2007年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
2007年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)[精选多篇][修改版]
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第一篇：2007年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)城镇环境综合整治给镇区居民的一封信尊敬的居民朋友：为改善我镇镇区环境面貌，提高城镇环境卫生质量，营造一个干净、舒适、整洁、优美的人居环境，塑造“清洁家园、宜居城镇、生态蒋场”的良好形象，奋力推进全镇经济社会和谐发展，根据全市新型城镇建设会议和全市“双创”工作会议要求，镇委镇政府决定从4月份开始，在镇区范围内开展城镇环境综合整治活动。
城镇环境综合整改是建设社会主义新农村、构建和谐社会的根本要求，是贯彻落实市委市政府加快推进新型小城镇建设的重要举措，是跟上时代发展步伐、服务工作大局、塑造蒋场新面貌新形象的内在需要，是改善人居环境、提高人民群众生活质量的有效手段，是优化投资环境、提升城镇文明程度、增强城镇竞争力的重要途径，是保障交通通畅、清除安全隐患、巩固发展成果、维护广大人民群众生命财产安全的具体体现，也是全镇广干部群众的强烈愿望。
建设一个卫生整洁、环境优美的新型城镇是全体蒋场人民的共同心愿，关系到全镇人民的切身利益。
全民参与，身体力行，全镇居民都要为创建“环境卫生乡镇”和“环境卫生小区”献计献策，积极参与到环境综合整治中来，自觉维护公共卫生，养成良好的卫生生活习惯，做到不乱扔垃圾，不乱停车辆，不乱摆摊点，不乱搭乱建，不乱贴乱画，不破坏公共卫生设施，不破坏绿化，用实际行动支持环境整治工作。
镇区经营户和居民户朋友们，从现在开始，都应积极主动拆除乱搭乱建的违章建筑，流动摊点归店入市，彻底改变店外经营、店外加工、店外维修的现状；自觉服从城管人员的引导，改变乱堆乱放、乱吊乱挂、乱搭乱建的不良行为习惯；自觉规范户外广告、跨街横幅、霓虹灯、店招牌匾等设置，保持镇容环境整洁；自觉遵守交通规则，杜绝侵占公路、破坏公路设施和在公路上打草晒粮等现象，创造便捷高效、规范安全的交通环境，客运车辆一律实行车进站、人归点，禁止滞留街道、站外上下。
上述整治任务完成后，镇委镇政府将争取市交通运输局、市住房和建设委员会的支持，对镇区主干道全面实施刷黑改造和配套升级，我们相信，镇区环境综合整治必将带来城镇面貌的大改观和全镇经济社会的大发展。
07上海数学高考卷(春季)
07上海数学高考卷(春季)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合A={x|2＜x＜5}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=（）A. {x|2＜x＜0}B. {x|0＜x＜4}C. {x|2＜x＜5}D. {x|0＜x＜5}2. 函数f(x)=|x1|在区间（0，+∞）上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先单调递增后单调递减D. 先单调递减后单调递增3. 若等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=12，则a4=（）A. 8B. 6C. 4D. 24. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，cosB=3/5，则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/35. 已知函数f(x)=x²2x+1，则f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 1D. 26. 平面向量a=(2，1)，b=(1，2)，则a与b的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7. 若复数z满足|z1|=|z+i|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 直线y=x上B. 直线y=x上C. 直线x=0上D. 直线y=0上8. 设函数f(x)=x²+ax+b，若f(x)在区间（1，1）内有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. (2，2)B. (1，1)C. (√2，√2)D. (√3，√3)9. 已知数列{an}的通项公式为an=n²n+1，则数列的前n项和为（）A. n(n²1)/6B. n(n²+1)/6C. n(n²1)/2D. n(n²+1)/210. 在直角坐标系中，点P(x，y)到直线y=x的距离为1，则点P的轨迹方程为（）A. x²+y²=2B. (x1)²+(y1)²=2C. (x+y)²=2D. (xy)²=2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=2x+3，则f(3)的值为______。
2007年上海市普通高等学校春季招生数学考试题及答案
2007年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1 答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚 2 本试卷共有21道试题，满分150分 考试时间120分钟一 填空题 (本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1．计算++∞→)1(312lim 2n n n n2．若关于x 的一元二次实系数方程02=++q px x 有一个根为i 1+(i 是虚数单位)，则 q3．若关于x 的不等式01>+-x ax 的解集为),4()1,(∞+-∞- ，则实数a 4．函数2)cos sin (x x y +=的最小正周期为5．设函数)(x f y =是奇函数 若3)2()1(3)1()2(++=--+-f f f f ，则+)2()1(f f6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标x7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则 实数m8．若向量a ，b 满足2=a，1=b ，()1=+⋅b a a ，则向量a ，b 的夹角的大小为9．若21x x 、为方程11212+-⎪⎭⎫⎝⎛=xx 的两个实数解，则+21x x10．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表 演节目 若选到男教师的概率为209，则参加联欢会的教师共有 人 11．函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,2,0,12x xx x y 的反函数是二．选择题 (本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分12．若集合{}2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件[答] ( )13．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界） 若12OP aOP bOP =+，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足 (A) 0,0>>b a (B) 0,0<>b a (C) 0,0><b a (D) 0,0<<b a[答] ( )14．下列四个函数中，图像如图所示的只能是(A) x x y lg += (B) x x y lg -=(C) x x y lg +-= (D) x x y lg --=[答] ( )15．设b a 、是正实数，以下不等式 ①b a ab ab +>2，② b b a a -->，③ 22234b ab b a ->+，④ 22>+abab 恒成立的序号为(A) ①、③ (B) ①、④ (C) ②、③ (D) ②、④[答] ( )三．解答题 (本大题满分90分)本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤 16 (本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体D C B A ABCD ''''-中，F E 、分别是B A ''和AB 的中点，求异面直线F A '与CE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示）[解]17 (本题满分14分)求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积” 求出体积316后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为316，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为316，求所有侧面面积之和的最小值”试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离 ”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题 [解]如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点分别为21F F 、过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为(1M(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积[解] (1)(2)图1图2某人定制了一批地砖 每块地砖 (如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？[解] (1)(2)满分8分通常用c b a 、、分别表示△ABC 的三个内角C B A ，，所对边的边长，R 表示△ABC 的外接圆半径(1) 如图，在以O 为圆心、半径为2的⊙O 中，BC 和BA 是⊙O 的弦，其中2=BC ， 45=∠ABC ，求弦AB 的长；(2) 在△ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224R b a <+；(3) 给定三个正实数R b a 、、，其中a b ≤ 问：R b a 、、 满足怎样的关系时，以b a 、为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在△ABC 存在的情况下，用R b a 、、表示[解] (1)(2)(3) A满分8分我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格(1) 设第2行的数依次为n B B B ,,,21 ，试用q n ,表示n B B B +++ 21的值； (2) 设第3列的数依次为n c c c c ,,,,321 ，求证：对于任意非零实数q ，2312c c c >+； (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）① 能否找到q 的值，使得(2) 中的数列n c c c c ,,,,321 的前m 项m c c c ,,,21 (3≥m ) 成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由② 能否找到q 的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由[解] (1)(2)(3) 选择第（ ）问2007年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1 本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分2 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分3 第16题至第21题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数4 给分或扣分均以1分为单位答案及评分标准一．( 第1至11题）每一题正确的给4分，否则一律得零分1322 234 4 π5 3-6 57 28 3π9 1- 10 120 11 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=.0,2,1,1x xx x y二．( 第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分三．( 16 [解法一] 如图建立空间直角坐标系 …… 2分由题意可知0,1,2(),2,1,2(),0,2,0(),2,0,2(F E C A ')2,1,2(),2,1,0(-=-='∴A…… 6分设直线F A '与CE 所成角为θ，则35355c o s =⋅==θ…… 10分 35a r c c o s =∴θ，[解法二] 连接EB ， …… 2分 BF E A //' ，且BF E A ='，FBE A '∴是平行四边形，则EB F A //'，∴ 异面直线F A '与CE 所成的角就是CE 与EB 所成的角 …… 6分由⊥CB 平面A B AB ''，得CB ⊥在Rt △CEB 中，5,2==BE CB ，则552t a n=∠C E B ， …… 10分∴ arctan=∠CEB∴ 异面直线F A '与CE 所成角的大小为arctan…… 12分 17 评分说明：(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定(ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分[解] 点)1,2(到直线043=+y x 的距离为243|1423|22=+⋅+⋅ …… 4分“逆向”问题可以是：(1) 求到直线043=+y x 的距离为2的点的轨迹方程 …… 10分[解] 设所求轨迹上任意一点为),(y x P ，则25|43|=+y x ， 所求轨迹为01043=-+y x 或01043=++y x …… 14分(2) 若点)1,2(P 到直线0:=+by ax l 的距离为2，求直线l 的方程 …… 10分[解]2|2|22=++b a b a ，化简得0342=-b ab ，0=b 或b a 34=，所以，直线l 的方程为0=x 或43=+y x …… 14分意义不大的“逆向”问题可能是：(3) 点)1,2(P 是不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为243|1423|22=+⋅+⋅，(4) 点)1,1(Q 是不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为25743|1413|22≠=+⋅+⋅， 所以点)1,1(Q 不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点 ……10分(5) 点)1,2(P 是不是到直线0125=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为21322125|11225|22≠=+⋅+⋅， 所以点)1,2(P 不是到直线0125=+y x 的距离为2的一个点 ……10分18 (1) [解法一] x l ⊥ 轴， 2F ∴的坐标为()0,2 …… 2分由题意可知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,2,1122222b a ba 得 ⎩⎨⎧==.2,422b a ∴ 所求椭圆方程为12422=+y x …… 6分 [解法二]由椭圆定义可知a MF MF 221=+ 由题意12=MF ，121-=∴a MF …… 2分又由Rt △21F MF 可知 ()122)12(22+=-a ，0>a ，2=∴a ，又222=-b a ，得22=b∴ 椭圆C 的方程为12422=+y x …… 6分 [解] (2) 直线2BF 的方程为-=x y …… 8分由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,124,222y x x y 得点N…… 10分又2221=F F ，822322211⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∴∆BN F S…… 14分图2 19 [证明] (1) 图2是由四块图1所示地砖绕点C 按顺时针旋转 90后得到，△CFE 为等腰直角三角形，∴ 四边形EFGH 是正方形 …… 4分[解] (2) 设x CE =，则x BE -=4.0，每块地砖的费用为W ，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a (元)， …… 6分a x x a x a x W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯--+⨯-⨯⨯+⋅=)4.0(4.0212116.02)4.0(4.02132122()24.02.02+-=x x a …… 10分 []4.00,23.0)1.0(2<<+-=x x a 由0>a ，当1.0=x 时，W 有最小值，即总费用为最省答：当1.0==CF CE 米时，总费用最省 …… 14分 20 [解] (1) △ABC 的外接圆半径为2，在△ABC 中，22sin 2==B R AC ，30212sin ===A R BC A ，， …… 3分 C AC BC AC BC AB cos 2222⋅⋅-+=)c o s (2884B A +++=()()2132234+=+=6+=∴AB …… 6分[证明] (2) Rb B R a A 2sin ,2sin ==，由于C ∠是钝角，B A ∠∠、都是锐角，得 2222421cos ,421cos b R RB a R R A -=-=， )cos(cos B AC +-= 0444122222<⎪⎭⎫ ⎝⎛---=b R a R ab R ， ()()22222244b R a R b a --< ，()04162224>+-∴b a R R ，即2224R b a <+ …… 10分 [解] (3) ⅰ）当R a 2>或R b a 2==时，所求的△ABC 不存在ⅱ）当R a 2=且a b <时， 90=∠A ，所求的△ABC 只存在一个，且c =ⅲ）当R a 2<且a b =时，B A ∠=∠，且B A 、都是锐角，由B Rb R a A sin 22sin ===，B A 、唯一确定因此，所求的△ABC 只存在一个，且cos 2A a c =⋅= …… 14分 ⅳ）当R a b 2<<时，B ∠总是锐角，A ∠可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的△ABC 存在两个 由R a A 2sin =，Rb B 2sin =，得 当 90<∠A 时，22421cos a R R A -=， )c o s (222B A ab b a c +++== 当 90>∠A 时，22421cos a R R A --=，=c …… 18分 21 [解] (1) q n B q q B q B q B n +-=+=++=+==)1(,,2)1(1,1,321 ，所以 nq n B B B n +-+++=+++)1(2121 nq n n +-=2)1( …… 4分 (2) 11=c ，q q c +=++=2)1(12， 22323)1()2(q q q q q c ++=++++=， …… 7分 由 )2(223122231q q q c c c +-+++=-+02>=q ，得 2312c c c >+ …… 10分(3) ①先设321,,c c c 成等比数列，由2231c c c =，得 22)2(23q q q +=++，21-=q此时 11=c ，49,2332==c c ， 所以321,,c c c 是一个公比为23的等比数列 …… 13分 如果4≥m ，m c c c ,,,21 为等比数列，那么321,,c c c 一定是等比数列由上所述，此时21-=q ，11=c ，49,2332==c c ，8234=c ，… 由于2334≠c c ， 因此，对于任意4≥m ，m c c c c ,,,,321 一定不是等比数列 …… 16分 综上所述，当且仅当3=m 且21-=q 时，数列m c c c c ,,,,321 是等比数列 …… 18分 ② 设321,,x x x 和321,,y y y 分别为第1+k 列和第1+m 列的前三项，11-≤<≤n m k ，则q k x x +==21,1，23)321(q kq k x ++++++= 22)1(q kq k k +++=…… 13分 若第1+k 列的前三项321,,x x x 是等比数列，则由2231x x x =，得 ()222)1(q k q kq k k +=+++， 022=+-kq k k ， 1k q -= …… 16分 同理，若第1+m 列的前三项321,,y y y 是等比数列，则21m q -= 当m k ≠时，2121m k -≠- 所以，无论怎样的q ，都不能同时找到两列数 (除第1列外)，使它们的前三项都成等比数列 (18)。
2007年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根 学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
——阿卜·日·法拉兹2007年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟. . 填空题 (本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．计算=++∞→)1(312lim 2n n n n . 2．若关于x 的一元二次实系数方程02=++q px x 有一个根为i 1+(i 是虚数单位)，则=q .3．若关于x 的不等式01>+-x a x 的解集为),4()1,(∞+-∞- ，则实数=a . 4．函数2)cos sin (x x y +=的最小正周期为 .5．设函数)(x f y =是奇函数. 若3)2()1(3)1()2(++=--+-f f f f ，则=+)2()1(f f .6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6，则点P 的横坐标=x .7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则实数=m .8．若向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()1=+⋅b a a ，则向量a ，b 的夹角的大小为 . 9．若21x x 、为方程11212+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x 的两个实数解，则=+21x x .10．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
——阿卜·日·法拉兹演节目. 若选到男教师的概率为209，则参加联欢会的教师共有 人. 11．函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,2,0,12x xx x y 的反函数是 .二．选择题 (本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.12．若集合{}2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A ”的(A) 充分不必要条件. (B) 必要不充分条件.(C) 充要条件. (D) 既不充分也不必要条件.[答] ( )13．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界）. 若21OP b OP a +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足(A) 0,0>>b a . (B) 0,0<>b a .(C) 0,0><b a . (D) 0,0<<b a .[答] ( )14．下列四个函数中，图像如图所示的只能是(A) x x y lg +=. (B) x x y lg -=.(C) x x y lg +-=. (D) x x y lg --=.[答] ( )15．设b a 、是正实数，以下不等式① b a ab ab +>2，② b b a a -->，③ 22234b ab b a ->+，④ 22>+abab页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
年上海市春季高考数学试题版含答案
2006年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分048分） 1. 计算：=+-∞→3423limn n n .2. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .3. 函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f.4. 不等式0121>+-x x的解集是 . 5. 已知圆)0()5(:222>=++r ry x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 .6. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . 9. 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .10. 若向量b a ρρ、的夹角为ο150，4,3==b a ρρ，则=+b a ρρ2 .11. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原 点，则三角形OAB 面积的最小值为 .12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列n a a a ,,,21Λ 满足n a a a ≤≤≤Λ21，则 （结论用数学式子表示）. 二．选择题（本大题满分016分）13. 抛物线x y 42=的焦点坐标为( )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(. 14. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )（A ）-b a 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >. 15. 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16. 若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A ∩B 等于( )（A ）]1,(∞-. （B ）[]1,1-. （C ）∅. （D ）}1{.三．解答题（本大题满分086分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分12分) 已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f .（1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域. 20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； 得离（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥=Y Y B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分. 已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？2006年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1.43. 2. 2. 3. []8,5),5(31∈-x x . 4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1.5. )10,0(.6. 4x x --.7. 48. 8.316. 9.257. 10. 2. 11. 4. 12. )1(2121n m na a a m a a a nm <≤+++≤+++ΛΛ和二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.题 号 13141516代 号BCAB三．（第17至22题）17. [解法一] 连接D A 1， D BA C B D A 111,//∠∴Θ为异面直线B A 1与C B 1所成的角. ……4分连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ， ……6分则DA B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠259552322525=⋅⋅-+=. ……10分 ∴ 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos. ……12分 [解法二] 以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系. ……2分 则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、，得 )3,0,4(),3,4,0(11--=-=B A . ……6分设A 1与B 1的夹角为θ， 则259cos 1111=⋅CB B A θ， ……10分 ∴ A 1与B 1的夹角大小为259arccos， 即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos. ……12分 18. [解法一] i 2i21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w Θ， ……4分 i 3|i |i25+=-+-=∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z Θ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分 [解法二] 设ib a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴⎩⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ， ……4分 以下解法同[解法一]. 19. [解]（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππΘ， ……2分x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+= ……4分 53354+=. ……8分 （2）⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ， ……10分 ππ≤≤x 2Θ， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ，∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分20. [解]（1）设曲线方程为7642+=ax y ， 由题意可知，764640+⋅=a .71-=∴a . ……4分 ∴ 曲线方程为764712+-=x y . ……6分（2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x 得036742=--y y ，4=y 或49-=y （不合题意，舍去）.4=∴y . ……9分 得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴C 点的坐标为)4,6(， ……11分4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令. ……14分 21. [解]（1）……4分 （2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142,Y Y A . ……8分由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142. ……10分（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ， ……12分∴>,2k Θ124<-k. 又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24kx -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k .064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k Θ，则0)(min >x g . ……14分 ② 当124-<-k，即6>k 时，取1-=x ， min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分[解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ， 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ， ……12分在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点. ……14分如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分22. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 4分（2）())0(11010222030≠++=+=d dd d a a ， …… 8分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞. …… 12分（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列. …… 14分研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围.…… 16分研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn Λ 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 18分。
2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
二、 选择题 （ 本大题满分１ 分） ６ 本大题共有
４ 每题都给出四个结论， 题， 其中有且只有一个 结论是正确的， 必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内， 选对得 ４ 否则一律得零分． 分，
的体积Ｖ ＝
１． ３已知向量 ＝（， ３，６ ＝（，）若 ２－ ） 。 ３ ， ∥６ 则 。 等于 ， 【 （） 矧
维普
２０ 年第 ２ ０８ 期
“（） ｈｘ 为偶函 ’ 的
（） Ａ 充分不必要条件． （） Ｂ 必要不充分条件． （） Ｃ 充要条件．
［ （） 答］
凳脚与地面所成 的角均为 ４ 。 确定节点Ｏ分细 ５，
（） ． （） ２ （） 吾 （） 吾 Ａ吾 Ｂ一． ｃ一 ． Ｄ一 ．
Ｕ ‘ ｏ
２
口２ ．
１已 ４ 知椭圆 一 ＋ ． ÷
图 １
＝１长轴 ， 在
９ 知 数列｛ｎ前ｎ ＝言ｎ ． 无穷 已 ０） 项和 ０—
Ｕ
１则数列＿ｎ 的各项和为— ， 【） ０
２ 口２ ．
７ 已知 Ｐ是双 曲线 一 ＝ １ ． 右支上的一 点， 双曲线的一条渐近线方 程为 ３ ＝０ 设 ｘ一 ．
１２ ３上与 、Ｂ两点距离平方和最小的点， ， ，） 则
△Ｐ Ｐ Ｐ 的面积是 １２３
分别为双曲线的左、右焦点． Ｐ Ｉ 若Ｉ ＝ ３ 则Ｉ Ｉ ， Ｐ ＝— — ． ８ 已知一个 凸多面体共有 ９ ． 个面， 所有棱长 均为 １ 其平面展开图如 图 １ ， 所示， 则该凸多面体
ａ ｌ＝ １ ．若 ０ 、 ０ 、０ 成等 比数列， ａ １ ２ ５ 则 ｎ＝
图２
１） ， ， ６简。吾 ｓ ——． １ １． 和 １（，＋３ （，） 直线ｌ ： 以（０ ． ：（ ） ＋＝ ２： ２ 已知Ａ： ２、ｂ３４＝０ 设 ｉ ＝ ＝ 化 ｃ ＋＋ｎ ） ｓ （ ＝０ ３ ｙ １ ． 只是 ｉ 一
上海市2018年普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷(解析版)
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31lim2n n n →∞-=+__________．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x = 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ） （A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x-=（D ）3y x =14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ， 满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）（A ）36（B ）60（C ）81（D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由； （3）设1n n c a q-=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷详细解析一、填空题 1.2.解析：3.解析：提示：共轭复数实部相等，虚部互为相反数 4.解析：5. 6 解析：6. 10解析： 7. 2 解析：提示：圆上两动点之间距离最大为圆的直径 8.解析：原式=9. 160解析： ，常数项为 10. 6解析： 中当时， 中当时，{1,2,3,4}(2,4)-23i -2323z i z i =+⇒=-1234533153=255=255210a a a a a a a a a a ++++⇒⇒=⇒+==(12)7296nn +=⇒=3362=160C ⨯12F F P V 12FP=F P 12P(0,1),P (0,1),-12F F P V 121FF =F P同理：中当时，11. 48解析： 提示：分为1和2；,3和4；5和6三组，每组里面有2种排列方式，共又这三组数排列为：,所以 12. 解析：当时，在区间上为增函数，不合题意所以：此时应满足所以的取值范围为12F F P V 122FF =F P 333248P ⋅=2228⨯⨯=33P 333248P⋅=(0,1)0a ≤(1,2)0a >(1)f(0,1)二、选择题13. B解析：抛物线的对称轴是，开口向上，所以单调递增区间是14. C解析：当时，，所以“”是“”的充分条件当时，，所以“”是“”的必要条件所以“”是“”的充要条件15. A解析：1x=[1,)+?a>0a>a>a>B.长方形C.对角线不相等的菱形16. B解析：如图，根据勾股定理可以求得根据图像和的增减性我们可以知道当P 在正八边形边上时为正，此时当P 在处时最大 当P 在正八边形边上时为负，此时当P 在处时最小最大时：最小时：三、解答题 17. （1）4；（2）解析：（1）（2）异面直线与所成角即为直线与所成角:或者写为；18. （1）； （2）127...A A A ---4A 781A A A --8A 1AC 1DD 1AC 1AA 1CA A∠1a =-[0,2]解析：（1）由题意可知：所以要使为奇函数，则必须（2）由题意可知：对任意恒成立设,则，在恒成立 所以（提示：y 是关于t 的一次函数，要使条件恒成立，则必须是增函数或常数函数）19. （1）半径34.6，半径16.1；（2）半径30，半径20，造价263.9千元 解析：(1)做如图所示辅助线可得：米米（2）()f x 101a a +=⇒=-x R Î2,x t x R =∈()120y a t =-+>(0,)t ∈+∞1M 2M 1M 2M如图，所以总造价：化简： 千元当且仅当时造价最小，此时米，米20. （1）；（2）；（3）解析：（1）；的渐近线方程为：（2）点在直线上得：，联立方程组：所以,所以直线的方程为：,又（3）联立方程组：=160tan 30M rθ==3y x =?2,13c a b ==⇒=G (1,0)-(0)y kx m km =+?k m ='(1,0)P 'PQ直线过点，所以带入得：'PQ21. （1）；（2）略；（3）解析：（1）（2）记则∴∵对于要证明的等式， 左边右边左边，证毕。
2007年高考数学上海市理科(详细解答)
（3）设“果圆”的方程为，． 记平行弦的斜率为． 当时，直线与半椭圆的交点是 ，与半椭圆的交点是． 的中点满足 得． ，．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在
某一椭圆上． 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满 分7分．
已知函数，常数． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满 分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其 为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．
①；②；
③ 若，则； ④ 若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是
．
10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知 是两个
相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是 直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异
面直线的充分条件：
．
11．已 知 为 圆 上 任 意
共轭复数，b=2，a=－1，那么p==－4，q==5，∴ 选A。
13．设是非零实数，若，取a=－2，b=1，则选项A不成立，取a=1，
b=2，则选项B与D不成立，所以选C。实际上已知，则，∴ ，选项C成
立。
14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形
中，若，若∠A是直角，则，k=－6，若∠B是直角，则，，得k=－1，
2007年高考.上海卷.文科数学试题及解答
（1）当 a 2 时，解不等式 f (x) f (x 1) 2x 1；
（2）讨论函数 f (x) 的奇偶性，并说明理由．
20．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9
兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010 年 ，要使年安装量与 年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长 率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分．
生产量的增长率为 34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003 年的年生产量的 增长率为 36%）．
（1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420
第 2页 （共 6页）
求正四棱锥 P ABCD 的体积V ．
P
D
C
17．（本题满分 14 分）
A
在 △ABC 中， a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边．若 a 2,
求 △ABC 的面积 S ．
B
C π ， cos B 2 5 ，
4
25
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦，年
分．
2007年高等学校招生考试上海卷
1CCB1B1AA2007年高等学校招生考试（上海卷）数学试卷(文史类)一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程9131=-x 的解是 ． 2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ．4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=∙+ ⎪⎝⎭的最小正周期=T ．5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．6．若向量a b ，的夹角为60，1==b a ，则()a ab -= ．7．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）．8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ， 完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是 ． 9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（ ）Ａ．32a b =-=， Ｂ．32a b ==-， Ｃ．32a b =-=-， Ｄ．32a b ==， 13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x14．数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1Ｃ．等于0或1Ｄ．不存在15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立 Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，求正四棱锥ABCD P -的体积V ．PCA D17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ； （2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m = ，，，），我们称其为“对称数列”． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n = ，，，．121．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．PBCADO2007年高等学校招生考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． 1-=x 2． )0(11≠+x x3． 4arctan π- 4． π 5． x y 122= 6．217． 66arccos8． 39． 3.010． ② ④11． π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，二、选择题（第12题至第15题）三、解答题（第16题至第21题）16．解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO ，O 是正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面 A B C D 所成的角．PAO ∠＝ 60，2=PA ．∴ 3=PO ．1=AO ，2=AB ，11233ABCD V PO S ∴===17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯= ．18．解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42． 则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥． 解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解： （1）1212)1(222->----+x x x x x ， 0122>--x x ， 0)1(<-x x ． ∴ 原不等式的解为10<<x ． （2）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．20．解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，． （2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++= ()122212242-++++= ()3211222625-=--==67108861．（3）51100223(501)149d d ==+⨯-=，．由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列． 当50n ≤时，n n d d d S +++= 21 n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+=．当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21()n d d d S ++++= 525150 (50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯75002299232+-=n n ． 综上所述，22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．21．解：（1）((012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b+=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=．当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(cc a a -． 当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．。
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上海市教育考试院 保留版权 数学2007春—第1页 (共10页)2007年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题 (本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 1．计算=++∞→)1(312lim2n n nn .2．若关于x 的一元二次实系数方程02=++q px x 有一个根为i 1+(i 是虚数单位)，则 =q . 3．若关于x 的不等式01>+-x a x 的解集为),4()1,(∞+-∞- ，则实数=a .4．函数2)cos sin (x x y +=的最小正周期为 .5．设函数)(x f y =是奇函数. 若3)2()1(3)1()2(++=--+-f f f f ，则=+)2()1(f f . 6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x . 7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24yx -=与直线m x =有且只有一个公共点，则实数=m .8．若向量a ，b 满足2=a，1=b ，()1=+⋅b a a，则向量a ，b 的夹角的大小为 .9．若21x x 、为方程11212+-⎪⎭⎫⎝⎛=xx的两个实数解，则=+21x x .10．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表数学2007春—第2页 (共10页)演节目. 若选到男教师的概率为209，则参加联欢会的教师共有 人.11．函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,2,0,12x xx x y 的反函数是 .二．选择题 (本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.12．若集合{}2,1mA =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A ”的(A) 充分不必要条件. (B) 必要不充分条件. (C) 充要条件. (D) 既不充分也不必要条件.[答] ( )13．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不 包括边界）. 若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足 (A) 0,0>>b a . (B) 0,0<>b a . (C) 0,0><b a . (D) 0,0<<b a .[答] ( )14．下列四个函数中，图像如图所示的只能是(A) x x y lg +=. (B) x x y lg -=. (C) x x y lg +-=. (D) x x y lg --=.[答] ( )15．设b a 、是正实数，以下不等式 ①ba ab ab +>2，② b b a a -->，③ 22234b ab b a ->+，④ 22>+abab数学2007春—第3页 (共10页)恒成立的序号为(A) ①、③. (B) ①、④. (C) ②、③. (D) ②、④.[答] ( )三．解答题 (本大题满分90分)本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.16. (本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体D C B A ABCD ''''-中，F E 、分别是B A ''和AB 的中点，求异面直线F A '与CE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示）. [解]数学2007春—第4页 (共10页)17. (本题满分14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积316后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为316，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为316，求所有侧面面积之和的最小值”.试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题. [解]数学2007春—第5页 (共10页)xy18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的左右两个焦点分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为()1,2M.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积. [解] (1) (2)数学2007春—第6页 (共10页)图1图219. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分10分. 某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH . (1) 求证：四边形EFGH 是正方形；(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ [解] (1) (2)数学2007春—第7页 (共10页)20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分4分，第3小题满分8分. 通常用c b a 、、分别表示△ABC 的三个内角C B A ，，所对边的边长，R 表示△ABC 的外接圆半径.(1) 如图，在以O 为圆心、半径为2的⊙O 中，BC 和BA 是⊙O 的弦，其中2=BC ，45=∠ABC ，求弦AB 的长；(2) 在△ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224R b a <+； (3) 给定三个正实数R b a 、、，其中a b ≤. 问：R b a 、、满足怎样的关系时，以b a 、为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在△ABC 存在的情况下，用R b a 、、表示c . [解] (1) (2)(3)数学2007春—第8页(共10页)数学2007春—第9页 (共10页)21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.(1) 设第2行的数依次为n B B B ,,,21 ，试用q n ,表示n B B B +++ 21的值； (2) 设第3列的数依次为n c c c c ,,,,321 ，求证：对于任意非零实数q ，2312c c c >+； (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.① 能否找到q 的值，使得(2) 中的数列n c c c c ,,,,321 的前m 项m c c c ,,,21 (3≥m ) 成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由.② 能否找到q 的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由. [解] (1) (2)(3) 选择第（）问.数学2007春—第10页(共10页)数学2007春—第11页 (共10页)2007年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第16题至第21题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．( 第1至11题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1.32. 2. 2.3.4. 4. π.5. 3-.6. 5.7. 2. 8. 43π. 9. 1-. 10. 120. 11. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=.0,2,1,1x xx x y二．( 第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.数学2007春—第12页 (共10页)三．( 第16至21题）16. [解法一] 如图建立空间直角坐标系. …… 2分 由题意可知)0,1,2(),2,1,2(),0,2,0(),2,0,2(F E C A '. )2,1,2(),2,1,0(-=-='∴CE F A . …… 6分设直线F A '与CE 所成角为θ，则35355c o s =⋅==θ. (10)分35a r c c o s =∴θ，即异面直线F A '与CE 所成角的大小为35arccos. …… 12分[解法二] 连接EB ， …… 2分 BF E A //'，且BF E A ='，FBE A '∴是平行四边形，则EB F A //'，∴ 异面直线F A '与CE 所成的角就是CE 与EB 所成的角. …… 6分 由⊥CB 平面A B AB ''，得BE CB ⊥. 在Rt △CEB 中，5,2==BE CB ，则552t a n =∠C E B ， …… 10分∴ 552arctan =∠CEB .∴ 异面直线F A '与CE 所成角的大小为552arctan . …… 12分17. 评分说明：(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. (ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.数学2007春—第13页 (共10页)[解] 点)1,2(到直线043=+y x 的距离为243|1423|22=+⋅+⋅. …… 4分“逆向”问题可以是：(1) 求到直线043=+y x 的距离为2的点的轨迹方程. …… 10分 [解] 设所求轨迹上任意一点为),(y x P ，则25|43|=+y x ，所求轨迹为01043=-+y x 或01043=++y x . …… 14分 (2) 若点)1,2(P 到直线0:=+by ax l 的距离为2，求直线l 的方程. …… 10分 [解]2|2|22=++bab a ，化简得0342=-b ab ，0=b 或b a 34=，所以，直线l 的方程为0=x 或043=+y x . …… 14分 意义不大的“逆向”问题可能是：(3) 点)1,2(P 是不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为243|1423|22=+⋅+⋅，所以点)1,2(P 是到直线043=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 (4) 点)1,1(Q 是不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分[解] 因为25743|1413|22≠=+⋅+⋅，所以点)1,1(Q 不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 (5) 点)1,2(P 是不是到直线0125=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为21322125|11225|22≠=+⋅+⋅，数学2007春—第14页 (共10页)xy图 2所以点)1,2(P 不是到直线0125=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 18. (1) [解法一] x l ⊥ 轴， 2F ∴的坐标为()0,2. …… 2分由题意可知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,2,1122222b a ba 得 ⎩⎨⎧==.2,422b a ∴ 所求椭圆方程为12422=+yx. …… 6分[解法二]由椭圆定义可知a MF MF 221=+. 由题意12=MF ，121-=∴a MF . …… 2分又由Rt △21F MF 可知 (122)12(22+=-a ，0>a ，2=∴a ，又222=-b a ，得22=b .∴ 椭圆C 的方程为12422=+yx. …… 6分[解] (2) 直线2BF 的方程为2-=x y . …… 8分由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,124,222yx x y 得点N 的纵坐标为32. …… 10分 又2221=F F ，3822322211=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∴∆BN F S . …… 14分 19. [证明] (1) 图2是由四块图1所示地砖绕点C 按顺时针旋转 90后得到，△CFE 为等腰直角三角形，∴ 四边形EFGH 是正方形. …… 4分数学2007春—第15页 (共10页)[解] (2) 设x CE =，则x BE -=4.0，每块地砖的费用为W ，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a (元)， …… 6分a x x a x a x W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯--+⨯-⨯⨯+⋅=)4.0(4.0212116.02)4.0(4.02132122()24.02.02+-=x xa …… 10分[]4.00,23.0)1.0(2<<+-=x x a .由0>a ，当1.0=x 时，W 有最小值，即总费用为最省.答：当1.0==CF CE 米时，总费用最省. …… 14分 20. [解] (1) △ABC 的外接圆半径为2，在△ABC 中，22sin 2==B R AC ，30212sin ===A RBC A ，， …… 3分 C AC BC ACBC AB cos 2222⋅⋅-+= )c o s (2884B A +++=()()2132234+=+=26+=∴AB . …… 6[证明] (2) Rb B Ra A 2sin ,2sin ==，由于C ∠是钝角，B A ∠∠、都是锐角，得2222421cos ,421cos bRRB a RRA -=-=，)cos(cos B A C +-= 0444122222<⎪⎭⎫ ⎝⎛---=b RaRab R，()()22222244bRaRba --<，数学2007春—第16页 (共10页)()04162224>+-∴b a R R ，即2224R b a <+. …… 10分 [解] (3) ⅰ）当R a 2>或R b a 2==时，所求的△ABC 不存在.ⅱ）当R a 2=且a b <时， 90=∠A ，所求的△ABC 只存在一个，且22bac -=.ⅲ）当R a 2<且a b =时，B A ∠=∠，且B A 、都是锐角，由B Rb Ra A sin 22sin ===，B A 、唯一确定.因此，所求的△ABC 只存在一个，且224cos 2aRRa A a c -=⋅=. …… 14分ⅳ）当R a b 2<<时，B ∠总是锐角，A ∠可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的△ABC 存在两个. 由Ra A 2sin =，Rb B 2sin =，得当 90<∠A 时，22421cos aRRA -=，)c o s (222B A ab b ac +++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---++=ab bRaRR ab ba 2222222442.当 90>∠A 时，22421cos aRRA --=，⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+=ab bRaRR ab bac 2222222442. …… 18分21. [解] (1) q n B q q B q B q B n +-=+=++=+==)1(,,2)1(1,1,321 ，所以 nq n B B B n +-+++=+++)1(2121 nq n n +-=2)1(. …… 4分(2) 11=c ，q q c +=++=2)1(12，22323)1()2(q q q q q c ++=++++=， …… 7分 由 )2(223122231q q q c c c +-+++=-+数学2007春—第17页 (共10页)02>=q ，得 2312c c c >+. …… 10分(3) ①先设321,,c c c 成等比数列，由2231c c c =，得 22)2(23q q q +=++，21-=q .此时 11=c ，49,2332==c c ，所以321,,c c c 是一个公比为23的等比数列. …… 13分如果4≥m ，m c c c ,,,21 为等比数列，那么321,,c c c 一定是等比数列. 由上所述，此时21-=q ，11=c ，49,2332==c c ，8234=c ，… 由于2334≠c c ，因此，对于任意4≥m ，m c c c c ,,,,321 一定不是等比数列. …… 16分 综上所述，当且仅当3=m 且21-=q 时，数列m c c c c ,,,,321 是等比数列.…… 18分② 设321,,x x x 和321,,y y y 分别为第1+k 列和第1+m 列的前三项，11-≤<≤n m k ，则q k x x +==21,1，23)321(q kq k x ++++++= 22)1(q kq k k +++=. …… 13分若第1+k 列的前三项321,,x x x 是等比数列，则由2231x x x =，得()222)1(q k qkq k k +=+++，022=+-kq k k， 21k q -=. …… 16分同理，若第1+m 列的前三项321,,y y y 是等比数列，则21m q -=.当m k ≠时，2121m k -≠-.所以，无论怎样的q ，都不能同时找到两列数 (除第1列外)，使它们的前三项都成等比数列. …… 18分数学2007春—第18页(共10页)。