少课时D1_4无穷小无穷大
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1-4 无穷小与无穷大
f ( x) A
x x0
lim 0
对自变量的其他变化过程类似可证 .
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
定义1 如果函数f(x)在某过程中绝对值无限增大， 则称函数f(x)为该过程中的无穷大. 定义2 函数f(x)为某过程中的无穷大是指：
M 0 , 存在“一个时刻”， 使得在该“时刻以后”
恒有： f ( x ) M 记作：lim f ( x ) 注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值）无限变大
定义３ 把定义２中的 f ( x ) M 换成 f ( x ) M ( f ( x ) M ) 就可得到函数f(x)为某过程中的正无穷大
o
x
0
x 0
lim
注意:
函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
P38：6
例如, 函数 但 不是无穷大 !
例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
1 只要取 , 则对满足 M
所以 说明: 若 为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 铅直渐近线
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系
定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 设 lim f ( x ) .
1 ε 0, 对M , δ 0, 使得当0 x x0 δ时 ε 1 即 1 . 恒有 f ( x ) , f ( x) ε 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
1-4无穷小与无穷大-15页PPT精品文档
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13
四、小结与判断题
注意：无穷小与无穷大是相对于过程而言的。 内容: 无穷小量和无穷大量及其倒数关系。 判断题： （1） 无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数； （2） 无界变量是无穷大. 作业：P41 2（2）、4（1）
17.09.2019
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14
谢谢你的阅读
知识就是财富 丰富你的人生
x2
M
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8
取 m i,n }{ 因 , ,当 此 x 时 , M
2 M x2
所以，
2x lim
x2 x 2
注5：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是 无穷大量。
例３：证明函数 yxsinx在 (0,)是无界的，但 x 时，不是无穷大量。
第一章
一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量与无穷大量的关系 四、小结与思考判断题
17.09.2019
蚌埠学院 高等数学
1
一、无穷小量
1、定义：如果函数 f (x) 当 x→x0 (或x→∞) 时 的极限为零，那么，称函数 f (x) 为 x→x0 (或x→∞) 时的无穷小。
注1：不要认为无穷小量是一个很小很小的数；
比如 lim , lim
x x
x x
例2 证明
2x
lim
x2 x 2
证： x 2 ,取 1 ,x ( 3 , 1 ) 即 , x 2 1
M0, 2x 2 x 2 x2 x2 x2
要使
2x M x2
只须
2 M,也就 ,x是 22
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
1-4无穷小与无穷大精品PPT课件
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
1_4无穷小无穷大 极限运算法则
定理 4 . 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有
lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] = C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n = [ lim f ( x) ] n ( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
x → x0
lim Pn ( x) = Pn ( x0 ).
x → x0
例2. 设 n 次多项式 Pn ( x) = a0 + a1 x + + an x n , 试证
n a lim a x 证: lim Pn ( x) = 0 + a1 lim x + + n
= Pn ( x0 )
x → x0
x →1
1 1 lim = 0 , 函数 当 x → ∞ 时为无穷小; x→ ∞ x x 1 1 lim = 0 , 函数 当 x → −∞ 时为无穷小. x→ − ∞ 1 − x 1− x
定义1. 若 x → x0 (或 x → ∞ ) 时 , 函数 f ( x) → 0 , 则 则称函数 f ( x ) 为 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 . 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为
1 1 1 lim + + + = 1 n →∞ n n n
n
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 ∀ x ∈ ( x0 , δ 1 ) , u ( x ) ≤ M
D1-4=1=无穷大与无穷小 极限运算法则
无穷小因子析出法
解 x 时, 分子,分母的极限均为无穷大.
3 x 方 法 先用 去除分子分母, 分出无穷小,
无穷小分出法 求有理函数当 x 的极限时, 先将分子、分母同除以x 的最高次幂, 以分出 无穷小, 再求极限.
3 2 1 2 3 3x 2x 1 0 x x x lim 3 lim 0. x x 3 x 5 x 3 5 1 1 2 3 x x
④ (2)有两个重要的推论
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则
lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
《高等数学教学课件汇编》d1-4无穷小无穷大
两个无穷小在一定条件下可以相互替换，它 们的比值为1或-1。
同阶无穷小
两个无穷小在同一自变量变化过程中，其比值是常 数。
高阶无穷小
一个无穷小是另一个无穷小的较高阶数。
无穷小的应用
无穷小在求极限中的应用
通过将非零的无穷小替换为零，简化计算过程。
无穷小在导数定义中的应用
导数定义为函数在某点的切线斜率，而无穷小 在导数定义中起到关键作用。
无穷小在积分中的应用
积分是无穷多个无穷小量相加的结果，利用无穷小的性质可以简化积分的计算。
02
无穷大的概念
定义与性质
定义
无穷大是数学中的一个概念，表示一 个数列、函数或实体的值随着某参数 的增大而无限增大。
性质
无穷大具有一些基本的性质，如两个 无穷大的和不一定是无穷大，但无穷 大与常数的和一定是无穷大。
如果函数f(x)在某点的极限为无穷 大，则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意大。
无穷大定理二
如果函数f(x)在某点的极限为无穷 小，则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意小。
无穷大定理三
如果函数f(x)在某点的极限不存在， 则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意变化。
无穷小与无穷大定理的应用
应用一
利用无穷小定理判断函数在某点的极限是否 存在。
应用二
利用无穷大定理判断函数在某点的极限是否 存在。
应用三
利用无穷小定理和无穷大定理研究函数的性 质和变化规律。
THANKS
感谢观看
《高等数学教学课件 汇编》d1-4无穷小
同阶无穷小
两个无穷小在同一自变量变化过程中，其比值是常 数。
高阶无穷小
一个无穷小是另一个无穷小的较高阶数。
无穷小的应用
无穷小在求极限中的应用
通过将非零的无穷小替换为零，简化计算过程。
无穷小在导数定义中的应用
导数定义为函数在某点的切线斜率，而无穷小 在导数定义中起到关键作用。
无穷小在积分中的应用
积分是无穷多个无穷小量相加的结果，利用无穷小的性质可以简化积分的计算。
02
无穷大的概念
定义与性质
定义
无穷大是数学中的一个概念，表示一 个数列、函数或实体的值随着某参数 的增大而无限增大。
性质
无穷大具有一些基本的性质，如两个 无穷大的和不一定是无穷大，但无穷 大与常数的和一定是无穷大。
如果函数f(x)在某点的极限为无穷 大，则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意大。
无穷大定理二
如果函数f(x)在某点的极限为无穷 小，则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意小。
无穷大定理三
如果函数f(x)在某点的极限不存在， 则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意变化。
无穷小与无穷大定理的应用
应用一
利用无穷小定理判断函数在某点的极限是否 存在。
应用二
利用无穷大定理判断函数在某点的极限是否 存在。
应用三
利用无穷小定理和无穷大定理研究函数的性 质和变化规律。
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《高等数学教学课件 汇编》d1-4无穷小
高等数学1-4-无穷小与无穷大
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量 定义1 . 若 则称函数 例如 : 函数 函数 为当 函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。） 为当 时为无穷小;
时为无穷小;
为当 时为无穷小.
定义1. 若 则称函数 为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。 推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0
1_4 无穷大与无穷小
若在定义中将 ①式改为
则记作
x x0 ( x )
( f ( x) M ) ,
( lim f ( x) )
Page 5
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时, 不是无穷大 !
Page 6
例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使 即
1 只要取 , 则对满足 M
的一切 x , 有
所以 说明: 若
为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若
若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
§1.4 无穷大与无穷小
一、 无穷小
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
二、 无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
4
1
2
1
一、 无穷小
定义1 . 若
为
(或x )
时 , 函数
则称函数
(或x )
例如 :
时的无穷小 .
函数 函数 当
当
时为无穷小; 时为无穷小;
函数
当
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
Page 8
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
Page 9
时为无穷小.
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思考与练习 P43 题1 , *3
P43 题*3 提示:
作业 P43 1; 2 ; 3; 4
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第四节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大
第一章
三 、 无穷小与无穷大的关系
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一、 无穷小
定义1 . 若 时, 函数 则称函数
(或x )
为
(或x )
时的无穷小 .
例如 :
函数 函数 当 时为无穷小;
当
函数
时为无穷小;
当 时为无穷小.
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定义1. 若
f ( x) A
f ( x) A , 其中 为 x x0
时的无穷小量 .
x x0
证: lim f ( x) A
0 , 0 , 当 0 x x0 时,有
f ( x) A
f ( x) A
x x0
lim 0
对自变量的其他变化过程类似可证 .
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无穷小的性质
定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
1 f ( x)
为无穷小 ;
1 f ( x)
为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则
为无穷大. (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
Th1 Th4
( x X ) 的 x , 总有
当
( x ) 时为无穷大, 记作
(lim f ( x ) ).
x
若在定义中将 ①式改为
则记作
( lim
x x0 ( x )
( f ( x) M ) ,
f ( x) )
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注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 但 不是无穷大 !
n
xn 0
,称数列 x n
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0 , 0 ( or X 0 ) , 当 0 x x 0 ( x X )
时 ,有 f ( x ) 则 lim f ( x ) 0
x x0 ( x )
解答见课件第二节 例5
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定理3 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设
x x0
u M
又设 lim 0 , 即 0 ,
时, 有 M
当
取 min 1 , 2 , 则当 x U ( x0 , ) 时 , 就有
u u M
4) 不能说函数 f ( x ) 是无穷小, 应该说在什么情况下的无穷 小. 即指出自变量的变化过程. 5) 同样有 x x 0 0 , x x 0 0 , x , x 时无穷小.
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim
M
故
即
是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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例1. 求
y sin x x
解:
lim 1 x 0
x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 .
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二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 ① 则称函数
(或 x ) 时, 函数
则
则称函数
为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 C 当
时, C
显然 C 只能是 0 !
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注
1) 无穷小量是一个变量, 而不是一个数.但0可 以作为无穷小的唯一一个常数.
2) 此概念对数列极限也适用. 若 lim 为 n 时的无穷小.
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，
1 1 1 lim n 1 2 2 2 n n π n 2π n nπ
( P57 题 4 (2) )
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例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
只要取
1 M
, 则对满足
所以 说明: 若 为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 铅直渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理4. 在自变量的同一变化过程中,
若
若
为无穷大, 则