高等代数论文 个人 绝对直接可用
高等代数实践小论文
高等代数实践小论文代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
《高等代数I 》主要介绍了多项式、行列式、矩阵以及线性方程组的相关知识并建立了联系。
其相关具有代表性的习题如下：1.设a,b 为两个不相等的常数，则多项式f(x)被(x-a)(x-b)除所得余式为_____.解答：设r(x)=cx+d,其中∂(r(x))<2.f(x)=(x-a)(x-b)g(x)+cx+d,f(a)=ca+d,f(b)=cb+d,联立可解得c=f (a )−f(b)a−b ,d=f(a)-a f (a )−f(b)a−b 故r(x)= f (a )−f(b)a−b x + f(a)-a f (a )−f(b)a−b .Thoughts of mine:已知除式为2次则可由余式的次数小于除式得到余式的次数，进而带入已知数求解。
2.设f(x)=3x 4-41x 3-53x 2-101x+7,求f(15).解答：由余数定理,f(15)即为f(x)除以15所得的余数.做综合除法可得f(15)=67.Thoughts of mine:余数定理即可得此时的值,没有必要将15代入求解.3.求f(x)=x 7+2x 6-6x 5-8x 4+17x 3+6x 2-20x+8的根.解答:f ’(x)= 7x 6+12x 5-30x 4-32x 3+51x 2+12x-20.则(f(x),f ’(x))= x 5+x 4-5x 3-x 2+8x-4.f(x)((f (x ),f ′(x ))=x 2+x-2=(x+2)(x-1). 根据f(x)的常数项可以得到,f(x)=(x +2)3(x −1)4.故f(x)的根为1,-2.Thoughts of mine:对于有些多项式来说,单看公因子判别是否为有理根的情况很多且很复杂,先去掉次数的方法相对容易.4.已知f(x)=x 3+a x 2+bx+c,a,b,c ∈Z.求证:若ac+bc 为奇数,则f(x)无整数根.证:假设f(x)有整数根α,则有α|c.由于(a+b)c 为奇数,故a+b,c 均为奇数,故α也为奇数.则x-α|f(x),设f(x)=(x-α)q(x),其中q(x)为整系数多项式.f(1)=(1-α)q(1)=1+a+b+c,而1+a+b+c 为奇数,但1-α为偶数,矛盾. 故f(x)无整数根.Thoughts of mine:奇偶矛盾是反证法常用的一种矛盾,不管是次数矛盾还是根的奇偶都容易得到,也就容易推出矛盾.5.已知x+y+z=0,xyz ≠0,,求x 2yz +y 2xz +z 2xy 的值.解答: x 2yz +y 2xz +z 2xy =x 3+y 3+z 3xyz .令f(x,y,z)=x 3+y 3+z 3,首项为x 3.故f(x,y,z)=σ13+a σ1σ2+b σ3,其中σ1= x+y+z=0.故f(x,y,z)=x 3+y 3+z 3=-6=-2b,故b=3.则x 2yz +y 2xz +z 2xy =x 3+y 3+z 3xyz =3σ3σ3=3.Thoughts of mine:表成初等对称多项式可以解决很多对称多项式的求值问题或求方程组的解的问题.例如：解方程组{x +y +z =2,(x −y)2+(y −z)2+(z −x)2=14,x 2y 2z +x 2yz 2+xy 2z 2=2.解答:σ1=x+y+z=2=-a 1,对方程组作加减变换,可得x 2+y 2+z 2-(xy+xz+yz)=7,xyz(xy+yz+xz)=2,x 2+y 2+z 2+2(xy+xz+yz)=4,故xy+xz+yz=σ2=-1=a 2,xyz=σ3=-2=-a 3.故x,y,z 为方程f(x)=x 3-2x 2-x+2的三个根,易得x=1为一个有理根. 用综合除法可得f(x)=(x-1)(x+1)(x-2),故f(x)的三个根为1,-1,2.6.已知5阶行列式5123452221127312451112243150D ==.求414243A A A ++ 和4445A A +.解答:设x=414243A A A ++,y=4445A A +则D 5=414243A A A +++2（4445A A +）=x+2y=27,若将第四行换成与第二行相同的数字,则有D′5=|1 2 3 4 52 2 2 1 13 1 24 52 2 2 1 14 3 15 1|=0,则D′5=2x+y=0.联立可解得x=-9,y=18.Thoughts of mine:因为A ij 为代数余子式,故可看成按某一行全为1或2展开即行列式的值.类似地,还有| 2 1 5 41 2 3 1−1 0 2 3 3 1 0 −1|,求M 13-M 23-2M 43的值.简解: M 13-M 23-2M 43=1∙A 13+1∙A 23+0∙A 33+2∙A 43=| 2 1 1 41 2 1 1−1 0 0 33 1 2 −1|,即将第三列元素换为代数余子式前的系数.7.求行列式的值:|1 1 1a b c a 3 b 3 c 3|.解答：|A |=| 1 1 1 1a b c y a 2 b 2 c 2 y2a 3 b 3 c 3 y 3|,原行列式的值即为该行列式求值后y 2的系数的相反数.显然，|A |是Vandermonde 行列式, |A |=(y-a)(y-b)(y-c)(b-a)(c-a)(c-b), 由根与系数的关系可得y 2的系数为-(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b),故所求原行列式的值为(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)= a 2+ b 2+c 2.Thoughts of mine:与Vandermonde 行列式类似的情形可转化为Vandermonde 行列式,根据根与系数的关系求解.8. R 是实数域，对任意正整数m n ≥，证明：在n R 中存在m 个向量12,,,m ααα，使其中任意n 个向量线性无关.解答:令α1=(1,1,1,⋯,1),α2=(1,2,22,⋯,2n−1),⋯,αm =(1,m,m 2,⋯,m n−1),将其排成列矩阵,A=[1⋯1⋮⋱⋮1 ⋯m n−1],任意取其中n 列都可能到一个方阵,且这个方阵取行列式为Vandermonde 行列式.由于1,2,⋯,m 各不相等,故|A |≠0,即其中任意n 个向量线性无关.Thoughts of mine:Vandermonde 行列式的值易求得,且容易构造,所以取特殊情况构造时可以选择Vandermonde 行列式.9. 百鸡术：母鸡每只5钱，公鸡每只3钱，小鸡3只1钱，百钱买百鸡，各买几何？解答：设买母鸡、公鸡、小鸡数分别为x,y,z.则可得线性方程组和约束条件:{x +y +z =100,5x +3y +13z =100且100≥x ,y,z ≥0,3|z.A̅=[1 1 11005 3 13100]→[1 0 −43−1000 1 73200],故{x=43z−100,y=−73z+200根据约束条件z=75,78,81,84,故可以得到四组解{x=0,y=25,z=75.{x=4,y=18,z=78.{x=8,y=11,z=81.{x=12,y=4,z=84.Thoughts of mine:可用线性方程组解决实际问题,但应注意的是,在用线性方程组解决实际问题时要注意实际问题的约束条件.类似的还有, 将军点兵，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问兵几何？（求在500至1000范围内的解）10.已知A是方阵,A2-A-2E=0,则A−1=_______,(A+2E)−1=__________.解答：A2-AE-2E=0，A(A-E)=2E,所以A−1=A−E2.(A+2E)(A-3E)=-4E,所以(A+2E)−1=-A−3E4.Thoughts of mine:求A−1需要对已知的式子进行变形,得到A A−1=E,从而得到所求结果.。
经济学中高等代数的应用-经济学论文-经济论文
经济学中高等代数的应用-经济学论文-经济论文——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——摘要：高等代数是研究经济学的基础工具之一，同时也是最为重要的工具之一。
本文探讨了经济学中应用高等代数的策略，总结了经济学应用高等代数的意义。
关键词：经济学；高等代数；策略高等代数在经济学中的应用较为常见，如微分、积分、函数、数列等，这些数学方法被应用到经济学的研究中，始于法国经济学家古诺。
自古诺之后，大量的经济学家开始纷纷采用数学方法来研究经济学问题，使经济学的研究更加的理性，推动了经济学的发展，使人们对经济学的规律有了更为深入的认识。
本文分析了经济学应用高等代数的具体表现，研究了经济学应用高等代数的策略。
一、经济学中应用高等代数的策略经济学中应用高等代数，其策略主要是应用高等代数的基本概念、性质、模型、数学思想等，具体则可以分为两类，即直接应用与间接应用两类，分析如下：第一，经济学中直接应用高等代数。
高等代数在经济学中的直接应用，往往是着眼于直接计算相应的结果，如微分计算边际成本问题、最优化问题、弹性分析问题，积分计算总函数、函数计算需求函数、供给函数、总成本函数、销售收入函数、总利润函数等，这些经济概念，主要是集中在经济管理中，都是利用高等代数的概念、性质、模型等，从而解决经济管理中的一些常见问题[1]。
经济学中直接应用高等代数，这种应用较为普遍，同时也可以看出经济学家在研究经济现象时对高等代数的依赖，同时，利用高等代数解决经济学中这些问题，也更为的科学、理性，也能够为经济管理提供最正确的决策支持。
更为重要的一点是，高等代数应用在经济学中，使得经济学的研究更加准确，特别是对企业生产来说，更是能够找到理论依据，不至于盲目生产，造成经济损失。
如企业对需求函数、供给函数、总成本函数、销售收入函数、总利润函数等使用，举例来说，设某厂准备了生产经费1000元，其可变资本为4元，销售单价为8元，则该商品的总成本、单位成本、销售收入、利润函数是什么[2]。
高等代数论文
莆田学院毕业论文题目数学归纳法及其在图论中的应用学生姓名余晶晶学号510401425专业数学与应用数学班级数本054指导教师陈梅香二00九年五月十日目录0引言 (1)1数学归纳法的理论基础 (2)1.1数学归纳法的理论基础是Peano公理 (2)1.2第一数学归纳法 (2)2数学归纳法的基本步骤 (2)2.1n的取值 (2)2.2验证初值 (3)3数学归纳法的其他形式 (4)3.1第二数学归纳法 (4)3.2跳跃数学归纳法 (4)3.3反向数学归纳法 (6)3.4二重数学归纳法 (7)4数学归纳法原理在图论中的应用 (8)4.1对顶点数进行归纳证明 (8)4.2 对边数进行归纳证明 (9)4.3 对顶点集（或边集）的子集中的元素个数进行归纳证明 (9)4.4图论中其他与自然数有关命题的归纳证明 (10)结束语 (12)致谢 (13)参考文献 (13)数学归纳法及其在图论中的应用余晶晶（数学与应用数学指导老师：陈梅香）摘要：本文介绍了数学归纳法原理的两个基本步骤，以及由它的基本原理推导出的数学归纳法的其他四种形式，包括：第二数学归纳法、跳跃数学归纳法、反向数学归纳法、二重数学归纳法，并给出这四个数学归纳法及其应用，并应用数学归纳法、证明图论中的图的顶点数、边数、顶点集或边集、距离、途径等等各个方面与自然数n有关的命题。
关键词：数学归纳法形式归纳假设基本步骤图论Abstract：This paper introduces the principle of mathematical induction of the two basic steps, as well as thebasic principles of it deduce the mathematical induction of the other four forms, including: Second mathematicalinduction, jumping mathematical induction , reverse mathematical induction, double mathematical induction,and gives the theorem of the four mathematical induction and its applications, and prove some proposition aboutnatural number n by mathematical induction in graph theory, such as the proposition about vertices of thegraph, edge, vertex set or edge set, distance, and so on in graph theory.Keywords: mathematical induction form inductive assumption basic step graph theory0引言（）的一种推理方法。
高等代数教学论文
高等代数教学中的几点感悟文宋雪丽摘要在大学数学课程中，高等代数是其中一门十分重要的科目。
结合教学实践，谈了一些感悟。
关键词内容；概念；方法高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。
由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。
由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。
因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。
结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。
一、尽量与中学数学内容相联系高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。
例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。
高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。
在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。
高等代数中介绍一元次方程根的定义、复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元次方程根的特点、有理数一元次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。
高等代数中有元一次线性方程组的行列式解法克拉默法则和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。
通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。
不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。
因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。
高等代数课程论文
摘要：线性方程组的求解在高等代数学的是一个很重要组成分，因此对于对线性方程组解的广泛应用于数学与其他科学领域，因此对于线性方程组有解的判别定理和线性方程组解的结构我们必须进行认真的研究，搞清楚他们之间的关系。
本文对线性方程组的解和判定进行了全面的分析与研究。
关键字：线性方程组；解结构；矩阵；解的判定目录线性方程组解的判定与结构 .............................. 错误!未定义书签。
引言 (1)1 线性方程组解的判别定理 (1)2 齐次线性方程组的解的结构 (2)3 一般线性方程组的解的结构 (3)致谢 (7)参考文献： (7)引言线性方程组是线性代数的主要内容，包括线性方程组有解性的判定、消元法解线性方程组和线性方程组解的结构以及他们的基础解系。
它与矩阵、向量还有行列式、方程组、秩、克拉默法则的内容密切相关，与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广，对此本论文紧紧围绕线性方程组与解的结构进行展开，这也对我们以后学习线性方程组的解结构与解判别定理有很大帮助。
下面我就分几大板块来介绍关于线性方程解的判定与结构。
1 线性方程组解的判别定理线性方程组是否有解，我们有没有其他办法来解决？当然有，那就是通过用系数矩阵和增广矩阵的秩来进行刻划，下面我们对此介绍几个相关的定理：定理 1 线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，即 秩（A ）=秩（A ＇）。
证明 线性方程组（1）有解，就是说β可以经向量组12,,n ααα线性表出，由此立即推出，向量组12,,n ααα与向量组12,,,n αααβ等价，因而有相同的秩。
这两个向量组分别是矩阵A 与A ＇的列向量组，因此矩阵A 与A ＇有相同的秩定理2若线性方程组AX=b 有满足 秩（A ）=秩（A ＇）=r ，则当r=n 时，线性方程组有解且只有唯一解；当r<n 时，线性方程组有无穷多解。
高等代数教学中的一些想法的论文
高等代数教学中的一些想法的论文高等代数教学中的一些想法的论文一、引言高等代数[1]是理工科大学生的基础课, 对数学系的学生尤其重要.它的教学质量的高低直接关系到理工科大学生的专业基础和后继课程的学习, 提高其教学质量对培养高层次人才具有重要意义[2].高等代数包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧式空间、双线性函数与辛空间等内容, 对理工科的大学生来说课程内容量多, 教学课时紧, 理解难度较大, 学生普遍感觉学习比较吃力.笔者近年来主要在数学系从事高等代数的教学工作, 针对学生在学习这门课程中存在的上述问题, 总结归纳了几个方面, 期望对学生的学习和同行教师的教学有所帮助, 共同改进和提高高等代数的教学质量.二、具体问题 (注:本文中的教材均指参考文献[1], 以后不再详细赘述)1. 关于"阶梯形矩阵"的理解和运用.教材P72给出了"阶梯形矩阵"的文字定义, 但学生普遍反映该定义较抽象, 理解难度较大, 笔者建议学生可同时参看另一本书[3]给出的相关内容.在[3]中不仅给出了"阶梯形矩阵"具体数学表达式的定义, 还给出了什么是"阶梯头", 以及一类特殊的阶梯形矩阵---约化阶梯形矩阵(也称为行最简形) .实践证明, 学生若理解阶梯头的概念和约化阶梯形矩阵, 对其解题帮助甚多.对此类问题, 可用两种方法求解.分析:方法1是教材上给出的传统解法, 也是大多数教师在讲解第三章内容时所用的方法;方法2是笔者将方法1解答过程中得到的阶梯形矩阵利用初等行变换进一步化为约化阶梯形矩阵, 进而求解方程组.表面上看, 两种方法复杂程度相当, 实际上方法2比方法1快捷, 因为化为约化阶梯形矩阵以后, 每个阶梯头都是1, 该列其余所有的元素均为0, 因此与原方程组等价同解的方程组(如上述方程组(*) ) 就非常容易求解, 其解一目了然.[4]2. 教材P188给出引理:对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵, 对A作一初等列变换就相当于在A的'右边乘上相应的n×n的初等矩阵, 我们不妨简记为"左乘行变, 右乘列变", P191给出定理6:n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积:A=Q1Q2…Qm,利用该引理和定理6, 笔者给出教材P180定理4的另一种简单证明方法.定理4 A是一个s×n矩阵, 如果P是s×s可逆矩阵, Q是n×n可逆矩阵, 那么证明:因为P是可逆矩阵, 根据定理6, 它能表成一些初等矩阵的乘积:根据引理, 矩阵X1X2…XmA (即PA) 相当于对矩阵A作m次的初等行变换, 由于初等变换不改变矩阵的秩, 故秩 (A) =秩 (P A) .另一个等式可同样证明.3. 分块矩阵的分块原则.教材第三章第五节讲到了"矩阵的分块", 但是并没有很直接地说明相关问题, 比如是否对每一个矩阵的计算都适合用分块的方法, 以及分块时如何去进行.首先需要明确:并不是所有的矩阵都适合用分块的方法去计算.总结讲解高等代数的相关书籍, 我们会发现下面的规律:对于一般矩阵而言, 只有将其分块以后能分出诸如零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵等特殊的子矩阵, 我们一般才考虑用分块的方法去计算.这样的例子有很多, 如教材P181所给的例子:按照教材上的分块方法, 矩阵A分成的四个子矩阵中, 包括两个2级单位矩阵和一个2级零矩阵.当然上述规律也不尽然, 对一些特别的矩阵, 可能分块以后并没有上面提到的一些特殊子矩阵, 但是实践证明也较适用分块的方法.读者可参看教材P203第28题, 对于矩阵A,本题要求用两种方法求逆矩阵, 一是初等变换, 二是矩阵分块.读者通过用两种方法分别计算可知, 本题用第二种方法较为简便.4. 向量组的极大线性无关组P125:定义13一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组, 如果这个部分组本身是线性无关的, 并且从这向量组中任意添加一个向量(如果还有的话) , 所得的部分向量组都线性相关.齐次线性方程组的基础解系P142:定义17齐次线性方程组(1) (见教材P141) 的一组解η1, η2, …, ηt称为它的基础解系, 如果 (1) (1) 的任一个解都能表成η1, η2, …, ηt 的线性组合; (2) η1, η2, …, ηt线性无关.线性空间的一组基P249:定义6在n维线性空间V中, n个线性无关的向量ε1, ε2, …, εn称为V的一组基.设α是V中任一向量, 于是ε1, ε2, …, εn, α线性相关, 因此α可以被基ε1, ε2, …, εn线性表出:α=a1ε1+a2ε2+…anεn.三者的区别与联系:区别是很明显的, 无须多言.联系在于:齐次线性方程组的任一个解本质上都是一个解向量, 因此从定义上可看出, 齐次线性方程组的一个基础解系即是它所有解构成的解向量组的一个极大线性无关组.同样的道理可知, 线性空间的一组基也为该空间中所有向量组成向量组的一个极大线性无关组.又向量本质上为矩阵, 故对三者的各类求解问题, 虽然表面差别很大, 但实质都是考察矩阵的行 (列) 初等变换、化为阶梯形矩阵、秩、找出极大线性无关组等问题, 殊途同归.具体例子请参看教材P271第17题.5. 对矩阵秩r的全面理解.教材P134定理6:一矩阵的秩为r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零, 同时所有r+1级子式全为零.这里补充注意两个问题:(1) 对该矩阵A而言, 其所有的k (≤r-1) 级子式均不全为零.因为由行列式按一行展开的公式可知, 如果矩阵A的k (≤r-1) 级子式全为零, 则矩阵A的k+1级子式全为零, 从而A的所有级数大于k的子式全为零.显然r≥k+1, 故A的所有级数为r的子式全为零, 与定理条件"有一个r级子式不为零"相矛盾.(2) 同 (1) 分析可知, 若矩阵A的k+1级子式全为零, 则A的所有级数大于k+1的子式也必然全为零, 从而可以说:此时, A的所有级数大于k的子式全为零.综合以上两点, 可将定理6换一种定义说法, 即:一矩阵的秩为r的充分必要条件为矩阵的非零子式的最高级数为r级.三、总结高等代数是理工科大学生一门非常重要的专业基础课.本文总结了高等代数教学过程中几个容易被忽视而对整个知识体系的理解又非常关键的问题, 旨在帮助学生们更好地把握整个代数知识框架的脉络, 同时也期望为从事这门课程教学的教师同行们提供积极的教学参考.参考文献[1]北京大学数学系前代数小组.高等代数[M].第4版.北京:高等教育出版社, 2013.[2]张华民, 殷红彩.高等代数教学中的几点思考[J].安庆师范学院学报:自然科学版, 2014, 20 (1) :90-93.[3]陈维新.线性代数[M].第2版.北京:科学出版社, 2005.[4]张盛祝, 蔡礼明, 胡余旺.高等代数内容、方法及典型问题[M].北京:中国石化出版社, 2014.。
高等代数论文
莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：小论矩阵的对角化姓名：刘文娟学号：410401210莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6 月22 日小论矩阵的对角化刘文娟 042数本 410401210摘要：对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，这里讨论n 阶矩阵对角化的一些判定条件（充要条件）及几种常用矩阵的对角化问题。
关键词：可对角化 特征值 特征向量 不变因子 初等因子 最小多项式 矩阵的秩特征多项式 循环矩阵定义：数域F 上方阵A ，如果能与一个F 上的对角方阵相似，则A 在F 可对角化。
判定1：A 可对角化的充要条件是：有n 个线性无关的特征向量。
判定2：设n 方阵A 的全部不同的特征根为12,,,m λλλ而()12,,1,2,i i isi i m ααα=为()0i E A X λ-=的一个基础解系（从而是属于i λ的一极大无关特征向量组），A 可对角化的充要条件是：12m s s s n ++=判定3：设12,,,m λλλ为n 方阵A 的全部不同的特征根，且分别为12,,m s s s 重根，A 可对角化的充要条件是： 对每个()1,2,i i m =都有：()i i r E A n s λ-=- 证明：充分性 设()i i r E A n s λ-=-， ()1,2,i m =则齐次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系含()i i n n s s --=个向量，但由于12,,,m λλλ分别为12,,m s s s 重根，从而12m s s s n ++=故A 可对角化。
必要性 设A 必有n 个线性无关的特征向量，但由于12m s s s n ++=，故每个次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系必含i s 个向量，从而()i i r E A n s λ-=-， ()1,2,i m =判定4：数域F 上n 方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的最小多项式是F 上互素的一次因式的乘积。
高等代数论文
数统学院数学与应用数学系“高等代数”课程论文题目：n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用姓名：郑某某学号：20111010xxx数统学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2011级2013年2 月26 日摘要：本文先从n 维线性空间上的线线变换的核与值域出发，引出它们的一些性质。
通过几种类型的例题来加深对这些性质的理解。
由解题的过程，可以总结出解决n 维线新空间的线新变幻的核与值域的一般方法与思想。
关键词：n 维线新空间 线新变换 值域 核一．相关定义及性质。
文[1][2]给出了具体的关于n 维线性空间的线性变换的相关定义及性质。
下面是性质的一个补充。
我们知道：若σ的n 维线性空间V 的线性变换，则σ（V ）和1(0)σ-是σ的不变子空间。
若τ也是V 的一个线性变换，且τ与σ可交换，那么τ的值域和核是不是也是σ的不变子空间？命题一：若线性变换,στ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ，τ可交换，则τ的核和值域都是σ-子[3]空间。
证明：ξ∀∈1(0)σ-，则有τ（σ（ξ）） =τσ（ξ）=σ（0）=0 ∴σ（ξ）∈1(0)σ-∀τ（η）()V τ∈，σ（τ（η））=τ（σ（η））()V τ∈ ()V τ∴也是A-子空间。
二．有关核与值域的维数问题。
例一：设F 为数域，V=n F ，证明：1）T(12,,,n x x x )=(1210,,,,n x x x - )是线性空间V 的一个线性变换，且n T =02）求T 的核与值域TV 的维数。
证明：设α=（12n ααα+++ ）,V β∈=（12n βββ+++ ）V ∈。
T(αβ+)=(0,112211,,,n n αβαβαβ--+++ )=(1210,,,,n ααα- )+(1210,,,,n βββ- )=T α+T β k F ∀∈,则T （k α）=（1210,,,,n k k k ααα- ）=k （1210,,,,n ααα- ）=kT α，∴T 为线性空间V 的线性变换。
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充分性
则 的行列梯形矩阵只含ｒ个非零行，从而知其有ｎ－ｒ个自由未知量，任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为0，
即可得方程组的一个非零解。
定理2ｎ元非其次线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩
证必要性 设方程组 有解
设 ，则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0＝１，
关键词：线性方程组;解的判定;求解;矩阵;初等变换;矩阵的秩
引言
线性方程组求解中，我们要掌握一般线性方程组及其通解的基本概念，同时理解矩阵的初等变换在解线性方程组的作用.判定线性方程组解的情况，要看线性方程组的表示形式和线性方程组有解的判定条件，这样才能对线性方程组的解的情况的判定及求解.
1线性方程组的解法
重庆三峡学院高等代数论文
线性方程组解的判定与求解
系（部）：数学与计算机科学学院
专业：数学与应用数学（师范）
学号：200906034243
学生姓名：陈超
指导教师：刘学飞（教授）
2010年12月
线性方程组解的判定与求解
陈超
(重庆三峡学院数学与计算机科学学院2009级数学与应用数学（师范2班）)
摘要：线性方程组称为系数矩阵和增广矩阵。若 代入所给方程各式均成立，则称（ ）为一个解。若 不全为0，则称（ ）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组.
Keyword: Linear equations ;The judgement of the solution;solving;Matrix; Elementary transformation;Matrix rank
行初等变换.下面我们来一步步解这个方程组
这时,未知数 是可以任意取值的,称为自由未知数
称 为线性方程组的一般解.
在求出方程组的一般解后,要注明自由未知数.自由未知数的取法是不一唯的,但一个线性方程组的一般解所含的自由未知数的个数是唯一的。
如果取 （k取任何常数）
的一组确定的值
这是原方程的一个解，由于k的任意性，可知方程有无数个解，我们把这个含有任意常数的解称为方程组的通解.
Abstract: Linear equations are called coefficient matrix and augmented matrix. If generation into various are established to equation, says（ ）for a solution. If not all is 0, then say（ ）for nonzero solution. If the constant items are 0, then called the homogeneous linear equations, it always with zero solution (0, 0,..., 0). Two equations, if they have the same number of unknown variables and solution set is equal.
我们学习过用Gramer法则解形如
的线性方程组，也讨论过齐次线组
事实上,方程组 （1）
与之对应的齐次线性方程组 （2）
都可以用矩阵形式表示为: AX=B(1)
AX=0(2)
A为n阶系数矩阵,X为未知数矩阵,B为常数矩阵
非齐次线性方程组AX=B(1)当 时，方程组（1）有唯一解；当 而对应的替代行列式不全为0时，方程组（1）无解；
5张斯为.高等数学[M]，厦门：厦门大学出版社2009.8
The judgement of linear equations with solving
Chen chao
(mathematics and computer science college level 2009 in mathematics and applied mathematics (normal class 2))
则
充分性 设
设
则Ｂ的行阶梯形矩阵中含ｒ个非零行，把这ｒ行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,其余的 个为未知量,并令 个为未知量全为0，即可得到方程的一个解.
例用消元法解线性方程组
解将系数矩阵与常数列矩阵排在一起
称为线性方程组的增广矩阵A,记为:
高斯消元法解线性方程组,实际就是对增广矩阵作
当 而对应的替代行列式全为0时，方程组（1）有无穷多个解；对于齐次线性方程组AX=0
当 时,方程组（2）有唯一零解；
当 时,方程组（2）有非零解；
以上结论都是相对于n阶线性方程组来说的，而对于未知数个数与方程个数不同的线性方程组，我们有下列的讨论一般线性方程组及其解法
线性方程组的一般形式：
矩阵表示：AX=B
其中
请注意它们的行数、列数
对应的齐次线性方程组 AX=0其中
下面通过例题，来学习一般线性方程组的解法，这种方法，常称为高斯消元法.实际就是用矩阵的初等变换法解线性方程组.
2线性方程组有解的判定条件
定理一n元其次方程组 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩
证必要性 设方程组 有非零解，
设 ，则在Ａ中应有一个ｎ阶非零子式 从而 所对应的ｎ个方程只有零解（根据克拉默定理），这与原方程组有非零解相矛盾，
故原方程组的通解为: 同时将方程写成矩[M]，北京：高等教育出版社，第三版.2009.6 105-103
2乐茂华.高等代数[M]，南京：南京大学出版社，第一版.2002.8
3李炯生,查建国.线性代数[M]，北京：中国科学技术出版社1989
4邱森.高等代数[M]，武汉：武汉大学出版社2008.2