1.1等腰三角形的性质和判定

第一章图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质和判定Ⅰ.核心知识点扫描1.等腰三角形和等边三角形的性质和判定性质判定等腰三角形⑴等腰三角形两个底角相等(简称“等边对等角”) .⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).⑴如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.⑵定义：如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.图示（1）在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C；（2）在△ABC中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD，那么AD⊥BC，BD=CD；若BD=CD，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC；若AD⊥BC，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD.在△ABC中，∵∠B=∠C ∴AB=AC.等边三角形⑴等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且，在每条边上都有“三线合一”；⑵等边三角形的每个内角都等于60°.⑴定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵有一个角是60°等腰三角形是等边三角形.⑶三个角都相等的三角形是等边三角形.图示∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°．(1)∵AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形；(2) ∵AB=BC，∠A=60°,∴△ABC是等边三角形；(3)∵∠A=∠B=∠C，∴∴△ABC是等边三角形．Ⅱ.知识点全面突破知识点1：等腰三角形性质（重点）⒈等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；可用符号语言表述如下:如图1-1-1，在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C.已知：如图1-1-1，在△ABC中， AB=AC.求证：∠B=∠C.图1-1-3定理的证明分析：利用分析法思考证明的过程：如下所示：作顶角的平分线AD.()AB AC B C ABD ACD SAS BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⇐≅⇐∠=⎨⎪=⎩，具体证明过程略.此外，我们还可以用AAS 、ASA 、SSS 证明这一性质.如取BC 的中点D ，连接AD,在△ABD 和△ACD中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）,∴B C ∠=∠.2.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).可用符号语言表述如下:如图1-1-2，在△ABC 中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD ，那么AD ⊥BC ，BD=CD ； 若BD=CD ，那么∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ；若AD ⊥BC ，那么∠BAD=∠CAD ，BD=CD.详解：①等腰三角形是特殊的三角形，它拥有一般三角形所具有的所有的性质．同时它还具有一般三角形所没有的特点和性质；②定理1常用来证明同一个三角形中的两个角相等；定理2实际上是等腰三角形中的两个结论，已知其中任意一个可以得到另两个结论，常用来证明角相等、线段相等或垂直；③将这两条性质用在特殊的等腰三角形即等边三角形中，可得等边三角的性质:等边三角形的各角都相等，并且都等于60°；等边三角形每一条边上的中线高都与所对的角平分线互相重合.例1.如图1-1-3，房屋的顶角∠BAC=100O ，过屋顶A 的立柱，屋椽AB=AC 求∠B ，∠C ，∠BAD ，∠CAD 的度数.解:在△ABC 中， AB=AC(已知).∴∠B=∠C(等边对等角) .∴∠B=∠C=21(180O -∠BAC) 图1-1-1图1-1-2=21(180O -100O )=40O (三角形内角和定理) .又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合)，∴∠BAD=∠CAD=50O .点拨:已知等腰三角形的顶角，根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B 与∠C 的度数，再根据等腰三角形的三线合一，可得AD 是顶角的平分线，则∠BAD 与∠CAD 的度数即可求.例2：（2010，山东济南）（一题多解）如图1-1-4，已知AB AC AD AE ==，．求证BD CE =．证明：方法1 如图1-1-5过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ∵AB=AC ，AD=AE ，AH ⊥BC ， ∴BH=CH ， DH=EH∴BH 一DH=CH 一EH 即BD=CE 方法2 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED∴180O-∠ADE=180O-∠AED 即∠ADB=∠AEC ∵AB=AC ，∠B=∠C ，∠ADB=∠AEC ∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE ．点拨：在等腰三角形中，虽然顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，但如何添加，要根据具体情况来定．本题中适合高AH AH ，利用等腰三角形的“三线合一”来解决这个问题。

因为△ABC 和△ADE 是有公共顶点，并且底边在同一直线上的等腰三角形，所以作△ABC （或△ADE ）的高AF ，可同时平分BC 、DE.如果作∠BAC 的角平分线或作中线AH ，还是要证明AH 是高，通过AH 是高再证明H 既是BC 的中点又是DE 中点，那就“走弯路”了．知识点2：等腰三角形的判定定理（重点）⒈等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”） .⒉用数学语言表示为：如图1-1-6在△ABC 中，∵∠B=∠C,∴AB=AC.3.定理的证明：如图1-1-6所示，作A D ⊥BC 于点D,则∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD 和△ACD 中，B CADB ADC AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△ABD ≌ACD(AAS)，所以AB=AC.4.判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等.例：如图1-1-7，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，BD=CE ， 且BD ⊥AC ，CE ⊥AB .求证：AB=AC.证明：方法1 ∵S △ABC =S △ABC , 且BD ⊥AC ，CE ⊥AB ∴BD AC CE AB ⨯=⨯2121 ∵BD=CE ， ∴AB=AC.方法2 ∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ， ∴∠CEB=∠BDC=90° 又∵BD=CE ，BC=CB ∴Rt △BCE ≌Rt △CBD ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC.点拨：涉及垂线段的问题可通过面积相等来建立它们之间的等量关系，我们称之为“等积法”. 此题方法1是用等腰三角形的定义来证明的，而方法2就是用了等腰三角形的判定定理 “等角对等边”来证明的.Ⅲ.提升点全面突破提升点1：巧解等腰三角形（重点）例1：（2010，广东广州改编）（方程思想）：如图1-1-8，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求△ABC 各内角的度数．图1-1-6 A图1-1-7CD BE解：∵AB=AC，BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角)， 设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=x 2． 从而∠ABC=∠C=∠BDC=x 2，于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x +x 2+x 2=180°， 解得x =36°．∴在△ABC 中，∠A=36°,∠ABC=∠C=72°．点拨：解答等腰三角形已知边求角的问题，单靠等边对等角和三角形的内角和定理时常不能解决，我们还需利用□C 三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和得各角之间的关系；再利用三角形内角和定理确定等量关系，□C 借助等式或方程求解． 例2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ） A ．60° B ．120° C ．60°或150° D ．60°或120°解：D ．点拨：本题应分以下两种情况求解： ①□C 当腰上的高在三角形内部时，如图1-1-9，由AB=AC ，BD⊥AC ，∠ABD=30°，从而∠A=60°；②□C 当腰上的高在三角形外部时，如图1-1-10，由AB=AC ，BD⊥AC，∠ABD=30°，从而可得∠BAD=60°．故∠BAC=120°．应选D ．变式题：已知△ABC 中，三个内角分别为： 20°、60°、100°.怎样把这个三角形分成两个等腰三角形：请画出图形．解：如图1-1-11，△ABC 是钝角三角形，但有一个角为60°，□C 若60°为顶角或底角的等腰三角形都是等边三角形，若将100°分成60°，40°，这样分只能组成一个等腰三角形，□C 故100°不变化，作为顶角，则底角为 ，从而可将60°分成40°与20°，可以分成两个等腰三角形；100°，40°，40°与140°，20°，20°．点拨：□C 在解决等腰三角形的问题中，通常用分类讨论的数学思想解决．等腰三角图1-1-8DCB A图1-1-9图1-1-10图1-1-11形是一种特殊的三角形，角有顶角与底角之分，边有腰与底边之分，其高也有腰上的高与底边上的高之分等；本题从“角”进行分类讨论，由三角形的内角和定理知，等腰三角形的底角只能是锐角，但顶角可以是锐角、直角、钝角，故在已知条件不明确的情况下，要分情况讨论解决问题.提升点2：网格中的等腰三角形例：（2010，湖南株洲）如图1-1-12正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形，则点C 的个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解：C ．点拨：本题属于实际动手操作题，主要考查对格点这一新概念的理解能力、容易错数和漏数．首先要理解格点的含义，要使ABC ∆为等腰三角形，可以有三种不同的方法：使AC=BC ，使AC=AB ，或是使BC=AB ．⑴当AC=BC 时，点C 在线段AB 的垂直平分线上，可以找到4个符合题意的点C ．⑵当AC=AB 时，□C 以点A 位圆心，AB 长为半径画圆，与网格有4个交点，除去与AB 共线的一个点以及和点B 重合一个点，剩余可以找到2个符合题意的点C ．⑶当AB=BC 时，以点B 位圆心，AB 长为半径画圆，与网格有4个交点，除去与AB 共线的一个点以及和点A 重合一个点剩余，可以找到2个符合题意的点C ．故点C 的个数共有8个．提升点3：综合法与分析法（难点）例： 如图1-1-13，已知△ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，求证AB+BD=AC. 证明：方法1如图1-1-13，在AC 上取一点E ，使得AE=AB ，连接DE. ∵AB=AE, AD 是∠BAC 的平分线 ∴△ABD ≌△AED(SAS) ∴∠B=∠AED ，DB=DE ∵∠B=2∠C ∴∠AED=2∠C ∴∠C=∠EDC ∴CE=DE ∴CE=BD∴AB+BD=AE+CE=AC.方法2 如图1-1-14，延长AB 到E ，使得BE=DB ，连接DE.则∠E=∠BDE ∴∠ABD=2∠E ∴∠ABD=2∠C ∴∠E=∠C∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴△ADE ≌△ADC(AAS) ∴AE=AC ∴AB+BD=AC.点拨与分析：⑴综合法与分析法是几何学中常用的方法，综合法是从已知条件出发，根据所学的定义、定理、公理，进行推理，直到推导出所要证得结论为止，前面我们基本上都是采用的综合法；分析法是从所要证明的结论出发，寻找能使结论成立的条件A ，再考虑使结论A 成立的条件B ，…，直到所需条件为已知条件、定理、公理或与事实相符的条件为止.下面我们就用分析法体会其精妙之处.⑵证明两条线段的和、差等于一条线段，一般有两种方法：□C 截长法、补短法.方法1中，要证AB+BD=AC ，在AC 上取一点E 使AE=AB 后，需证CE=BD. AD 是∠BAC 的平分线，可得△ABD ≌△AED ，，故BD=DE ，∠B=∠AED ，需证DE=CE,就需证∠C=∠EDC ，就需证∠AED=2∠C,就需证∠AED=∠B.因为∠AED=∠B 成立，所以AB+BD=AC.方法2中，延长AB 到E ，使使得BE=DB ，连接DE. 要证AB+BD=AC ，需证AE=AC ，需证△ADE ≌△ADC ，需证∠E=∠C ，需证∠ABD=2∠E ，需证∠E=∠BDE ，需证BE=BD.因为BE=BD 成立，所以AB+BD=AC.⑶需要强调的是一般用分析法分析解题思路，而用综合法书写证明过程.Ⅳ.综合能力养成例1：（动手操作题）（2010 ，广东汕头）如图1-1-15，把等腰直角△ABC 沿BD 折叠，使点A 落在边BC 上的点E 处．下面结论错误的是（ ） A ．AB ＝BEB ．AD ＝DCC ．AD ＝DE D ．AD ＝EC解：B点拨：此类问题虽属于动手操作题，但我们在分析问题时，还是需要认真分析研究图形，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C=45°，又因为沿BD 折叠且点A 落在边BC 上，所以△ABD ≌△EBD ，所以AB=BE ，AD=ED ，∠DEB=∠A=90°，所以EC=DE=AD ．例2：（探索题）（2010，安徽）如图1-1-16，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是__________________．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD ③AB＋BD ＝AC ＋CD ④AB－BD ＝AC －CD 解：②③④点评：本题是一道条件探索题，执果索因，条件富于变化，尤其是条件③、④别具一格，联系题目条件，根据勾股定理，易知：②由ASA 公理，得△ABD≌△ACD，故AB=AC ；∵AD⊥BC，∴AB 2－BD 2=AC 2－CD 2，可知③与④等价，即其中一个成立，另一个也成立，由：⎩⎨⎧-=-+=+CD AC BD AB CDAC BD AB ，两式相加，即得：AB=AC ．而条件③、④等价，可以相互推导，本题还可以采用反证法或全等法证明，属于较难题．Ⅴ.分层实战训练A 组 基础训练1. (知识点1)（2010，江苏无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（ ） A ．两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C ．有两个锐角的和等于90°D ．内角和等于180°2. (知识点1)（2010，云南楚雄）已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）A ．55°，55°B ．70°，40° C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对 3. (知识点1)（2010 ，浙江义乌）如图1-1-17，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA =5，则线段PB 的长度为（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3ABAB4.（2010，湖北武汉）如图1-1-18，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（）A.100°B.80°C.70°D.50°5．(知识点1)（2009，长沙）如图1-1-19，等腰ABC△中，AB AC=，AD是底边上的高，若5cm6cmAB BC==，，则AD= cm．6．(知识点2)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为500，它的底角为 .7.（2010，江苏常州）如图1-1-20，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB. 求证：AB=AC.8.（2010，湖南衡阳）已知：如图1-1-21，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC 的延长线上取一点E，使 CE ＝ CD．求证：BD ＝ DE．图1-1-20ACB图1-1-19D321图1-1-18DE CBAB 组 培优训练1. （探索题）（2010 ，山东东营）如图1-1-22，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在AB 同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动(不与点A ，B 重合)，连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为( )A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．始终不变D ．先增大后变小2. （动手操作题）( 2010，江苏宿迁）如图1-1-23数学活动课上，老师在黑板上画直线l 平行于射线AN ，让同学们在直线l 和射线AN 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画 _______个．3. （提升点1）（2010，浙江绍兴）做如下操作：在等腰三角形ABC 中,AB= AC,AD 平分∠BAC,交BC 于点D.将△ABD 作关于直线AD 的轴对称变换,所得的图与△ACD 重合. 对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合.由上述操作可得出的是 (将正确结论的序号都填上).4. （探索题）（2010，四川眉山）如图1-1-24，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有 个正三角形．图1-1-22图1-1-23ANl图1-1-24……图③图②图①图1-1-215. （提升点2）（2010，四川内江）如图1-1-25，下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形有 个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形有 个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形有 个.6. （提升点3）（2010， 山东德州）如图1-1-26，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF 与DE 交于点O ． (1)求证：AB ＝DC ；(2)试判断△OEF 的形状，并说明理由．ⅵ.分层实战训练解答点拨A 组 基础训练1. B 点拨：由等腰三角形的三线合一可知选B.2. C 点拨：当这个70°的内角为顶角时，另两个角为55°、55°；当这个70°的内角为底角时，另两个角为70°、40°.3.B 点拨：根据线段垂直平分线上的性质得PA =5.4. A ．点拨：本题中已知边相等求角，解决此类问题时经常利用等边对等角和三角形的内角和定理来解决．题中已知DA=DB=DC ，图中就有三个等腰三角形，但我们只用△DBA 和△DBC 是等腰三角形，再分别利用△ABC 和△DBC 的内角和180°即可求出∠BDC 的大小．方法2：用外角的方法：∠1=∠2+∠3=20°×2=40°,同理∠CDE=30°×2=60°，所以∠BDC=40°+60°=100°．5. 4 点拨：∵AB=AC ，AD ⊥BC 由三线合一可知BD=CD=3，∴根据勾股定理得AD=4cm.6. 70°或20° 点拨：本题应分以下两种情况求解：①当腰上的高在三角形内部时，底角为70°②当腰上的高在三角形外部时，底角为20°.7. 证明∵BD=CE ，∠DBC=∠ECB ，BC=CB ， ∴△BCE ≌△CBD. ∴∠ACB=∠ABC. ∴AB=AC.点拨：证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：⑴利用定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；⑵利用判定：等角对等边.本题是利用判定来证明的.但要注意的是在使ADEFC O图1-1-26图2图1 图4图3用等腰三角形的“等边对等角”和“等角对等边”时这两边或这两角都是必须□C 在同一个三角形中.8. 证明：∵在等边△ABC 中， D 是AC 的中点， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE ， ∴∠CDE＝∠CED. ∵∠ACB＝∠CDE＋∠CED， ∴， ∴∠DBE＝∠CED， ∴BD＝ED.点拨：我们知道：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质.而等腰三角形的性质与判定是□C 证明线段相等和角相等的重要依据．在解此类题时，要根据具体问题中的条件进行分析，合理的转化三角形中边和角的等量关系．B 组 培优训练1. c 点拨：本题借助一个动态几何图形探寻变化过程中的不变量，令a AB =，x AC =，则x a BC -=，由等边三角形“三线合一”可知x CM 21=，)(21x a CN -=，所以a x a x MN 21)(2121=-+=，在ADC Rt ∆中，x MC DC DM 2322=-= ，同理)(23x a EN -=，所以直角梯形MNED 的面积为283)(21a MN EN DM =•+，是一定值. 2. 3 点拨：解答这类问题需要分类讨论，首先确定顶点与腰，然后作图，就能准确无误的找出各个点．这类题关键是作标准图．3.②③ 点拨： 根据操作分析等腰三角形的性质和判定可知选②③4. 17 点拨：在数等边三角形时，要按□C 从小三角形到大三角形数，总个数为17)15(41=-⨯+个5. 10，28，46 点拨：图1中有4个等腰直角三角形，图2中有10224=+⨯个等腰直角三角形，图3中有2824210=⨯+⨯个等腰直角三角形，图4中有4610228=-⨯个等腰直角三角形.6.点拨：如答图1-1-1，⑴∵BE＝CF ，∴BE＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ．又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS ），∴AB＝DC ． ⑵△OEF 为等腰三角形 .理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF，∴△OEF 为等腰三角形．ADE FC O答图1-1-1。