概率论与数理统计知识要点
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计知识要点
知识要点一 概念：1 随机事件：用,,A B C 等表示 互不相容： AB =Φ互逆： AB =Φ且A B ⋃=Ω ，此时，B A =互逆 ⇒互不相容 ，反之不行相互独立：()()P A B P A =或()()()P AB P A P B =2 随机事件的运算律：(1) 交换律 ：,A B B AAB BA ⋃=⋃=(2) 结合律 ：()(),()()A B C A B C AB C A BC ⋃⋃=⋃⋃=(3) 分配律 ：(4 ) De Morgen 律（对偶律） 推广：11n ni i i i A A ===U I3 随机事件的概率：()P A有界性 0()1P A ≤≤ 若A B ⊂ 则()()P A P B ≤条件概率 ()()()P AB P A B P B =4 随机变量： 用大写,,X Y Z 表示 .若X 与Y 相互独立的充分必要条件是)()(),(y F x F y x F Y X =若X 与Y 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = 若X 与Y 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y p x y p x p y =若X 与Y 不相关，则cov(,)0X Y = 或 (,)0R X Y = 独立⇒不相关 反之不成立 但当X 与Y 服从正态分布时 ，则相互独立⇔不相关相关系数：1),(≤Y X R 且当且仅当bX a Y +=时1),(=Y X R ，并且二 两种概率模型古典概型 ：()MP A N=:M A 所包含的基本事件的个数 ；:N 总的基本事件的个数 伯努利概型 ： n 次独立试验序列中事件A 恰好发生m 次的概率 ()m m n m n n P m C p q -=n 次独立试验序列中事件A 发生的次数为1m 到2m 之间的概率n 次独立试验序列中事件A 至少发生r 次的概率特别的 ，至少发生一次的概率 (1)1(1)nP m p ≥=--三 概率的计算公式：加法公式：()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+- 若B A,互不相容 ,则)()()(B P A P B A P +=+推论：)()(A P A P -=1 推广： 若B A,，C 互不相容，则()()()()P A B C P A P B P C ++=++乘法公式：)()()(A B P A P AB P =或()()P B P A B =若,A B 相互独立 ，()()()P AB P A P B = 推广：)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛΛΛ若它们相互独立，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =L L L L 全概率公式：若 A 为随机事件，n B B B ΛΛ21,互不相容的完备事件组，且 0)(>i B P则)()()()()()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=ΛΛ注： 常用,B B 作为互不相容的完备事件组有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的概率问题属于全概率问题.用全概率公式解题的程序：（1） 判断所求解的问题 是否为全概率问题 （2） 若是全概率类型，正确的假设事件A 及i B ，{}i B 要求是互斥的完备事件组（3） 计算出(),()i i P B P A B（4） 代入公式计算结果四 一维随机变量：1 分布函数：)()(x X P x F ≤= 性质：（1） 1)(0≤≤x F（2） 若21x x < ，则)()(21x F x F ≤（3） 若X 是离散随机变量，则)(x F 是右连续的若X 是连续随机变量，则)(x F 是连续的 （有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数）（4）1)(lim =+∞→x F x 即 1)(=+∞F0)(lim =-∞→x F x 即 0)(=-∞F （ 此性质常用来确定分布函数中的常数）利用分布函数计算概率：()()()P a X b F b F a <≤=- 一维离散随机变量：概率函数：()()1,2i i p x P X x i ===L （分布律）性质：()0i p x ≥()1iip x =∑ （此性质常用来确定概率函数中的常数）已知概率函数求分布函数 ()()()i i iix xx xF x P X x p x ≤≤===∑∑一维连续随机变量： 概率密度()f x性质：（1） 非负性()0f x ≥ （2）归一性：()1f x dx +∞-∞=⎰（常用此性质来确定概率密度中的常数）分布函数和概率密度的关系： ()()f x F x '=（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用概率密度求概率 ()()baP a X b f x dx <≤=⎰五 一维随机变量函数的分布： 离散情形 ： 列表 、整理、合并连续情形()Y g X =： 分布函数法. 先求Y 的分布函数 ，再求导六 二维随机变量： 联合分布函数 ：(,)(,)F xy P X x Y y =≤≤性质： （1） (,)0F -∞-∞= （2） (,)0F x -∞= （3） (,)0F y -∞= （4） (,)1F +∞+∞=（此极限性质常用来确定分布函数中的常数）边缘分布函数： ()(,)X F x F x =+∞ ),()(y F y F Y +∞= 二维离散随机变量：联合概率函数 (,)(,)i j i j p x y P X x Y y === 列表 边缘概率函数：()(,)X i i j jp x p x y =∑ ()(,)Y i i j ip y p x y =∑二维连续随机变量： 联合概率密度 (,)f x y性质 （1）(,)0f x y ≥（2）(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰（常用此性质来确定概率密度中的常数）联合分布函数与联合概率密度的关系（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用联合概率密度求概率已知联合概率密度求边缘概率密度（注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 二维随机变量函数的分布 1 离散情形 2 连续情形：七 随机变量的数字特征： 若X 为离散随机变量：1()()niii E X x p x ==∑若X 为连续随机变量： ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰二维情形 若(,)~(,)X Y f x y 为二维连续随机变量，则若(,)~(,)i j X Y p x y 为二维离散随机变量，则 随机变量的函数的数学期望：若X 为离散随机变量：[]()()()i i iE g X g x p x =∑若X 为连续随机变量 []()()()E g X g x f x dx +∞-∞=⎰方差：定义 []{}2()()D X EX E X =-方差的计算公式：22()()()D X E X E X =- 注意这个公式的转化：22()()()E X D X E X =+ 协方差：)()()(),cov(Y E X E XY E Y X -=，相关系数)()(),cov(),(Y D X D Y X Y X R =关于期望的定理： 关于方差的定理 （1） ()E C C = （1） ()0D C =（2）()()E CX CE X = （2） 2()()D CX C D X =（3） ()()()E X Y E X E Y +=+ 相互独立： ()()()D X Y D X D Y +=+ ()()()E X Y E X E Y λμλμ+=+ （注意：反之不成立） 相互独立()()()E XY E X E Y =（注意：反之不成立）一般地：),cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+ 八 要熟记的常用分布及其数字特征：01-分布 (1,)B p 1()0,1x xp x p q x -== ()()E X p D X pq == 二项分布(,)B n p ()0,1xxn xi n p x C p qx n -==L ()()E X npD X npq ==泊松分布()p λ ()0,1!xp x e x x λλ-==L ()()E X D X λλ==均匀分布：(,)U a b 1()0a x b f x b a ⎧<≤⎪=-⎨⎪⎩其他 ()01x aa xb b a F X x ax b -⎧≤<⎪-⎪=<⎨⎪≥⎪⎩指数分布：()e λ 0()00xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩ 10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 正态分布：2~(,)X N μσ特别地(0,1)N22()x x ϕ-=22()x xx edx --∞Φ=⎰（)(1)(x x Φ-=-Φ）若2~(,)X N μσ ，则1212()()x x X P x X x P μμμσσσ---<<=<<九 正态随机变量线性函数的分布；独立的正态随机变量线性函数的分布仍然是正态分布 十 统计部分：统计量 ，三大分布的定义，无偏性 有效性 矩估计 最大似然估计 区间估计 假设检验矩估计的步骤：（思路：用样本的k 阶原点矩去估计总体的k 阶原点矩） 若总体中只含一个未知参数； （1） 计算总体的一阶原点矩)(X E（2） 令∑===ni i X n V X E 111)(，从中解得未知参数的矩估计量。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论知识点总结：1.随机事件：随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷硬币的结果、抽取扑克牌的花色等。
2.概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性大小，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
3.古典概型：古典概型是指每种可能的结果发生的概率相等的情形。
例如：掷骰子的结果、抽取彩色球的颜色等。
4.随机变量：随机变量是用来描述试验结果的数值，它的取值是根据随机事件的结果确定的。
例如：掷骰子的点数、抽取扑克牌的点数等。
5.概率分布：随机变量的概率分布描述了每个取值发生的概率。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布，如二项分布、正态分布等。
6. 期望值：期望值是衡量随机变量取值的平均值。
对于离散型随机变量，期望值=E[X]=∑[xP(X=x)]；对于连续型随机变量，期望值=E[X]=∫[x f(x)dx]，其中f(x)为概率密度函数。
7. 方差：方差是衡量随机变量取值与期望值之间的偏离程度。
方差=Var(X)=E[(X-E[X])^2]。
8.独立性：两个随机事件或随机变量之间的独立性表示它们的发生与否或取值无关联。
独立性的判定通常通过联合概率、条件概率等来进行推导。
二、数理统计知识点总结：1.样本与总体：在统计学中，样本是指从总体中选取的具体观测数据。
总体是指要研究的对象的全部个体或事物的集合。
2.参数与统计量：参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。
统计量是根据样本计算得到的参数估计值，用来估计总体参数。
3.抽样方法：抽样方法是从总体中选取样本的方法，常见的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
4.统计分布：统计分布是指样本统计量的分布。
常见的统计分布有t分布、F分布、x^2分布等，其中t分布适用于小样本、F分布适用于方差比较、x^2分布适用于拟合优度检验等。
5.点估计与区间估计：点估计是以样本统计量为基础，估计总体参数的数值。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。
下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。
一、概率论知识点总结1. 随机事件与概率- 随机事件：指在一定条件下具有不确定性的事件。
- 概率：用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。
2. 古典概型与几何概型- 古典概型：指随机试验中，所有基本事件的可能性相等的情况。
- 几何概型：指随机试验中，基本事件的可能性不完全相等，与图形的属性有关的情况。
3. 随机变量与概率分布- 随机变量：定义在样本空间上的函数，用来描述试验结果与数值之间的对应关系。
- 离散随机变量：取有限个或可列个数值的随机变量。
- 连续随机变量：取无限个数值的随机变量。
4. 期望与方差- 期望：反映随机变量平均取值的数值。
- 方差：反映随机变量取值偏离期望值的程度。
5. 大数定律与中心极限定理- 大数定律：指在独立重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率趋近于其概率。
- 中心极限定理：指在独立随机变量之和的情况下，当随机变量数目趋于无穷时，这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。
二、数理统计知识点总结1. 抽样与抽样分布- 抽样：指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。
- 抽样分布：指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。
2. 参数估计与置信区间- 参数估计：根据样本推断总体的未知参数。
- 置信区间：对于总体参数估计的一个区间估计，用来表示这个参数的可能取值范围。
3. 假设检验与统计显著性- 假设检验：用来判断统计推断是否与已知事实相符。
- 统计显著性：基于样本数据，对总体或总体参数进行判断的一种方法。
4. 方差分析与回归分析- 方差分析：用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。
- 回归分析：通过观察变量之间的关系，建立数学模型来描述两个或多个变量间的依赖关系。
5. 交叉表与卡方检验- 交叉表：将两个或多个变量的数据按照某种方式交叉排列而形成的表格。
概率论与数理统计基础知识
从集合的角度看
B
A
事件是由某些样本点所构成的一个集合．一个事件发 生，当且仅当属于该事件的样本点之一出现．由此可 见，样本空间Ω作为一个事件是必然事件，空集Ø作 为一个事件是不可能事件，仅含一个样本点的事件称 为基本事件．
2. 几点说明
⑴ 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C,
基本事件 实例
由一个样本点组成的单点集.
“出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件. 必然事件的对立面是不可能事件,不可能事 件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
将下列事件均表示为样本空间的子集. (1) 试验 E2 中(将一枚硬币连抛三次，考虑正反 面出现的情况),随机事件: A＝“至少出现一个正面” B=“三 次出现同一面” C=“恰好出现一次正面” (2) 试验 E6 中(在一批灯泡中任取一只，测试其 寿命),D＝“灯泡寿命不超过1000小时”
(1)由S2= {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH,TTT}； 故: A＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH}； B={HHH,TTT} C={HTT，THT，TTH} (2) D＝{x: x<1000(小时）}。
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概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象及其统计规律的数学学科，在自然科学、工程技术、社会科学、经济管理等众多领域都有着广泛的应用。
以下是对概率论与数理统计中一些重要知识点的详细总结。
一、随机事件与概率1、随机试验随机试验是指在相同条件下可以重复进行，试验结果不止一个且事先不能确定的试验。
2、样本空间样本空间是随机试验所有可能结果组成的集合。
3、随机事件随机事件是样本空间的子集。
4、事件的关系与运算包括包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。
5、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
6、古典概型具有有限个等可能结果的随机试验。
7、几何概型样本空间是某个区域，且每个样本点出现的可能性与区域的面积、体积等成正比。
8、条件概率在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
9、乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
10、全概率公式将复杂事件的概率通过划分样本空间分解为简单事件的概率之和。
11、贝叶斯公式在已知结果的情况下，反推导致该结果的原因的概率。
二、随机变量及其分布1、随机变量用数值来描述随机试验的结果。
2、离散型随机变量取值可以一一列举的随机变量。
3、离散型随机变量的概率分布列出随机变量的取值以及对应的概率。
4、常见的离散型随机变量分布包括 0-1 分布、二项分布、泊松分布等。
5、连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量。
6、连续型随机变量的概率密度函数用于描述连续型随机变量的概率分布。
7、常见的连续型随机变量分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
8、随机变量的函数的分布已知随机变量的分布，求其函数的分布。
三、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成的向量。
2、二维随机变量的联合分布函数描述二维随机变量的概率分布。
3、二维离散型随机变量的联合概率分布列出二维离散型随机变量的取值组合以及对应的概率。
4、二维连续型随机变量的联合概率密度函数用于描述二维连续型随机变量的概率分布。
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概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象数量规律的学科，它在众多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。
以下是对概率论与数理统计知识点的超详细总结。
一、随机事件与概率（一）随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
随机事件通常用大写字母 A、B、C 等来表示。
（二）样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合，通常用Ω表示。
（三）事件的关系与运算1、包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记作 A⊂B。
2、相等关系：若 A⊂B 且 B⊂A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作A ＝ B。
3、并事件：事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为 A 与 B的并事件，记作 A∪B。
4、交事件：事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的交事件，记作A∩B 或 AB。
5、互斥事件：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称 A 与 B 为互斥事件，即 AB ＝∅。
6、对立事件：若事件 A 与事件 B 满足 A∪B ＝Ω 且 AB ＝∅，则称 A 与 B 为对立事件，记作 B ＝A。
（四）概率的定义与性质1、概率的古典定义：若随机试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件 A 的概率为 P(A) ＝n(A) ／n(Ω) ，其中 n(A) 为事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 为样本空间Ω包含的基本事件个数。
2、概率的统计定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，则称 p 为事件 A 的概率，即 P(A) ＝ p 。
3、概率的公理化定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω中的每一个事件 A，都赋予一个实数 P(A)，如果满足以下三个条件：（1）非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1 ；（2）规范性：P(Ω) ＝ 1 ；（3）可列可加性：对于两两互斥的事件 A1，A2，，有P(A1∪A2∪）＝ P(A1) ＋ P(A2) ＋，则称 P(A) 为事件 A 的概率。
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概率论与数理统计知识要点(总12页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1■CAL■本页仅作为文档封面，使用请直接删除知识要点一概念：1随机事件：用A,B,C等表示互不相容：AB = <X>互逆：初二①且= C ,此时，B = A互逆=>互不相容，反之不行相互独立：P(A\ B) = P(A)或P(AB) = P(A)P(B)2随机事件的运算律：(1)交换律:A<J B=B<J A ,AB = BA(2)结合律：= ,(AB)C = A(BC)(3)分配律：(4 ) De Morgen 律(对偶律)推广：U A=A AJ-1 J-13随机事件的概率:P(A)有界性OSP(A)S1若Au3 则P(A) < P(B)条件概率P(A|B) =罟労4随机变量：用大写X",Z表示.若X与Y相互独立的充分必要条件是F(xo') = B(A)F r(y)若x与丫是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是f(x, >-)= f x «A(y)若X与Y是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是［心,刃=Px (x)p y(y)若X与Y不相关,贝IJcov(X,r)= 0 或R(X,Y) = O独立=> 不相关反之不成立但当X与Y服从正态分布时，则相互独立O不相关相关系数：|/?(X,r)|<l且当且仅当Y = a + hX时*(X”)| = 1,并且二两种概率模型古典概型：P(A) =畔M : A所包含的基本事件的个数；N:总的基本事件的N个数伯努利概型："次独立试验序列中事件A恰好发生加次的概率P n(rn) = C：p m q n-mn次独立试验序列中事件A发生的次数为"到〃-之间的概率n次独立试验序列中事件A至少发生r次的概率特别的，至少发生一次的概率P(/n>l) = l-(l-/7)n三概率的计算公式:加法公式：P(AB) = P(A) + P(B)-P(AB)若 A ,3 互不相容，则P(A + B) = P(A) + P(B)推论:P(A) = 1-P(A)推广：若A ,B, C 互不相容，贝IJ P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)乘法公式:P(AB) = P(A)P(B\A)或= P(B)P(A|3)若A ,B 相互独立，P(AB) = P(A)P(B)推广:……AJ=P(A I)P(A2|A1)P(A3|AA2)……P(A n\A l A1……心)若它们相互独立，则P(AA2……4)= P(A)P(A2)……p(4)全概率公式：若A为随机事件，……B”互不相容的完备事件组，且P(即>0则P(A) = P© )P(A|BJ + 卩(场)P(A02) + ……+ P(B” )P() 注：常用3,B作为互不相容的完备事件组有诸多原因可以引发某种结果，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和，这样的概率问题属于全概率问题.用全概率公式解题的程序：(1)判断所求解的问题是否为全概率问题(2)若是全概率类型，正确的假设事件A及｛§｝要求是互斥的完备事件组(3)计算出P(BJ,(4)代入公式计算结果四一维随机变量：1 分布函数:F(x) = P(X < A)性质：⑴0<F(x)<l(2)若x,<x2,则FM<F(X2)(3)若X是离散随机变量.则F(x)是右连续的若X是连续随机变量，则FS)是连续的(有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数)(4)lim F(x) = 1 即F(+oo) = 1ATMUm F(x) = O 即F(-oo) = 0 (此性质常用来确定分布函数中的常数)利用分布函数计算概率:P(a<X<b) = F(b)-F(a)一维离散随机变量:概率函数：= /・=1,2…(分布律)性质:P(齐)X0E PM = 1 (此性质常用来确定概率函数中的常数)f已知概率函数求分布函数一维连续随机变量：概率密度f(x)性质：(1)非负性/U)>0(2)归一性：^f(x)dx = \(常用此性质来确定概率密度中的常数)分布函数和概率密度的关系:/(X)= F\x)(注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)利用概率密度求概率P(a<X< b) = [jMdx五一维随机变量函数的分布：离散情形：列表、整理、合并连续情形Y = g(X):分布函数法.先求Y的分布函数,再求导六二维随机变量：联合分布函数：F(x ,y) = P(X<x ,r<y)性质：(1)F(Y),Y>)=0 (2) F(s ,x) = 0(3)F(Y> , y) = 0 (4) F(2> ,4-CO) = 1(此极限性质常用来确定分布函数中的常数)边缘分布函数：Fx (x) = F(x, +8)Fy(y) = F(+oo,y)二维离散随机变量:联合概率函数/心，丹)=P(X =x r.,y =儿) 列表边缘概率函数：Px U)=工/心，儿) P Y(X)= S卩(舌,兀)J •二维连续随机变量：联合概率密度f(x,y)性质(1) /(x,y)>0(2)匸匚f(x,y)dxdy = \(常用此性质来确定概率密度中的常数)联合分布函数与联合概率密度的关系(注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)利用联合概率密度求概率已知联合概率密度求边缘概率密度(注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)二维随机变量函数的分布1离散情形2连续情形：七随机变量的数字特征：若X为离散随机变量：E(X) = f“(兀)r-1若X为连续随机变量：E(X) =匚MVMr二维情形若(X , 丫)〜f(x, y)为二维连续随机变量，则若(x,y)~“a，儿)为二维离散随机变量，则随机变量的函数的数学期望:若X为离散随机变量:E[g(X)] =工ga)p(xji若X为连续随机变量E[g(X)] =匚g(x)/(x)dx 方差：定义D(X) = E([X-E(X)]2} 方差的计算公式：D(X) = E(X2)-E2(X)注意这个公式的转化：E(X2) = D(X) + F2(X)协方差：cov(x,y)= £(xr)-£(%)£(/),相关系数/?(乂丫)=亠竺2= 』D(X)莎百关于期望的定理: 关于方差的定理(1)E(c)= c (1) D(C) = O(2)E(CX) = CE(X)(2) D(CX) = C2D(X)(3)E(X+Y) = E(X) + E(Y)相互独立：D(X+ Y) = D(X) +D(Y)E(AX+^Y) = AE(X) + ^E(Y)(注意：反之不成立)相互独立E(XY) = E(X)E(Y)(注意：反之不成立)—般地：D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,7)A要熟记的常用分布及其数字特征:0-1 分布B(l,p) p(x) = p x q x~x x = OJ E(X)=p D(X) = pq二项分布B(n , /?) p(x) = C：” 严 x = O,l-.-/? E(X ) = /?/? D(X) = npq泊松分布P") P(x) = ^-e~A x = O,l... E(X) = A D(X) = Ar»均匀分布：U(a,b) f(x) = <b-a〔0其他F(X) =x-a / .----- a<x<b b_a0 x<a1 x>h正态分布：X1 -L1 _.1亠特别地N(0,1) (p(x) =2①(x) = -y= j e 2 dx (①(-x) = 1-①(x))若X~N(“,b2),贝IJP (£bbb九正态随机变量线性函数的分布；独立的正态随机变量线性函数的分布仍然是正态分布 十统计部分: 统计量，三大分布的定义，无偏性有效性矩估计 最大似然估计 区间估计假设检验 矩估计的步骤:(思路:用样本的k 阶原点矩去估计总体的k 阶原点矩) 若总体中只含一个未知参数； (1) 计算总体的一阶原点矩E(X)(2) 令环小「驴’从中解得未知参数的矩估计量。
若总体中含有两个未知参数；⑶ 计算总体的—阶原点矩E(X),二阶原点矩E(X 2)i ZI".从中解得未知参数的矩估计量。
最大似然估计的步骤:(1) 写似然函数：若总体是连续的随机变量，则LW = Y[f(Xi ,A)r-1指数分布：eW /(x)= <加小x>0 0x<0F(x) =1-严 x>0 0x<0若总体是离散的随机变量，则厶（兄）=fl/心，久）J-1（注：离散情形，似然函数就是样本出现的概率） （2） 对似然函数两边取对数； （3） 对参数求导数，并令导数等于0（4） 由此解得参数的最大似然估计值。
区间估计的步骤:若已知＜7 ,则“的置信水平为1-&的置信区间为 查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。
若未知・,则“的置信水平为1-&的置信区间为 查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。
（对参数/的区间估计类似可求出） 假设检验的步骤：（对参数〃） （1） 根据题意提出原假设与备择假设 （2） 根据题意选取统计量； 已知"，则应该选择"统计量（3）计算统计量的观察值（4）查临界值，判断统计量的观察值是否在拒绝域里，下结论。
（对参数/的假设检验类似可得）。
未知，则应选择统计量S/4n例：甲袋中有5只红球10只白球，乙袋中有8只红球6只白球，现先从甲袋中 任取一球放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋•求这一个来回后甲袋中 红球数不变的概率.解：设A ：从甲袋中取出放入乙袋的是红球，〃：从乙袋中返还甲袋的是红 球，C :这一个来回后甲袋中红球数不变，则 从而5 9 10 8 5, • , , —— 15 15 15 15 9例高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立)，设每发炮弹击中敌 机的概率均为0.3 ,又若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2,若敌机中两弹， 其坠落的概率为0.6,若敌机中三弹，则必然坠落。
求敌机被击落的概率。
解：设事件A 表示敌机被击落，事件d 表示敌机中/弹。
，=1,2,3 则 = C ； 0.3】(1-0.3)2 =0 441 p (fi 2) = c^0.32 (1-0.3)1 =0.189 所以，当 x<0,x>R 时，/U) = 0在x = R 处导数不存在，但规定为零(3) P(0<x< -)例：设x 的分布函数F(x)= <0<x<R 求 f(x)例：设连续随机变量的概率密度/(x)=3解：.x X £ 龙(1) J fMdx = acQsxdx = 2町;cosxdx = 2asin .v|J = 2a (对称性质)由 Lm’x =i 得：2d=1⑵当 X<~ 时，F(x) = ^f(x)dx = O 厶当—,2 2”分段函数枳分？F(x) = J x f(x)dx = J J Odx +［；lcos^v = lr T cos^v 2 2当龙打P(0 <x <—) = ^ fMdx =『丄cosxdx =或 P(0 v x V 彳)=F(j) — F(0) = g(l + sin — £(1 + sin 。