人教版九年级数学第23章《旋转》复习参考教案
人教版九年级数学上册教案：第二十三章《旋转》小结与复习
【数学·九年级·上册】第二十三章小结与复习【教学目标】1．总结和复习图形旋转、中心对称的基本性质的应用及两个点关于原点对称时坐标之间的关系；2．注意复习平移、轴对称、旋转的联系和区别，旋转和中心对称的联系和区别，运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些简单问题．【学情简析】本章先学习了旋转的有关知识，要求能够从旋转的角度观察图形，进而认识特殊的旋转——中心对称，最后运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．【教学重点】复习图形旋转的基本性质和中心对称的基本性质及两个点关于原点对称时，它们坐标之间的关系．【教学难点】运用旋转的性质解决问题．【课时安排】3课时【教学过程】环节教学内容教师的行为学生的活动唤起希望差异指导引发碰撞再激希望一、复习展示问题1平移、轴对称、旋转的区别与联系个人二次备课二、典型例题例 1 （1）如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，若将△ABD 经过旋转后到△ACP 位置，则旋转中心是______，旋转角等于_____度，△ADP是______三角形．（2）如图，正方形ABCD 中，E 是AD上一点，将△CDE 逆时针旋转后得到△CBM．则旋转中心是______，△CDE 旋转了___度，△CEM 是_____三角形．例2（1）画出点P 绕点O 顺时针旋PPT给出图片及问题个人二次备课板书课题巡视，指导，检查学生独立思考个人二次备课整理笔记小组合作探究ABDPCDAEBCM转 30°后的对应点．（2）画出线段AB 绕点A（或点M ）逆时针旋转45°后的图形．（3）画出△DEC 绕点C 逆时针旋转 90°后的图形．个人二次备课三、复习展示问题2旋转和中心对称的区别与联系．四、典型例题例3下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．例4已知：△ABC 中，A（-2，3），B（-3，1）， C（-1，2）．请画出△ABC关于原点O 对称的△A1B1C1．五、小结1．平移、轴对称和旋转有什么区别与联系？2．旋转和中心对称有什么区别与联系？3．怎样利用旋转的定义和性质作图？个人二次备课个人二次备课巡视指导巡视，检查对各组完成的情况进行点评归纳本节课所学布置作业教科书复习题23第 1，4，5 题．个人二次备课小组合作探究整理笔记个人二次备课个人二次备课教学反思。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第23章 旋转图形的旋转 (第2课时)教案
23.1图形的旋转（第2课时）一、教学目标【知识与技能】进一步加深对旋转性质的理解，能用旋转的性质解决具体问题及进行图案设计.【过程与方法】经历对生活中旋转现象的观察、推理和分析过程，学会用数学的眼光看待生活中的有关问题，体验数学与现实生活的密切联系.【情感态度与价值观】进一步培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感，体会生活的旋转美，发展学生的美感，增强学生的艺术创作能力和艺术欣赏能力.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】利用旋转的性质设计简单的图案.【教学难点】利用旋转性质进行旋转作图.五、课前准备课件、直尺、圆规、铅笔、图片等.六、教学过程（一）导入新课教师问：1.平移的特征有哪些.（出示课件2）2.旋转的特征有哪些.（出示课件3）3.如何做出符合要求的旋转后的图形呢？学生回顾前面所学过知识，巩固旋转的性质.（二）探索新知探究一简单的旋转作图画一画：如图，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段.（出示课件5）学生回顾前面所学过知识，并完成画图.作法：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX=60°.(2)在射线AX上取点C，使得AC=AB，线段AC为所求.画出下图所示的四边形ABCD以O为中心，旋转角都为60°的旋转图形．（出示课件6）学生画图，教师加以巡视并订正.师生共同总结：平移与旋转的异同（出示课件7）2同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.②不同：出示课件8：例如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.图形变换运动方向运动量的衡量平移直线移动一定距离旋转顺时针或逆时针转动一定的角度教师问：本题中作图的关键是什么？学生答：作图关键－确定点E的对应点E′.师生共同解答如下：（出示课件9）解：∵点A是旋转中心，∴它的对应点是点A.正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，所以旋转后点D与点B重合.设点E的对应点为E′.∵△ADE≌△ABE′∴∠ABE′＝∠ADE＝90°，BE′＝DE，因此在CB的延长线上截取点E′,使BE′=DE.则△ABE′为旋转后的图形.教师问：还有其他方法确定点E的对应点E′吗？（出示课件10）学生答：延长CB,以点A为圆心，AE的长为半径画弧,交CB的延长线于E'，连接AE',则△ABE'为旋转后的图形.教师归纳：旋转作图的基本步骤：（出示课件11）（1）明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2）找出关键点；（3）作出关键点的对应点；（4）作出新图形；（5）写出结论.巩固练习：1.如何确定它们的旋转中心位置？（出示课件12，13）学生自主解答：找到两条对应点所连线段的垂直平分线的交点.2.下图为4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，将△OAB绕点O逆时针旋转90°，你能画出△OAB旋转后的图形△O'A'B'吗？学生自主操作：如图所示.探究二利用多种图形变化的方法进行图形变化教师问：下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?还有其他方式吗?（出示课件14）学生1：仅靠平移无法得到.学生2：整个图形可以看作是右边的两个小“十字”绕着图案的中心旋转3次，分别旋转90°、180°、270°前后图形组成的.（出示课件15）学生3：整个图形可以看作是右边的两个小“十字”先通过一次平移成图形左侧的部分，然后左、右部分一起绕图形的中心旋转90°前后图形组成的.（出示课件16）出示课件17：例怎样将甲图案变成乙图案？学生通过观察，感受图案的形成过程，然后师生共同解答.可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再沿AB 方向将所得图案平移到B点位置，即可得到乙图案.巩固练习：如图，怎样将右边的图案变成左边的图案？（出示课件18）学生观察后自主解答.答：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转90°，然后平移，即可得到左边的图案探究三利用旋转设计图案选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案,会出现不同的效果.（出示课件19）教师利用课件19,20,21进一步展示“月芽”的旋转效果.思考：（1）在旋转过程中，产生了不同旋转效果，这是什么原因造成的呢？（2）你能仿照上述图示方法进行图案设计吗？与同伴交流.（三）课堂练习（出示课件22-28）1.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O、A1、B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）2.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A. B. C. D.3.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁4.如图，正方形ABCD和正方形CDEF有公共边CD,请设计方案,使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合,你能写出几种方案?5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，点D在边BC上，BD=2CD．△ABC绕着点D顺时针旋转一定角度后，点B恰好落在初始△ABC的边上.求旋转角α（0°＜α＜180°）的度数.参考答案：1.解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十三章旋转《复习题23》
教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十三章旋转《复习题23》一、教学目标（核心素养）1、知识与技能：通过复习题23的解答，巩固学生对旋转概念、性质、作图方法以及旋转在解决实际问题中应用的理解，提高学生的空间想象能力和解题能力。
2、数学思维：培养学生运用旋转知识解决实际问题的能力，提升学生的逻辑推理、图形变换和数学建模思维。
3、情感态度：激发学生对数学学习的兴趣，增强学习数学的自信心，培养合作学习的意识和探究精神。
二、教学重点•旋转的基本概念和性质。
•旋转作图的步骤和方法。
•旋转在解决实际问题中的应用。
三、教学难点•如何引导学生将旋转知识灵活应用于解决实际问题中。
•提升学生空间想象能力，准确进行旋转作图。
四、教学资源•多媒体课件（包含旋转概念回顾、例题解析、复习题展示）。
•教材及配套习题册。
•旋转作图工具（如直尺、圆规）。
•小组讨论题卡，用于合作探究。
五、教学方法•复习导入法：通过回顾旋转的基本概念和性质，引出复习题23。
•讲解示范法：教师讲解例题，示范解题过程，特别是旋转作图的步骤和方法。
•练习巩固法：学生独立或小组合作完成复习题，巩固所学知识。
•讨论交流法：组织小组讨论，分享解题思路和经验，相互启发。
六、教学过程1. 导入新课（5分钟）•复习回顾：利用多媒体课件，快速回顾旋转的基本概念（定义、性质）、旋转作图的基本步骤和方法，以及旋转在几何证明和解决实际问题中的应用实例。
•引入复习题：明确本节课的任务——解答复习题23，强调复习的重要性和目的。
2. 新课教学（30分钟）•例题解析（10分钟）：•选取几道具有代表性的例题，涉及旋转概念的理解、旋转作图的实践以及旋转在解决实际问题中的应用。
•教师详细讲解解题过程，特别是旋转作图的步骤和注意事项，引导学生观察图形变换的规律。
•复习题解答（20分钟）：•学生独立或小组合作完成复习题23中的题目。
•教师巡视指导，鼓励学生尝试多种解题方法，特别是对于难度较大的题目，引导学生分析题目条件，找出旋转元素，设计解题策略。
新人教版初中数学九年级上册第23章《图形的旋转》教案
探究
二、自主
探究
1．旋转中心不变，改变旋转角
画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形．
2．旋转角不变，改变旋转中心
画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30 °的旋转图形．
3、图案设计：（1）、如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O 为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°的菊花图案．
（2）、 如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心， 请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？
选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．
学生独立作图，两名同学上台展示。
画完之后相互批改、评价。
从画图中，师生共同归纳出:旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．
（3）旋转前、后的图形全等．
根据图形思考老师所给的问题，然后分组讨论，教师参与讨论交流，最后一组推荐一人上台回答结论
1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′
2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′
3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．
综合以上的实验操作，师生共同归纳出旋转的性质。
(5)由平面图形转动而产生的奇妙图案。
2、提出问题:
这些情境中的转动现象,有什么共同特征?
用课件展示图片并显示现实生活中部分物体的旋转现象
学生观察图片
学生思考，归纳它们的共同特征。
让学生再举一些类似的例子
通过这些画面的展示让学生切身感受到我们身边除了平移、轴对称变换等图形变换之外,生产、生活中广泛存在着转动现象，从而产生对这种变换进一步探究的强烈欲望,为本节课探究问题作好铺垫。
人教版数学九年级上册第二十三章旋转全章复习 教学设计
本章我们学习了一种新的图形变换——旋转，下面我们来对这一章节进行简要的梳理.首先我们遵循几何变换的一般研究思路，从定义、性质、应用几个方面对旋转进行了细致、深入的学习.然后我们又对其中一种特殊的旋转——中心对称进行了研究.最后结合之前学过的图形变换平移和轴对称，利用这三种图形之间的变化关系，以及它们变化前后只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小的共性，进行了图案设计.下面我们通过具体问题，来对本章一些具体的知识和方法进行复习和回顾.复习回顾：图形的旋转例如图所示，把一个直角三角尺ACB顺时针旋转到△EDB的位置，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则旋转中心是___，旋转角等于___度，∠BDC的度数为___度．设计意图：通过本题复习旋转的定义及性质.图形：定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转. 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.性质：1.对应点到旋转中心的距离相等.2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前、后的图形全等.例：已知：点A与点B.AB情况1：点A与点D对应，点B与点C对应.做线段AD与BC的垂直平分线，交于点E1，则点E1即为所求.进而∠A E1D、∠BE1C为旋转角.根据网格，可计算得出△AED的三边符合勾股定理逆定理，因此∠AE1D=90°，同理也可计算出∠BE1C=90°.因此线段DC可以看成是线段AB绕点E逆时针旋转90°得到的.情况2：点A与点C对应，点B与D对应.与情况1完全同理，可以确定此时点E2的位置如图所示，根据网格，可根据勾股定理逆定理得到旋转角∠AE2D=∠BE2D=90°.所以线段CD可以看成线段AB绕点E顺时针旋转90°得到的.复习回顾：中心对称例：如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是( ).（A）OC=OC′（B）OA=OA′（C）BC=B′C′（D）∠ABC=∠A′C′B′设计意图：复习中心对称的定义及性质.图形：定义：把一个图形绕着某一点旋转180゜，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.性质：（1）对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.（2）中心对称的两个图形是全等图形.例：如图，△DEF是△ABC经过某种变换后得到的图形．△ABC内任意一点M的坐标为(x,y)，点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是( ).（A） (-y,-x) （B）( x,-y)（C） (-x,y) （D）(-x,-y)设计意图：中心对称、关于原点对称的点的坐标.例：下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）。
《第二十三章_旋转_章末复习》名师教案
第23章 章末复习（曹瑶）一、本章思维导图二、典型例题讲解例1、随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点】中心对称图形；轴对称图形质【解题过程】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形；定义性质定义性质1、平面内、一个图形定义2、绕旋转中心、某个方向3、转动一定角度（旋转角）性质1、图形的形状、大小不变2、对应线段、对应角相等3、对应点到旋转中心距离相等4、对应点与旋转中心连线夹角相等性质3、转动180°1、图形的形状、大小不变2、对应线段、对应角相等3、对应线段平行（或者在同一直线上）且相等4、对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分中心对称定义1、平面内、一个图形2、绕旋转中心 图案设计成中心对称中心对称图形 关于原点对称的点的坐标旋转平移轴对称B 、是轴对称图形，不是中心对称图形；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形． 故选C ．【思路点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【答案】C例2、如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB =23，∠C =120°，则点B′的坐标为 （ ）C'B'A'ACBOx yA.(3,3)B. (3,3)-C. (6,6)D. (6,6)-【知识点】坐标与图形的旋转变化，菱形的性质，垂直的定义，旋转的性质 【数学思想】数形结合【解题过程】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB 的度数，又由将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA 的度数，然后在Rt △B′OF 中，利用三角函数即可求得OF 与B′F 的长，则可得点B′的坐标：过点B 作BE ⊥OA 于E ，过点B′作B′F ⊥OA 于F ，∴∠BEO =B′FO =90°. ∵四边形OABC 是菱形，∴OA ∥BC ，∠AOB =12∠AOC .∵∠AOC +∠C =180°，∠C =120°，∴∠AOC =60°，∠AOB =30°. ∵菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75°，O B′=OB=.∴∠B′OF =45°. 在等腰Rt △B ′OF 中，OF =OB ′÷2=×2=∴B′F=∵点B′在第四象限，∴点B′的坐标为：.故选D.【思路点拨】利用旋转的性质，找到特殊的直角三角形即可解题. 【答案】D例3、在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4， D 、E 分别是AB 、AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1= CE 1，且BD 1⊥CE 1．E 1BCE D （D 1）APE 1BCEDD 1A图1 图2【知识点】旋转变换 【数学思想】数形结合 【解题过程】解：（1）∵∠A =90°，AC =AB =4，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∴AE =AD =2，∵等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°）， ∴当α=90°时，AE 1=2，∠E 1AE =90°，1BD ==∴1E C ==故答案为25，25；（2）证明：当α=135°时，如图2，∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，在△D1AB和△E1AC中∵1111AD AED ABE ACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△D1AB≌△E1AC（SAS），∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，∴∠BF A=∠CFP，∴∠CPF=∠F AB=90°，∴BD1⊥CE1 .【思路点拨】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案.【答案】详见解题过程第23章章末检测题（曹瑶）一、选择题（每小题4分，共48分）1、下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【知识点】轴对称图形与中心对称图形的概念【解题过程】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选C．【思路点拨】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.【答案】C2、将叶片图案旋转180°后，得到的图形是()【知识点】图案旋转【解题过程】A是叶片图案经过翻转、旋转得到；B与叶片图案成轴对称；C是叶片图案经过平移得到；D是叶片图案旋转180°后得到.所以应选D.【思路点拨】以旋转图形的定义为依据进行判断，观察图形可知【答案】D.3、如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC'等于（）A.60°B.105°C.120°D.135°【知识点】旋转角【数学思想】数形结合【解题过程】∵△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，∴∠CAC′=60°，又∵等腰直角△ABC中，∠B=90°，∴∠BAC=45°，∴∠BAC′=∠BAC+∠CAC′=45°+60°=105°．故答案为105°【思路点拨】抓准旋转的性质，旋转角相等即可解题.【答案】B.4、在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OB，则点B 的坐标是()A.(-4，3)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(4，-3)【知识点】坐标系中点的旋转【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图：∴点B的坐标为（-4，3）．故选A．【思路点拨】画出坐标系，利用全等三角形解题.【答案】A.5、如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB'的长为（）A．4 B．2 C．1 D．3【知识点】中心对称【数学思想】数形结合【解题过程】∵此图是中心对称图形，A为对称中心，∴△BAC≌△B′AC′，∴∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=AC′，AB=AB'，∵∠C =90°，∠B =30°，AC =1， ∴AB′=2AC′=2，∴BB'=2AB'=4． 故选A ．【思路点拨】利用中心对称图形关于A 为对称中心，得出两图形全等，即可解决. 【答案】A .6、如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF 、MN 相交于中心点O ，对△ABC 分别作下列变换： ①先以点A 为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A 的对应点为中心逆时针方向旋转90°； ③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A 的对应点为中心顺时针方向旋转90°.其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【知识点】平移、旋转、轴对称 【数学思想】数形结合【解题过程】根据题意分析可得：①②③都可以使△ABC 变换成△PQR ． 故选D ．【思路点拨】利用平移、旋转、轴对称的定义. 【答案】D7、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中阴影部分的面积为( ) A.21B.33C. 33-1D.43-1【知识点】旋转的性质 【数学思想】数形结合【解题过程】如图，设B′C′与CD 的交点为E ，连接AE ，在Rt △AB′E 和Rt △ADE 中， AE =AE ，AB′=AD ，∴Rt △AB′E ≌Rt △ADE （HL ）， ∴∠DAE =∠B′AE ， ∵旋转角为30°， ∴∠DAB′=60°， ∴∠DAE =0.5×60°=30°， ∴DE =33∴阴影部分的面积=1—33 故选C ．【思路点拨】找准旋转角，利用30°的直角三角形解题. 【答案】C8、如图，直线434+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺针旋转90°后得到△AOB′，则点B′的坐标是（ ）A.（3，4）B.（4，5）C.（7，4）D.（7，3）【知识点】坐标系中点的旋转 【数学思想】数形结合【解题过程】直线434+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，4）两点．旋转前后三角形全等．由图易知点B′的纵坐标为OA 长，即为3， ∴横坐标为OA +OB =OA +O′B′=3+4=7． 故选D ．【思路点拨】找对应线段，利用三角形全等. 【答案】D9、将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标中，OB 在x 轴上，若OA =2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A′的坐标为（ ）A.3(，)1B.1(，)3-C.2(，)2-D.2(-，)2 【知识点】坐标与图形变化-旋转． 【数学思想】数形结合 【解题过程】解：如图，∵三角板绕原点O 顺时针旋转75°， ∴旋转后OA 与y 轴夹角为45°， ∵OA =2， ∴OA′=2，∴点A′的横坐标为2222=⨯，纵坐标为2222-=⨯-，所以A′点的坐标为)2,2(-，故选C. 【思路点拨】利用旋转性质得出OA′线段长度和各夹角大小，然后求出A′的坐标. 【答案】C.10、已知坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A ]”(a ≥0，0°<A <180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a . 若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( )A. (-1，-3)B. (-1，3)C.(3，-1)D.(-3，-1)【知识点】图形旋转【数学思想】数形结合【解题过程】由已知得到：OA=2，∠COA=60°，过A作AB⊥x轴于B，∴∠BOA=90°-60°=30°，∴AB=1，由勾股定理得：OB=3，∴A的坐标是（-3，-1）．故选C．【思路点拨】旋转过程中对应线段相等【答案】D.11、如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）．A.），132014(+-B.），132014(--C.），132014(-D.），132014(+【知识点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移.【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵△ABC 是等边三角形AB =3﹣1=2，∴点C 到x 轴的距离为1+2×23=3+1， 横坐标为2，∴A （2，3+1），第2016次变换后的三角形在x 轴上方，点A 的纵坐标为3+1，横坐标为2-2016×1=-2014， 所以，点A 的对应点A′的坐标是(-2014，3+1)故答案为：A (-2014，3+1)．【思路点拨】据轴对称判断出点A 变换后在x 轴上方，然后求出点A 纵坐标，再根据平移的距离求出点A 变换后的横坐标，最后写出即可.【答案】A .12、如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的个数是（ ）．（1）EF =2OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；（3）BE +BF =2OA ；（4）在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE =43．A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】四边形的旋转【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠OBE =∠OCF =45°，∠BOC =90°，∴∠BOF +∠COF =90°，∵∠EOF =90°，∴∠BOF +∠COE =90°，∴∠BOE =∠COF ，在△BOE 和△COF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠OCF OBE OCOB COF BOE ， ∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴OE =OF ，BE =CF ，∴EF =2OE ；故正确； （2）∵S 四边形OEBF =S △BOE +S △BOF =S △BOF +S △COF =S △BOC =41S 正方形ABCD ， ∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；故正确；（3）∴BE +BF =BF +CF =BC =2OA ；故正确；（4）过点O 作OH ⊥BC ， ∵BC =1，∴OH =21BC =21， 设AE =x ，则BE =CF =1﹣x ，BF =x ，∴S △BEF +S △COF =21BE •BF +21CF •OH =21x （1﹣x ）+21（1﹣x ）×21 =﹣21（x ﹣41）2+329， ∵a =﹣21＜0， ∴当x =41时，S △BEF +S △COF 最大；即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE =41；故错误. 【思路点拨】（1）由四边形ABCD 是正方形，直角∠MPN ，易证得△BOE ≌△COF （ASA ），则可证得结论；（2）由（1）易证得S 四边形OEBF =S △BOC =41S 正方形ABCD ，则可证得结论； （3）由BE =CF ，可得BE +BF =BC ，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE +BF =2OA ； （4）首先设AE =x ，则BE =CF =1﹣x ，BF =x ，继而表示出△BEF 与△COF 的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案.【答案】C二、填空题（每小题4分，共24分）13、下面图形：①四边形，②等边三角形，③正方形，④等腰梯形，⑤平行四边形，⑥圆，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ．（填序号）【知识点】轴对称、中心对称【解题过程】①是轴对称图形，也是中心对称图形；②是轴对称图形，不是中心对称图形；③不是轴对称图形，是中心对称图形；④是轴对称图形，不是中心对称图形；⑤不是轴对称图形，是中心对称图形；⑥是轴对称图形，也是中心对称图形．故选答案为：①⑥．【思路点拨】把握住轴对称和中心对称的定义即可.【答案】①⑥14、小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距 公里.【知识点】中心对称图形的性质【解题过程】解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，∴小明、小辉两家到学校距离相等，∵小明家距学校2公里，∴他们两家相距：4公里． 故答案为4.【思路点拨】根据中心对称图形的性质，得出小明、小辉两家到学校距离相等，即可得出答案.【答案】4.15、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD =110°，则∠BOC =_____. D C B A O【知识点】旋转角【数学思想】数形结合【解题过程】由题意可得∠AOB +∠COD =180°，又∠AOB +∠COD =∠AOC +2∠COB +∠BOD =∠AOD +∠COB ，∵∠AOD =110°，∴∠COB =70°．故答案为70°．【思路点拨】旋转角相等【答案】70°16、如图，在正方形ABCD 内作∠EAF =45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH ⊥EF ，垂足为H ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，若BE =2，DF =3，则AH 的长为 ．【知识点】旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：由旋转的性质可知：AF=AG ，∠DAF =∠BAG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD =90°．又∵∠EAF =45°，∴∠BAE+∠DAF =45°．∴∠BAG +∠BAE =45°．∴∠GAE =∠F AE ．在△GAE 和△F AE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG∴△GAE ≌△F AE ．∵AB ⊥GE ，AH ⊥EF ，∴AB=AH ，GE=EF =5．设正方形的边长为x ，则EC=x-2，FC=x-3．在Rt △EFC 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+EC 2，即（x -2）2+（x -3）2=25．解得：x =6．∴AB =6．∴AH =6．故答案为：6．【思路点拨】由旋转的性质可知：AF =AG ，∠DAF =∠BAG ，接下来再证明∠GAE =∠F AE ，由全等三角形的性质可知：AB=AH ，GE=EF =5．设正方形的边长为x ，接下来，在Rt △EFC 中，依据勾股定理列方程求解即可．【答案】6.17、如图，等边△ABC 绕点B 逆时针旋转30°时，点C 转到C′的位置，且BC′与AC 交于点D ，则CDD C '的值为 ． 【知识点】旋转的性质，等边三角形的性质【数学思想】数形结合【解题过程】设等边△ABC 的边长是a ，则BD ＝23BC 3， C′D ＝331a a ⎛= ⎝⎭，CD = 12a .∴31'2312a C D CD a ⎛ ⎝⎭==【思路点拨】等边△ABC 绕点B 逆时针旋转30°时，则△BCD 是直角三角形，即可求解.【答案】23.18、如图，边长为1的正方形ABCD 中绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为 ．【知识点】旋转的性质；正方形的性质．【数学思想】数形结合【解题过程】如图，连接AO ，根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°．在Rt △ADO 和Rt △AB′O 中，AD=AB′，AO=AO ，∴Rt △ADO ≌Rt △AB′O ．∴∠OAD =∠OAB′=30°．又∵AD =1，∴OD =AD •tan ∠OAD =33 ∴阴影部分的面积33133212=⨯⨯⨯=，故答案为33 【思路点拨】此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．【答案】33 三、解答题（共78分）19、（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A 1B 1C 1，点B 的对应点B 1的坐标是（1，2），再将△A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，点A 1的对应点为点A 2．（1）画出△A 1B 1C 1；（2）画出△A 2B 2C 2；（3）求出在这两次变换过程中，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长．【知识点】作图-旋转变换；作图-平移变换【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作；（3）OA =244422=+.点A 经过点A 1到达A 2的路径总长=18024901522••++π=π2226+． 【思路点拨】（1）由B 点坐标和B 1的坐标得到△ABC 向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A 1B 1C 1，则根据点平移的规律写出A 1和C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到△A2B2C2；（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长.【答案】（1）见上图（2）见上图（3）π226+220、（8分）四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得△ABE,如图所示，如果AF=4，AB=7.（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE的长度.【知识点】旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；可得旋转中心为点A；（2）DE=AD-AE=7-4=3.【思路点拨】利用旋转的性质找到旋转角和对应线段即可.【答案】（1）点A；旋转角度为90°或270°（2）321、（8分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1．（1）线段A1C1的长度是，∠CBA1的度数是．（2）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．【知识点】旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定【解题过程】解：（1）10；135°.（2）证明：∵∠A 1C 1B =∠C 1BC =90°，∴A 1C 1∥BC ．又∵A 1C 1=AC =BC ，∴四边形CBA 1C 1是平行四边形.【思路点拨】（1）由于将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1，根据旋转的性质可以得到A 1C 1=AC =10，∠CBC 1=90°，而△ABC 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CBA 1=∠CBC 1＋∠A 1BC 1=90°＋45°=135°.（2）由∠A 1C 1B =∠C 1BC =90°可以得到A 1C 1∥BC ，又A 1C 1=AC =BC ，利用评选四边形的判定即可证明.【答案】（1）10；135° （2）略22、（10分）两个长为2cm ，宽为1cm 的长方形，摆放在直线l 上（如图①），CE =2cm ，将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D 、H 重合时，连接AE 、CG ，求证：△AED ≌△GCD （如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND 为正方形．【知识点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质与判定；正方形的判定【数学思想】数形结合【解题过程】证明：（1）如图②，∵由题意知，AD=GD ，ED=CD ，∠ADC=∠GDE=90°，∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE ，即∠ADE=∠GDC ，在△AED 与△GCD 中，AD GD ADE GDC ED CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△GCD （SAS ）；（2）如图③，∵α=45°，BC∥EH，∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，∴∠CNE=90°，∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形，∵CN=NE，∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．【思路点拨】（1）根旋转的性质得AD=GD，CD=ED，由于∠CDE=∠EDC,则可根据全等三角形的判定方法SAS得到△AED≌△GCD（SAS）；（2）由于α=45°，结合旋转的性质，∠CNE=90°，再根据矩形的性质∠GHN=∠AND=90°，可以判定四边形MHND是矩形，最后根据DN=NH，所以可判断矩形MHND是正方形.【答案】见解题过程23、（10分）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．（1）求证：BE=CD；（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质.【数学思想】数形结合【解题过程】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，∴AB =AC ， ∴∠BAE =∠CAD ， 在△ACD 和△ABE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE CAD BAE AC AB ， ∴△ACD ≌△ABE （SAS ）， ∴BE =CD ； （2）∵AD ⊥BC ， ∴BD =CD ，∴BE =BD =CD ，∠BAD =∠CAD ， ∴∠BAE =∠BAD ， 在△ABD 和△ABE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE BAD BAE AB AB ， ∴△ABD ≌△ABE （SAS ）， ∴∠EBF =∠DBF ， ∵EF ∥BC ， ∴∠DBF =∠EFB ， ∴∠EBF =∠EFB ， ∴EB =EF ， ∴BD =BE =EF =FD ， ∴四边形BDFE 为菱形 【思路点拨】（1）根据旋转可得∠BAE =∠CAD ，从而SAS 证明△ACD ≌△ABE ，得出答案BE =CD ； （2）由AD ⊥BC ，SAS 可得△ACD ≌△ABE ≌△ABD ，得出BE =BD =CD ，∠EBF =∠DBF ，再由EF ∥BC ，∠DBF =∠EFB ，从而得出∠EBF =∠EFB ，则EB =EF ，证明得出四边形BDFE 为菱形【答案】 详见解题过程24、（12分）数学问题：计算m 1+21m +31m +...+n m1（其中m 、n 都是正整数，且m ≥2，n ≥1）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算21+221+321+...+n 21． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为21； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为21+221； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； …第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为21+221+321+...+n 21，最后空白部分的面积是n 21． 根据第n 次分割图可得等式：21+221+321+...+n 21．=1﹣n 21．探究二：计算31+231+331+...+n 31．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为32； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为32+232； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； …第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为32+232+332+...+n 32，最后空白部分的面积是n 31． 根据第n 次分割图可得等式：32+232+332+...+n 32=1﹣n 31，两边同除以2，得31+231+331+...+n 31=21-n321⨯．探究三：计算n 41...41414132++++．（仿照上述方法，只画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算m 1+21m +31m +...+n m1． （只需画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空） 根据第n 次分割图可得等式： ， 所以，m 1+21m +31m +...+n m1= ． 拓广应用：计算n n 51-5...51-551-551-53322++++． 【知识点】作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类 【数学思想】数形结合【解题过程】解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为43； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为24343+； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …，第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为：n 43...43434332++++，最后的空白部分的面积是n 41，根据第n 次分割图可得等式：n n 41-143...43434332=++++，两边同除以3，得nn 431-3141...41414132⨯=++++； 解决问题：n n mm m m m m m m m 1-11-...1-1-1-32=++++，m 1+21m +31m +...+n m 1=nm m m ⨯---）（1111； 故答案为：n n 41-143...43434332=++++，nmm m ⨯---）（1111.拓广应用：n n 51-5...51-551-551-53322++++ =1﹣51+1﹣251+1﹣351+…+1﹣n 51，=n ﹣（51+251+351+…+n 51），=n ﹣（41﹣n 541⨯），=nn 54141⨯+-．【思路点拨】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m ﹣1）即可得解；拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解.【答案】n n 41-143...43434332=++++，nm m m ⨯---）（1111，n n 51-5...51-551-551-53322++++=n n 54141⨯+-25、（12分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a （a ＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值. 【知识点】作图—应用与设计作图 【数学思想】数形结合【解题过程】解：①如图，a =4，②如图，a =25，③如图，a =34，④如图，a =35，【思路点拨】平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a （a ＞1），剪三次后余下的四边形是菱形的4种情况画出示意图. 【答案】a =4、a =25、a =34、a =35. 26、（12分）已知：点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点． （1）当点P 与点O 重合时如图1，易证OE =OF （不需证明）（2）直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当∠OFE =30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【知识点】四边形中的旋转 【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ， ∴∠AEO =∠CFO =90°， 在△AEO 和△CFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COF AOE OCAO CFOAEO ， ∴△AOE ≌△COF ， ∴OE =OF ．（2）图2中的结论为：CF =OE +AE ． 图3中的结论为：CF =OE ﹣AE ． 选图2中的结论证明如下： 延长EO 交CF 于点G ， ∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ， ∴AE ∥CF ， ∴∠EAO =∠GCO ，在△EOA 和△GOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COG AOE OCAO GCO EAO ， ∴△EOA ≌△GOC ， ∴EO =GO ，AE =CG ， 在RT △EFG 中，∵EO =OG ， ∴OE =OF =GO ， ∵∠OFE =30°，∴∠OFG =90°﹣30°=60°， ∴△OFG 是等边三角形， ∴OF =GF ， ∵OE =OF ， ∴OE =FG ， ∵CF =FG +CG ， ∴CF =OE +AE ．选图3的结论证明如下： 延长EO 交FC 的延长线于点G ， ∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ， ∴AE ∥CF ， ∴∠AEO =∠G ， 在△AOE 和△COG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OC AO GOC AOE G AEO∴△AOE ≌△COG ， ∴OE =OG ，AE =CG ， 在RT △EFG 中，∵OE =OG ， ∴OE =OF =OG ， ∵∠OFE =30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．【思路点拨】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG 是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似.【答案】略。
九年级数学上册 第23章 旋转章末复习教案 (新版)新人教版
旋转章末复习一、复习导入1.导入课题：本节课对全章的知识作一回顾，梳理其知识脉络，弄清其重点和考点.2.复习目标：（1）梳理全章知识要点，能画出它的知识结构框图.（2）进一步明确旋转、中心对称、中心对称图形等概念的含义及它们的性质和作图等.3.复习重、难点：重点：旋转、中心对称的概念和性质.难点：性质的应用及图案的设计.二、分层复习1.复习指导：（1）复习内容：教材第58页至第77页的内容.（2）复习时间：7分钟.（3）复习要求：搜集知识要点，画知识结构框图.（4）复习参考提纲：①梳理知识要点:a.旋转的概念.b.旋转的性质.c.中心对称与中心对称图形的概念.d.中心对称的性质.e.关于原点对称的点的坐标特征.f.旋转和中心对称的作图.②画全章知识结构框图.180180⎧⎪⎨⎪⎩︒⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪︒⎪⎪⎩定义（三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角）对应点到旋转中心的距离相等性质对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角旋转不改变图形的形状和大小定义：两个图形旋转后互相重合旋转对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分性质特殊的旋转中心对称关于对称中心对称的两个图形是全等图形中心对称图形（一个图形旋转后与其自身重合）关于原点对称的两点：横、纵坐标分别互为相反数⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩利用平移、轴对称、旋转进行图案设计 2.自主复习：可结合复习指导进行自主复习.3.互助复习：（1）师助生：①明了学情：知识点的梳理是否详细、准确;知识结构框图是否能清晰展现全章的知识脉络.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：生生互动、交流、研讨、改正.4.强化：学习成果展示：画出全章知识结构框图.1.复习指导：（1）复习内容：典例剖析，考点跟踪.（2）复习时间：10分钟.（3）复习要求：注意体会知识点的考查方式，以及所学知识的综合运用.（4）复习参考提纲：①在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（A ）A ．先逆时针旋转90°，再向左平移B ．先顺时针旋转90°，再向左平移C ．先逆时针旋转90°，再向右平移D ．先顺时针旋转90°，再向右平移②下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（B ）A.4个B.3个C.2个D.1个③若点A(2m-1，2n+3)与B(2-m，2-n)关于原点O对称，则m= -1 ,n= -5 ．④如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,3),点B的坐标为(-5,0),画出点A、点B关于原点的对称点A′、B′,并写出对称点的坐标.A′（2，-3）B′（5,0）⑤如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴、y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的图形沿x轴正方向平移1个单位得到△CDO，写出A、C两点的坐标并求出点A和点C之间的距离.A(-2，0)，C(1，2)，点A和点C之间的距离AC===.2.自主复习：可结合复习指导自主复习，或相互交流研讨.3.互助复习：（1）师助生：①明了学情：特别关注学生是否对以往学过的旧知识不熟悉.②差异指导：根据学情进行针对性指导.（2）生助生：小组内研讨、总结.4.强化：结合复习参考提纲，让学生明确本章的主要考点有：（1）中心对称图形的识别（或综合轴对称图形）；（2）关于原点对称的点的坐标的运用；（3）利用旋转进行相关的计算或证明；（4）平移、轴对称和旋转变换的综合运用；（5）中心对称的性质的应用及相关的作图等.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中有何新的认识和收获？自我感觉还有什么不足的地方吗？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动参与情况，小组交流协作状况，以及学习效果和存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次引导复习，让学生在复习中得到提升，设置典型的问题考查学生对于基础知识的理解和运用，从课堂反馈来看，大部分学生掌握了本章知识要点，还有部分学生对中心对称（图形）还是有些迷惑，在后面的教学中，要不定时检验他们对这方面知识的掌握情况.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（C）A．60°B．75°C．85°D．90°第1题图第3题图第4题图2.(10分)已知点P（a，a+2）在直线y=2x-1上，则点P关于原点的对称点P′的坐标为（D）A.（3，5）B.（-3，5）C.（3，-5）D.（-3，-5）3.(10分) 如图，边长为4的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（B）A.1B.4C.6D.84.(10分) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°后，点B落在点B′处，则BB′=cm.5.(10分) 在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．解：都是中心对称图形，对称中心如图所示.6.(10分)如图，在张伯与王叔联合承包的平行四边形田地ABCD中，有块圆形低洼地，现要修建一条笔直的路，将平行四边形田地和圆形低洼地同时平分成两部分，请设计路线.解：连接AC，BD，交于O′，则O′是平行四边形ABCD的对称中心，连接圆心O与O′，则OO′所在的直线将平行四边形田地和圆形低洼地同时分成两部分.7.(10分) 如图，写出△ABC三顶点的坐标，并在图中描出点A1（3，3），B1（2，-2），C1（4，-1），并说明△A1B1C1是△ABC通过怎样的变化得到的？解：A(-2,2),B(-3,-3),C(-1,-2).描点如图.△A1B1C1是由△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到的.二、综合应用（20分）8.(20分) 如图，有三个菱形位于同一个平面直角坐标系中，解答下列问题：（1）这三个菱形的对称中心坐标分别为：①(8,0)，②(0,8)，③(-8,0)，面积都等于12．（2）菱形②可以看做是由菱形①如何旋转得到的？解：绕点O逆时针旋转90°得到的．（3）菱形③与菱形②可看做是关于直线l对称的，则直线l所对应的函数关系式是y=-x．（4）从菱形①变换到菱形③，可以满足什么几何变换？请你设计两种不同的变换方法．解：第一种：向左平移16个单位长度.第二种：关于原点作中心对称.三、拓展延伸（10分）9.(10分) 如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，BC=25，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点F、E．（1）当旋转角度为90°时，四边形ABFE的形状是平行四边形;（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总是保持相等;（3）在旋转过程中四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．解：(2)连接AF,EC.∵四边形ABCD是平行四边形∴AD与CB关于点O中心对称.又E、F分别在AD、BC上.∴AE与CF关于点O中心对称.∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形.∴AF=CE.(3)可能是菱形，当AC绕点O旋转45°时，∵AC=BC2-AB2=4，∴OA=OC=2，∴OA=AB,又∠BAC=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°.当AC绕点O顺时针旋转45°时，∠AOE=45°，∴∠BOE=90°，EF垂直平分BD，∴BE=ED.易证四边形BEDF为平行四边形. ∴四边形BEDF是菱形.。
九年级数学上册 第二十三章 旋转复习教案 (新版)新人教版
旋转
教师活动
(一）图形的旋转
1．旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角
注意：
在旋转过程中保持不动的点是旋转中心．
2．旋转的三个要素：
旋转中心、旋转的角度和方向.
3．旋转的性质：
（1)对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
．中心对称
边形、圆是中心对称图形.
．下列图形中，中心对称图形是
( )
把一个图形绕着某一点旋转180°后，如果它能和另一个图形完全重合，么称这两个图形成中心对称，
对称中心平分；反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是）确定关键点；
，四边形ABC＝
____________.。
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第二十三章《旋转》复习教案
一．概念：
1.旋转：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.
例：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A 、B 、C 分别移动到什么位置？
图1
图
2
2 .中心对称图形：图形绕着中心旋转180°后与自
身重合称中心对称图形（如：平行四边形、圆等）。
有 ）
○
1旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等). ○
2任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角). ○
3经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等 2.旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度.
例：1.若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法：
○
1对称点的连线必过对称中心； ○
2这两个图形一定全等； ○
3对应线段一定平行且相等； ○4将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合。
其中正确的是（ ）。
(A) ①② (B) ①③(C) ①②③ (D) ①②③④
2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=14
，△ABF 是△ADE 的旋转
图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？
（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？
三．基本练习
1．将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（）2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．直角 B．等边三角形 C．直角梯形 D．两条相交直线3．下列命题中真命题是（）
A．两个等腰三角形一定全等
B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少
C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．两直线平行，同旁内角相等
4．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）
A．60° B．50° C．75° D．55°
5.如图，△ABC是等边三角形。
D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE 的位置。
○1旋转中心是哪一点
○2旋转了多少度？
○3如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
6. 如图甲，正方形ABCD和正方形CEFG共一顶点C，且B，C，E在一条直线上。
连接BG， DE.
○1请你猜测BG，DE的位置关系和数量关系，并说明理由；
○2若正方形CEFG绕C点顺时针方向旋转一个角度后，如图乙，BG和DE是否还有上述关系？是说明理由。
三．应用
1．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）
例．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形．
2．对称、平移、旋转及其组合
①按要求作出简单平面图形变换后的图形.
②灵活运用轴对称、中心对称、平移和旋转的组合进行图案设计.
例1.以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形．
例2．以下图所示的是以四边形ABCD以O点为对称中心所得的中心对称图形
四．基本练习
1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的______和______都保持不变．
2．如上右图，是由________关系得到的图形．
3. 如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度是________．
4．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．
5.作图题
（1）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．
(2)．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B•点的对称点， •作出线段AB，并回答，AB与CD有什么位置关系．
(3)．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴L的对称线段C′D′，•并说明CD与对称线段C′D′之间有什么关系？
(4)．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，•并说明这两条线段之间有什么关系？
(5)下图是某设计师设计的方桌边图案的一部分。
请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°，180°，270°，并画出它在各象限内的图形。
6.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O 按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长OP1到点P2使O P2=2OP1；再将点P2
绕原点O按逆时针方向旋转30°得到点P3，延长OP3到点P4使O P4=2OP3；……如此继续下去。
求：
○1点P2的坐标；
○2点P2019的坐标.。