cm的两地之间的实际距离．【解答】解：∵甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，∴比例尺＝＝，设图上4.5cm的两地之间的实际距离为xcm，则＝，解得x＝22500000，∵22500000cm＝225km，∴图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．故答案为：225．【点评】本题主要考查了比例线段，解题时注意：比例尺等于图上距离与实际距离的比值．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于1：16 ．【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得sin B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为12cm．【分析】根据三角形的重心的性质求出CD，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得，CG＝4，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝CG＝6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴AB＝2CD＝12（cm），故答案为：12cm．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝．【分析】根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠CEA，∴∠AEB＝∠BDC，∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠EAB＝∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴＝，∵3AE＝2BD，BE＝1，∴CD＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是2≤r≤8 ．【分析】利用⊙C与⊙O相切或相交确定r的范围．【解答】解：∵⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，∴CA＝8，∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相切或相交，∴r＝2或r＝8或2＜r＜8，即2≤r≤8．故答案为2≤r≤8．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于或．【分析】根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．【解答】解：设等腰三角形的底边长为a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．【分析】过点C'作C'D⊥BC于点D，通过题意可证四边形C'DCA是矩形，可得CD＝AC'，C'D ＝AC＝4，根据勾股定理可求BD＝3，即CD＝AC'＝2，根据勾股定理可求CP的长．【解答】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，∵A'C∥BC，∠ACB＝90°，∴∠C'AC＝∠ACB＝90°，且C'D⊥BC，∴四边形C'DCA是矩形，∴CD＝AC'，C'D＝AC＝4，∵折叠∴BC'＝BC＝5，CP＝C'P，在Rt△BDC'中，BD＝＝3∴CD＝BC﹣BD＝2∴AC'＝2，在Rt△AC'P中，C'P2＝C'A2+AP2，∴CP2＝4+（4﹣CP）2，∴CP＝故答案为：【点评】本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．【解答】解：原式＝×+×＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式．【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．【分析】（1）根据已知∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．【解答】解：（1）∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝＝＝，即＝．（2）＝+＝﹣+．【点评】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC ＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【分析】（1）证△ABC∽△FAC，得＝，将相关线段的长代入计算可得；（2）作CH⊥AB，先计算AB＝5，据此可得CH＝＝，AH＝＝，EH ＝AE﹣AH＝，依据tan D＝tan∠ECH＝可得答案．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△FAC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．【点评】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD＝，∴tan14°＝，即0.25＝，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC＝＝，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB＝＝19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m 的值．【分析】（1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用∠OCA正切值求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，知M（1，﹣），先得出S△ABP′＝AB•P′H＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝3|﹣m|，根据S△ABP＝S△BCP列出方程求解可得．【解答】解：（1）∵y＝x﹣3，∴x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时， x﹣3＝0，解得x＝6，∴点B（6，0），C（0，﹣3），∵tan∠OCA＝＝，∴OA＝2，即A（2，0），将A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，解得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，则抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）；（2）如图，由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，﹣），S△ABP′＝AB•P′H＝×4（m+1）＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝|﹣1﹣m+|×6＝3|﹣m|，∴2（m+1）＝3|﹣m|，解得m＝或m＝．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．【分析】（1）如图，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H，在Rt△AHE中求出AE，即可求求解；（2）设：AP＝x，利用△APE∽△PEC，得出PC2＝CE•AP，利用勾股定理得出PC2＝PB2+BC2，即可求解；（3）利用△ADE∽△FGE，得到3α＝45°，进而求出相应线段的长度，再利相似比＝，即可求解．【解答】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，∴四边形AHCB是矩形，∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，∴DH＝CH﹣CD＝2，∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，∴∠HAD＝∠HDA＝45°∴HD＝AH＝2，AE＝AP＝，根据勾股定理得，HE＝＝3，则ED＝1；（2）连接CP，设AP＝x．∵AB∥CD，∴∠EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴＝，即：PE2＝AE•CE，而EC＝2PB＝2（5﹣x），即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，解得：x＝（不合题意值已舍去），即：AP＝；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，∴HE＝AH•tan∠HAE＝2，∴DE＝HE﹣HD＝2﹣2，EC＝HC﹣HE＝5﹣2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC＝∠EGF＝135°，则∠CEG＝45°，∴EG＝EC＝5﹣2，∴＝，即：＝，解得：FG＝3﹣1．【点评】本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．。
2020届上海市宝山区高三一模数学试题解析
绝密★启用前2020届上海市宝山区高三一模数学试题解析学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．11a e<<C ．111a e -<<D ．111a e+<<解：函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e =-+>， 可得111a e -<<故选：C ．2．下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2()log (41)x f x x =+-B ．()||2cos f x x x =-C ．2210()0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D ．|lg |()10x f x =解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， Q 当0x …时，函数122x xy =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确； :0C x ≠时，2212x x +…，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ． 点评：考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；3．已知平面γβα、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面解：设l αβ=I ，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=I ，可知//a l ，//b l 又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 点评：本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.4．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x j ++，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A ．当0a >，0b >时，辅助角arctan baϕ=B ．当0a >，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=+ C ．当0a <，0b >时，辅助角arctan b aϕπ=+D ．当0a <，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=- 解：解：因为cos ϕ=sin ϕ=tan baϕ=，(,]ϕππ∈- 对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>Q，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ． 点评：本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．二、填空题5．若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 解：解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==点评：本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 6．已知4251λλ-=-，则λ=________答案：3由行列式的计算公式化简求解即可． 解： 解：4251λλ-=-Q()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=，故答案为：3． 点评：本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 7．函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________ 答案：31log ,(0,1]y x x =+∈首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 解：解：13(1)x y x -=Q …，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈， 点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．8．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 答案：66直接利用组合数的应用求出结果． 解：解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==．点评：本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________答案：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 解：解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =，所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．点评：本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 10．在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 答案：9-利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 解：解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-．点评：本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 11．不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 答案：(4,)-+∞将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可； 解：解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞． 故答案为：(4,)-+∞ 点评：本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12．已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =_____ 答案：2±由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x -=求得a 与b 的值，则k 可求． 解：解：Q 方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ， 可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈．122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=Q ，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．故答案为：2±． 点评：本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__答案：先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ． 解：解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=Q 可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，∴圆心(2,4)-到l 的距离d ==，AB ∴==故答案为： 点评：本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．14．有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）答案：4.5直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 解：解：设钢球的内半径为r ，所以33457.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5．点评：本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______ 答案：47-{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ． 解：解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n n c a b =⋅为关于n 的二次式， 故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，17c =Q ，29c =，39c =则7429939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得153a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩253n c n n ∴+-+=210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-，故答案为：47-． 点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16．已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________答案：先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭…；再利用基本不等式即可求解． 解：解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭；所以222166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b的坐标为：(．故答案为：(． 点评：本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．三、解答题17．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 答案：（1）2；（2）5arccos 8；（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案．解：解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，Q 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，B ∴到DC，又E 是AB 的中点，1BE ∴=，则()1122BCDE S =+=梯形． 13DD =Q ，∴1111333C BCDE BCDE V S DD -=⨯==四边形；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD B C Q ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，1B E ==14C E ．115cos 8B C E ∴∠==，∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8．点评：本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．18．已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.答案：（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭；（2）10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值． 解：解：（1）函数()sin cos cos 2f x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21cos 21sin 22sin 2262x x x x x π-⎛⎫=-+=-+=+- ⎪⎝⎭． 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2()6x k k Z ππ+=∈，解得()212k x k Z ππ=-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭． （2）由于02x π剟，所以72666x πππ+剟，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，所以函数1sin 2126x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭…时，函数的图象有两个交点，故a 的范围为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上关于6x π=对称，故12263x x ππ+=⋅=．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．一家污水处理厂有AB 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）答案：（1）7小时；（2）17小时（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的81%，可得090.810.12x x+=g ，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 解：解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x=，可得0.570.9lg x lg =≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得090.810.12x x+=g ，即20.90.90.20x x +-=，可得0.9x =，可得170.9lg x lg ⎝⎭=≈． 则A 、B 两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定． 点评：本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于A B 、两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆1(,]2t ∈-∞的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M A 、关于y 轴对称，当MAB △的面积最大时，求直线MB 的方程； （3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P Q 、，证明：||||OP OQ ⋅为定值.答案：（1）6-+2）y x =；（3）证明见解析 （1）由题意可得焦点1F ，2F 的坐标，进而可求出A 的坐标，设M 的坐标，注意横坐标的范围[]22-,，在椭圆上，又M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等，可求出M 的横坐标；（2）M ，A ，3B 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB 的方程；（3）设M ，A 的坐标，得出直线MA ，MB 的方程，进而求出两条直线与x 轴的交点坐标，用M ，A 的坐标表示，而M ，A 又在椭圆上，进而求出结果． 解：（1）设1(,),(M x y F ，依题意得，||x t =-，联立椭圆方程：22:142x y Γ+=，把22122y x =-代入得：222212222x x x tx t +++-=-+，(22x t ∴=-；又因为t =，代入得：6M x =-+（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MAB S t y =⋅V ，又因为()1,A t y 在椭圆22:142x y Γ+=上，所以221142y t +=，11122t y ∴≥1ty ∴≤则 MAB S ≤V，当且仅当1t时，取等号，即t =，则(1)M B -，所以:2MB l y x =-； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，则01100110:():()MA MB y y l y x t y x ty y l y x t y x t-⎧=-+⎪-⎪⎨+⎪=--⎪-⎩100101001,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫-⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩u u u u u u u r 令， 则22220102201||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2212200122122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入得：2202222||||41122t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值. 点评：考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21．已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e是自然对数的底数），且2n a +=ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b + （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，12t ≤（1）由已知可得：1n a >．利用基本不等式的性质可得：1n n lna lna ++…得，代入化简即可得出．（2）设1+=-n n n c b b，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得121112n n n n n nc b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +…成立．由（2）可得：1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．1n =时，10t g …，解得t R ∈．2n …时，1min n n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用单调性即可得出． 解：解：（1）依题意得，要证明2n b +21ln ln n n n a a ++>⋅，又因为2n a +=2ln n a +>要证明2ln n a +>>>()1ln n n a a +⋅>又因为1ln ln n n a a ++≥.（2）设1+=-n n n c b b，因为2n a +=*ln ()n n b a n N =∈，则2112111111lnln 212ln ln n n n n nn n n n n n n n n a ac b b a a a a c b b a a +++++++++--=⋅==--. 所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-L2211101()()()222n -=++-+-+⋯⋯+-11111221113212n n --⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭．{}n b ∴的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）假设存在存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，由（2）知，1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 1︒当1n =时，t R ∈；2︒当2n ≥时，1minn n b t b +⎛⎫≤⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112nn n n n n n n b b +-⎛⎫-- ⎪---+-⎝⎭--==--+-+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则当2n =时，m 132in12n n b b b b +⎛⎫== ⎪⎝⎭，故存在这样的t ，12t ≤ 点评：本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市宝山区达标名校2020年高考一月调研数学试卷含解析
上海市宝山区达标名校2020年高考一月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．342．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．63．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或04．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ） A 2B 2C 2D ．225．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>6．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．919B ．1009C ．1189D ．12797．已知双曲线22214x y b-=（0b >30x y ±=，则b =（ ）A ．23B ．3C ．32D ．438．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．19．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．151611．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年上海市宝山区高三年级一模考试数学试卷
2019-2020学年上海市宝山区高三一模考试数学试卷2019.12一、填空题（本大题共12题，每题4分，127-每题5分，共54分）1. 若i i z 2)1(=+ （i 是虚数单位），则=||z . 【答案】2 【解析】i ii z +=+=112，得到2=||z 2.已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ3.函数)1(31<=-x y x 的反函数是 .【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=x y ]1,0(∈x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场球赛.【答案】66【解析】单循环66212=C 5.以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 . 【答案】9)23(22=++y x 【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 6.在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为 .【答案】9-【解析】335532359)(1x x C x C -=+-⋅7.不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是 .【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x8.已知方程)(022R k kx x ∈=+-的两个虚根为21,x x ，若2||21=-x x ，则=k .【答案】2± 【解析】228||221±=⇒=-=∆-=-k k x x9.已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为 . 【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=10.有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是 cm .【答案】5.4 【解析】由题意得，142]34)25(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x ， 11. 已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c . 【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c 12.已知0>>b a ,那么，当代数式)(162b a b a -+ 取最小值时，点),(b a P 的坐标为 . 【答案】)2,22( 【解析】22()()24b a b a b a b +--≤=Q 1664)(16222≥+≥-+∴aa b a b a 当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b 即⎩⎨⎧==222b a 时取等号，可求得点P 坐标 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） 【A 】01a << 【B 】11a e<< 【C 】 【D 】 【答案】C 【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-+<解得：111a e -<< 14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ）【A 】2()log (41)x f x x =+- 【B 】()2cos f x x x =-1e -1<a <11e +1<a <1【C 】221(0)0(0))(x x x f x x +≠=⎧⎪=⎨⎪⎩ 【D 】lg ()10x f x = 【答案】A 【解析】222411()log (41)log log (2)22x xx x x f x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ 选A15．已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（ ）【A 】两两垂直 【B 】两两平行 【C 】两两相交 【D 】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:sin cos ),a x b x x ϕπϕπ+=+-<≤下列判断错误的是（ ）【A 】当0,0a b >>时，辅助角arctanb aϕ= 【B 】当0,0a b ><时，辅助角arctan b aϕπ=+ 【C 】当0,0a b <>时，辅助角arctan b aϕπ=+ 【D 】当0,0a b <<时，辅助角arctan b aϕπ=- 【答案】B 【解析】sin cos )a x b x x x x ϕ⎫+==+⎪⎭其中cos b aϕϕϕ===； 当0,0a b ><时，cos 0,sin 0,ϕϕϕ><∴∈Q 第四象限，所以B 错。
2020上海市宝山区高考数学一模试卷答案解析与点睛(18页)
2020上海市宝山区高考数学一模试卷数学试题一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.23lim 1n n n →∞+=+___________ 【答案】2【解析】【分析】上下同除以n 求解即可. 【详解】32232lim lim 21111n n n n n n →∞→∞++===++ 故答案为2【点睛】本题主要考查分式类的极限,属于基础题型.2.设全集U =R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，{}|2B x x =≥，则U A C B =I __．【答案】{}1,0,1-【解析】【分析】直接根据交集和补集的定义求解，先求U C B ，再求U A C B ⋂．【详解】解：∵全集U =R ，集合{}|2B x x =≥，∴{}()|2,2U C B x x =<=-∞，又{}1,0,1,2,3A =-，∴{}1,0,1U A C B =-I ，故答案为：{}1,0,1-．【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，属于基础题．3.不等式102x x +<+的解集为__． 【答案】()2,1--【解析】【分析】102x x +<⇔+()()120x x ++<且20x +≠，再根据一元二次不等式的解法求解． 【详解】解：不等式102x x +<⇔+()()120x x ++<且20x +≠， 解得：21x -<<-，∴原不等式组的解集为()2,1--，故答案为：()2,1--．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，通常转化为整式不等式求解，也可以对分母进行讨论求解，属于基础题．4.椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为______. 【答案】6【解析】【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩变形为cos 5sin 4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 平方相加消去参数θ可得：2212516x y +=， 所以，c ==3，所以，焦距为2c ＝6．故答案为6．【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．5.设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =__． 【答案】1i +【解析】【分析】设(,)z x yi x y R =+∈，，则z x yi =-，代入后根据复数代数形式的四则运算化简求值． 【详解】解：设(,)z x yi x y R =+∈，，∴z x yi =-． 则()223z z x yi x yi i +=++-=-，即33x yi i -=-，∴1x =，1y =，因此，1z i =+．故答案：1i +．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，属于基础题．6.若函数cos sin sin cos x x y x x =的最小正周期为a π，则实数a 的值为__．【答案】1【解析】分析】 cos sin sin cos x x y x x=22cos sin x x =-，再根据二倍角公式化简，从而求出参数的值． 【详解】解：∵22cos sin cos 2y x x x =-=，T a ππ==，∴1a =，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、性质，属于基础题．7.若点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，则()f x 的反函数为_________.【答案】12x y -=【解析】【分析】 由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，求得2a =，得到21log y x =+，再根据反函数的求法，即可求解.【详解】由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，即41log 8a =+，即log 83a =，解得2a =， 即21log y x =+，所以2log 1x y =-，即12y x -=，【所以函数21log y x =+的反函数为12x y -=.故答案为12x y -=.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及反函数的求解，其中解答中熟记对数的运算性质，熟练应用反函数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知向量()1,2a =v ，()0,3b =v ，则b v 在a v 的方向上的投影为__．【答案】5【解析】【分析】直接根据b r 在a r 的方向上的投影为cos a b b a θ⋅=r rr r 与数量积的坐标表示求值． 【详解】解：由于向量()1,2a =r ，()0,3b =r ，则b r 在a r 的方向上的投影为cos a b ba θ⋅==v v v v =． 【点睛】本题主要考查平面向量投影的定义以及数量积的坐标表示，属于基础题．9.已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为__．【答案】18π【解析】【分析】由题意可得底面直径和母线长均为6，再根据扇形的面积公式求值．【详解】解：由题意得：底面直径和母线长均为6，1236182S ππ⨯⨯⨯==侧． 故答案为18π．【点睛】本题主要考查圆锥的三视图以及圆锥的侧面积公式，属于基础题．10.某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为______.（结果用最简分数表示）【答案】57【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出三人均为男生或三人均为女生包含的基本事件数，再根据对立事件的概率公式求解．【详解】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数3735n C ==，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：337537C P C C -=35107535-==， 故答案为：57． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，通常数据较大时用组合数表示结果，属于基础题．11.设常数0a >，若9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中5x 的系数为144，则a =__． 【答案】2【解析】【分析】 利用公式()9921990,1,2,,9r r r r r r r a T C x C a x r x --+⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令925r -=即可求值． 【详解】解：()9921990,1,2,,9rrr r r r r a T C x C a x r x --+⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭． 令925r -=，解得2r =，则229144C a =，0a >，解得2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．【答案】6【解析】【分析】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【详解】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=-1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若a R ∈， i 为虚数单位，则“1a =”是“复数()()()123a a a i -+++为纯虚数”的（ ）A. 充要条件B. 必要非充分条件C. 充分非必要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】当1a = 时,复数(1)(2)(3)4a a a i i -+++= 为纯虚数,当复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数时,1a = 或2a =-,所以选C.14.某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为( )A. 80B. 96C. 108D. 110 【答案】C【解析】【分析】设高二总人数为x 人，由总人数及抽样比列方程组求解即可．【详解】设高二总人数为x 人，抽取的样本中有高二学生y 人则高三总人数为()50x -个，由题可得：()500501*********x x y x ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩，解得：108y =. 故选C【点睛】本题主要考查了分层抽样中的比例关系，考查方程思想，属于基础题．15.设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N =U ；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1 ，结合相互独立事件,M N 的概率满足()()()P MN P M P N =⋅，可判断（2）、（3）、（4）、（5 ）的正误.【详解】若,M N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==， 则()1195420P M N =+=U ， 故（1）正确；若()()()111,,236P M P N P MN === 则由相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（2）正确；若()()()111,,236P M P N P MN ===， 则()()()()()11,2P M P M P MN P M P N =-==⋅ 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（3）正确；若()()()111,,236P M P N P MN === ， 当,M N 为相互独立事件时，()()()11211,=2233P N P N P MN =-==⨯ 故（4）错误； 若()()()115,,236P M P N P MN === 则()()()()()1,16P MN P M P N P MN P MN =⋅==- 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N相互独立事件，故（5）正确.故选D. 【点睛】本题考查互斥事件、对立事件和独立事件的概率，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次函数，三点()()2,22f --+、()()0,02f +、()()2,22f +均位于“04⊕型带状区域”，如果点(),1t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数()y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52 D. 2【答案】C【解析】【分析】设()2f x ax bx c =++，求出t 的范围，求出()f t ，再根据不等式的性质求最大值． 【详解】解：设()2f x ax bx c =++，∵三点()()2,22f --+、()()0,02f +、()()2,22f +均位于“04⊕型带状区域”，∴()[]220,4f -+∈，()[]020,4f +∈，()[]220,4f +∈，∴()22f -≤，()02f ≤，()22f ≤， ∵()()()2422420f a b c f a b c f c ⎧-=-+⎪=++⎨⎪=⎩，∴()()()()()()222082240f f f a f f b c f ⎧+--=⎪⎪⎪--=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∵点(),1t t +位于“13-⊕型带状区域”，∴[]11,3t +∈-，∴[]2,2t ∈-，∴2t ≤，故()()()()()()()2222022084f f f f f y f t t t f +----==++ ()()()222224220884t t t t t f f f +--=+-+ ()()()222224220884t t t t t f f f +--≤+-+ ()()2111224442t t t t t ≤++-+- ()()()2111224442t t t t t =++-+- ()21551222t =--+≤， 故选：C ．【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质以及不等式的性质，求函数最值问题，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1A C 与AB 所成的角的大小．【答案】（1）（2）3arccos10 【解析】【分析】（1）设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出3a =，4h =，由此能求出正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）由11//AB A B 知11B AC ∠是异面直线1A C 与AB 所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线1A C 与AB 所成的角．【详解】解：（1）设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，则2336ah =⎪=⎩， 解得3a =，4h =， ∴正三棱柱111ABC A B C -的体积4ABC V S h ∆=⋅==； （2）∵正三棱柱111ABC A B C -，∴11//AB A B ， ∴11B AC ∠是异面直线1A C 与AB 所成的角（或所成角的补角），连结1B C，则11AC B C == 在等腰11A B C ∆中，12111332cos 2105A B B AC AC ∠===， ∵()110,A BC π∠∈，∴113arcco 10C s A B ∠=， ∴异面直线1A C 与AB 所成的角为3arccos10． 【点睛】本题主要考查正三棱柱的体积的求法以及异面直线所成角的求法，属于中档题． 18.已知椭圆C长轴长为()2,0-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B两点，且AB =l 的倾斜角．【答案】（1）22162x y += （2）4π或34π 【解析】 【分析】（1）由题意可设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，则2c =，2a =即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为：()2y k x =-，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的倾斜角．【详解】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程为：()222210x ya b a b+=>>，则2c =，2a =a =2b ==，∴C 的标准方程22162x y +=；（2）由题意可知：椭圆的右焦点()2,0，设直线l 的方程为：()2y k x =-，设点()11,A x y ，()22,B x y ，的()222162y k x x y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩；整理得：()222231121260k x k x k +-+-=， 韦达定理可知：21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+，AB =)22131k k +==+，由AB =)22131k k +=+21k =，故1k =±，经检验，1k =±，符合题意，因此直线l 的倾斜角为4π或34π． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19.设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且()*430n n x S n N--=∈；（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足()*1n n n y y x n N+-=∈，且12y =，求满足不等式559n y >的最小正整数n 的值． 【答案】（1）143n n x -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）5【解析】 【分析】（1）由()*430n n x S n N--=∈可得1n =时，11430x x --=，解得1x ．2n ≥时，由43nn Sx =-可得1n n n x S S -=-，得143n n x x -=，利用等比数列的通项公式即可得出； （2）1143n n n n y y x -+⎛⎫-== ⎪⎝⎭，且12y =，利用累加法与等比数列的求和公式即可得出n y ，代入不等式559n y >化简即可得出． 【详解】解：（1）∵()*430n n x S n N--=∈，∴1n =时，11430x x --=，解得11x =．2n ≥时，由43n n S x =-，∴()114343n n n n n x S S x x --=-=---，∴143n n x x -=， ∴数列{}n x 是公比为43的等比数列， ∴143n n x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）1143n n n n y y x -+⎛⎫-== ⎪⎝⎭，且12y =，∴()()()121321n n n y y y y y y y y -=+-+-+⋅⋅⋅+-122414443212433313n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-14313n -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，当1n =时也满足，∴14313n n y -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，不等式559n y >，化为：1346443273n -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴13n ->，解得4n >， ∴满足不等式559n y >的最小正整数n 的值为5． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了累加法求通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.设函数()()()lg f x x m m R =+∈； （1）当2m =时，解不等式11f x ⎛⎫>⎪⎝⎭； （2）若()01f =，且()xf x λ=+在闭区间[]2,3上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图象过点()98,2，且不等式()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦对任意n N ∈均成立，求实数x 的取值集合．【答案】（1）1|08x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ （2）1lg12,lg1324⎡--⎢⎣⎦ （3）32222,22nn k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，k ∈N ，n N ∈ 【解析】【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可；（2）根据()01f =可得()f x 的解析式，由()x f x λ=+分离变量可得()lg 10xx λ=+-，令()()lg 10xF x x =+-，它在闭区间[]2,3上的值域即为λ的范围；（3）函数()f x 的图象过点()98,2，求()f x 的解析式，可得()()lg 2f x x =+，则不等式()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦转化为()()lg 2cos 212n x g +<，求解x ，又∵20x +>，即2x >-，n N ∈，讨论k 的范围可得答案．【详解】解：函数()()()lg f x x m m R =+∈； （1）当2m =时，()()lg 2f x x =+， 那么：不等式11f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭；即1lg 2lg10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得：1210x +>，且120x+>， 解得：108x <<，∴不等式的解集为1|08x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； （2）∵()01f =，可得10m =， ∴()()lg 10f x x =+，()x f x λ=+，即()lg 10xx λ+=+在闭区间[]2,3上有实数解，可得()lg 10xx λ=+-，令()()lg 10x F x x =+-，求在闭区间[]2,3上的值域，根据指数和对数的性质可知：()F x 是增函数，∴()F x 在闭区间[]2,3上值域为1lg12,lg1324⎡--⎢⎣⎦，故得实数λ的范围是1lg12,lg1324⎡--⎢⎣⎦； （3）∵函数()f x 的图象过点()98,2， 则有：()2lg 98m =+， ∴2m =，故()()lg 2f x x =+，那么：不等式()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦转化为()()lg 2cos 212nxg +<，即()()2cos 20cos 20n nx x ⎧+>⎪⎨<⎪⎩，∴322222nx k k ππππ+<<+，n N ∈， 解得：3222222n nk k x ππππ++<<，n N ∈， 又∵20x +>，即2x >-，∴2222nk ππ+≥-，n N ∈，解得：14k ≥-， ∵k Z ∈， ∴0k ≥，故得任意n N ∈均成立，实数x 的取值集合为32222,22nnk k ππππ⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，k ∈N ，n N ∈． 【点睛】本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题在对数与三角函数中的运用，考查推理能力与计算能力，属于难题．21.设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{}|,A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{}0,1,2A =，{}1,3B =-，试用列举法表示A B +；的（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，122,,993B ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由．【答案】（1）{}1,0,1,3,4,5- （2）92（3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义{}|,A B a b a A b B +=+∈∈，结合已知中的集合A 、B ，可得答案；（2）曲线2221119x y n n n +=-+-表示双曲线，进而可得23n a n =，2n S n =，则0m n k S S S λ+->222m n k λ+⇔>，结合3m n k +=且m n ≠及基本不等式，可得22292m n k +>进而得到答案； （3）设整数集合(){}*|1,,2nn A x x F n N n ==-⋅∈≥，其中{}n F 为斐波那契数列，即121F F ==，21n n n F F F ++=+，*n N ∈，①由21n n n F F F ++=-得：()()()2121111nn n n n n F F F ++++-⋅=-⋅+-⋅，可得A 是自生集；②对于任意2n ≥，对于任一正整数[]211,1n t F +∈-，存在集合A 的一个有限子集{}12,,,m a a a ⋅⋅⋅，使得12m t a a a =++⋅⋅⋅+，（21i n a F +<，1,2,,i m =⋅⋅⋅），再用数学归纳法证明集合A 又是*N 的基底集．【详解】解：（1）∵{}|,A B a b a A b B +=+∈∈； 当{}0,1,2A =，{}1,3B =-时，{}1,0,1,3,4,5A B +=-；（2）曲线2221119x y n n n +=-+-，即2221119x y n n n -=-+-，在2n ≥时表示双曲线，故23na n ==， ∴21233n n na a a a ++++⋅⋅⋅+=，∵122,,993B ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭， ∴A B +中的所有元素之和为()1231223993n n S a a a a n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++--- ⎪⎝⎭2233n nn n +=⋅-=，∴0m n k S S S λ+->222m n kλ+⇔>， ∵3m n k +=，且m n ≠，∴()()2222229m n m n k m n ++=+2299221mn m n =>++， ∴92λ≤， 即实数λ的最大值为92； （3）存在一个整数集合既是自生集又是*N 的基底集，理由如下：设整数集合(){}*|1,,2nn A x x F n N n ==-⋅∈≥，其中{}n F 为斐波那契数列，即121F F ==，21n n n F F F ++=+，*n N ∈， 下证：整数集合A 既是自生集又是*N 的基底集， ①由21n n n F F F ++=-得：()()()2121111nn n n n n F F F ++++-⋅=-⋅+-⋅，故A 是自生集；②对于任意2n ≥，对于任一正整数[]211,1n t F +∈-，存在集合A 的一个有限子集{}12,,,m a a a ⋅⋅⋅， 使得12m t a a a =++⋅⋅⋅+，（21i n a F +<，1,2,,i m =⋅⋅⋅），当2n =时，由11=，2312=+-，33=，431=+，知结论成立； 假设结论对n k =时成立，则1n k =+时，只须对任何整数[]2123,k k m F F ++∈讨论，若22k m F +<，则22k m F π+=+，()21,0k F π+∈-， 故21'k F m π+=-+，[)21'1,k m F +∈，由归纳假设，'m 可以表示为集合A 中有限个绝对值小于21k F +的元素的和． 因为()()222122212221'11'k k k k k k m F F m F F m ++++++=-+=-⋅+-⋅+，所以m 可以表示为集合A 中有限个绝对值小于23k F +的元素的和． 若22k m F +=，则结论显然成立．若2223k k F m F ++<<，则22'k m F m +=+，[)21'1,k m F +∈，由归纳假设知，m 可以表示为集合A 中有限个绝对值小于23k F +的元素的和． 所以，当1n k =+时结论也成立； 由于斐波那契数列是无界的，所以，任一个正整数都可以表示成集合A 的一个有限子集中所有元素的和． 因此集合A 又是*N 的基底集．【点睛】本题考查的知识点是新定义“自生集”和“*N 的基底集”，双曲线的性质，数列求和，集合的元素，本题综合性强，转化困难，属于难题．。
(完整word版)2020届上海市宝山区初三一模数学Word版(附解析)
上海市宝山区2020届初三一模数学试卷2020.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 符号sin A 表示（ ）A. A ∠的正弦B. A ∠的余弦C. A ∠的正切D. A ∠的余切 2. 如果23a b =-，那么ab=（ ） A. 23- B. 32- C. 5 D. 1-3. 二次函数212y x =-的图像的开口方向（ ）A. 向左B. 向右C. 向上D. 向下4. 直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC AB ⊥，如果67BCA ∠=︒，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的（ ）A. 俯角67°方向B. 俯角23°方向C. 仰角67°方向D. 仰角23°方向5. 已知a r 、b r 为非零向量，如果5b a =-r r ，那么向量a r 与b r的方向关系是（ ）A. a r ∥b r ，并且a r 和b r 方向一致B. a r ∥b r ，并且a r 和b r方向相反C. a r 和b r 方向互相垂直D. a r 和b r之间角的正切值为56. 如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果2AB =，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面（ ） A. 3π+ B. 3π C. 223π- . 23π二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 已知1:23:x =，那么x =8. 如果两个相似三角形的周长比为1:2，那么它们某一对对应边上的高之比为 9. 如图，△ABC 中90C ∠=︒，如果CD AB ⊥于D ，那么AC 是AD 和 比例中项10. 在△ABC 中，AB BC CA ++=uu u r uu u r uu r11. 点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14°方向，那么从B 观察A ，A 在B 的 方向12. 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，如果AC x =uuu r r ，那么CD =uu u r （用x r表示）13. 如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，联结BE ，如果9BE =，12BC =，那么cos C =14. 若抛物线2()(1)y x m m =-++的顶点在第二象限，则m 的取值范围为 15. 二次函数223y x x =++的图像与y 轴的交点坐标是16. 如图，已知正方形ABCD 的各个顶点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，如果P 是弧AB 的 中点，PD 与AB 交于E 点，那么PEDE=17. 如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果AC BC <，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作等边△ACD 、△BCE ，联结DE ，当△CDE 的面积为33时，线段AC 的长度是18. 如图，点A 在直线34y x =上，如果把抛物线2y x =沿OA uu r 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：1262-.20. 已知：抛物线22y x x m =-+与y 轴交于点(0,2)C -，点D 和点C 关于抛物线对称轴对称.（1）求此抛物线的解析式和点D 的坐标； （2）如果点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点， 求△MCD 的周长.21. 某仓储中心有一个坡度为1:2i =的斜坡AB ，顶部A 处的高AC 为4米，B 、C 在同一水平地面上，其横截面如图. （1）求该斜坡的坡面AB 的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG 的长方体货柜，其中长2.5DE =米，高2EF =米，该货柜沿斜坡向下时，点D 离BC 所在水平面的高度不断变化，求当 3.5BF =米时，点D 离BC 所在水平面的高度DH .22. 如图，直线:3l y x =，点1A 坐标为(1,0)，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去. 求：（1）点1B 的坐标和11AOB ∠的度数； （2）弦43A B 的弦心距的长度.23. 如图，△ABC 中，AB AC =，AM 为BC 边的中线，点D 在边AC 上，联结BD 交AM 于点F ，延长BD 至点E ，使得BD ADDE DC=，联结CE . 求证：（1）2ECD BAM ∠=∠； （2）BF 是DF 和EF 的比例中项.24. 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数2(1)y a x x =+-的图像交于点(1,)A a 和点(1,)B a --.（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足 的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图像的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值.25. 如图，OC 是△ABC 中AB 边的中线，36ABC ∠=︒，点D 为OC 上一点，如果OD k OC =⋅，过D 作DE ∥CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点，将△ODE 绕点O 顺时针旋转α度（其中0180α︒<<︒）后，射线OM 交直线BC 于点N . （1）如果△ABC 的面积为26，求△ODE 的面积（用k 的代数式表示）；（2）当N 和B 不重合时，请探究ONB ∠的度数y 与旋转角α的度数之间的函数关系式； （3）写出当△ONB 为等腰三角形时，旋转角α的度数.参考答案一. 选择题1. A2. B3. D4. D5. B6. C二. 填空题7. 6 8. 1:2 9. AB 10. 0r11. 南偏西14° 12. 13x -r 13. 23 14. 10m -<<15. 16. 1217. 2 18. 2(4)3y x =-+三. 解答题19.20.（1）222y x x =--，(2,2)D -；（2）2MCD C =+V21.（1）AB =；（2）DH =.22.（1）1B ，1160AOB ∠=︒；（2）23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）(0,0)；（2）0a <，12x ≤-；（3）a =25.（1）213ODE S k =V ；（2）0144180144180y αααα︒<<︒⎧=⎨︒-︒<<︒⎩；（3）当OB ON =时，点N在线段BC 延长线上，36α=︒；当BN BO =时，①点N 在线段BC 上，72α=︒；②点N 在线段CB 延长线上，162α=︒；当BN ON =时，108α=︒.。
上海市宝山区2020届高三一模数学试卷
上海市宝山区2020届高三一模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．【解析】【分析】根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可．【详解】解：∵(1)2z i i +=， ∴21i z i==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题．2.已知4251λλ-=-，则λ=________ 【答案】3【解析】【分析】由行列式的计算公式化简求解即可． 【详解】解：4251λλ-=- ()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________【答案】31log ,(0,1]y x x =+∈【解析】【分析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可．【详解】解：13(1)x y x -=，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈，【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题．4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛.【答案】66【解析】【分析】直接利用组合数的应用求出结果． 【详解】解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==． 故答案为：66．【点睛】本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________ 【答案】22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 【详解】解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =， 所以焦点到准线的距离为3，。
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++=AB BC CA ABC ABC =x =x 1:23:−π2
−π2π+πb a b a b a b a b a b a b a =−b a 5a b ,=−y x 122
−1−23−3
2
=b a =−a b 232019 ——2020学年第一学期期末考试九年级数学试卷
一、选择题
1.符号sinA 表示（ ）
A .∠A 的正弦
B .∠A 的余弦
C .∠A 的正切
D .∠A 的余切2.如果，那么
（ ） A . B . C .5D . 3.二次函数的图像的开口方向（ ）
A .向左
B .向右
C .向上
D .向下
4.直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA =67°，从低处A 处看高处C 处， 那么点C 在点A 的（ ）
A .俯角67°方向
B .俯角23°方向
C .仰角67°方向
D .仰角23°方向
5.已知为非零向量，如果，那么向量与的方向关系是（ ）
A .//，并且和方向一致
B .//，并且和方向相反
C .和方向互相垂直
D .和之间夹角的正切值为5
6.如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB =2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积（ ）
A .
B .
C .
D . 二、填空题
7. 已知，那么____________
8.如果两个相似三角形的周长比为1:2，那么它们某一对对应边上的高之比为____________
9.如图，中∠C =90°，如果CD ⊥AB 于D ，那么AC 是AD 和____________的比例中项
10.在中，____________
︒−︒
−tan 602cos 452
2
1
OA =y x 2=
y x 4
3CDE BCE ACD =DE
PE O =y x 2=−++y x m m 12)()(ABC x =CD =AC x ABC 11.点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14°方向，那么从B 观察A ，A 在B 的
____________方向
12.如图，在中，∠C =90°，∠A =30°，BD 是∠ABC 的平分线，如果，那么____________（用表示）
13.如图，中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，联结BE ，如果BE =9，BC =12，那么
cosC =____________
14.若抛物线的顶点在第二象限，则m 的取值范围为____________
15.二次函数y 轴的交点坐标是____________
16.如图，已知正方形ABCD 的各个顶点A 、B 、C 、D 都在
上，如果P 是AB 的中点，PD 与AB 交于E 点，那么____________ 17.如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果AC <BC ，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作等边、，联结DE ，当的面积为AC 的长度是____________
18.如图，点A 在直线上，如果把抛物线沿方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为____________ 三、解答题
19.计算：
MCD x −C 0,2)(=−+y x x m 2220.已知：抛物线与y 轴交于点，点D 和点C 关于抛物线对称轴对称.
（1）求此抛物线的解析式和点D 的坐标；
（2）如果点M 是抛物线的对称轴与轴的交点，求的周长.
21.某仓储中心有一个坡度为i =1:2的斜坡AB ，顶部A 处的高AC 为4米，B 、C 在同一水平地面上，其横截面如图.
（1）求该斜坡的坡面AB 的长度；
（2）现有一个侧面图为矩形DEFG 的长方体货柜，其中长DE =2.5米，高EF =2米，该货柜沿斜坡向下时，点D 离BC 所在水平面的高度不断变化，求当BF =3.5米时，点D 离BC 所在水平面的高度DH .
=DE DC
BD AD ABC A B 43∠A OB 11B 1A ,3x OB 2B 2x A 2A 2x OB 1B 1x A 1A 1=l y
:22.如图，直线，点坐标为（1,0），过点作轴的垂线交直线l 于点，以原点O 为圆心，为半径画弧交轴于点；再过点作的垂线交直线l 于点，以原点O 为圆心，长为半径画弧交轴于点，按此做法进行下去.
求：（1）点的坐标和的度数；
（2）弦的弦心距的长度.
23.如图，中，AB =AC ，AM 为BC 边的中线，点D 在边AC 上，联结BD 交AM 于点F ，延长BD 至点E ，使得，联结CE . 求证：（1）∠ECD =2∠BAM ；
（2）BF 是DF 和EF 的比例中项.
αONB α
ODE ABC
︒<<︒
α
0180
α
ODE
=⋅
OD k OC
ABC
a
x
a
x
−−
B a
1,)
(
A a
1,)
(
=+−
y a x x1
2)
(
24.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数的图像交于点和点.
（1）求直线AB与y轴的交点坐标；
（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围；
（3）设二次函数的图像的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求的值.
25.如图，OC是中AB边的中线，∠ABC=36°，点D为OC上一点，如果，过D作
DE//CA交于BA点E，点M是DE的中点，将绕点O顺时针旋转度（其中）后，射线OM交直线BC于点N.
（1）如果的面积为26，求的面积（用k的代数式表示）；
（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角的度数之间的函数关系式；
（3）写出当为等腰三角形时，旋转角的度数.。