九年级数学上册第23章《中心对称》名师教案(人教版)

23.2.1 中心对称一、教学目标（一）学习目标1．了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．2. 探究中心对称的基本性质并应用.3．复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．（二）学习重点利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．（三）学习难点从一般旋转中导入中心对称．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务180，它能够与另一个图形重合，那么（1）中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点叫做它们的对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.（2）中心对称的性质:1.中心对称的两个图形，对称点所连线段必过对称中心，且被对称中心平分.2.中心对称的两个图形是全等图形.2．预习自测（1）下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成中心对称的是（）A. B. C. D.【知识点】中心对称的定义。

【解题过程】观察知，A选项中的两个字母旋转180°后能完全重合，故选A.【思路点拨】旋转180°是否完全重合【答案】A.（2）下列说法正确的是（）A. 全等的两个图形成中心对称B. 成中心对称的两个图形必须重合C. 成中心对称的两个图形全等D. 旋转后能够重合的两个图形成中心对称【知识点】中心对称的定义【解题过程】由中心对称定义知，C选项正确，故选C.【思路点拨】抓住中心对称的定义【答案】C.（3）连接成中心对称的图形上两个对称点的线段，经过，且．【知识点】中心对称的性质【解题过程】中心对称的性质：对称中心；被对称中心平分.【思路点拨】抓住中心对称的性质.【答案】对称中心；被对称中心平分.（4）如图，把△ABC绕边AC的中点O旋转180°到△CDA的位置，则BC= ，∠BAC= ，△ABC与△CDA关于点O成对称．【知识点】中心对称的性质.【解题过程】由中心对称的性质知：AD；∠DCA；中心.【思路点拨】抓住中心对称的性质.【答案】AD；∠DCA；中心.（二）课堂设计1．知识回顾（1）旋转的定义：在平面内，将一个图形绕．着一个定点沿．某个方向转．动一个角度，这样的图形运动为旋转.这个定点称为旋转中心．．．．，转动的角为旋转角．．．.（2）旋转的三要素⎧⎪⎨⎪⎩①旋转中心②旋转方向③旋转角度（3）旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．2．问题探究探究一 中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念重点知识★●活动① 回顾旧知，回忆旋转当中的相关概念△ABC 经旋转得到△DEF （如图）FDE O CA B师：旋转中心是什么？生：点O .师：旋转方向是什么？生：顺时针方向.师：旋转角是什么？生：∠AOD ,∠BOE ,∠COF .师：图中的对应点，对应线段，对应角分别有哪些？生：①对应点：A 与D ，B 与E ，C 与F ……（无数对）②对应线段：AB 与DE ……③对应角：ÐA 与ÐD ……【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动② 整合旧知，探究中心对称中的相关概念.问题：作出如图的两个图形绕点O 旋转180°的图案，并回答下列的问题：1．以O 为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2．各对称点绕O 旋转180°后，这三点是否在一条直线上？老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．C像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过观察来掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到感性认识，思考满足中心对称关系的条件，寻求解决问题的方法. 探究二中心对称的基本性质重点、难点知识★▲●活动①（大胆猜想，大胆操作，探究新知识）如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．B C分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形,对称中心就是旋转中心．（2）旋转后的对应点，便是中心的对称点．解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD（2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示．C'A'B'AB CD答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．【设计意图】老师综合学生的疑惑，把有意义的问题归纳，并展示出来。

●活动②（集思广益，探索中心对称的基本性质）请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论．（每组推荐一人上台陈述，老师点评）（老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形（1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；（2）作关于一定点O为对称中心的对称图形．第一步，画出△ABC．第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′C和△A′B′C′，如图1和图2所示．(1) (2)j从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．下面，我们就以图2为例来证明这两个结论．证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′∴△AOB ≌△A′OB′∴AB =A′B′同理可证：AC =A′C′，BC =B′C′∴△ABC ≌△A′B′C′（2）点A′是点A 绕点O 旋转180°后得到的，即线段OA 绕点O 旋转180°得到线段OA′，所以点O 在线段AA′上，且OA =OA′，即点O 是线段AA′的中点．同样地，点O 也在线段BB′和CC′上，且OB =OB′，OC =OC′，即点O 是BB′和CC′的中点． 因此，综合以上我们得出中心对称的性质：1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．2．关于中心对称的两个图形是全等图形．【设计意图】通过中心对称的作图，发现并证明中心对称的性质.●活动③ （中心对称性质应用）1.如图，△ABC 与△A'B'C'关于O 成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）A.OC=OC'B.OA=OA'C.BC=B'C'D.∠ABC=∠A'C'B'【知识点】中心对称的性质.【解题过程】由中心对称的性质有'''C B A ABC ∠=∠ ，故选D .【思路点拨】抓住中心对称的性质.【答案】D .2.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，则与△AOB 成中心对称的三角形是（ ）A.△BOCB.△CODC.△AODD.△ACD【知识点】中心对称的性质【解题过程】△AOB绕O点旋转180°即得△COD，故选B.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】B.●活动④（对比探究）中心对称是旋转的一种特殊情况，中心对称即旋转角为180°的旋转.探究三拓展应用★▲●活动①（中心对称识图）例1. 下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（）A. B.C. D.【知识点】中心对称的定义.【解题过程】由中心对称的定义可得A选项中的两个图形成中心对称，故选A.【思路点拨】抓住中心对称的性质是解题的关键.【答案】A.练习：在下列组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（）A. 组B. 组C. 组D. 组【知识点】中心对称的定义.【解题过程】由中心对称的定义可得①、②、③的左边图形与右边图形成中心对称.故选C.【思路点拨】抓住中心对称的性质是解题的关键.【答案】C.【设计意图】通过练习，进一步掌握中心对称的定义●活动2 （提升型例题）例2.如图，∠DOE为直角，如果△ABC关于OD的对称图形是△A'B'C'，△A'B'C'关于OE的对称图形是△A''B''C''，则△ABC与△A''B''C''的关系是（）.A. 关于∠DOE的平分线成轴对称B. 关于点O成中心对称C. 平移关系D. 不具备任何关系【知识点】轴对称和中心对称的定义.【数学思想】数形结合【解题过程】分别作出两次对称后的图形.故选B.【思路点拨】抓住轴对称和中心对称的定义.【答案】B.练习：如图所示，把一张正方形纸片对折两次，并在如图所示位置上剪去一个小正方形，打开后的图形应为（）A. B. C. D.【知识点】轴对称的定义【解题过程】动手操作两次对折，故选B.【思路点拨】抓住轴对称的定义【答案】B.【设计意图】通过练习，进一步掌握中心对称的性质●活动3 （探究型例题）例3.如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若AE=3cm，四边形AEFB的面积为15cm2，则CF= ，四边形EDCF的面积为．【知识点】中心对称的性质【解题过程】∵四边形AEFB与四边形EDCF关于O中心对称∴CF=AE=3cm，四边形EDCF的面积=四边形AEFB的面积=15cm2.【思路点拨】抓住对角线交点为对称中心【答案】3cm,15cm2.练习：如图所示，矩形ABCD和矩形AB'C'D'关于A点中心对称，试说明四边形BDB'D' 是菱形.【知识点】中心对称的性质和菱形的判定【解题过程】∵四边形ABCD和矩形AB'C'D'关于点A中心对称，AB=AB'，AD=AD'，且BB'⊥DD' .∴四边形BDB'D'为菱形（对角线互相平分且垂直的四边形是菱形）.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】四边形BDB'D'是菱形.【设计意图】综合运用中心对称的性质解题●活动4 （中心对称作图）例4．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．【知识点】中心对称的性质【解题过程】（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，（2）同样画出点B和点C的对称点E和F．（3）顺次连结DE、EF、FD．则△DEF即为所求的三角形．【思路点拨】中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．【答案】练习：如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD 关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．【知识点】中心对称的性质【解题过程】（1）连结AO并延长AO到A'，使OA'=OA，于是得到点A的对称点A'，（2）同样画出点B和点C和点D的对称点B'、C'、D'．（3）顺次连结A'B'、B'C'、C'D'、D'A'.【思路点拨】中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO、DO并延长，取与它们相等的线段即可得到．【答案】【设计意图】利用中心对称性质作图.3. 课堂总结知识梳理180，它能够与另一个图形重合，那么（1）中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点叫做它们的对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.（2）中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段必过对称中心，且被对称中心平分.②中心对称的两个图形是全等图形.重难点归纳利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．（三）课后作业基础型自主突破1.如图所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗?【知识点】中心对称的性质【解题过程】连接两对对应点，交点即为对称中心，如下图如图，点O即为所求．【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】如图，点O即为所求．2.下列说法正确的有（）①关于成中心对称的两个图形不一定全等②关于成中心对称的两个图形一定全等③两个全等的图形一定成中心对称A. 个B. 个C. 个D. 个【知识点】中心对称的定义【解题过程】由中心对称的定义知，①不正确，②正确，③不正确，故选B. 【思路点拨】抓住中心对称的定义【答案】B.3.下列说法正确的是（）A. 两个能够重合的图形一定关于某条直线成轴对称B. 两个全等的图形一定关于某一点成中心对称C. 两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心D. 两个能够完全重合的三角形一定关于某一点成中心对称【知识点】轴对称与中心对称的定义【解题过程】由中心对称的定义和性质知：两个能够重合的图形不一定关于某条直线成轴对称，A选项错；两个全等的图形不一定关于某一点成中心对称，B选项错；两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心，C选项正确；两个能够完全重合的三角形不一定关于某一点成中心对称，D选项错.故选C.【思路点拨】抓住轴对称和中心对称的定义【答案】C .4.如图所示是一个中心对称图形，A 为对称中心，若 ∠C =90°，∠B =30°，BC =1，则BB'= ．【知识点】中心对称的性质【解题过程】∵∠C =90°，∠B =30°，BC =1，∴AB =332 ∴BB'=2AB =334. 【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】334. 5.如图所示，△ABC 以点O 为旋转中心，旋转180°后得到△A'B'C'.ED 是△ABC 的中位线，经旋转后为线段E'D'.已知BC =4，则E'D'的长为（ ）A. 2B. 3C.4D.1.5【知识点】中心对称的性质【解题过程】由题意，得E'D'=ED =21BC =2，故选A . 【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】A6.如图所示，在△ABC 中，AC =BC ，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE ，则四边形ADCF 一定是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形【知识点】中心对称的性质和矩形的判定【数学思想】数形结合【解题过程】∵在△ABC 中，AC =BC ，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， ∴，，AC AE BC DE 2121== ∴DE =AE .又∵旋转180°∴EC =AE =EF =DE ，∴四边形ADCF 为矩形.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】A .能力型 师生共研7.现有一张小圆桌和一堆足以铺满这张小圆桌的一元硬币.甲、乙两人轮流往这张小圆桌上各放一枚一元硬币，规定任何两枚硬币都不能重叠，谁放完一枚硬币后能使得对方再无法往桌面上放硬币时，谁就是获胜者.甲对乙说：“如果你让我先放，我一定获胜.”乙说：“那可不一定，就让你先放好了.”最后甲获胜，你知道其中的原因吗?【知识点】中心对称的性质【解题过程】甲先把一个硬币放在圆桌的中心，乙放好以后，甲再放的硬币与乙放的硬币关于甲放的第一个硬币成中心对称．因为圆桌表面是中心对称图形，所以甲获胜．【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】见解题过程.8.如图所示是一个44 的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计—个精美图案，使其满足下列条件：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.【知识点】平移，旋转，中心对称，轴对称的定义.【解题过程】根据题意，作图如下：【思路点拨】抓住对称性【答案】不唯一，如图所示：探究型多维突破9.如图，将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，再过点O任意画一条与AC、BD都相交的直线MN，交点分别为M和N．试问：线段OM=ON成立吗?若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．【知识点】中心对称的性质【解题过程】 可以将△BOD 和△AOC 组成的图形看作是一个中心对称图形，点O 是对称中心．又直线MN 过点O ，分别交AC 、BD 于点M 、N ，根据“对称中心平分连接两个对称点的线段”得OM =ON ．【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】成立，理由见解题过程.10.如图所示，EF 过长方形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于点E 、F ．已知长方形的对角线互相平分且相等，则阴影部分的面积是长方形ABCD 面积的 ．【知识点】矩形的性质和中心对称性【解题过程】由题意，可得△AEO ≌△CFO ，∴矩形阴影S S 41，故填.41 【思路点拨】抓住全等三角形 【答案】.41自助餐1.下列描述中心对称的特征语句中正确的是（ ）A.成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心B.成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段C.成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段经过对称中心，但不一定被对称中心平分D.成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，且被对称中心平分【知识点】中心对称的性质【解题过程】成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心.故A错误成中心对称的两个图形中，对称中心一定平分连接对称点的线段.故B错误成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段经过对称中心，且一定被对称中心平分.故C错误.应选D.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】D.2.将如图所示图案顺时针旋转180°，能够得到的图形是( )A. B. C. D.【知识点】中心对称的定义【解题过程】将原图旋转180°可得图B，故选B.【思路点拨】抓住中心对称的定义【答案】B.3.如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，则这两个图形一定关于这一点成对称.【知识点】中心对称的性质【解题过程】由中心对称的性质可知：应填“中心”.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】中心.4. 如图所示，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，则在同一条直线上的三点有，并且AO= ，BO= ．【知识点】中心对称的性质【解题过程】由中心对称的性质可知：B,O,D和A,O,C；CO；DO.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】B,O,D和A,O,C；CO；DO.5. 如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点.若把△ADE绕着点E按顺时针方向旋转180°，得到△CFE.（1）请指出图中哪些线段与线段CF相等；（2）试判断四边形DBCF是怎样的四边形，并证明你的结论.【知识点】中心对称的性质【解题过程】（1）∵D是AB的中点，∴AD=BD=CF.（2）证明：将△ADE绕着点E按顺时针方向旋转180°，得到△CFE，∵△ADE≌△CFE.∴AD=CF，∠A=∠ECF.∴AB∥CF.又∵D是AB的中点，∴AD=DB=CF，四边形DBCF是平行四边形.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】（1）AD=CF，DB=CF .（2）四边形DBCF是平行四边形.6.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使P A+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．【知识点】作图-平移变换；作图-中心对称；轴对称-最短路线问题．【数学思想】数形结合【解题过程】（1）如图1所示：（2）如图2所示：（3）找出A的对称点A′（1，﹣1），连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示：点P坐标为（2，0）．【思路点拨】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；（2）找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；（3）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．【答案】（1）（2）（3）P（2，0）.。