人教版九年级数学上册期中专题复习课件：二次函数
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九年级数学上册-第二十二章 二次函数 复习课件-人教版
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。 （3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售 利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润。
3 AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周
接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值。
思维导图 例题示范
例3
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 3 x2 3x 4 3 交
3
3
x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为-5。
（1）求直线BD的解析式；
解：（1）令y=0，则 3 x2 3x 4 3 0 ，解得x=-4或1，
2
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
△ABC的面积；
解：（2）∵ 二次函数的解析式为：y 1 x2 4x 6，
2
∴ 二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。 （3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售 利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润。
3 AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周
接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值。
思维导图 例题示范
例3
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 3 x2 3x 4 3 交
3
3
x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为-5。
（1）求直线BD的解析式；
解：（1）令y=0，则 3 x2 3x 4 3 0 ，解得x=-4或1，
2
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
△ABC的面积；
解：（2）∵ 二次函数的解析式为：y 1 x2 4x 6，
2
∴ 二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
二次函数 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
1
第一环节 情景引入 导入问题
合作探究
3
运用经验 第二环节
第三环节 即时训练
2
巩固新知
总结概括 自我评价 第四环节
4
二次函数： 一般式 X取全体实数。
自变量x可以 取哪些数？
系数a,b,c取 哪些数？
二次函数：
（口答）请说出这些二次函数中a、b、c的值.
常数项 c
1
-1
2
二次ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数： 一般式
二次函数：
二次函数：
二次函数：
二次函数必须满足的条件
（1）含自变量x的代数式是_整__式___；
（2）自变量x的最高次数是__2____；
（3）二次项系数a__≠__0.
二次函数：
基础练习
巩固练习
巩固练习 不是整式
分式
拓展练习
本课小结
我学会了……
一般式： ★二次函数满足的条件
本课小结
函数 一次函数 正比例函数 二次函数
一般式
图像
一条直线 一条直线
教学反思
《二次函数》
01 教材分析 02 学生分析 03 教学流程
“让数学变简单”
变量x
复习
函数
变量y
常量
复习
一次函数
正比例 函数
二次函数
我们学过 哪些函数呢？
22.1 .1 二次函数（第一课时）
？？？
你们能仿照这个式子共同合作写出一个二次函数吗？
5
-6
-4
7
…
一般式
？？？
系数
字母
二次函数：
二次函数的定义
叫做__二__次___函数.
其中，______是自变量， ____是二次项系数、____是一次项系数，_____是 常数项。
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
人教版九年级数学上册第22章二次函数复习课件共36张PPT
⑨在抛物线上是否存在点P,使得S∆ABP是∆ABC面积的2倍,若存在，请求出点P的坐标，若不存在， 请说明理由
（7）已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1，-2），求b，c的值 （8）已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在x轴上，求c的值 （9）已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c的值
y 3.5m
2.5m
o 4m
3.05 m x
2.你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的 甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 米、2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学 生丁的身高。
b ( , c) a
(1) y=2(x+2)2是由
向 平移 y=2个x2单位得到 左
2
(2) y=-2x2-2是由
向 平移y=-2x2 个单位得到下
2
(3) y=-2(x-2)2+3是由
向 平移 y=个-2单x2位
右
2
，再向
平移 上
个单位得到 3
(4) y=2x2+4x-5是由 下
向 平移 y=个2单x2 位，再向 左 平移 7
（50+x-40）元 (500-10x) 个 (50+x-40)(500-10x)元
7. 如图，已知直线 y= -x+3与X轴、y轴分别交于点B、C ，抛物线y= -x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另 一个交点。
（1）求抛物线的解析式；
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版初中九年级上册数学二次函数期中复习优质课件
x 2 4 x 4，x 2
（3）记函数 y
的图象为G，点M(0,t) ，过点M垂直于y轴
kx 2k，x 2
的直线与图象G交于点P(x1 , y1),Q (x2 , y2) ．当1<t<3时，若存在t使得x1 + x2=4成
立，结合图象，求k的取值范围．
先研究哪个量呢？
二、加强二次函数的对称性研究
⑾(202X期中)26．已知抛物线C： y= x2-4x+4和直线l： y= kx-2k(k>0) ．
x 2 4 x 4，x 2
（3）记函数 y
的图象为G，点M(0,t) ，过点M垂直于y轴
kx 2k，x 2
的直线与图象G交于点P(x1 , y1),Q (x2 , y2) ．当1<t<3时，若存在t使得x1 + x2=4成
这些量的关系是怎样的？
运用函数的有关内容，探索
有关问题中的数量关系和变化规
律，并结合对函数关系的分析，
对变量之间的对应关系和变化情
况进行初步探究
二、加强二次函数的对称性研究
(202X期中)26．已知抛物线C： y= x2-4x+4和直线l： y= kx-2k(k>0) ．
x 2 4 x 4，x 2 的图象为G，点M(0,t) ，过点M垂直于y轴
t(时)
二、加强二次函数的对称性研究
二、试题特色
l= at2+bt+c （a，b，c是常数），该地影子l最短时，
最接近的时刻t是
A.12.75
B. 13
C. 13.33
方法一：待定系数法求解析式
+ + = .
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教版数学九年级上册22.1.1 二次函数课件(共21张PPT)
∴当m=3 时，该函数是二次函-1+(3-5)x+32, 即y=12x²-2x+9.
例3在情境2中，若某年级共有4个班参加篮球比赛，那么总共要比 多少场? 解：∵比赛的场次数
∴代入n=4, 得m=6 ∴总共要比6场
随堂练习
1.下列函数关系中，是二次函数的为( D
方法总结判断二次函数的方法
1. 自变量的最高次数是2次； 2.二次项系数a≠0;
iSyNVH1
i 凹量‘凿异业
一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c a≠0)的函数叫做二次函数。
是常数，
二次 函数
注意：a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和 常数项. (自变量的最高次数是2;二次项系数a≠0)
特殊形式
y=ax²(a≠0);y=ax²+bx(a≠0); y=ax²+c(a≠0,a,b,c 是常数).
解：比赛的场次数为
即
情境3悦悦通过调查发现，由于学生参加校运动会的积极性非常高，所以 今年学校增加了每个项目的参赛人数。已知今年有300名同学参赛，今年比 去年的参赛人数增加了t倍，若按照这样的增长速度，预计两年后的参赛人 数与t之间有怎样的关系?
解：两年后参赛人数f=300(1+t)², 即f=300t²+600t+300.
(1)求y与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
解 ：y=300+30(60-x)=-30x+2100(40≤x≤60). (2)设每星期的销售利润为W 元，求W 与 x 之间的函数关系式.
解 ：W=(x-40)(-30x+2100)=-30x²+3300x-84000.
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 复习课件(共23张ppt)(共23张PPT)
数学·新课标（RJ）
图象与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个相等的实数根 ；
图象与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实 数根 .
[注意] 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点 时，其交点横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
数学·新课标（RJ）
数学·新课标（RJ）
ห้องสมุดไป่ตู้ ┃知识归纳┃
二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情 况： 图象与x轴有两个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 不相等的实数根；
┃考点攻略┃
► 考点一 二次函数与一元二次方程 例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－9所示，
根据图象解答下列问题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是__x_1_＝__－__1_，__x_2_＝__3___． (2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是___－__1_<_x_<_3__________． (3) 若 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ k 没 有 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是
数学·新课标（RJ）
► 考点三 与二次函数有关的面积问题 例3 如图26－10所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC
＝ 90° ， ∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 30 ， BC ＝ x ， 其 中 15 ＜ x ＜ 30. 作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交 BC于点G.
(1)求一次函数的表达式；
图象与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个相等的实数根 ；
图象与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实 数根 .
[注意] 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点 时，其交点横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
数学·新课标（RJ）
数学·新课标（RJ）
ห้องสมุดไป่ตู้ ┃知识归纳┃
二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情 况： 图象与x轴有两个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 不相等的实数根；
┃考点攻略┃
► 考点一 二次函数与一元二次方程 例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－9所示，
根据图象解答下列问题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是__x_1_＝__－__1_，__x_2_＝__3___． (2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是___－__1_<_x_<_3__________． (3) 若 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ k 没 有 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是
数学·新课标（RJ）
► 考点三 与二次函数有关的面积问题 例3 如图26－10所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC
＝ 90° ， ∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 30 ， BC ＝ x ， 其 中 15 ＜ x ＜ 30. 作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交 BC于点G.
(1)求一次函数的表达式；