两个二次代数曲面3次GC1阶拼接应用论文

两个二次代数曲面的3次GC1阶拼接研究及应用【摘要】利用代数方法，探索了两个二次代数曲面的3次gc1阶拼接条件，得出一个充要条件的结论，并利用结论给出了实例，结合matlab图形.【关键词】代数曲面；光滑拼接；matlab1.引言设g1(x,y,z)=0,g2(x,y,z)=0分别为两个二次曲面，1989年，j.warren1］定义1.1 设s(g1),s(g2)分别为过不可约空间曲线c的两个代数曲面，关于c上的gc k连续，若存在（1）s(g1),s(g2)于c上除有限个点外光滑；（2）a,b∈c［x,y,z］于c上不恒等于0,使得ag1,bg2于c上的k阶偏微分商相等.随着后来学者的研究，groebner国内外学者对于代数曲面之间的拼接进入一个新的阶段，有了如下的一些定理的出现.定理11］设二次曲面s(g i)与截平面s(h i)交于不可约二次曲线，i=1,2,…,n，若存在多项式f，对于s(f)分别实现s(h i)处与s(g i)处实现gc k拼接，则有f∈∩∩…∩.(1.1)并且f有表达式：f=u ig i+a ih k+1i,i=1,2,…,n.(1.2)其中deg(u i)≤deg(f)-deg(g i).deg(a i)≤deg(f)-(k+1).(1.3)若存在这样的f，则s(f)分别与s(g i)在s(h i)上gc k 光滑拼接的条件就是当u i在s(g i,h i)上不恒为零.j.warren给我们提供了很好的解决方法，理论上可以求出阶数很高的光滑拼接，但是由于涉及大量的计算问题，不容易处理，在实际应用中，对其要求也很低，希望过渡曲面是一个低次的曲面，吉林大学和西南交通大学的学者3］控制曲面存在的情况下的低次拼接作出了理论研究，1994年，我国数学家吴文俊先生研究了两个轴互相垂直的管道，在3次gc1光滑拼接曲面存在的条件.广大学者之后展开了对特殊情况下的代数曲面低次拼接条件的探求.本文主要是对两个二次代数曲面的3次gc1阶拼接条件的探讨和应用.2.三次拼接曲面存在的充要条件计算现在我们研究建立在两个二次代数曲面上的3次gc1光滑拼接条件，设两个代数曲面方程为：g i(x,y,z)=a i1x2+a i2y2+a i3z2+a i4xy+a i5yz+a i6xz+a i7x+a i8y+a i9z+a i0=0(i=1,2).从定理1知道，得到的过渡曲面f满足f∈∩.f=m1g1+n1h21=m2g2+n2h2 2.（2.1）截平面方程为：h i(x,y,z)=c i1x+c i2y+c i3z+ci=0(i=1,2).（2.2）由式（1.3）知：deg(m i)≤deg(f)-deg(g i)=3-2=1,deg(n i)≤deg(f)-(1+1)=3-2=1.设m i，n i分别为下式：m i(x,y,z)=m i1x+m i2y+m i3z+mi4=0(i=1,2),n i(x,y,z)=n i1x+n i2y+n i3z+n i4=0(i=1,2).（2.3）将（2.2）（2.3）代入m ig i+n ih2i中得：m ig i+n ih2i=(m i1a i1+ni1c2i1)x3+(m i2a i2+n i2c2i2)y3+(m i3a i3+n i3c2i3)z3+(m i1a i4+m i2a i1+2n i1c i1c i2+n i2c 2i1)x2y+(m i1a i6+m i3ai1+2n i1c i1c i3+n i3c2i1)x2z+(m i1a i2+m i2a i4+2n i2c i1c i2+n i1 c2i2)y2x+(m i2a i5+m i3a i2+2n i2c i2c i3+n i3c2i2)y2z+(m i1a i3+m i3a i6+2n i3c i1c i3+n i1c2i3)z2x+(m i2a i3+m i3a i5+2n i3c i2c i1+ni2c2i3)z2y+(m i1a i7+mi2a i1+2n i1c i1c i+n i4c2i1)x2+(m i2a i8+m i4ai2+2n i2c i3c i+n i4c212)y2+(m i3a i9+m i2a i1+2n i3c i3c i+n i3c2i3)z2+(m i1a i8+m i2a i7+mi4a i4+2n i1c i3c i+2n i4c i1c i2+2n i2c i1ci)xy+(m i2a i9+m i3a i8+mi4a i5+2n i2c i3c i+2n i3c i3c i+2n i4c i2c i3)yz+(mi1a i9+m i3a i7+m i4a i6+2n i1c i3c i+2n i3c i1c i+2n i4c i1c i3)xz+(m i1a i5+m i2a i6+m i3a i4+2ni1c i2c i3+2n i2c i1ci3+2n i3c i1c i2)xyz+(m i1a i0+m i4a i7+n i1c2i+2ni4c i1c i)x+(m i2a i0+mi4a i8+n i2c2i+2n i4c i3c i)y+(m i3a i0+m i4a i9+ni3c2i+2n i4c i3c i)z+m i4a i0+n i4c2i.由（1.2）知：m1g1+n1h21=m2g2+n2h2 2.要使其成立，即使上式的x,y,z为未知数的等式系数相等，故可以得到一个关于m i1,m i2,m i3,m i4,n i1 ,n i2,n i3,n i4(i=1,2)的系数方程式，如下：(m11a11+n11c211)-(m21a21+n21c221)=0，(m12a12+n12c212)-(m22a22+n22c222)=0，(m13a13+n13c213)-(m(m14a10+n14c21)-(m24a20+n24c22)=0,(m11a14+m12a11+2n11c11c12+n12c211)-(m21a24+m22a21+2n21c21c22+n22c221)=0.(m11a16+m13a11+2n12c11c13+n13c211)-(m21a26+m23a21+2n21c21c23+n23c221)=0.(m11a12+m12a14+2n12c11c12+n11c212)-(m21a22+m22a24+2n22c21c22+n21c222)=0.(m12a15+m13a12+2n12c12c13+n13c212)-(m22a25+m23a22+2n22c22c23+n23c222)=0.(m11a13+m13a16+2n13c11c13+n11c213)-(m21a23+m23a26+2n23c(m12a13+m13a15+2n13c12c11+n12c213)-(m22a23+m23a25+2n23c22c21+n22c223)=0.(m11a17+m12a11+2n11c11c1+n14c211)-(m21a17+m22a21+2n21c21c2+n24c221)=0.(m12a18+m14a12+2n12c13c1+n14c212)-(m22a28+m24a22+2n22c23c2+n24c222)=0.(m12a18+m14a12+2n12c13c1+n14c212)-(m22a28+m24a22+2n22c23c2+n24c222)=0.(m13a19+m12a11+2n13c13c1+n13c213)-(m23a29+m22a21+2n23c23c2+n23c223)=0.(m11a18+m12a17+m14a14+2n11c13c1+2n14c11c12+2n12c11c1)-(m21a28+m22a27+m24a24+2n21c23c2+2n24c21c 22+2n22c21c2)=0,(m12a19+m13a18+m14a15+2n12c13c1+2n13c13c1+2n14c12c13)-(m22a29+m23a28+m24a25+2n22c23c2+2n23c23c2+2n24c22c23)=0, (m11a19+m13a17+m14a16+2n11c13c1+2n13c11c1+2n14c11c13)-(m21a29+m23a27+m24a26+2n21c23c2+2n23c21c2+2n24c21c23)=0, (m11a15+m12a16+m13 a14+2n11c12c13+2n12 c11c13+2n13c11c12)-(m21a25+m22a26+m23a24+2n21c22c23+2n22c21c23+2n23c21c22 )=0,（m11a10+m14a17+n11c21+2n14c11c1)-(m21a20+m24a27+n21c22+2n24c21c2)=0,（m12a10+m14a18+n12c21+2n14c13c1)-(m22a20+m24a28+n22c22+2n24c23c2)=0,（m13a10+m14a19+n13c21+2n14c13c1)-(m23a20+m24a29+n23c22+2n24c23c2)=0.以上得到一个关于m i1,m i2,m i3,m i4,n i1,n i2,n i3,n i4(i=1,2)这16个未知数，20个独立方程组成的齐次线性方程组.其系数是关于g i,h i(i=1,2)中系数常量.设上式的系数矩阵为m，若要上式存在非零解，则m的秩小于16.结论两个二次代数曲面沿平面截口的3次gc1拼接时，3次拼接曲面存在的充要条件是上述齐次线性方程组的系数组成的矩阵m的秩小于16.3.三次拼接曲面存在的应用我们给出一个球面方程和一个圆柱方程：g1(x,y,z)=x2+y2+z2-4,g2(x,y)=x2+y2-1.（3.1）其对应的截平面分别是：h1=z-1,h2=z-2.（3.2）经过将对应系数代入上述齐次线性方程组和（2.1），得到一个满足三次拼接条件的一个低次曲面f(x,y,z)=-2z3+x2+y2+8z2-8z-1=0.通过matlab3次光滑拼接，如图所示：拼接效果图4.小结本文探讨了实现3次gc1阶拼接的充要条件，并进行了实例演示，从图上可以看到，拼接曲面将圆柱体和球面实现了光滑拼接，从而说明了3次gc1阶低次拼接的可取性和合理性.［1］j.warren.blending algebraic surfaces［j］.acm tran.on graph,1989.［2］雷娜.两个二次曲面的光滑拼接与吴文俊公式［d］.长春：吉林大学，2002.［3］薛长虹.三个二次代数曲面的低次拼接［j］.大理学院学报,2008,7(2):59-63.［4］王世儒.计算方法［m］.西安电子科技大学出版社，2006.。