2003年高考第一轮复习第三讲整式、分式不等式与一元二次不等式的解法
2025届高中数学一轮复习课件《一元二次不等式的解法》ppt
高考一轮总复习•数学
第27页
对点练 3 解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4.
①当 a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a22－4，∴
原不等式的解集为x a－
2a2－4≤x≤a＋
a2－4 2
.
②若 Δ＝a2－4＝0，则 a＝±2.
高考一轮总复习•数学
第16页
解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04， ⇔xx22－－xx－－26＞≤00， ⇔xx－－23xx＋＋12＞≤00， ⇔
逆向思维，－1,2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
b(x－1)＋c＞2ax 的解集是( )
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|x＜0 或 x＞3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
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第30页
解析：由 a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得 ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0. ①
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第1页
第二章 不等式
第3讲 二次函数与一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的解法
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．
高考一轮总复习•数学
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
一元二次不等式的解法课件
栏目 导引
方法感悟
第三章 不等式
1．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2) 确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式 对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；(4) 联系二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二 次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不 等式的解集(在两根之内或两根之外)．
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第三章 不等式
跟踪训练 3．(1)关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|x<2或x>3}，则 b＝________，c＝________； (2)若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a ＝________，m＝________.
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第三章 不等式
栏目 导引
第三章 不等式
(4)法一：方程－2x2＋x＋1＝0 的解为 x1＝－12，x2＝1，函数 y＝－2x2＋x＋1 的图象是开口向下的抛物线，与 x 轴的交点
为－12，0和(1,0)，如图 1，观察图象知不等式的解集为：
{x|x<－12或 x>1}．
图1
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第三章 不等式
法二：在不等式两边同乘－1，可得 2x2－x－1>0， 方程 2x2－x－1＝0 的解为 x1＝－12，x2＝1； 画出函数 y＝2x2－x－1 的图象简图如图 2. 观察图象，可得原不等式的解集为 {x|x<－12或 x>1}．
x 轴交于(－2,0)和(1,0)两点，而且－2 和 1 是一元二次方程 ax2＋bx＋1＝0 的两根，由根与系数的关系，得
－2＋1＝－ab， －2×1＝1a，
(完整版)高中数学一元二次不等式及其解法-知识点剖析
一元二次不等式及其解法-知识点剖析一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集1．一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： （1）ax 2+bx+c>0（a>0）； （2）ax 2+bx+c<0（a>0）.上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax 2+bx+c=0的根确定.设Δ=b 2-4ac ，则： ①Δ>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的解x 1、x 2，则不等式（1）的解集为{x|x>x 2或x<x 1}，不等式（2）的解集为{x|x 1<x<x 2}；②Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的解，即x 1=x 2，则不等式（1）的解集为{x|x≠x 1}，不等式（2）的解集为；③Δ<0时，方程ax 2+bx+c=0无实数解，则不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解集为. 2．解一元二次不等式的一般步骤：当a>0时，解形如ax 2+bx+c>0（≥0）或ax 2+bx+c<0（≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步： （1）确定对应方程ax 2+bx+c=0的解； （2）画出对应函数图象的简图； （3）由图象得出不等式的解集.二、一元二次函数图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系 由下表可以看出ax 2+bx+c>0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨⎧<∆>，，00a ax 2+bx+c<0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨⎧<∆<.00a ，判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c （a>0）的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0（a>0）的根 有两相异实根x 1，2=aacb b 242-±-有两相等实根x 1=x 2=-a b 2 没有实根一元二次不等式的解集 ax 2+bx+c >0（a>0） {x|x>x 2或x<x 1}{x ∈R |x≠-ab2} Rax 2+bx+c <0（a>0）{x|x 1<x<x 2}φφ三、简单的分式不等式的解法 分式不等式同解不等式四、简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f （x ）>0用穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是： （1）将f （x ）最高次项的系数化为正数；（2）将f （x ）分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）；（4）根据曲线显现出的f （x ）值的符号变化规律，写出不等式的解集. 例：解不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）≤0.解：原不等式变为（x+2）（x-1）（x-2）≤0或x=-1，各因式的根为-2，1，2，利用穿根法，原不等式的解集为{x|x≤-2或1≤x≤2或x=-1}. 知识探究问题1：解一元二次不等式应该注意哪些问题?探究：①要将二次项系数化为正，例如：解不等式-x 2-2x-1<0，需首先转化为x 2+2x+1>0求解. ②若一元二次不等式中二次项系数含字母，一般需要对二次项系数进行讨论，当两根的大小不确定时，还应对两根的大小进行讨论.例如：解关于x 的不等式ax 2-（a+1）x+1<0.首先对a 进行讨论，若a=0，原不等式⇔-x+1⇔{x|x>1}；若a<0，原不等式⇔（x-a 1）（x-1）>0⇔{x|x<a 1或x>1}； 若a>0，原不等式⇔（x-a1）（x-1）<0.①其解的情况应由a1与1的大小关系进行确定，故当a=1时，式①⇔{x|x ∈}；当a>1时，式①⇔{x|a1<x<1}；当0<a<1时，式①⇔{x|1<x<a1}.注：对上述类型的二次不等式要搞清楚讨论的依据. 问题2：解简单的分式不等式应该注意哪些问题？探究：对于简单的分式不等式不能直接去分母，要把不等号的一边化为0，然后用商的符号法则化为不等式（组）求解.例如：解不等式1x 15x ++<3，应先将不等式转化为1x 15x ++-3<0，即1x 1)2(x +-<0，可化为⎩⎨⎧>+<-0101x ，x 或⎩⎨⎧<+>-0101x ，x ，（即化为不等式①），也可直接等价于2（x-1）（x+1）<0（转化为不等式）来求.还应注意对含等号的分式不等式，首先保证分母不为0. 例如：解不等式1x 15x ++≤1⇔1x 1)2(x +-≤0⇔⎩⎨⎧>+≤-0101x ，x 或⎩⎨⎧<+≥-0101x ，x 或直接等价于()()⎩⎨⎧≠+≤+-.010112x ，x x 练习请你和你的同学根据下面所给的材料，探究、讨论窗户应设计成怎样的尺寸.要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图3-2-4所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?图3-2-4。
高考数学一轮复习 一元二次不等式及其解法课件
解：(1)法一：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0， 方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝ ，x2＝6. 函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点 ( ，0)和(6,0). 所以原不等式的解集为{x| ≤x≤6}.
法二：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0 ⇒(3x－1)(x－6)≤0⇒(x－ )(x－6)≤0. ∴原不等式的解集为{x| ≤x≤6}. (2)原不等式等价于
(3)由12x2－ax－a2＞0⇔(4x＋a)(3x－a)＞0 (xa)(xa)0,
43 ①a>0时， 解集为{x|x＜ 或x＞－ }. ②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}； ③a＜0时，
解集为{x|x＜ 或x＞－ }.
1.解下列关于x的不等式 (1)19x－3x2≥6， (2)0＜x2－x－2≤4， (3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0).
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的 关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本 增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000 (1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 有
2.对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是： (1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次 不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0； (3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决 定所求不等式的不等号的方向； (4)判断二次不等式两根的大小.
解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3＞0； (2)－3x2－2x＋8≥0； (3)12x2－ax＞a2(a∈R).
一元二次方程、不等式：高考数学一轮复习
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典例精研
核心考点
课时分层作业
名师点评 解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，
不等式的解集为R或∅)．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根(解集的端点对应方程的根)．
一元二次方程、不等式
能从实际情景
结合二次函数图象，
中抽象出一元
会判断一元二次方程
二次不等式.
的根的个数，以及解
一元二次不等式.
考试
要求
了解简单的分式、绝对值不等式
的解法．
第5课时
一元二次方程、不等式
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二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式
Δ＝b2－4ac
二 次 函 数 y ＝ ax2
＝0的两个根是x1和x2．
( √ )
−
(3)
≥0等价于(x－a)(x－b)≥0．
−
( × )
(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0．
( × )
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二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为(
1
，
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第5课时
一元二次方程、不等式
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名师点评 解含参数的一元二次不等式的步骤
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第5课时
第一轮一元二次不等式及其解法详细过程
第一节一元二次不等式及其解法(见学生用书第1页)3．简单的分式不等式(1)f （x ）g （x ）＞0⇔f (x )·g (x )＞0； (2)f （x ）g （x ）≤0⇔f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的条件是什么？ 【提示】 a >0且b 2－4ac <0.1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．【答案】 D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12}【解析】 原不等式等价于 (x －1)(2x ＋1)＜0或x －1＝0.∴原不等式的解集为(－12，1]．【答案】 A 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8. 【答案】 (0，8)4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.【答案】 －14错误!(见学生用书第2页)(1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2＋3＞2x ；(3)2x x －1≤1. 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．【尝试解答】 (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式化为x 2－2x ＋3＞0，∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数， ∴不等式x 2＋3＞2x 的解集为R .(3)∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0⇔x ＋1x －1≤0⇔(x －1)(x ＋1)≤0且x ≠1.∴原不等式的解集为[－1，1)．,1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解．2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．解下列不等式：(1)－2x 2－5x ＋3＞0； (2)－1≤x 2＋2x －1≤2；【解】 (1)∵－2x 2－5x ＋3＞0，∴2x 2＋5x －3＜0， ∴(2x －1)(x ＋3)＜0，∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1.【思路点拨】 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 【尝试解答】 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－a 4}．,解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0.【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0. 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，1)．ax 2＋x ＋b ＜0的解集．【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．【尝试解答】 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0 ∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根． (2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．若关于x 的不等式axx －1＜1的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，求实数a 的取值范围．【解】 axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x＜1或x ＞2}，知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}．【思路点拨】 分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解． 【尝试解答】 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0， 故实数m 的取值范围是(－4，0]．,1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．【解析】 设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0， 化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0.解之，得x ＜1或x ＞3. 【答案】 x ＜1或x ＞3一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax ＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．(见学生用书第3页)从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点．常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想．思想方法之一 巧用一元二次不等式求代数式的最值(2011·浙江高考)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 【解析】 法一 设2x ＋y ＝t ，∴y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，整理得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0.关于x 的方程有实根，因此Δ＝(－3t )2－4×6×(t 2－1)≥0，解得－2105≤t ≤2105.则2x ＋y 的最大值是2105.法二 ∵1＝4x 2＋y 2＋xy ＝(2x ＋y )2－3xy＝(2x ＋y )2－32(2x )·y≥(2x ＋y )2－32·(2x ＋y 2)2＝58(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴－85≤2x ＋y ≤ 85，即－2105≤2x ＋y ≤2105.【答案】 2105易错提示：(1)换元后，不会从关于x 的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思维受阻．(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答．防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之间的关系，关于x 的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负．(2)遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知．1．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12.则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件．【答案】 A 2．(2013·清远模拟)不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2. 【答案】 (2，＋∞)。
高中数学一轮复习 一元二次不等式及其解法
(Ⅱ)若 ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围．
Байду номын сангаас解：(Ⅰ)依题意知，－3，2 是方程 ax2＋(b－8)x－a－ab＝0 的两
－3＋2＝－b－a 8，
根，且 a<0，则
所以 －3×2＝－aa－ab，
a＝－3，b＝5，则
f(x)＝－
1－ k1－k2}；
当 k＝－1 时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当 k＜－1 时，不等式的解集为 R．
点 拨： 解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化 为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据 一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写
出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数
－2152，所以实数 c 的取值范围为－∞，－2152．
点 拨： 三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，至
少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以 间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居 核心地位．
(1) 已 知 不 等 式 ax2 － 3x ＋ 6>4 的 解 集 为
＋2＞0 的解集为 R．
(2)若关于 x 的不等式 ax2－x＋2a<0 的解集为∅，则
实数 a 的取值范围是________．
解：依题意知，问题等价于 ax2－x＋2a≥0 恒成立， 当 a＝0 时，－x≥0 不恒成立； 当 a≠0 时，要使 ax2－x＋2a≥0 恒成立，
需aΔ>≤0，0，即1a－>08，a2≤0，解得 a≥ 42，即 a 的取值
{x|x1＜x＜x2}
有两相等实根 x1＝x2＝ －2ba
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式1-4一元二次不等式与几类重要不等式的解法课件
() ()
解：(1)×； (2)√； (3)×； (4)×； (5)×.
不等式 2x2－x－3>0 的解集为
()
A. x|－1＜x＜32 C. x|x＜－1或x＞32
B. {x|x＜－3 或 x＞1} D. {x|x＜－1 或 x＞1}
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1)－x2＋x>0 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
()
(2)若二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(x1，x2)，则必有 a<0. (3)不等式 ax2＋bx＋c>0 恒成立，则 a>0 且 Δ<0.
() ()
(4)ax<b 的解集是ab，＋∞.
(2020 年江苏淮阴中学高二期末)不等式
x2－x－4 x－1 >1
的解集为
()
A. {x|x<－1 或 x>3}
B. {x|x<－1 或 1<x<3}
C. {x|－1<x<1 或 x>3}
D. {x|－1<x<1 或 1<x<3}
解：原不等式可化为x2－x－x－1 4－1>0，即x2－x－2x1－3>0，等价于(x＋1)(x－1)(x－3)>0.
(3)解关于 x 的不等式 ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解：原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0(a∈R)， 即(ax－2)(x＋1)≥0(a∈R). 当 a＝0 时，原不等式可化简为 x＋1≤0， 原不等式的解集为{x|x≤－1}； 当 a≠0 时，原不等式的解集由2a和－1 的大小决定，当 a>0 时，2a>－1；当－2<a<0 时， 2a<－1；当 a=－2 时，2a=－1；当 a<－2 时，2a>－1.
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第三讲 整式、分式不等式与一元二次不等式的解法
☆知识要点:
1、不等式的性质是证、解不等式的基础，特别是在不等式两边同乘以一个数或式时，要考虑它的正负.
2、一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的基础.
3、带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0二次函数c bx ax y ++=2的值恒大于0的条件是0>a 且0<∆；若恒大于或等于0，则0>a 且0≤∆.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形
4、一元二次方程根的分布情况。
5、含参数不等式的解法。
☆典型例题：
例1、己知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为)3
1,(--∞，求关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集。
例2、解不等式：（1）;23
25
32≤-+-x x x （2）04)2)(1()1(2<+-+-x x x x
2003年高考第一轮复习专题讲练 - 9 -
☆小结：
整式不等式和分式不等式的解法：数轴标根法。
解不等式f(x)>(<)0.
1、将多项式分解成最简形式；
2、变形去掉二次以上的项，各一次项系数为正；
3、在最右端的区间，f(x)>0;
4、在相邻区间，f(x)符号相反。
例3、己知不等式02>++c bx ax 的解集为}|{βα<<x x ，其中0>>αβ，求不等式02<++a bx cx 的解集。
例4、（1）若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
（2）若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。
（3）若一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根，求k 的取值范围。
（4）若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为0，求另一根是正根还是负根。
例5、（1）已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。
（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。
（3）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。
例6、（1）已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。
（2）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求m 的取值范围。
（3）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 的较小实根在0和1之间，求实数m 的取值范围。
2003年高考第一轮复习专题讲练 - 11 -
（4）若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围。
（5）若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。
（6）已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的取值范围。
例7、解关于x 的不等式
)10(12
)1(≠>>--a a x a a ，且。
例8、设关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为{}2-,求实数a 的取
值范围。