高二直线与圆锥曲线学案1.
学案1：2.5直线与圆锥曲线
2.5直线与圆锥曲线的位置关系学习目标：掌握圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．掌握圆锥曲线的综合解答题中，熟练函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 学习过程 一、复习预习复习直线的方程与圆锥曲线的方程，圆锥曲线的几何性质。
直线一般方程：Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)椭圆方程：22221x y a b +=焦点在x 轴或22221y x a b +=焦点在y 轴双曲线方程：22221x y a b -=焦点在x 轴或22221y x a b-=焦点在y 轴抛物线方程：22y px =焦点在在x 轴或22x py =焦点在y 轴 两点间距离公式： A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 二、知识讲解本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点学习考点1 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则 Δ＞0 直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0 直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0 直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 考点2 圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2·|y 1－y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)．三、 例题精析考向一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例题1】【题干】设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]【答案】设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．由题意得Q(－2,0)．设l 的方程为y ＝k(x ＋2)，代入y2＝8x 得k2x2＋4(k2－2)x ＋4k2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1. 答案 C【解析】研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．考向二 弦长及中点弦问题 【例题2】【题干】若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．【答案】解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－13k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1.当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4， 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.【解析】联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．方法总结 当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)时，则 |AB|＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解． 考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题 【例题3】【题干】已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【答案】解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)，∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝⎛⎭⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12－(－2)＝32， 由|OM |＝r ，得⎝⎛⎭⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94. (2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根． 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0. 【解析】(1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．方法总结 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．考向四 定值(定点)问题 【例题4】【题干】椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程． (2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值． 【答案】(1)解 因椭圆焦点在y 轴上， 设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1.直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，|CD |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2.由已知得22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2， 直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1).因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2)＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1，∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)． O P →·O Q →＝⎝⎛⎭⎫－1k ，0·()－k ，y0＝1. 故O P →·O Q →为定值．【解析】(1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化．方法总结 解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．四、课堂运用 【基础】1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )．A ．至多为1B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】由题意知：4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．【巩固】1.椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 【答案】椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.【解析】解 法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4， 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b ，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.2.已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 【答案】解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．【解析】（1）主要考察的是直线的点斜式及圆锥曲线的结合应用，加入向量的关系使得题目更加综合。
直线与圆锥曲线(1)学案
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
解(1)设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，由＋y2＝1，解得x1,2＝±2，
所以S＝b|x1－x2|＝2b≤b2＋1－b2＝1.
当且仅当b＝时，S取到最大值1.
(2)由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
Δ＝16(4k2－b2＋1)．①
|AB|＝|x1－x2|＝·＝2.②
∴b∈(－∞，－2－)∪(2，＋∞)．
变式迁移3在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
变式迁移1已知抛物线C的方程为x2＝y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
变式迁移1D[直线AB的方程为y＝x－1(t＝0时不合题意，舍去)，与抛物线方程x2＝y联立得x2－x＋＝0，由于直线AB与抛物线C没有公共点，所以Δ＝－2<0，解得t>或t<－.]
解由(x≤－1)
得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
教学设计1：2.5直线与圆锥曲线
2.5直线与圆锥曲线一、教学目标（一）知识目标1、掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系；2、领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用；3、理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧；（二）能力目标1、通过多媒体课件的演示，培养学生发现运动规律、认识规律的能力.2、培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．（三）情感目标1、通过课件的演示获得培养学生探索数学的兴趣.2、通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感，激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。
二、教学重点与难点重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用；难点：等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。
三、方法指导：1、在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时，不要仅由判别式进行判断，一定要注意二次项的系数对交点个数的影响。
2、涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用点差法较为简便。
3、要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。
应用判别式，可以确定直线和圆锥曲线的位置关系，确定曲线中的参数取值范围，求几何极值等。
应用韦达定理，可以解先相交时的弦长问题，弦的中点问题或最值问题。
4、要重视方程思想、等价转换思想、分类讨论、数形结合等数学思想的运用。
四、教具准备：多面体课件。
五、 教学过程（一）基础整合直线与圆锥曲线的位置关系的判断：【注意】：①当a=0时，即得到一个一次方程，则直线与C 相交，且只有一个交点，此时，若曲线C 为双曲线，则直线平行与渐近线；若曲线C 为抛物线，则直线平行与抛物线的对称轴。
②直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．2．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为A (x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
高二数学 圆锥曲线与直线学案
高二数学 圆锥曲线与直线学案一．复习目标：会用判别式判断直线与二次曲线的位置关系；会处理二次曲线的弦的问题.二．基础训练：1．已知AB 是过抛物线y x =2的焦点的弦且4||=AB ，则AB 的中点到直线01=+y 的距离为 （ ） （A ）25 ； （B ）2 ； （C ）411 ； （D ）3。
2．椭圆12222=+by a x 的一条弦PQ 过它的右焦点且垂直于x 轴，以线段PQ 为直径作圆，则点)0,(a G 与圆的位置关系是 （ ）(A)G 在圆外 ； (B)G 在圆上 ； (C)G 在圆内 ； (D)以上三种情况都有可能。
3．已知抛物线px y 22=的过焦点的弦为,AB 且5||=AB ，又有3=+B A x x ，则=p ． 4.椭圆141622=+y x 的以点)1,2(-P 为中点的弦所在的直线方程为 5.过抛物线x y 42=的焦点F 的直线与抛物线交于P 、Q 两点，则PQ 中点M 的轨迹方程是三．例题分析：例1．经过双曲线1322=-y x 的左焦点1F 作倾斜角为6π的弦AB ，右焦点为2F ， （1）求||AB ；（2）求AB F 2∆的周长；（3）求AB F 2∆的面积..例2．已知抛物线x y C 4:2=与直线)(2:R m m x y l ∈+=，若在C 上总存在相异的两点,P Q 关于直线l 对称，求m 的取值范围.例3．设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 为5，①求m 的值；②以AB 为底以x 轴上某一点P 作PAB ∆，若5=∆PAB S ，求P 点坐标. .四．巩固练习：1．过抛物线x y 42=的焦点F 作弦,MN 若有),(),,(2211y x N y x M ，且有621=+x x ，则MN 的长为 ．2．双曲线112422=-y x 的两条渐近线所夹的锐角为 3． 过椭圆22221(0)4x y a a a+=>的一焦点F 作一直线交椭圆于,P Q 两点，则11||||PF QF + 等于4．已知ABC ∆内接于抛物线,322x y =其中)8,2(A ，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，试求BC 边所在的直线的方程。
圆锥曲线与直线(一)
《圆锥曲线与直线》学案（一）学习目标：1．能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为方程组解的问题；2．能够使用数形结合的方法，迅速判断某些直线与圆锥曲线的公共点个数.1．回忆在直线和圆的位置关系中，怎样判断有几个公共点．２．你能否用作图的方法粗略地探究直线与椭圆、双曲线有几种位置关系，分别有几个公共点，３．怎样能准确地判断我们的探究结果是否准确？４．你能同样画出直线与双曲线的各种位置关系吗？分别有几个公共点？并试着举出实例证明自己的观点。
问题探究：以上各种情况中的公共点能否说成是交点，为什么？课堂训练：1．判断直线01=+-y x 与椭圆1162522=+y x 、双曲线122=-y x 、抛物线x y 42=公共点的个数，并说出位置关系。
2．过点P(1,1)与双曲线116922=-y x 只有一个交点的直线共有几条？<变式>：若将点P(1,1)改为（1）A(3,4) （2）B(3,0) （3）C(4,0) （4）D(0,0). 3．3.（04全国）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是4．（04全国）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 条5．过点)2,0(M 与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线的方程是6．直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 只有一个公共点，则k 的取值是7．直线1+=kx y 与椭圆13422=+y x 的交点个数是 ><变式：若直线1+=kx y 与椭圆12522=+my x 恒有公共点，则m 的范围是8．直线3-=x y 与曲线1492=-x x y 的交点个数为 ><变式：若方程24x -=2+kx 恰好有两个实数根，则实数k 的取值范围是9．已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与x 2+y 2=17圆相交于A(4,-1),若圆在点A 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程．10．已知抛物线)0(22>=p px y ，过动点)0,(a M ，且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点，p AB 2≤，（1） 求a 的取值范围。
学案1：§2.8 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系~§2.8 第2课时 直线与圆锥曲线位置关系的综
§2.8第1课时直线与圆锥曲线的位置关系~§2.8第2课时直线与圆锥曲线位置关系的综合问题学习目标核心素养1．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点)2．会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(重点、难点)通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升逻辑推理、数学运算素养．【情境导学】情境引入激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．新知初探1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0．方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝＝＝＝．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线．()(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条．()(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．()2．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于()A．15B．13C．215 D．2133．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系为．4．直线y ＝13⎝⎛⎭⎫x －72与双曲线x 29－y 2＝1交点个数为 个．5．过椭圆x 213＋y 212＝1的右焦点与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．【合作探究】[探究问题]直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[母题探究]1．(变条件，变设问)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，且过点(6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．2．(改变条件)已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ．问：k 为何值时，直线l 与抛物线C 有两个交点，一个交点，无交点？[规律方法]直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．类型二弦长问题及中点弦问题【例2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．[思路探究]本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．[规律方法]直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意.[跟进训练]1．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|．【例3】 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点． (1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围．[规律方法]1．求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． 2．求最值问题的方法 (1)几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． (2)代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等． [跟进训练]2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，C 过点M ⎝⎛⎭⎫1，－32，离心率e ＝12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若PQ 为椭圆C 过F 1的弦，R 为PF 2的中点，O 为坐标原点，求△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和的最大值．【课堂小结】1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切．2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．【学以致用】1．椭圆x225＋y24＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为()A．10B．12C．16 D．182．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是() A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝03．已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，过点P (1,2)的直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是 ． 5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423．求直线l 的方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．直线与圆锥曲线的位置关系思考：[提示] 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交． 2．弦长公式 1＋k 2|x 1－x 2| (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]1＋1k 2|y 1－y 2|⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]初试身手1．[答案] (1)√ (2)√ (3)× [提示] (1)√ (2)√ (3)× 必要不充分条件．2．A [令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y 2＝12x得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝(1＋22)(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15．]3．相交 [联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2＋y 22＝1消去y 得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0∴直线与椭圆相交．]4．1 [直线与渐近线平行因此只有一个交点．]5．241313 [椭圆的右焦点为(1,0)，把x ＝1代入x 213＋y 212＝1中得：y 2＝12213，∴y ＝±121313，∴|AB |＝241313．] 【合作探究】[探究问题][提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法． 【例1】[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，①x 24＋y 2＝1，②得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0．③此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定， Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标， 此时直线与椭圆相交．当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0， 方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切． 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0， 方程③没有实数根，直线与椭圆相离． [母题探究]1．[解] (1)由e ＝233可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b2＝1，将点P (6，1)代入双曲线C 的方程，可解得b 2＝1． 所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1．(2)联立直线与双曲线方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0⇒(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－4(1－3k 2)×(－9)＞0，1－3k 2≠0.解得－1＜k ＜1且k ≠±33． 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫－33，33∪⎝⎛⎭⎫33，1．2．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x .消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 记Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2)， (1)若直线与抛物线有两个交点，则k 2≠0且Δ＞0，即k 2≠0，且16(1－k 2)＞0， 解得k ∈(－1,0)∪(0,1)．所以当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l 和抛物线C 有两个交点． (2)若直线与抛物线有一个交点，则k 2＝0或k 2≠0时，Δ＝0．解得k ＝0或k ＝±1． 所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点． (3)若直线与抛物线无交点，则k 2≠0且Δ＜0．解得k ＞1或k ＜－1．所以当k ＞1或k ＜－1时，直线l 和抛物线C 无交点．【例2】[解] 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0． 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a ．∵|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，即(x 2－x 1)2＝4，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 又∵(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 2－x 1)2＝4，∴⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4．将b ＝2a 代入，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1．法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b ． ∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b＝1．① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b． ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22， 代入①，解得a ＝13，b ＝23， ∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1． [跟进训练]1．[解] 法一：设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2．两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22，∴|P 1P 2|＝1＋19·22－4×(－22)＝22303． 法二：由题意设所求方程为y －1＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，得ky 2－6y －24k ＋6＝0． 设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24k k， ∵P 1P 2的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k ＝3， ∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)．由y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22，得|P 1P 2|【例3】[解] (1)由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为32，得c ＝322， ∴a 2＋b 2＝92． ①由题意知b a ＝22， ② 由①②解得a 2＝3，b 2＝32， ∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2＝1． (2)由(1)知P (－3，0)．设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →， 得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．即⎩⎨⎧ x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－33，y 0＝0，∴G ⎝⎛⎭⎫－33，0． 设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋332＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 1－332＋y 21 ＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113． 又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0,3]，∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎡⎦⎤113，203．[跟进训练]2．[解] (1)由e ＝c a ＝12，设a ＝2t ，c ＝t ，t ＞0， 可得b ＝3t ，椭圆方程为x 24t 2＋y 23t2＝1， 代入M ，可得14t 2＋34t2＝1，可得t ＝1， 则a ＝2，b ＝3，c ＝1， 可得椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由O ，R 分别为F 1F 2，PF 2的中点，可得△RF 1F 2的面积为△PF 1F 2的面积的一半，即为△PF 1O 的面积，△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和设为S ，则S ＝S △PQO ，当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为x ＝－1，此时S △PQO ＝12×1×⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫－32＝32， 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：y ＝k (x ＋1)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，显然直线PQ 不与x 轴重合，即k ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)3x 2＋4y 2＝12， 消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144(k 2＋1)＞0，故x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， 故|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(1＋k 2)3＋4k 2， 点O 到直线PQ 的距离d ＝|k |1＋k 2， S ＝12|PQ |d ＝6k 2(k 2＋1)(3＋4k 2)2，令u ＝3＋4k 2∈(3，＋∞)， 故S ＝6u －34·u ＋14u 2＝32－3u 2－2u ＋1＝32－3⎝⎛⎭⎫1u ＋132＋43∈⎝⎛⎭⎫0，32， 故S 的最大值为32． 【学以致用】1．B [∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12．]2．C [设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2．∵A 、B 在抛物线上，∴y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－4， ∴直线AB 方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0．]3．B [因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．]4．(4,2) [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y 2＝4x . 整理得x 2－8x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，所以中点坐标为(4,2)．]5．[解] 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0． 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， ∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得：k 4＋k 2－2＝0，∴k 2＝1，∴k ＝±1．∴所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1．。
直线与圆锥曲线的位置关系(1)(教学设计)——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
一、教材内容及其解析1.内容类比直线与圆的关系，探究直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的弦长问题，与双曲线有关的中点弦问题，与抛物线有关的最值问题.2.内容解析直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线知识应用的重点内容，本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系，圆锥曲线的方程和简单的几何性质的基础上，进一步研究直线与圆锥曲线的位置关系，让学生感悟数形结合及方程思想的运用.学生可以类比直线与圆的三种位置关系的探究过程，学习从代数的角度归纳直线与圆锥曲线位置关系.弦长公式的推导使用了两点间距离公式，从公式本身可以发现弦长与交点的确定坐标无关，因此可以大大简化计算.中点弦问题考查的内容较为综合，点差法是学生需重点掌握的方法.与弦长有关的问题，从不同的角度体现了根的判别式、根与系数关系、点差法等知识在判断位置关系中的作用.坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁，集中地体现了数形结合的数学思想，这种思想贯穿了整个“圆锥曲线的方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法.通过本节的学习，学生可以巩固前面所学的圆锥曲线的性质以及直线的基本知识，从而培养逻辑思维能力、运算能力、分析和解决问题的能力等.知识的上下位关系：双曲线和抛物线由于图形不是封闭的，学生容易完全借鉴直线与圆的位置关系，认为有一个交点就是相切.直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系对交点个数的影响，学生容易讨论不完全或斜率范围取错.中点弦问题中，学生在已知信息中只能发现中点坐标与斜率的一部分关系，难以建立它们之间的联系.3.问题解决策略通过改变直线斜率，直观感受它对直线与双曲线位置关系的影响；中点弦的问题中，设置层层递进的问题串，带领学生挖掘题目中的隐含信息，发现交点、中点、斜率彼此之间的关系. 4.教学难点点差法求中点弦问题，体会直线斜率和中点坐标的内在联系. 四、教学支持条件分析使用GGB 软件作图，展示直线斜率对交点个数的影响 五、课堂活动设计 【本课时教学流程图】【一】复习回顾【引言】前面我们学习了直线的方程、圆的方程，并且探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，那么判断直线与圆的位置关系的方法有什么？ 【教师引导，学生回忆】生：几何法，利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系.生：代数法，将直线方程与圆方程联立，通过判别式化为方程组的解的问题. 生：利用几何性质，当直线过定点，定点在圆的内部，此时直线与圆一定相交. 请你回忆并补充下表： 位置关系公共点个数图形判断方法（几何）判断方法（代数）相交 2d r < 0∆>类比直线与圆的位置关系从数和形的角度探究直线与双曲线的位置关系 探究求弦长的两种方法探究中点弦问题，体会“点差法”探究抛物线的最值问题相切1d r =0∆=相离d r >0∆<师：在初中，我们判断直线与圆的位置关系是看公共点的个数，这种判定是直观地定性描述，当直线与圆无限接近时，从图形上我们无法判断，因此我们无法做到严格地定量刻画.现在我们应用了方程思想和数形结合的思想通过判别式的情况来判断直线与圆的位置关系，它们是否可以推广应用到直线与圆锥曲线的位置关系中，我们继续来研究下面的例题.直线与圆锥曲线也有相应的位置关系，是不是一样可以从数和形的角度来判断呢？来看下面的例题.【二】例题导学任务一：探究直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 判断双曲线22136x y -=与过其右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线的位置关系.问题1：如何判断二者的位置关系，说说你的想法. 师：如果此时直线的斜率是2，你有什么发现？ 生：直线与双曲线只有一个交点.师：前面我们知道了，与双曲线渐近线平行的直线和双曲线只交与一点.若此时直线的倾斜角变为30︒，斜率为33，你能从图形上说说这一变化吗？ 生：直线倾斜角变小，又经过右焦点，所以与双曲线左右两支各交于1点.追问1：当直线仍过右焦点，请你结合图像，讨论直线斜率与交点个数的关系？（GGB 演示） ① 2个交点：当b b k k aa<->或时，与右支双曲线有2交点；当b b k aa -<<时，与两支各有1交点；设计意图：复习判断直线与圆的位置关系的方法，再一次明确位置关系可以从几何和代数两个角度判断，提出直线与圆锥曲线位置关系的判定问题.当二次项系数为0时，此时bk a=±.追问2：这时直线的斜率会对位置关系产生什么影响？生：直线斜率与双曲线渐近线的斜率相等，因此直线与双曲线只有一个公共点.师：需要注意，直线与圆，直线与椭圆只有一个公共点时是相切的位置关系.当直线与双曲线渐近线平行时，有一个公共点，此时我们叫做直线与双曲线相交.追问3：你能说说判断直线与圆锥曲线的位置关系一般方法吗？需要特别注意什么？师生共同总结：判断位置关系，既可以从代数角度：联立方程组→判断Δ与0的关系→公共点的个数→直线与圆锥曲线的位置关系.特别需要注意，当二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.还可以数形结合，当直线过定点时，根据定点位置和直线斜率和双曲线渐近线斜率的大小关系确定其位置关系.课下思考题：探究直线y kx m =+与抛物线22y px =的位置关系. 当直线和圆锥曲线相交于两点时，就有了弦，那么如何来求弦长呢？ 任务二：探究弦长公式, 体会“设而不求”【例2】 如图，过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线,A B 两点，求AB .问题3：当直线与双曲线相交时，如何求两点间的弦长？ 【教师引导学生思考、交流，学生动手实践】生：直接求出交点坐标，利用两点间距离公式进行求解.方法一：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -， 因为直线AB 的倾斜角是30︒，且直线经过右焦点2F ，所以直线AB 的方程为3(3)3y x =- 由223(3)3136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ，得256270x x +-=. 解方程，得1293,,5x x =-=将12,x x 的值分别带入直线方程，得122323,,5y y =-=- 于是,A B 两点的坐标分别为923(3,23),(,),55---所以22222121923163||()()(3)(23).555AB x x y y =-+-=--+-+=(3,1)A-当3k=-4故所求直线方程为师：（若学生没想到，教师适当引导）③弦解法二（点差法）：设1122(,),(,)M x y N x y ，,M N 均在双曲线上，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减，得2222212121212121,44()x x y y x x y y x x y y --+=-∴=-+， A MN 点平分，12123=6,4x x y y k ∴++∴=-，=-2， 31(3),3450.4y x x y +=--+-=即经验证，该直线MN 存在.故所求直线方程为31(3),3450.4y x x y +=--+-=即师：我们又一次发现，虽然设了交点坐标，但并没有解出它们，而是在它们与我们需要的直线斜率之间搭了一个桥梁，“设而不求”解决中点弦问题.像这样设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点带入圆锥曲线方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”.存在中点弦的区域：事实上，如图，双曲线和渐近线将平面直角坐标系分成如下3个区域，若点M 在区域①内，不存在以该点为中点的弦；若点M 在区域②或③，存在以该点为中点的弦.因此对本题而言，如图，当3x =时，渐近线上32y =-，双曲线上52y =-，因此点(3,1)M -在双曲线右设计意图：本题主要考查了直线与双曲线的综合问题，解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.，在学生相互交流讨论，师生的互动交流中，感受点差法“设而不求”的巧妙，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来相互转化，体会数学的严谨性，使学生综合问题的解决能力得到训练.支内部，存在以M 为中点的弦.思考题.已知双曲线2212yx -=过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点， P 能否是线段AB 的中点？为什么？解: 假设存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点. 设过(1,1)P 的直线方程为1(1)y k x -=-，A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，①，② ①-②得12121212()()()()02y y y y x x x x +-+--=.由P 为AB 的中点，则12122,()2,x x y y +=+=则12122y y x x -=-， 即直线AB 的方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，代入双曲线2212y x -=，可得22430,x x -+=检验判别式16240∆=-<，方程无解.故不存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.拓展：（1）证明在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =-≠,22OP b k k a⨯=-（P 不是坐标原点）.（2）证明在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =≠.设计意图：点差法来解决中点弦问题时计算量较少，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，因此需要用判别式加以检验.⊥是否成立，并说明理由OA OB已知抛物线22=y x6。
人教版高中数学选修2-1第二章直线和圆锥曲线位置关系导学案
直线和圆锥曲线的地点关系【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解观点，达成导学纲要；2．小组合作，着手实践。
【学习目标】1．理解直线与圆锥曲线的地点关系；2．掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和办理方法；【要点】直线与圆锥曲线的地点关系【难点】掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和办理方法一、知识梳理1．直线与三种圆锥曲线的地点关系状况：2．解答直线与圆锥曲线订交问题的一般步骤：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。
第一步：议论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a ）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y1)B(x 2,y2);第三步：联立方程组yf (x kx,y) b，消去y 得对于x 的一元二次方程；第四步：由鉴别式和韦达定理列出直线与曲线订交知足的条件二次系数不为零0 ，x1x1xx22第五步：把所要解决的问题转变为x1+x2 、x1x2 ，而后辈入、化简。
3．弦中点问题的特别解法----- 点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o,y o)，先设两个交点为A(x 1,y1)，B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得 f (x ,y ) 0,f (x ,y) 01 ，两式相减、分解因式，1 2 2再将x1 x 2 2x o ,y1 y2 2y o 代入此中，即可求出直线的斜率。
2 2 24.弦长公式: |AB | 1 k | x x | (1 k )[( x x ) 4x1x2 ]1 2 1 2( k 为弦AB 所在直线的斜率)5．向量知识在解决圆锥曲线问题中应用二、典型例题1．教材80 页5 题变式：（1）如有两个公共点呢？（2）若直线与双曲线的左支有两个公共点呢？（3）如有一个公共点呢？2．教材80 页8 题3.教材80 页9 题三、拓展研究2 2x y1.已知双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的离心率为，右准线方程32 2a b为 3 。
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§2.5 直线与圆锥曲线（一） 【学习目标】
1.理解直线和圆锥曲线的位置关系的判断，会计算直线与圆锥曲线相交时的弦长，弦的中点及与之有关的问题。
2.培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法---坐标法。
3.渗透数形结合的思想，使学生体会运动变化、对立统一的思想。
【学习重、难点】
重点：利用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题 难点：几何图形和代数方法的相互转化。
【问题探究】
1、直线与圆的位置关系及判断方法 ， 。
2、直线与圆相交于A 、B 两点，AB 如何求得？
【自主学习】
．直线和圆锥曲线的位置关系： (1) 从几何的角度看，可分为三类： ， ， 。
(2) 从代数的角度看，可以联立直线与圆锥曲线的方程消元后得到方程：02
=++c bx ax ①当0=a 时：
当圆锥曲线是双曲线时，直线与双曲线 ；
当圆锥曲线是抛物线时，直线与抛物线 ；
②当0≠a ，ac b 42-=∆时： 当∆ 0时，直线与圆锥曲线相交于不同的两点；
当∆ 0时，直线与圆锥曲线相切于一点；
当∆ 0时，直线与圆锥曲线没有公共点
2.线与圆锥曲线相交时的弦长问题：
(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点()2211,),,(y x B y x A ，则所得的弦长为
AB = ； (2)当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算。
【领会新知】
例1已知直线l ：y=2x+m ，椭圆C ：12
42
2=+y x 。
试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点？
变式训练：已知直线l ：y= m x+1（m 存在）双曲线C ：12
42
2=-y x 。
试问当m 取何值时，直线l 与双曲线C ：（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点？
例2、已知点A （0,2）与抛物线x y 62=，求过点A 且与抛物线C 只有一个公共点的直线方程。
例3、已知斜率为2的直线经过椭圆14
52
2=+y x 的右焦点2F ，与椭圆相交于A,B 两点，求弦AB 的长。
【跟踪训练】
1.直线l ：y=kx+2，椭圆C ：12
32
2=+y x 。
试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点？
2.已知直线l ：y=kx+2与椭圆C ：2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围？
3.直线l 过点P （2,4）且与抛物线x y 82=只有一个公共点，求直线l 的方程。
4. 已知斜率为2的直线l 与抛物线x y 42=相交于A,B 两点如果线段AB 的长度等于5，求直线l 的方程。
5.已知双曲线2222=-y x ，它的弦PQ 的长是实轴长的2倍，如果弦PQ 所在的直线l 过点P （3,0），求直线l 的方程。
【学习感悟】你学到了什么？
有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．。