年全国初中数学联赛(四川初二初赛)试卷及其解答
2008年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题 参考解答及评分细则
2008年四川初中数学联赛（初二组）初赛试题参考解答及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、若b a ,为实数，满足b a b a +=-111，则ba ab -的值是（ D ）． （A ）1- （B ）0 （C ）21（D ）１解：由题设条件知ab a b =-22，两边同时除以ab ，得1=-ba ab ．故答案选Ｄ．2、下面4种说法：（1）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； （2）一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； （3）两个无理数的和一定是无理数； （4）两个无理数的积一定是无理数. 其中，正确的说法种数为( A )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：在上述四种说法中（1）正确；（2）、（3）、（4）错误．故答案选Ａ．3、已知一次函数b kx y +=，其中0>kb ．则所有符合条件的一次函数的图象一定通过（ Ｂ ）．Ａ．第一、二象限 Ｂ．第二、三象限 Ｃ．第三、四象限 Ｄ．第一、四象限解：因为0>kb ，故b k 、同号．当b k 、同为正数时，则一次函数的图象通过第一、二、三象限；当b k 、同为负数时，则一次函数的图象通过第二、三、四象限．所以，符合条件的一次函数的图形一定通过第二、三象限．故答案选Ｂ．４、在凸四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别为DA CD BC AB 、、、的中点，EG 与FH 相交于O ，设四边形CGOF BFOE AEOH 、、的面积分别为3、4、5，则四边形DHOG 的面积为（ C ）A ．215B ．415C ．4D ．6解：如图，连结OD OC OB OA ,,,，则BEO AEO S S ∆∆=，CFO BFO S S ∆∆=，DGO CGO S S ∆∆=，AHO DHO S S ∆∆=．于是D H O G BFO E CFO G AEO H S S S S +=+， 所以4453=-+=DH OG S ．故答案选Ｃ．５、20082007=x ，则x 除以10的余数是（ A ）．Ａ．1 Ｂ． 3 Ｃ．7 Ｄ．9 解：x 除以10的余数等于20087除以10的余数．又 、、、、、543277777除以10的余数分别为 、、、、、71397．它们以4为周期．又45022008⨯=，于是20087除以10的余数为1，即x 除以10的余数是1．故答案选A ．6、已知c b a ,,为互不相同的有理数，满足)2)(2()2(2++=+c a b .则符合条件的c b a ,,的组数共有( Ａ )Ａ．０组 Ｂ．１组 Ｃ．２组 Ｄ．４组解：因为)2)(2()2(2++=+c a b ，即2)(22222c a ac b b +++=++，则2b ac =，b c a 2=+．于是ac b c a ac c a 44)(22222==+=++．所以0)(2=-c a ，故c a =，这与条件矛盾．故答案选Ａ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、关于x 的不等式：6|12|<-x 的所有非负整数解的和为 ．解：原不等式等价于⎩⎨⎧->-<-612612x x ，解得2725<<-x ．于是，符合条件的所有非负整数解为3210，，，=x ．所以，所有非负整数解的和为6． 故答案填６． 2、已知321+=x ，321-=y ，则=++3312y xy x .解：32-=x ，32+=y ，则4=+y x ．于是64)()(31233333=+=+++=++y x y x xy y x y xy x .故答案填64.３、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为z y x 、、，则zy x 111++的值为 ． 解：依题意，有360180218021802=⨯-+⨯-+⨯-zz y y x x ，化简得21111=++z y x ．故答案填21．４、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AC AB =，DB DA =，90=∠ADB ， 则ACD ∠的度数等于 ．解：如图，过A 作CD AE ⊥交CD 延长线于E ，过D 作AB DF ⊥于F ．由DB DA =，90=∠ADB 知ADB ∆为等腰直角三角形． 故45=∠=∠DAF DBA ．因为AB ∥DC ，故45=∠ADE ． 因为AB DF ⊥，则AB DF 21=， 45=∠ADF ． 于是90=∠FDE ，即CD FD ⊥．又CD AE ⊥，故AE ∥FD ．又AF ∥ED ，故AFDE 为平行四边形． 从而AC AB DF AE 2121===．所以， 30=∠ACD ．故答案填 30．三、（本大题20分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DB AC ⊥，5=AC ， 30=∠DBC .（1）求对角线BD 的长度； （2）求梯形ABCD 的面积. 解：（１）如图，过A 作AE ∥DB 交CB 延长线于E∵ DB AC ⊥，AE ∥DB ．∴ AE AC ⊥，30=∠=∠DBC AEC ．∴90=∠EAC ，即EAC ∆为直角三角形． ∴ 102==ACEC ． ∴ 355102222=-=-=AC EC AE ．∵ AD ∥BC 且AE ∥DB ． ∴ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ 35==AE DB ．（２）记梯形ABCD 的面积为S ，过A 作BC AF ⊥于F ，则AFE ∆为直角三角形． ∵30=∠AEF ． ∴ 23521==AE AF ，即梯形ABCD 的高235=AF ．∵ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ EB AD =． ∴475235352121)(21=⨯⨯=⨯=⨯+=AF EC AF BC AD S ．四、(本大题25分) 设实数x 满足：1013536324213--≥---x x x . 求|4||1|2++-x x 的最小值.解：原不等式两边同乘以30，得：39)36(6)24(10)13(15--≥---x x x 化简得：6231-≥-x .解得：2≤x ．记|4||1|2++-=x x y（１）当4-≤x 时，23)4()1(2--=+---=x x x y ． 所以，y 的最小值都为102)4()3(=--⨯-，此时4-=x ． （２）当14≤≤-x 时，6)4()1(2+-=++--=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．（３）当21≤≤x 时，23)4()1(2+=++-=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．综上所述，|4||1|2++-x x 的最小值为５，在1=x 时取到． 五、（本大题25分）已知正整数c b a ,,满足：c b a <<，且a b c ca bc ab =++．求所有符合条件的c b a ,,．解：由c b a <<≤1知bc ca bc ab abc 3<++=，所以3<a ．故1=a 或者2=a ．（１）当1=a 时，有bc c bc b =++，即0=+c b ，这与c b ,为正整数矛盾． （２）当2=a 时，有bc c bc b 222=++，即022=--c b bc ． 所以4)2)(2(=--c b ．又因为c b <<2，故220-<-<c b ． 于是42,12=-=-c b ．即6,3==c b ．所以，符合条件的正整数仅有一组：6,3,2===c b a ．。
2021年全国初中数学联赛四川省(初二组)初赛试卷及其解析
全国初中数学联赛（初二组）初赛试卷及其解析一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 103(1)π---的值是（ ）A 、4B 、5C 、8D 、9解析：此题利用算术平方根、绝对值、非零数的零次幂的意义，即可解答。
答案为A 2、若2(2)()2x x a x bx -+=+-，则a b +=（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2解析：利用多项式相等，原等式化为22(2)22x a x a x bx +--=+-，∴22a -=-，2a b -= 求得1,1a b ==-，故0a b +=，答案为B3、如图已知在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，且O M ∥AB ，ON ∥AC ，若CB=6，则△OMN 的周长是（ ）A 、3B 、6C 、9D 、12解析：利用角平分线性质、平行线性质，可证得BM=OM,CN=ON ，由图易得△OMN 的周长就等于BC 的长，故答案为B.4、不等式组11212332x x x x ⎧+≥+⎪⎨⎪<+⎩的解是（ ） A 、61x -<≤ B 、61x -<<C 、61x -≤<D 、61x -≤≤ 解析：解不等式组的问题，答案为C5、非负整数,x y 满足2216x y -=，则y 的全部可取值之和是（ ） A 、9 B 、5 C 、4 D 、3解析：由2216x y -=，,x y 为非负整数，可知()()16x y x y +-=，且x y >，而16可分解为整数相乘的有1×16、2×8、4×4，于是便有1684124x y x y x yx y x y x y +=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨-=-=-=⎩⎩⎩或或，可求得符合条件的只有543,0x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，答案为D 6、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，M 点为CD 边上的中点，若M点是A 点关于线段EF的对称点，则AEED=( )A 、53B 、35C 、2D 、12解析：连结EM ，可知由题EF 垂直平分AM ，所以AE=EM ，AE+ED=4，所以EM=4-ED ，，易知DM=2，在R t △EDM 中，由勾股定理有222ED DM EM +=,所以2222(4)ED ED +=-，解之，32ED =，故AE= 52，∴552332AE ED ==，答案为A二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）130y +=，则22x y +=2x =，再由非负数和为0可求3y =-，∴22x y +=1323=，则231x x x ++=解析：由已知可知0x ≠3=两边平方，可得17x x +=，∴211113173103x x x x x===+++++ 3、设23234536x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则32x y z -+=解析： 将2323(1)4536(2)x y z x y z ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩中（1）×2—（2），就得32x y z -+=104、如图，在△ABC 中，AC=BC ，且∠ACB=90°，点D 是AC 上一点，AE ⊥BD,交BD 的延长线于点E,且12AE BD =，则∠ABD= 解析：延长AE 、BC 交于点F,∵∠ACB=∠AEB=90°, ∠ADE=∠BDC ， ∴∠FAC=∠DBC ， 在△AFC和△BDC 中FAC DBC CB 90AC BCD FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ △AF C ≌△BDC ， ∴ BD=AF ， 又∵12AE BD =∴12AE AF = ∴ E 是AF 的中点， ∵AE ⊥BD∴ BE 是AF 的垂直平分线，∴ BE 平分∠ABC ，即∠ABD=1ABC 2∠∵ AC=BC ，且∠ACB=90° ∴∠ABC=45°∴ ∠ABD=1ABC 2∠=22.5° 三、（本大题满分20分）先化简后，再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中1a =. 解：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++ 22222212()(2)(2)442(2)442(2)41(2)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --+=-⨯++---++=⨯+--+=⨯+-=+当1a =-原式1==四、（本大题满分25分） 如图，已知直角梯形OABC 的A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，OC=6，OA=OB=10，P Q ∥AB 交AC 于D 点，且∠ODQ=90°，求D 点的坐标.解：连结OB ，延长OD 交AB 于点E∵A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，OC=6，OA=10 ∴ C （0,6） A （10，0） 设AC 直线的解析式为16y kx =+ ∴ 1060k += 35k =-1365y x =-+ ∵ OB=10 B C ∥OA 令(,6)B b (0)b > 由两点距离公式，10= ∴ 8b = ∴ (8,6)B∵ P Q ∥AB,∠ODQ=90° ∴ OE AB ⊥又 ∵ OA=OB ∴ E 是AB 的中点，由中点坐标公式 得 (9,3)E设OE 直线的解析式为2y mx = 故93m = 13m =213y x =由图可知，点D 为函数1y 、2y 的交点，D 的坐标是方程组36513y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的解，解之457157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D 点坐标为4515(,)77五、（本大题满分25分）如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，E 、F 分别为AD 与BC 的中点，连接EF 与BA 的延长线相交于N ，与CD 的延长线相交于M ， 求证：∠BNF=∠CMF此题解答方法较多，就初二而言，提供以下几种解答方案。
四川省2014年全国初中数学竞赛(初二组)决赛试卷及参考答案
2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）决赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、C2、D3、B4、B5、A6、C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、9-2、153、154、3 三、（本大题满分20分）如图，已知凸四边形ABCD 中，180ABC ADC ∠+∠=，AC 平分BAD ∠，过C 作AB 的垂线交AB 于E ． 求证：)(21AD AB AE +=． 证明：如图，作B 、E 关于AC 的对称点E ’、B ’，连接EB ’，……………………5分因为AC 为BAD ∠的平分线，故,E B ''在AD 的延长线上，且''E CB CBE ∆≅∆，……（10分）故'180'CB D ABC ADC CDB ∠=∠=-∠=∠所以CD CB ='，（15分）又'CE ⊥'DB ，故'''DE E B BE ==， 所以11()()22AE AE AE AE AB AD ''==+=+（20分） 四、（本大题满分25分）已知三个一次函数1y x =+、x y -=1和b x y +=21， （1）若这三个函数图像能够围成三角形，求实数b 的取值范围；（2）若这三个函数图像所围成的三角形面积为43时，求实数b 的值． 解：（1）设直线l 1:1y x =+与l 2:x y -=1交于点(0,1)P ，（5分）只有当直线3l ：b x y +=21过(0,1)P 时，三直线不能构成三角形，此时1b =， 故当1b ≠时，三直线围成三角形． （10分）（2）联立⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b x y x y 211解得112221x b y b =-⎧⎨=-⎩； B'E'EC B AD即直线13,l l 的交点(22,21)A b b -- 联立⎪⎩⎪⎨⎧+=-=b x y x y 211解得2222332133x b y b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 即直线23,l l 的交点2221(,)3333B b b -++ （15分） 则三直线围成的三角形为ABP ∆，其面积121|||1|2ABP S x x b ∆=-⋅- 212244|()(22)||1|(1)23333b b b b =-+--⋅-=-= （20分） 故2(1)1b -=，则11b -=或者11b -=-, 解得0,b =或者2b =． 所以，所求的实数0,b =或者2b =． （25分）五、（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac ab a bc b ac c ab++=+++，求a b c ++的值. 解 由2221222bc ac ab a bc b ac c ab++=+++得2221111222111a b c bc ac ab++=+++.…………………………5分 设22a x bc =，22b y ac =，22c z ab =，则8xyz =，且1111111x y z ++=+++，…………10分 通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++，展开后整理得2xyz x y z =+++，所以6x y z ++=. …………… ……15分 即2222226a b c bc ac ab++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.……………………………………20分又,,a b c 不全相等，所以222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故0a b c ++=.……25分。
2019年全国初中数学竞赛四川地区初赛试卷解析版很全
2019年全国初中数学竞赛四川地区初赛试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．设方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的两根是c、d，则方程（x﹣c）（x﹣d）+x＝0的根是（）A．a，b B．﹣a，﹣b C．c，d D．﹣c，﹣d4．若不等式2|x﹣1|+3|x﹣3|≤a有解，则实数a最小值是（）A．1 B．2 C．4 D．65．若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）A．18 B．24 C．30 D．366．不定方程x2﹣2y2＝5的正整数解（x，y）的组数是（）A．0组B．2组C．4组D．无穷多组二、填空题（共3小题，每小题7分，满分21分）7．二次函数y＝x2﹣ax+2的图象关于x＝1对称，则y的最小值是．8．已知△ABC中，AB＝，BC＝6，CA＝．点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是．9．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其10n﹣1个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分．比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是．三、解答题（共3小题，满分70分）10．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80成立，求其实数a的可能值．11．抛物线y＝ax2+bx+c的图象于x轴交于点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0＜x1＜x2，过点A的直线l交x轴于C点，与抛物线交于点B（异于A点），满足△CAN是等腰直角三角形，且，求解析式．12．如图．AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB＝90°．参考答案一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．【解答】解：∵一个凸多边形的每一个内角都等于150°，∴此多边形的每一个外角是180°﹣150°＝30°，∵任意多边形的外角和是：360°，∴此多边形边数是：360°÷30°＝12，∴这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2＝12×（12﹣3）÷2＝54．故选：B．2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故选：D．3．【解答】解：∵（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0，∴x2﹣（a+b+1）x+ab＝0，而方程的两个根为c、d，∴c+d＝a+b+1，①cd＝ab，②又方程（x﹣c）（x﹣d）+x＝0可以变为x2﹣（c+d﹣1）x+cd＝0，③∴把①②代入③中得x2﹣（a+b）x+ab＝0，（x﹣a）（x﹣b）＝0，∴x＝a，x＝b．故选：A．4．【解答】解：当x＜1，原不等式变为：2﹣2x+9﹣3x≤a，解得x≥，∴＜1，解得a＞6；当1≤x≤3，原不等式变为：2x﹣2+9﹣3x≤a，解得x≥7﹣a，∴1≤7﹣a≤3，解得4≤a≤6；当x＞3，原不等式变为：2x﹣2+3x﹣9≤a，解得x＜，∴＞3，解得a＞4；综上所述，实数a最小值是4．故选：C．5．【解答】解：如图所示，∵连接BD、BE、BF、EG，则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形，∴从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形，∴用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是3×8＝24个．故选：B．6．【解答】解：若有解，x必为奇数，令x＝2n+1，（2n+1）2＝2y2+5，整理得2n（n+1）＝2+y2，y为偶数，令y＝2m，2n（n+1）＝2+4m2，n（n+1）＝1+2m2，左边为偶数，右边为奇数．所以无整数解，故选：A．二、填空题（共3小题，每小题7分，满分21分）7．【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝1，解得a＝2，∴二次函数为y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵二次项系数为1，图象开口向上，∴y的最小值是1．故答案为1．8．【解答】解：∵（）2＝62+（）2，∴AB2＝BC2+CA2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角．在直角△AMC中，CA＝，CM＝BC＝3，∴∠CMA＝30°，∴∠DMB＝30°，在直角△BDM中，BD＝BM•sin∠DMB＝3×＝．故答案是：．9．【解答】解：每场对局都有2分，10n个棋手对局共下：局，总分为100n×n﹣10n，假设男选手与女选手的所有比赛中都不得分，则9n个男选手最低总得分为81n×n﹣9n，女选手最高得分总和为19n×n﹣n，依题意，男选手最低得分总和比女选手最高得分总和应不大于4，列不等式（81n×n﹣9n）：（19n×n﹣n）≤4，因女选手得分为正数，变形得：（81n×n﹣9n）≤4（19n×n﹣n），移项：5n（n﹣1）≤0，解得：0≤n≤1，因n为正整数，所以n的所有可能值是1．故答案为：1．三、解答题（共3小题，满分70分）10．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，a＝1，b＝（3a﹣1），c＝2a2﹣1，∴x1+x2＝﹣（3a﹣1），x1•x2＝2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22＝﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2＝﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）＝﹣80，∴5a2+18a﹣99＝0，∴a＝3或﹣，当a＝3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a＝﹣．11．【解答】解：由条件知该抛物线开口向上，与x轴的两个交点在y轴的右侧，由于△CAN是等腰直角三角形，故点C在x轴的左侧，且∠CAN＝90°，故∠ACN＝45°，从而C（﹣1，0），N（1，0）．（5分）于是直线l的方程为：y＝x+1．设B（x3，y3），由S△BMN＝S△AMN，知y3＝，（10分）从而，即．（15分）综上可知，该抛物线通过点A（0，1），，N（1，0）．于是，（20分）解得．所以所求抛物线的解析式为y＝4x2﹣5x+1．（25分）12．【解答】证明：如图，连接MH，EH，∵M是Rt△AHD斜边AD的中点，∴MA＝MH＝MD，∴∠MHD＝∠MDH，∵M，D，H，E四点共圆，∴∠HEC＝∠MDH，∴∠MHD＝∠MDH＝∠HEC，∴∠MHC＝180°﹣∠MHD＝180°﹣∠HEC＝∠MEH，∵∠CMH＝∠HME，∴△CMH∽△HME，∴，即MH2＝ME•MC，∴MA2＝ME•MC，又∵∠CMA＝∠AME，∴△CMA∽△AME，∴∠MCA＝∠MAE，∴∠BHE+∠BAE＝∠DHE+∠BAD+∠MAE＝∠DHE+∠MAC+∠MCA＝∠DHE+∠DME＝180°，∴A，B，H，E四点共圆，∴∠AEB ＝∠AHB ，又∵AH ⊥BH ，∴∠AHB ＝90°，∴∠AEB ＝∠AHB ＝90°．1. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是 BC 边的中点，EF ⊥AD 于点 F ，CG ⊥AD 于点 G ，3 若 tan ∠CAD=4 ，AB ＝20，则线段 E F 的长为C F2. 如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在 BC 边上，∠DAE ＝ 1 ∠BAC ，∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，点2F 在线段 A E 的延长线上，AF ＝AD ，若 C D ＝4，CF ＝2，则 A C 边的长为3. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，点 D 、E 分别在 AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点 F 在 BC 边上，DF 与 BE1 交于点 G 。
2017年四川赛区全国初中数学联赛(初二组)决赛试卷及逐题详解
2017年四川赛区全国初中数学联赛(初二组)决赛试卷及逐题详解2017年四川赛区全国初中数学联赛（初二组）决赛试卷及逐题详解考试时间：2017年3月26日上午8:45—11:15）姓名成绩复核人一二三四五合计一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、六位朋友一起去吃饭，实行AA制，即大家均摊费用。
因为小王忘了带钱，所以其他人每人多付了5元钱，这顿饭共花费钱为（）A、90元B、120元C、150元D、180元2、若关于x的不等式组x m92x 1的整数解共有5个，则实数m的取值范围是（）A、8≤x＜9B、8＜x≤9C、9≤x＜10D、9＜x≤103、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E是AB边的中点，F是BC上的动点，将△EFB沿着EF所在直线折叠得到△EFB'，连接DB'，则DB'的最小值是（）A、10-1B、3C、13-1D、24、已知三角形的边长分别为a,b,13，且a,b为整数，a<b<13，则(a,b)的组数共有是（）A、26组B、30组C、36组D、49组5、已知△ABC中，AB=210，BC=6，AC=2，点M是BC 的中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则BD=（）A、1B、1361C、3132D、136、已知非零实数满足x+y+z=2，x2+y2+z2=2，则2107年全国初中数学联赛（初二决赛）试题第1页共1页111x2+y2+z222=y+2017z+2017x+2017xy+yz+zx的值为（）A、1或3B、1或-3C、-1或3D、1或3二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、已知a=1122，则2a-5ab+2b的值为，b=2+32-38、如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC,BD相交于点M，且AB=AC，AB⊥AC，BC=BD，则∠AMB的度数为9、从0,1,2,3,4,5这六个数中任选两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率为10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=BC=10，点D,E在线段BC上，且CD=2，BE=5，点P,Q分别在线段AC,AB上的动点，则四边形PQED周长的最小值为三、解答题（本大题共三个小题，第11题20分，第12，13题各25分，满分70分）11、已知关于x的方程x-2-1=a有仅有两个解，求实数a的取值范围。
2018年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试卷
2018年四川初中数学联赛（初二组）初赛试卷（3月23日下午2：30─4：30或3月24日上午9：00─11：00）一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1．若a，b为实数，满足1111a ba b+-=-+，则（1+a+b）（1-a-b）的值是（）．（A）-1 （B）0 （C）1 （D）22．函数y=2x与函数y=18x的图象相交于A、B两点（其中A在第一象限），过A作AC•垂直于x轴，垂足为C，则△ABC的面积等于（）．（A）6 （B）9 （C）12 （D）183．在等腰Rt△ABC中，CA=CB=3，E是BC上一点，满足BE=2，P是斜边AB上的一动点，•则PC+PE长度之和的最小值是（）．（A（B（C）（D4．令a=0.123456789101112…998999，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2007位数字是（）（A）0 （B）4 （C）5 （D）65．设n为某一正整数，代入代数式n5-n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（）（A）7770 （B）7775 （C）7776 （D）77796．在凸四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=120°，AB=3，AD=（）（A（B）3 （C）（D）二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1．设p是正奇数，则p2除以8的余数等于_________．2．设a，b是整数，当时，代数式x2+ax+b的值为0，则a+b的值为________．3．在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于D，过M•作ME•⊥CB于E，则线段DE的最小值为________．4．已知等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24，则这样的三角形共有_______个．三、（本大题满分20分）1．已知一次函数y=ax+b的图象经过点A），B（-1，C（c，2-c）．求a-b+c的值．四、（本大题满分25分）已知x，y，z都为非负实数，满足x+y-z=1，x+2y+3z=4，记w=3x+2y+z．求w的最大值与最小值．五、（本大题满分25分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，满足EF=BE+DF ，AE 、AF 分别与对角线BD 交于M 、N ． （1）求证：∠EAF=45°； （2）求证：M N 2=BM 2+DN 2．N M F E D C B A。
全国初中数学联赛(初二组)决赛试卷(四川版)
四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、如果3,122=+=+y x y x，那么y x -的值等于（ ） )(A 3 )(B 5 )(C 3 )(D 52、设12=+b a ，24=+cb ，则abc 的值等于（ ） )(A 2- )(B 2 )(C 4- )(D 43、如图，平行四边形ABCD 中，BC AE ⊥,垂足为E ，CD AF ⊥,垂足为F ,045=∠EAF , 且22=+AF AE ,则平行四边形ABCD 的周长是（ ） )(A 24 )(B 422+)(C 222+ )(D 84、若b a ,为正实数且满足3<b a ，那么ba b a ++3与3的大小关系（ ） )(A 33>++b a b a )(B 33<++b a b a )(C 33=++ba b a )(D 无法确定 5、如果一个正整数m 可以表示为b a ab ++（b a ,为正整数）的形式，就称m 为一个“好数”，则 不大于30的好数有（ ）)(A 18 )(B 19 )(C 20 )(D 216、如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形OABC 的顶点C A ,分别在x 轴，y 轴上，o 为坐标原点，点)2,1(B ,点B 与点D 关于直线AC 对称，则点D 的坐标为（ ）)(A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-56,53 )(B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,43 )(C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311,32 )(D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-415,43 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分 ）7、已知z y x ,,是不为零的实数，且满足1=++zz y y x x ，则xyz xyz 的值是 。
8、已知b a ,为实数，()[]1=+++b b b a a a ，则b a +的值是 。
9、如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转045，得正方形1111D C B A ,则旋转前后两个正方形重叠部分的阴影部分的面积 。
全国初中数学联赛四川初赛试卷及参考答案
全国初中数学联赛四川初赛试卷(3月21日下午2：30━4：30或3月22日上午9：00━11：00) 学校___________________年级___________班 姓名_________________ 题 号 一 二 三 四 五 合计 得 分 评卷人 复核人一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于（ ） （A ）－4x ＋3 （B ）5 （C ）2x ＋3 （D ）4x ＋32、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为（ ） （A ）1 （B ）32 （C ）21 （D ）31 3、已知a 为非负整数，关于x 的方程0412=+---a x a x 至少有一个整数根，则a 可能取值的个数为（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ） 14、如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD ＝62o ，则∠AEB 的度数是（ ）（A ）124o （B ）122o（C ）120o （D ）118o5、如图，直线x ＝1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有（ ）（A ）a ＋b ＋c ＞0 （B ）b ＞a ＋c（C ）abc ＜0 （D ）c ＞2b6、已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若S ＝2x ＋y －z ，则S 的最大值与最小值的和为（ ）（A ）5 （B ）6（C ）7 （D ）8二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、已知a 是方程x 2－5x ＋1＝0的一个根，则44-+a a 的个位数字为_____________．2、在凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，若S △OAD ＝4，S △OBC ＝9，则凸四边形ABCD 面积的最小值为__________________．3、实数x 、y 满足x 2－2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t 的取值范围为___________________．4、如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，直径AD 交BC 于E，F是OE的中点．如果BD//CF，BC＝25，则线段CD的长度为__________________．三、（本大题满分20分）已知方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，方程x2＋cx＋d＝0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．四、（本大题满分25分）如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3＝90o．五、（本大题满分25分）如图，将3枚相同硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）．求所放的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．全国初中数学联赛四川初赛试卷参考答案及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、B2、C3、B4、B5、D6、A二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、72、253、29≤t 4、6三、（本大题20分）解：∵方程x 2＋ax －b ＝0的根是a 和c ，∴a ＋c ＝－a ，ac ＝－b∵x 2＋cx ＋d ＝0的根是b 和d ，∴b ＋d ＝－c ，bd ＝d ········································ 5分（一）若d ≠0，则由bd ＝d 知b ＝1由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知－2a 2＝－1，解得22±=a ················· 10分 当22=a 时，2-=c 得d ＝－c －b ＝12-； ········································· （1） 当22-=a 时2=c ，得d ＝－c －b ＝12--． ······································· （2） 经验证，22±=a ，b ＝1，2 =c ，d ＝12-±是符合条件的两组解． ······· 15分 （二）若d ＝0，则b ＝－c ，由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知ac ＝c若c ＝0，则a ＝0，这与a 、b 、c 、d 是不同的实数矛盾．若c ≠0，则a ＝1，再由c ＝－2a 知c ＝－2，从而b ＝－c ＝2经验证，a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝0也是符合条件的解． ································ 20分四、（本大题25分）证明：（1）如图，连结I 1A 1，I 1A 2，I 1A 3，I 2A 2和I 2A 3∵I 1是△A 1A 2A 3的内心，∴∠I 1A 1A 2＝∠I 1A 1A 3＝21∠A 2A 1A 3 ∠I 1A 2A 1＝∠I 1A 2A 3＝21∠A 1A 2A 3，∠I 1A 3A 1＝∠I 1A 3A 2＝21∠A 1A 3A 2 ···················· 5分 延长A 1I 1交四边形A 1A 2A 3A 4外接圆于P ，则∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 1P ＋∠PI 1A 3＝∠I 1A 1A 2＋∠I 1A 2A 1＋∠I 1A 1A 3＋∠I 1A 3A 1 ＝21(∠A 2A 1A 3＋∠A 1A 2A 3＋∠A 2A 3A 1)＋21∠A 2A 1A 3＝90o ＋21∠A 2A 1A 3 ··············· 10分同理∠A 2I 2A 3＝90o ＋21∠A 2A 4A 3，又∵四边形A 1A 2A 3A 4内接于一圆 ∴∠A 2A 1A 3＝∠A 2A 4A 3，∴∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 2A 3．∴A 2、I 1、I 2、A 3四点共圆． ········ 15分（2）又连结I 3A 4，则由（1）知A 3、I 2、I 3、A 4四点共圆∴∠I 1I 2A 3＝180o －∠I 1A 2A 3＝180o －21∠A 1A 2A 3 同理∠I 3I 2A 3＝180o －∠I 3A 4A 3＝180o －21∠A 1A 4A 3 ··········································· 20分 ∴∠I 1I 2I 3＝360o －(∠I 1I 2A 3＋∠I 3I 2A 3)＝21(∠A 1A 2A 3＋∠A 1A 4A 3)＝90o ················· 25分五、（本大题25分）解：1、计算总的放法数N ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法；第二枚硬币放入剩下的15个格子有15种放法；第三枚硬币放入剩下的14个格子有14种放法．所以，总的放法数N ＝16×15×14＝3360． ············································ 10分2、计算满足题目要求的放法数m ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与它不同行或不同列的格子有9个．因此，与第一枚硬币不同行或不同列的第二枚硬币有9种放法．与前两枚硬币不同行或不同列的格子有4个，第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法．所以，满足题目要求的放法数m ＝16×9×4＝576． ·································· 20分 所求概率P ＝3561415164916=⨯⨯⨯⨯=N m ． ·················································· 25分。
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2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）试卷
一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1、数轴上各点表示的数如图所示，那么a -的可能取值是 （ ）
A 、2-
B 、2-
C 、2
D 、2 2、关于x 的方程21324x x -++=，其所有解的和是 （ ）
A 、1-
B 、25
- C 、35 D 、1 3、若34()a b a b b b a =≠-，则22
22232a ab b a ab b +--+的值是 （ ）
A 、3-
B 、13
- C 、15 D 、5 4、如图所示，将一个长为a ，宽为b 的长方形（a b >），沿着虚线剪开，拼成缺一个小正方形角的大正方形（右图），则小正方形的边长为 （ ） A 、2b B 、2a C 、2
a b - D 、a b -
5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两个部分，则该三角形的底长所有可能值为 （ ）
A 、4
B 、6
C 、12
D 、412或
6、已知正数m ，满足42
710m m -+=，则1m m +的值为 （ ） A 、2 B 、5 C 、7 D 、3
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如下图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是 .
10631
8、若2310x x x +++=，则23201520161x x x x x ++++++的值为 .
9、设12345m x x x x x =+++++++++，则m 的最小值为 。
a
10、如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 点在BC 边上，满足：BD =4，DC =5，若AB +AD =28， 则AD 等于 .
三、解答题（本题共3小题，第11题20分，第12、13题各25分，满分70分）
11、若关于x 的方程322310()()x m x n x +
+++-=有无数多个解， 求实数m n 、的值.
12、已知实数a b c 、、，满足0abc ≠且240()()()a c b c a b ----=， 求
a c b
+的值.
13、如图，在△ABC 中，∠B =2∠C , 且AC =AB +BD . 求证：AD 是∠BAC 的平分线.
B
C B
2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）参考答案
一、选择题：1、D 2、B 3、D 4、C 5、A 6、D
二、填空题：7、1275 8、 1 9、 6 10、 13
三、解答题：
11题：解：由322310()()x m x n x ++++-=，整理为3212310()m n x m n ++++-=， ∵ 方程有无数多个解
∴ 32102310m n m n ++=⎧⎨+-=⎩ 解之，11m n =-⎧⎨=⎩
12题：解：240()()()a
c b c a b ----= 222244440a c ac ab b ac bc +--++-=
22242440a c b ac ab bc +++--= 220()a c b +-= ∴ 2a c b +=
∵
0abc ≠ ∴ 2a c b += 13题：（法一）延长AB 至E ，使AE=AC ，连结DE 、CE.
∵ AE=AB+BE AC=AB+BD
∴ BD=BE ∴ ∠BED=∠BDE
又 ∠ABD=∠BED+∠BDE 即 ∠ABD=2∠BED
∵ ∠ABD=2∠ACD ∴ ∠BED=∠ACD ①
∵ AE=AC ∴ ∠AEC=∠ACE ②
由 ①、②可得
∠DEC=∠DCE
∴ DE=DC ∵AE AC AD AD DE DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴ △AED ≌△ACD (SSS)
∴ ∠DAE=∠DAC ∴ AD 是∠BAC 的平分线.
（法二）延长DB 至E ，使BE=BA ，连结AE
∴ ∠E=∠EAB
∵ ∠ABD=2∠E 又∵∠ABD=2∠C
∴ ∠E=∠C=∠EAB ∴ AE=AC
∵ AC=AB+BD BE=BA
∴ AC=BE+BD=DE
∴ AE=DE ∴ ∠EAD=∠EDA
∵ ∠EAD=∠EAB+∠BAD ∠EDA=∠DAC+∠C
∴ ∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠C
∵ ∠C=∠EAB ∴ ∠BAD=∠DAC ∴ AD 是∠BAC 的平分线. E C
E C。