同角的余角和补角的关系
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2.1余角与补角
哪些角互为补角？
互为补角的有：
B
∠3和∠ADF ∠4和∠BDE
注意
补角与余角是两个 ∠3和∠BDE 角之间的相互关系。如 ∠4和∠ADF 同一对相反数一样，是 彼此相对而言的。比如 说1与-1互为相反数，则 补角与余角与 1的相反数为-1， 角的位置无关， -1的相反数为1。 只与它的数量有关
余角 与 补角 的 性 质
O
D
拓 展 练 习
3、如图，OB平分∠COD，∠AOB=90°，∠AOC=125°， 求比∠COD的补角小19°3′59″的角的度数。 解：∠BOC＝∠AOC－∠AOB
125°
＝125°－90° ＝35° ∠BOD ＝ ∠BOC ＝35° ∠COD ＝35°×2 ＝70° ∠COD的补角 ＝110°
北师大七年级 (下 ) ) 《数学》 ( 北师大.七年级 下册
1
引言 第二章 相交线与平行线
生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁在 大自然的杰作和人类的创造物中，蕴涵着尤其是的 平行线和相交线，你能从桥梁和窗棂中找到平行线 和相交线吗？ 在这一章里，我们将发现平行线和相交线的 一些特征，并探索两条直线平行的条件。我们还将 利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的 图案！
1、余角与补角 1
光的反射是一种常见的物理现象. 光的反射定律:反射角等于入射角.
即:∠1等于∠2。 E D F
3
4
1 反 入 2 射 射 角 角
A
C 图 2–1
B
1
E
1、余角与补角
D
3 4
பைடு நூலகம்
F
1 2 C 图 2–1
A
B ∠4 = ∠3 ∠1 + ∠3 = 90° ∠2 + ∠3 =90° ∠ADF + ∠3 =180°
余角和补角
2.∵ ∠1 +∠2=90°
∠1 +∠3=90°
∠3+∠4=90°
∴∠2=90°-∠1
∴∠2=90°-∠1
∠3 =90°-∠1
∠4=90°-∠3
∴∠2＝∠３
∵∠1＝∠３
∴∠2＝∠4
1
2
3
4
互余的性质：同角或等角的余角相等
互补的性质
1.如果∠1 +∠2=180°，∠1 +∠3=180°，那么∠2与∠3相等吗 ？为什么？
C
A
OB
E
C
D
B
O
A
3.如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA ，OE平分∠COB，
① ∠COB +∠ AOC= 180 °,∠ EOD= 90°。
②图中互余角有 4 对，互补角有 5 对。
余角和补角
余角和补角
1、知道互为余角和互为补角的概念， 会求一个角的余角和补角
2、会在图形中运用互余和互补的性质 找出所求的角
预习课本152页，找出下列问题： 1：互为余角，互为补角的概念 2：互余，互补的性质
如果两个角的和等于 90°（直角），
就说这两个角互为余角。
符号语言：如果∠1+∠2= 90°，那么∠1和∠2（ 互为余角 ）
2.如果∠1 +∠2=180°，∠３ +∠４=180°，如果∠1＝∠３,那 么∠2与∠４相等吗？为什么？
解：1. ∵ ∠1 +∠2=180°
∠1 +∠3=180° ∴∠2=180°-∠1
∠3 =180°-∠1 ∴∠2＝∠３
2
1
2.∵ ∠1 +∠2=180° ∠3∠4=180°-∠3
余角与补角
问题1：余角与补角的概念 问题2：余角与补角的性质
问题3：余角与补角的应用
2
1
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为 余角(complementary angle) 其中一个角是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50
o
60o
40
o
80
o
4
3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为 补角(supplementary angle) 其中一个角是另一个角的补角。 互余与互补是指两个
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互 余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相 等吗？为什么？
1
2
3
4
1
2
3
4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互余；∠3与∠4互余， 所以∠2=90°-∠1；∠4=90°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里，我们 用到了“等 量减等量， 差相等”。
C
(∠1+∠B=90°, ∠1+∠2=90°)
1 B
2 A D
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
(∠B=∠2) （同角的余角相等） (∠A=∠1) （同角的余角相等）
判断下列说法是否正确
（1）30°，70°与80°的和为平角，所以这三个 角互补（× ） （2）一个角的余角必为锐角。 （√ ） （3）一个角的补角必为钝角。 （× ） （4）90°的角为余角。 （ × ） （5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有 关（× ）
角之间的数量关系，与 它们的位置关系无关。
《余角和补角》ppt课件最新版
2
1 O
3
2
1 O
3
4
从练习(3)(4)中,同学们能得出什么结论?
答:同角（或等角）的补角相等.
1.填空： ①若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2＝__1_8__0_°； ②若∠1＝180°－∠2，则∠1与∠2___互__补___； ③30°的余角是_6__0_°，补角是__1_5_0_°若一个角的度 数是ｘ(x＜90°) ，则它的余角的度数和补角的度数分 别是_（__9_0__－__x_）__°_和__（__1_8_0__－___x_）__°____； ④60°角的余角的补角是___1_5_0__° __． ⑤一个角是它的补角的3倍，这个角是 135° .
3 余角和补角
1.认识角的两种特殊关系： 互余、互补 2.掌握角的两个性质： 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
13°15′
（1）76°45′＋13°15′= 90°，
76°45′
（2）53°+37°= 90° ，
53°
37°
（3）124°34′+55°26′= 180° ， 124°34′ 55°26′
（3）80°的补角是 100°，120°的补角是 60° ；
（4）45°的补角是 135°，135°的补角是 45° ；
（5）∠α (α ＜90°)的余角是 90°－∠α ，
∠α 的补角是 180°－∠α
.
2.已知∠α =53°23′，求∠α 的余角和补角. 解：∠α 的余角=90°－53°23'=36°37'， ∠α 的补角=180°－53°23'° .
30°
150°
2 1
·
思考： 1.∠1+∠2= 90° ， 2.∠3+∠4= 180° .
余角与补角 课件
3.如果∠1的补角是∠1的3倍，求∠1的度数. 4.如图1， ∠AOC=∠BOD=90°，问有哪两个锐角 相等？
D
C
B
O 图1
A
余角和补角
5.如图2,∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角为
A C D O
图2
C
B
B
D
O
图3
A
6.如图3，A、O、D三点在同一条直线上，∠AOB=∠COD， 问其中哪几对角互为补角？
余角和补角
本节课我们从一副三角尺的两个锐角的关
系开始研究，说明余角、补角的意义，学习
了如何求一个角的余角和补角，以及余角、
补角的性质，你能说出这些内容来吗？
１什么是互余，互补？ ２补角性质，余角性质？
余角和补角
余角性质：
同角或等角的余角相等； 补角性质：
同角或等角的补角相等.
余角和补角
【例1】已知一个角的补角是这个角的余角的4
倍，求这个角的度数.
【解析】设这个角的度数为x ，利用题目中的等 量关系得： 解得：1800-x=4（900-x）
【答案】x=600
【例2】如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 余角和补角
反之∵∠1与∠2互余， ∴∠1+∠2=90°．
(1)如图，已知∠1=620，∠2=1180， 那么∠1+∠2= 1800 。
(3)如图，已知点A、O、B在一条直线上， 那么∠1+∠2= 。
余角和补角
互为补角定义：如果两个角的和是180°（平 角），那么这两个角互为补角．简称互补.
因为∠1+∠2=180°，
余角和补角
(2)如图，已知∠1=610，∠2=290， D 那么∠1+∠2= 900。
D
C
B
O 图1
A
余角和补角
5.如图2,∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角为
A C D O
图2
C
B
B
D
O
图3
A
6.如图3，A、O、D三点在同一条直线上，∠AOB=∠COD， 问其中哪几对角互为补角？
余角和补角
本节课我们从一副三角尺的两个锐角的关
系开始研究，说明余角、补角的意义，学习
了如何求一个角的余角和补角，以及余角、
补角的性质，你能说出这些内容来吗？
１什么是互余，互补？ ２补角性质，余角性质？
余角和补角
余角性质：
同角或等角的余角相等； 补角性质：
同角或等角的补角相等.
余角和补角
【例1】已知一个角的补角是这个角的余角的4
倍，求这个角的度数.
【解析】设这个角的度数为x ，利用题目中的等 量关系得： 解得：1800-x=4（900-x）
【答案】x=600
【例2】如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 余角和补角
反之∵∠1与∠2互余， ∴∠1+∠2=90°．
(1)如图，已知∠1=620，∠2=1180， 那么∠1+∠2= 1800 。
(3)如图，已知点A、O、B在一条直线上， 那么∠1+∠2= 。
余角和补角
互为补角定义：如果两个角的和是180°（平 角），那么这两个角互为补角．简称互补.
因为∠1+∠2=180°，
余角和补角
(2)如图，已知∠1=610，∠2=290， D 那么∠1+∠2= 900。
七年级数学余角与补角
如图，∠１与∠２互补， ∠３与∠４互补，
如果∠１＝∠３，那么∠２与∠４相等吗？为什么
2 １ 3 4
等角（同角） 的补角相等 等角（同角） 的余角相等
等角 (同角) 的余角相等
如图,∠AOB =∠COD = 90°,C,O,E在一条
直线上, 请说出∠1与∠3之间的关系？以及∠2
与∠4之间的关系？说明理由。
离去了。留下了感觉整个世界都要崩塌了的慕容凌娢。“行了，新来的，我是醉影楼一楼的层主张璐，你得叫我层主……愣着 干什么，赶快过来，你的任务可不少呢。”层主那铁青着的脸吓得慕容凌娢赶紧跟了上去。“你啊，胆子可真不小，居然敢惹 百蝶楼主……”层主边说边走，时不时斜眼扫一下慕容凌娢，好像生怕她打地洞跑了一样。而慕容凌娢就像被人用绳子牵着一 样，呆呆地走在后面，甚至有种被牵着的感觉。怎么会这样？早知道是这种结果的话，我还不如在喝奶茶的时候噎死呢……还 有百蝶姐姐，到底是怎么回事嘛，一言不合就要我肉偿……说什么帮我套会试的情报，全是假的，分明就是喜欢那个纨绔子弟 啊……然后找借口变向报复我……话说这称呼是怎么回事？有楼主，也有层主……“到了，你就在后厨刷碗吧。”层主指着另 一边墙角的一排低矮房屋说道，“还有，那里是你休息的地方……”“原来只是刷盘子啊，吓死我了。”慕容凌娢拍了拍胸口， 喘了一口气。“怎么？显不够多吗？”层主瞪了慕容凌娢一眼，“你以前就有打断别人花的毛病吗！如果有，就赶快改，我最 讨厌那些爱打断别人话的人了。”我不过是有点激动而已，茉莉刚才也打断我的话了啊，怎么也不见你对着她这样说啊？慕容 凌娢心里有些不服气，但根本不敢发作。她现在才感觉到自己是多么的低微，居然到了谁都可以欺负的地步，自己以前的自信 和大胆又是从哪里来的呢……来到了后厨，声音极其吵杂。大约有十几人都在房间里忙碌着，不太宽敞的空间显然有些拥挤。 “新来的，好自为之。认真在这里干吧……”层主对慕容凌娢说，“把那一叠盘子洗完就行了。”层主说完就快步离开了，不 愿意在这里多停留一刻，慕容凌娢迟疑了片刻只好自己走了进去。“哇～这么多盘子……”慕容凌娢抬头看着比自己还高的盘 子，由衷的感叹道，“这得刷几年啊……难道我真的要饿死在这里了吗？”“你再发会儿牢骚，今天就真的别想吃饭了。”说 话的是一个和慕容凌娢年龄相仿的少女，她一边说着，一边快速的洗着手中的碗。跟慕容凌娢说话的同时已经又刷了一个碗。 奇才！这效率居然比老妈的还高。一定是练过很久了……真是厉害啊，要是我和她一样快的话，赶上吃晚饭绝对不成问题。慕 容凌娢认真地看着那少女，恨不得马上学会这种技能。似乎是慕容凌娢那崇拜的目光过于灼热，让她都有些不好意思了，腼腆 的笑了笑说道，“你是新来的吧？”“嗯。”慕容凌娢觉得她很和善，便也放下了刚刚的拘谨，笑着回应道，“我叫……白绫， 你呢？”“若曦。”她简练的回答道，马上又开始忙起手头的事情。看她干的那么起劲，慕容凌娢自然没法开小差，只能老老 实实的刷盘子。可是刷了一会
人教版数学七年级上册4.3.3余角和补角
4.3.3 余角和补角
情境引入
❖说一说
你知道一副三角尺中每一块三角尺中 各角的度数吗？
A D
B C
45°，45°，90°
E F
30°，60°，90°
1.互为余角的定义：
一般地，如果两个角的和等于90 °(直 角)，就说这两个角互为余角，简称两个角 互余.
∠1 =90°—∠2 几何语言表示为： 如果∠1+∠2= 90°， 那么∠1与∠2互余.
，
(2)请写出图中相等的锐角，
∠C= 42°，则∠A = ，理由是
.
一般地，如果两个角的和等于90 °(直角)，就说这两个角互为余角，简称两个角互余.
理由.请用一句话概括这一规律. 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，
如图，点A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠COE=90°.
∠3 = 180°—∠4
第1组互余：
∠COD 和∠COE互为余角，
同理，第2组互余： ∠COD 和∠BOE互余， 第3组互余：∠AOD 和∠COE互余，
第4组互余：∠AOD 和∠BOE也互余. ∠AOD 和∠BOD互补，∠BOE 和∠AOE互补. ∠COD 和∠BOD互补，∠COE 和∠AOE互补.
训练提升
1.如图，点A、O、B在同一条直线上，
同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.
方向角为
.
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北
(南)偏东(西)××度.
通过这节课的学习，你有什么收获？
方向角为
.
(1) 射线 OA 表示的
∠AOD=∠COE=90°.
情境引入
❖说一说
你知道一副三角尺中每一块三角尺中 各角的度数吗？
A D
B C
45°，45°，90°
E F
30°，60°，90°
1.互为余角的定义：
一般地，如果两个角的和等于90 °(直 角)，就说这两个角互为余角，简称两个角 互余.
∠1 =90°—∠2 几何语言表示为： 如果∠1+∠2= 90°， 那么∠1与∠2互余.
，
(2)请写出图中相等的锐角，
∠C= 42°，则∠A = ，理由是
.
一般地，如果两个角的和等于90 °(直角)，就说这两个角互为余角，简称两个角互余.
理由.请用一句话概括这一规律. 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，
如图，点A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠COE=90°.
∠3 = 180°—∠4
第1组互余：
∠COD 和∠COE互为余角，
同理，第2组互余： ∠COD 和∠BOE互余， 第3组互余：∠AOD 和∠COE互余，
第4组互余：∠AOD 和∠BOE也互余. ∠AOD 和∠BOD互补，∠BOE 和∠AOE互补. ∠COD 和∠BOD互补，∠COE 和∠AOE互补.
训练提升
1.如图，点A、O、B在同一条直线上，
同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.
方向角为
.
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北
(南)偏东(西)××度.
通过这节课的学习，你有什么收获？
方向角为
.
(1) 射线 OA 表示的
∠AOD=∠COE=90°.
数学课件余角和补角
详细描述
余角的性质包括角度和为90度、余角之间的角度差为90度等。余角的定理包括同 角或等角的余角相等、互补角的余角互为补角等。这些性质和定理是数学中关于 角度的基本规则，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
补角的性质和定理
总结词
补角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
计算公式
如果角A和角B互为补角，则它们 的度数之和为180度，即A + B = 180度。
实例
如果一个角是60度，那么它的补角 就是120度；如果一个角是90度， 那么它的补角就是90度。
余角和补角的综合计算
综合计算公式
如果一个角的余角和补角之和等于 180度，则这个角的度数为90度。
实例
如果一个角的余角是30度，它的补角 是150度，那么这个角的度数就是90 度。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
互补性和互余性是余角和补角的基本性质。如果两个角互为 余角或补角，则它们的角度互补或相等。此外，同角或等角 的余角或补角也相等。这些性质在几何学中非常重要，可用 于解决各种几何问题。
02
余角和补角的性质和定理
余角的性质和定理
总结词
余角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何 问题具有重要意义。
解析
设这个角为x度，根据补角和余角的定义， 我们可以列出方程：180° - x = 2(90° - x)。 解这个方程可以得到x的值为60°。
余角和补角的综合练习题及解析
题目
已知一个角的余角是这个角的补角的 1/3，求这个角的度数。
解析
设这个角为x度，根据余角和补角的定 义，我们可以列出方程：90° - x = 1/3(180° - x)。解这个方程可以得到x 的值为45°。
余角的性质包括角度和为90度、余角之间的角度差为90度等。余角的定理包括同 角或等角的余角相等、互补角的余角互为补角等。这些性质和定理是数学中关于 角度的基本规则，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
补角的性质和定理
总结词
补角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
计算公式
如果角A和角B互为补角，则它们 的度数之和为180度，即A + B = 180度。
实例
如果一个角是60度，那么它的补角 就是120度；如果一个角是90度， 那么它的补角就是90度。
余角和补角的综合计算
综合计算公式
如果一个角的余角和补角之和等于 180度，则这个角的度数为90度。
实例
如果一个角的余角是30度，它的补角 是150度，那么这个角的度数就是90 度。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
互补性和互余性是余角和补角的基本性质。如果两个角互为 余角或补角，则它们的角度互补或相等。此外，同角或等角 的余角或补角也相等。这些性质在几何学中非常重要，可用 于解决各种几何问题。
02
余角和补角的性质和定理
余角的性质和定理
总结词
余角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何 问题具有重要意义。
解析
设这个角为x度，根据补角和余角的定义， 我们可以列出方程：180° - x = 2(90° - x)。 解这个方程可以得到x的值为60°。
余角和补角的综合练习题及解析
题目
已知一个角的余角是这个角的补角的 1/3，求这个角的度数。
解析
设这个角为x度，根据余角和补角的定 义，我们可以列出方程：90° - x = 1/3(180° - x)。解这个方程可以得到x 的值为45°。
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同角的余角和补角的关系
在高中数学中，我们学习了很多关于三角函数的知识，其中，余角和补角也是非常重要的一个概念。
在这篇文章中，我们将介绍同角的余角和补角的关系。
一、什么是余角和补角？
首先，我们来了解一下余角和补角的概念。
余角是指一个角的补角与它本身的差值，也就是说，如果一个角的度数为x，它的补角的度数为90-x，那么这个角的余角就是90-x。
例如，如果一个角的度数为30度，那么它的补角的度数为60度，它的余角的度数则为60度。
在三角函数中，我们经常需要求一个角的正弦、余弦、正切等值。
有时候，我们发现要求的角的值非常复杂，但是它的余角或者补角的值却非常简单，这时候就可以利用同角的余角和补角的关系来简化求解过程。
具体来说，对于一个角A，其余角B和补角C都是相对它而言的。
因此，我们可以通过求角A的余角或者补角来简化求解角A的三角函数值。
1. 正弦函数
假设角A的正弦值为sinA，那么它的余角的正弦值为cosA，而它的补角的正弦值为sin(90-A)。
因为sin(90-A)=cosA，所以sinA=sin(90-B)=cosC。
三、结论
sinA=cos(90-A)
tanA=1/tan(90-A)。