高中物理万有引力定律的应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案)

高中物理万有引力定律的应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案)

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间t ，又已知该星球的半径为R ，己知万有引力常量为G ，求： （1）小球抛出的初速度v o （2）该星球表面的重力加速度g （3）该星球的质量M

（4）该星球的第一宇宙速度v （最后结果必须用题中己知物理量表示）

【答案】(1) v 0=x/t (2) g=2h/t 2 (3) 2hR 2/(Gt 2) (4) t

【解析】

（1）小球做平抛运动，在水平方向：x=vt ， 解得从抛出到落地时间为：v 0=x/t

（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：h=12

gt 2

， 解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；

（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m ， 由万有引力等于物体的重力得：mg=2

Mm

G

R 所以该星球的质量为：M=2

gR G

= 2hR 2/(Gt 2)； （4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v ，

由牛顿第二定律得： 2

2Mm v G m R R

=

重力等于万有引力，即mg=2Mm

G

R

，

解得该星球的第一宇宙速度为：v =

=

2．如图所示,P 、Q 为某地区水平地面上的两点,在P 点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布,密度为ρ;石油密度远小于ρ,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO 方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用P 点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.

(1)设球形空腔体积为V,球心深度为d(远小于地球半径),,PQ x =求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常;

(2)若在水平地面上半径为L 的范围内发现:重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L 的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.

【答案】(1)223/2()G Vd d x ρ+(2)22/3

.(1)

L k V G k δ

ρ=- 【解析】 【详解】

(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,

2Mm

G

r

=mΔg① 式中m 是Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量.M=ρV② 而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离22d x +

Δg 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小?Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向,重力加速度反常Δg′是这一改变在竖直方向上的投影 Δg′=

d

r

Δg④ 联立①②③④式得Δg′=2

23/2

()G Vd

d x ρ+⑤ (2)由⑤式得,重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分别为 (Δg′)max =2

G V

d ρ⑥ (Δg′)min =

223/2

()G Vd

d L ρ+⑦

由题设有(Δg′)max =kδ,(Δg′)min =δ⑧

联立⑥⑦⑧式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

22/32/3d .(1)1

L k G k k δ

ρ==--

3．探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦，我国航天事业向更深更远的太空迈进。

（1）2018年12月27日中国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统由静止轨道卫星（即地球同步卫星）和非静止轨道卫星共35颗组成的。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。已知其中一颗地球同步卫星距离地球表面的高度为h ，地球质量为M e ，地球半径为R ，引力常量为G 。 a.求该同步卫星绕地球运动的速度v 的大小；

b.如图所示，O 点为地球的球心，P 点处有一颗地球同步卫星，P 点所在的虚线圆轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知h = 5.6R 。忽略大气等一切影响因素，请论证说明要使卫星通讯覆盖全球，至少需要几颗地球同步卫星？（cos81= 0.15?,sin810.99?=）

（2）今年年初上映的中国首部科幻电影《流浪地球》引发全球热议。根据量子理论，每个光子动量大小h

p λ

=

（h 为普朗克常数，λ为光子的波长）。当光照射到物体表面时将产

生持续的压力。设有一质量为m 的飞行器，其帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光全部反射。已知引力常量为G ，光速为c ，太阳质量为M s ，太阳单位时间辐射的总能量为E 。若以太阳光对飞行器光帆的撞击力为动力，使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，成为“流浪飞行器”。请论证：随着飞行器与太阳的距离越来越远，是否需要改变光帆的最小面积s 0。（忽略其他星体对飞行器的引力） 【答案】（1）a.e

GM v R h

=

+ b ．至少需要3颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）随着飞行器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积s 0 【解析】 【详解】

（1）a ．设卫星的质量为m 。 由牛顿第二定律()

2

e 2

M m

v G

m R h

R h =++，

得e

GM v R h

=

+ b ．如答图所示，设P 点处地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ，至少需要N 颗地球同步卫星才能覆盖全球。

由直角三角形函数关系cos R

R h

θ=

+，h = 5.6 R ，得θ

= 81°。 所以1颗地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ = 162°

360=2.22N θ

?

≥

所以，N = 3，即至少需要3颗地球同步卫星才能覆盖全球

（2）若使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，当飞行器与太阳距离为r 时，光帆受到太阳光的压力F 与太阳对飞行器的引力大小关系，有s 2

M m

F G r ≥ 设光帆对太阳光子的力为F '，根据牛顿第三定律F ' =F

设t ?时间内太阳光照射到光帆的光子数为n ，根据动量定理：'2h

F t n

λ

?=

设t ?时间内太阳辐射的光子数为N ，则

E t N c h

λ

?=

设光帆面积为s ，2

4n s N r π= 当s 2=M m F G

r 时，得最小面积s 0

2cGM m

s E

π= 由上式可知，s 0和飞行器与太阳距离r 无关，所以随着飞行器与太阳的距离越来越远，不

需要改变光帆的最小面积s 0。

4．半径R =4500km 的某星球上有一倾角为30o 的固定斜面，一质量为1kg 的小物块在力F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行．如果物块和斜面间的摩擦因数

3

3

μ=

，力F 随时间变化的规律如图所示（取沿斜面向上方向为正），2s 末物块速度恰好又为0，引力常量11

226.6710

/kg G N m -=??．试求：

（1）该星球的质量大约是多少？

（2）要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？（计算结果均保留二位有效数字）

【答案】（1）24

2.410M kg =? （2）6.0km/s

【解析】

【详解】

（1）假设星球表面的重力加速度为g ，小物块在力F 1=20N 作用过程中，有：F 1-mg sin θ-μmg cos θ=ma 1

小物块在力F 2=-4N 作用过程中，有：F 2+mg sin θ+μmg cos θ=ma 2 且有1s 末速度v=a 1t 1=a 2t 2 联立解得：g=8m/s 2． 由G

2Mm

R

=mg 解得M=gR 2/G ．代入数据得M=2.4×1024kg

（2）要使抛出的物体不再落回到星球，物体的最小速度v 1要满足mg=m 2

1v R

解得v 1=6.0×103ms=6.0km/s

即要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要6.0km/s 的速度． 【点睛】

本题是万有引力定律与牛顿定律的综合应用，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；第二题，由重力或万有引力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度．

5．一颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，离地高度为h ．已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，万有引力常量为G ．求： （1）地球的质量；

（2）卫星绕地球运动的线速度.

【答案】（1） 2

gR G

（2）【解析】 【详解】

（1）地表的物体受到的万有引力与物体的重力近似相等即：

2 GMm

mg R

＝ 解得：

M ＝2

gR G

（2）根据22Mm v G m r r ＝ 其中G

gR M 2

=，r=R+h

解得

v =

6．在月球表面上沿竖直方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，

已知该月球半径为R ，万有引力常量为G ，月球质量分布均匀。求： (1)月球的密度； (2)月球的第一宇宙速度。

【答案】（1）032v RGt ρπ=（2）v =

【解析】 【详解】

(1)根据竖直上抛运动的特点可知：01

02

v gt -= 所以：g=

2v t

设月球的半径为R,月球的质量为M,则：2

GMm

mg R = 体积与质量的关系：34

·3

M V R ρπρ== 联立得：0

32v RGt

ρπ=

（2）由万有引力提供向心力得

2

2

GMm v m R R

=

解得;v =

综上所述本题答案是：（1）0

32v RGt ρπ=（2）v =

【点睛】

会利用万有引力定律提供向心力求中心天体的密度，并知道第一宇宙速度等于v =。

7．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R ,地面处的重力加速度为g ,地球自转的周期为T ．

【答案】l =

【解析】 【分析】 【详解】

设卫星周期为1T ,那么:

22

2

14()()Mm m R h G R h T π+=+, ① 又

2Mm

G

mg R

=, ② 由①②得

1T =

设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则

1

2T

l R T π?=. 所以

12RT l T π==

【点睛】

摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间

内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．

8．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r 的匀速圆周运动。卫星的质量为m ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度大小为g ，不计地球自转的影响。求：

（1）卫星进入轨道后的加速度大小g r ； （2）卫星的动能E k 。

【答案】（1）2

2gR r

（2）22mgR r

【解析】 【详解】

(1)设地球的质量为M ，对在地球表面质量为m '的物体，有：2

Mm G m g R

''

= 对卫星，有：r 2Mm

G

mg r

= 解得：2

r 2g gR r

=

(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：2

2Mm v G m r r

=

卫星的动能为：2k 12

E mv =

解得：2

k 2mgR E r

=

9．“神舟”十号飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F 与在地球表面时重力mg 的比值后F

k mg

=

称为载荷值．已知地球的半径为R ＝6.4×106m （地球表面的重力加速度为g ＝9.8m/s 2）

(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k ＝6，求该过程的加速度；（结论用g 表示）

(2)求地球的笫一宇宙速度；

(3)“神舟”十号飞船发射成功后，进入距地面300km 的圆形轨道稳定运行，估算出“神十”绕地球飞 行一圈需要的时间．（π2≈g ）

【答案】(1) a ＝5g (2)37.9210m/s v =? (3)T =5420s 【解析】 【分析】

(1)由k 值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度．

(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；

(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值． 【详解】

(1)由k ＝6可知，F ＝6mg ，由牛顿第二定律可得：F -mg ＝ma 即：6mg -mg ＝ma 解得：a ＝5g

(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，

由万有引力提供向心力得：2

v mg m R

=

所以：37.9210m/s v =

==?

(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：2

22()Mm G m r T

π= 在地面上万有引力等于重力：2Mm

G

mg R

=

解得：5420s T === 【点睛】

本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力．

10．已知地球的半径为R ，地面的重力加速度为g ，万有引力常量为G 。求 (1)地球的质量M ； (2)地球的第一宇宙速度v ；

(3)相对地球静止的同步卫星，其运行周期与地球的自转周期T 相同。求该卫星的轨道半径r 。

【答案】（1）2R g M G =（2（3【解析】 【详解】

（1）对于地面上质量为m 的物体，有 2

Mm

G

mg R = 解得 2R g

M G

= （2）质量为m 的物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有

22Mm v G m R R

=

解得 v =

= （3）质量为m 的地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有

2224Mm G m r r T

π=

解得r ==