永州市中考数学试题及答案
湖南省永州市中考数学试卷(附答案解析)
2020年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．﹣2020的相反数为（）
A．−
1
2020B．2020C．﹣2020D．
1
2020
2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）
A．注意安全B．水深危险
C．必须戴安全帽D．注意通风
3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）
A．6.353×105人B．63.53×105人
C．6.353×106人D．0.6353×107人
4．下列计算正确的是（）
A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2
C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5
5．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）
A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9
6．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
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2020年湖南省永州市中考数学试卷(含答案解析)
2020年湖南省永州市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.−2020的相反数为()A. −12020B. 2020 C. −2020 D. 120202.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是()A. 注意安全B. 水深危险C. 必须戴安全帽D. 注意通风3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是()A. 6.353×105人B. 63.53×105人C. 6.353×106人D. 0.6353×107人4.下列计算正确的是()A. a2b+2ab2=3a3b3B. a6÷a3=a2C. a6⋅a3=a9D. (a3)2=a55.已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是()A. 众数是8B. 平均数是6C. 中位数是8D. 方差是96.如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是()A. SASB. AASC. SSSD. ASA7.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，在△ABC中，EF//BC，AEEB =23，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是()A. 913B. 25C. 35D. 639.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A. 4B. 2C. √3D. 2√310. 已知点P(x 0,y 0)和直线y =kx +b ，求点P 到直线y =kx +b 的距离d 可用公式d =|kx 0−y 0+b|√1+k 2计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为y =−2x +6，P 是直线l 上的动点，Q 是⊙C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A. 3√55B. 3√55−1 C. 6√55−1 D. 2二、填空题（本大题共8小题，共32.0分） 11. 函数y =1x−3中自变量x 的取值范围是______． 12. 方程组{x +y =42x −y =2的解是______ ．13. 若关于x 的一元二次方程x 2−4x −m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．14. 永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩(百分制)，整理样本数据，得到下表： 成绩 90≤x ≤100 80≤x <90 70≤x <8060≤x <70x <60人数25155 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生有______人．15. 已知圆锥的底面周长是π2分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是______平方分米．16. 已知直线a//b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1=25°，则∠2=______．17. 如图，正比例函数y =−x 与反比例函数y =−6x 的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则△ABD 的面积为______．18. ∠AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB =60°，在∠AOB 内有一点P(4,3)，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则△PMN 周长的最小值是______．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. 计算：20200+√83sin30°−(12)−1．20. 先化简，再求值：(1a+1−a+2a 2−1⋅a 2−2a+1a 2+4a+4)⋅(a +2)，其中a =2．21. 今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，A ：90<S ≤100，B ：请结合图中所给信息，解答下列问题：(1)请把条形统计图补充完整．(2)扇形统计图中m=______，n=______，B等级所占扇形的圆心角度数为______．(3)该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生(用A1，A2表示)，两名女生(用B1，B2表示)，请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．(参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24，√7≈2.65)(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．(2)渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．(1)求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？(2)该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．(1)求证：CE是⊙O的切线．(2)已知BD=3√5，CD=5，求O，E两点之间的距离．25.在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB=4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．(1)求抛物线所表示的二次函数表达式．(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．)是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关②已知Q(1,−32于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．(2)当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．(3)设平移的距离为xcm(0<x≤6+6√2)，两张纸条重叠部分的面积为scm2.求s 与x的函数关系式，并求s的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：−2020的相反数为：2020．故选：B．直接利用相反数的定义进而分析得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3.【答案】C【解析】解：635.3万=6353000=6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．本题考查了科学记数法−表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4.【答案】C【解析】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3=a3≠a2，故选项B错误；a6⋅a3=a9，故选项C正确；(a3)2=a6≠a5.故选项D错误．故选：C．本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，=5，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1+2+6+8+85×[(1−5)2+(2−5)2+(6−5)2+2×(8−5)2]=8.8，方差为15故选：A．将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6.【答案】A【解析】解：∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)，故选：A．根据全等三角形的判定方法即可解决问题．本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA=PB，所以①正确；∵OA=OB，PA=PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO=30°时，OP=2OA，此时PM=OM，则可对④进行判断．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE=2125S△ABC是解题的关键.由EF//BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF=425S△ABC，结合S四边形BCFE=21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵EF//BC，∴△AEF∽△ABC，∴S△AEFS△ABC =(AEAB)2=(AEAE+EB)2=425，∴S△AEF=425S△ABC．∵S四边形BCFE =S△ABC−S△AEF=21，即2125S△ABC=21，∴S△ABC=25．故选：B．9.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC=2，∴AD=1，AB=AD=2，∴BD=√3，∵左视图矩形的宽为2，∴左视图的面积为2√3．故选：D．过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10.【答案】B【解析】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C(1,1)到直线l的距离d=√1+(−2)2=3√55，.∵⊙Q的半径为1，∴PQ=3√55−1，故选：B．求出点C(1,1)到直线y=−2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．11.【答案】x≠3【解析】解：根据题意得，x −3≠0，解得x ≠3．故答案为：x ≠3．根据分母不等于0列式进行计算即可求解．本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.【答案】{x =2y =2【解析】解：{x +y =4①2x −y =2②， ①+②得：3x =6，即x =2，把x =2代入①得：y =2，则方程组的解为{x =2y =2， 故答案为：{x =2y =2方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13.【答案】m >−4【解析】解：由已知得：△=b 2−4ac =(−4)2−4×1×(−m)=16+4m >0，解得：m >−4．故答案为：m >−4．由方程有两个不相等的实数根可知，b 2−4ac >0，代入数据可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键．14.【答案】480【解析】解：600×25+1550=480(人)，即该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生有480人，故答案为：480．根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生人数．本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15.【答案】π4【解析】解：圆锥的侧面积=12×π2×1=π4平方分米．故答案为π4．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16.【答案】35°【解析】解：过点B作EF//a．∵a//b，∴EF//a//b．∴∠1=∠ABF，∠2=∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC=60°．∵∠ABF+∠CBF=60°，∴∠2=60°−25=35°．故答案为：35°．过点B作EF//a.利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17.【答案】6【解析】解：正比例函数y=−x与反比例函数y=−6x的图象交点坐标A(−√6,√6)，C(√6,−√6)，∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB=AB=OD=CD=√6，∴S△ABD=12BD⋅AB=12×2√6×√6=6，故答案为：6．根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB=AB=OD= CD=√6，再根据三角形的面积公式求出答案．本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18.【答案】5√3【解析】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P(4,3)，∴OP′=OP=OP″=√42+32=5，且∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°，∴∠P′OP″=120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q=P″Q，∠OP′Q=∠OP″Q=30°，∴OQ=52，P′Q=P″Q=5√32，∴P′P″=2P′Q=2×5√32=5√3，则△PMN周长的最小值是5√3．故答案为：5√3．分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′=OP″=OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．此题考查了轴对称−最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．19.【答案】解：原式=1+2×12−2=1+1−2=0．【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：原式=[1a+1−a+2(a+1)(a−1)⋅(a−1)2(a+2)2]⋅(a+2)=[1a+1−a−1(a+1)(a+2)]⋅(a+2)=a+2a+1−a−1a+1=3a+1，当a=2时，原式=32+1=1．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21.【答案】15 5 252【解析】解：(1)∵被调查的总人数为4÷10%=40(人)，∴C等级人数为40−(4+28+2)=6(人)，补全图形如下：(2)m%=640×100%=15%，即m=15，n%=240×100%=5%，即n=5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%=252°，故答案为：15，5，252°；(3)画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．(1)先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；(2)根据(1)种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；(3)分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22.【答案】解：(1)这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB=∠ADC=90°，由题意得：AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，∴BD=12AB=30，AD=√3BD=30√3≈51.9>50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；(2)由(1)得：BD=30，AD=30√3，∵BC=3×30=90，∴DC=BC−BD=90−30=60，在Rt△ADC中，AC=√AD2+DC2=√(30√3)2+602=30√7≈79.50(海里)；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【解析】(1)作AD⊥BC于D，由题意得AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，则BD= 12AB=30，AD=√3BD=30√3≈51.9>50，即可得出结论；(2)由(1)得BD=30，AD=30√3，求出DC=BC−BD=90−30=60，由勾股定理求出AC即可．本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23.【答案】解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，依题意有1600 x =9600x+10，解得x=2，经检验，x=2是原方程的解，x+10=2+10=12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；(2)设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12(2000−y)≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【解析】(1)可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；(2)可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24.【答案】证明：(1)如图，连接OC，OE，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵E为BD的中点，∴BE=CE=DE，∴∠ECB=∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD=90°，∴∠OBC+EBC=90°，∴∠OCB+∠ECB=90°，∴∠OCE=90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；(2)∵∠D=∠D，∠BCD=∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴BDAD =CDBD，∴BD2=AD⋅CD，∴(3√5)2=5AD，∴AD=9，∵E为BD的中点，AO=BO，∴OE=12AD=92，∴O，E两点之间的距离为92．【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，由直角三角形的性质可得BE=CE=DE，可得∠ECB=∠EBC，由切线的性质可得∠ABD=90°，可证OC⊥CE，可得结论；(2)通过证明△BCD∽△ABD，可得BDAD =CDBD，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB=4，∴OA =OB =OC =2， ∴A(−2,0)，B(2,0)，C(0,−2)， ∴{4a +2b +c =04a −2b +c =0c =−2，解得，{a =12b =0c =−2，∴抛物线的解析式为y =12x 2−2；(2)①设直线l 的解析式为y =kx ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =12x 2−2y =kx，可得12x 2−kx −2=0， ∴x 1+x 2=2k ，x 1⋅x 2=−4， ∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4k 2+16， ∴|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴S △CMN =12OC ⋅|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴当k =0时2√k 2+4取最小值为4． ∴△CMN 面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点P(m,12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴OP =OQ ，即√12+(32)2=√m 2+(12m 2−2)2， 解得，m 1=√3，m 2=−√3，m 3=1，m 4=−1， ∵m 3=1，m 4=−1不合题意，舍去， 当m 1=√3时，点P(√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1+√32,−1)， ∴1+√32k =−1，∴k =1−√3，∴直线l 的表达式为：y =(1−√3)x ， 当m 2=−√3时，点P(−√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1−√32,−1)， ∴1−√32k =−1，∴k =1+√3，∴直线l的解析式为y=(1+√3)x．综上，直线l的解析式为y=(1−√3)x或y=(1+√3)x．【解析】(1)先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)①设直线l的解析式为y=kx，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立方程组求得|x1−x2|，再由三角形的面积公式求得结果；m2−2)，使得点P与点Q关于直线l对称，由OP=OQ列②假设抛物线上存在点P(m,12出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第(2)①题关键是求得M、N两点的横坐标之差，第(2)②小题关键是根据轴对称性质列出m的方程，以及求得PQ的中点坐标．26.【答案】解：(1)在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，(2)分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC=∠DFC=90°，∵两纸条等宽，∴BE=DF=6，∵∠BCE=∠DCF=45°，∴BC=CD=6√2，∵两纸条都是矩形，∴AB//CD，BC//AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC=DC，∴四边形ABCD是菱形；(3)①当0<x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，x2，∴s=12∵0<x≤6，∴当x=6时，s取最大值为s=18cm2；②当6<x≤6√2时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为(x−6)cm，∴s=12(x+x−6)×6=6x−18，当x=6√2时，s取最大值为(36√2−18)cm2；③当6√2<x<6+6√2时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形=s菱形−s三角形=6√2×6−12(6+6√2−x)2=−12[x−(6+6√2)]2+36√2，此时，36√2−18<S五边形<36√2；④当x=6+6√2时，重叠部分为菱形，如图所求，∴S菱形=36√2cm2，综上，s与x函数关系为：s=12x2(0<x≤6)，或s=6x−18(6<x≤6√2)，或s=−12[x−(6+6√2)]2+36√2(6√2<x<6+6√2)，或s=36√2(x=6+6√2).故s的最大值为36√2cm2．【解析】(1)通过操作画出图形便可得出结果；(2)由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD 于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB=CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；(3)分四种情况：0<x≤6；6<x≤6√2；6√2<x<6+6√2；x=6+6√2.分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，本题主要考查了菱形的性质与判定，平移的性质，操作探究题，求出函数的解析式，一次函数和二次函数的性质，第(3)题的解题关键是分情况讨论．。
2023年湖南省永州市中考数学真题(解析版)
永州市2023年初中学业水平考试数学（试题卷）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“30+”，则“30-”表示（ ）A. 运出30吨粮食B. 亏损30吨粮食C. 卖掉30吨粮食D. 吃掉30吨粮食【答案】A【解析】【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“30+”，则“30-”表示运出30吨粮食．故选：A【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．2. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C ．是中心对称图形，故此选项符合题意；D ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．3. 下列多边形中，内角和等于360°的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据n 边形内角和公式()2180n -×°分别求解后，即可得到答案【详解】解：A ．三角形内角和是180°，故选项不符合题意；B ．四边形内角和为()42180360-´°=°，故选项符合题意；C ．五边形内角和()52180540-´°=°，故选项不符合题意；D ．六边形内角和为()62180720-´°=°，故选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查了n 边形内角和，熟记n 边形内角和公式()2180n -×°是解题的关键．4. 关于x 的一元一次方程25x m +=的解为1x =，则m 的值为（ ）A. 3B. 3-C. 7D. 7-【答案】A【解析】【分析】把1x =代入25x m +=再进行求解即可．【详解】解：把1x =代入25x m +=得：25m +=，解得：3m =．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．5. 下列各式计算结果正确的是（ ）A. 2325x x x +=B. 3=±C. ()2222x x =D. 1122-=【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数幂运算法则，逐个进行计算即可．【详解】解：A 、325x x x +=，故A 不正确，不符合题意；B3=，故B 不正确，不符合题意；为C 、()2224x x =，故C 不正确，不符合题意；D 、1122-=，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数幂运算法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则并熟练运用．6. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图的意义判断即可．【详解】A. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；B. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；C. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；D. 主视图和左视图都为三角形，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是解题的关键．7. 某县2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A. ()22.71 2.36x += B. ()22.361 2.7x +=C. ()22.71 2.36x -= D. ()22.361 2.7x -=【答案】B【解析】【分析】设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】解：设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，根据题意得，()22.361 2.7x +=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．8. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）A. 12 B. 13 C. 23 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据概率公式，即可解答．【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，故选到前两首的概率是13，故选：B ．【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．9. 已知点()2,M a 在反比例函数k y x =的图象上，其中a ，k 为常数，且0k >﹐则点M 一定在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数中的0k >，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M 点的横坐标判断点M 所在的象限，即可解答【详解】解：0k >Q ，\反比例函数k y x=的图象经过第一、三象限，故点M 可能第一象限或者第三象限，()2,M a Q 的横坐标大于0，()2,M a \一定在第一象限，故选：A ．在【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k 值的关系是解题的关键．10. 如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，以B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的定长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，作DE AB ^，垂足为E ，则下列结论不正确的是（ ）A. BC BE= B. CD DE = C. BD AD = D. BD 一定经过ABC V 的内心【答案】C【解析】【分析】根据作图可得BP 是CBA Ð的角平分线，根据角平分线的性质得出DC DE =，即可判断B ，证明Rt Rt BCD BED △≌△，根据全等三角形的性质，即可判断A ，根据三角形内心的定义，即可判断D 选项，假设BD AD =成立，得出30A Ð=°，即可判断C 选项．【详解】解：根据作图可得BP 是CBA Ð的角平分线，点D 在BP 上，,DC BC DE AB ^^，∴DC DE =，故B 选项正确，在Rt ,Rt BCD BED V V 中，CD DE BD BD =ìí=î，∴Rt Rt BCD BED △≌△()HL ，∴BC BE =，故A 选项正确；∵BP 是CBA Ð的角平分线，三角形的内心是三条角平分线的交点，∴BD 一定经过ABC V 的内心，故D 选项正确；若BD AD =，则DB DA =，DBA A Ð=Ð，又DBC DBA Ð=Ð，则90A DBA DBC Ð+Ð+Ð=°，∴30A Ð=°，而题目没有给出这个条件，故C 选项不一定正确，故选：C ．【点睛】本题考查了作角平分线，三角形角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内心的定义，熟练掌握基本作图是解题的关键．二﹑填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11. 0.5-，3，2-三个数中最小的数为_______．【答案】2-【解析】【分析】根据有理数比较大小的法则即可求出答案．【详解】解：Q 0.5-，2-，3三个数中，只有3是正数，\3最大．0.50.5-=Q ，22-=，0.5<2\，0.5>-2\-．2\-最小．故答案为：2-．【点睛】本题考查了有理数比较大小，解题关键在于熟练掌握有理数比较大小的方法：正数始终大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．12. 22a 与4ab 的公因式为________．【答案】2a【解析】【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答．【详解】解：根据确定公因式的方法，可得22a 与4ab 的公因式为2a ，故答案为：2a ．【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键．13. 已知x在实数的范围内没有意义的x 值是_______．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当30x -<没有意义，解不等式，即可解答．的【详解】解：当30x -<没有意义，解得3x <，x Q 为正整数，x \可取1，2，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键．14. 甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为1.72m ，甲队队员身高的方差为1.2，乙队队员身高的方差为5.6，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择_______队较好．【答案】甲【解析】【分析】根据方差的意义判断即可．【详解】∵221.2 5.6S S ==甲乙，，∴22S S <甲乙，∴估计这两支仪仗队身高比较整齐的是甲，故答案为：甲．【点睛】本题主要考查样本估计总体、方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．15. 如图，,,80AB CD BC ED B Ð=°∥∥，则D Ð=_______度．【答案】100【解析】【分析】根据,80AB CD B Ð=°∥，得出80C Ð=°，根据BC ED ∥，即可得出180D C Ð=°-Ð，即可求解．【详解】解：∵,80AB CD B Ð=°∥，∴80C B Ð=Ð=°，∵BC ED ∥，∴180********D C Ð=°-Ð=°-°=°，故答案为：100．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．16. 若关于x 的分式方程1144m x x -=--（m 为常数）有增根，则增根是_______．【答案】4x =【解析】【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．【详解】∵关于x 的分式方程1144m x x-=--（m 为常数）有增根，∴40x -=，解得4x =，故答案为：4x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．17. 已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为_________度．【答案】60【解析】【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案．【详解】解：设扇形圆心角的度数为n ，2S 6360n R p p \==扇形，Q 扇形的半径为6，266360n p p ´\=60n \=°．故答案为：60．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式：2S 360n R p =扇形 ．18. 如图，O e 是一个盛有水的容器的横截面，O e 的半径为10cm ．水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，则水面AB 的宽度为_______cm ．【答案】16【解析】【分析】过点O 作OD AB ^于点D ，交O e 于点E ，则12AD DB AB ==，依题意，得出6OD =，进而在Rt AOD V 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点O 作OD AB ^于点D ，交O e 于点E ，则12AD DB AB ==，∵水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，O e 的半径为10cm ．∴1046OD =-=cm ，在Rt AOD V 中，8AD ===cm∴216AB AD ==cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共8分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. 解关于x 的不等式组()2203172x x x->ìí--<-î【答案】12x <<【解析】【分析】分别解不等式组的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．【详解】解：()2203172x x x ->ìïí--<-ïî①②，解①得，1x >，解②得，2x <，\原不等式组的解集为12x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，取两个不等式的解集的公共部分的口诀为：“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小则无解”，熟知上述口诀是解题的关键．20. 先化简，再求值：211121x x x x æö-¸ç÷+++èø，其中2x =．【答案】1;3x +【解析】【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．【详解】211121x x x x æö-¸ç÷+++èø()211x x x x+=´+1x =+；当2x =时，原式213=+=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．21. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，其对角线相交于点O ，3,8,5OA BD AB ===．（1）AOB V 是直角三角形吗？请说明理由；（2）求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】（1）AOB V 是直角三角形，理由见解析．（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得142BO BD ==，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．【小问1详解】解：AOB V 是直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴142BO BD ==，∵222222345OA OB AB +=+==，∴AOB V 是直角三角形．【小问2详解】证明：由（1）可得：AOB V 是直角三角形，∴90AOB Ð=°，即AC BD ^，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．22. 今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防漏水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n 名学生的成绩x （成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组()6070x £<、2组()7080x £<、3组()8090x £<、4组()90100x £<，并绘制如下图所示频数分布图（1）n =______；所抽取的n 名学生成绩的中位数在第_____组；（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n 名学生中成绩为优秀的频率为______；（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．【答案】（1）600，3（2）25%（3）成绩大于或等于70分的人数约为15606人【解析】【分析】（1）将各组的频数相加，即可求出n 的值，再根据中位数的定义，即可得出中位数所在组数；（2）用第4组的频数除以抽取的学生总数，即可求解；（3）用总人数乘以成绩大于或等于70分的人数所占百分比，即可求解．【小问1详解】解：90160200150600n =+++=，∵6002300¸=，∴抽取的n 名学生成绩的中位数为第300名学生和第301名学生成绩的平均数，∵90160250300+=<，90160200450300++=>，∴抽取的n 名学生成绩的中位数在第3组；故答案为：600，3；【小问2详解】解：所抽取的n 名学生中成绩为优秀的频率150100%25%600=´=，故答案为：25%；小问3详解】解：1602001501836015606600++´=（人），答：成绩大于或等于70分的人数约为15606人．【点睛】本题主要考查了频数和频率的定义，用样本估计总体，解题的关键是正确识别统计图，根据统计图，获取需要数据进行求解．23. 永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB 代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN 上D 处为陈树湘雕拍照，相机支架CD 高0.9米，在相机C 处观测雕像顶端A 的仰角为45°，然后将相机架移到MN 处拍照，在相机M 处观测雕像顶端A 的仰角为30°，求D 、N 两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数1.732»）【【答案】1.5【解析】【分析】如图， 2.9AB =，0.9CD =，四边形EBNM ，四边形EBDC 是矩形，四边形CDNM 是矩形，Rt AEC △中，45ACE Ð=°，2AE AB EB =-=，2EC AE ==，Rt AEM △中，30AME Ð=°，tan 30AE EM °==EM ==，进一步求得 1.5CM EM EC =-»，所以1.5DN CM ==．【详解】如图， 2.9AB =米，0.9CD =米四边形EBNM ，四边形EBDC 是矩形，四边形CDNM 是矩形∴0.9EB CD MN ===米，DN CM=∵Rt AEC △中，45ACE Ð=°，∴ 2.90.92AE AB EB AB CD =-=-=-=米，∴2EC AE ==米∵Rt AEM △中，30AME Ð=°，∴tan 30AE EM °==∴EM ==米∴22 1.7322 1.5CM EM EC =-=»´-»米∴ 1.5DN CM ==米【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，观察图形，确定组合图形中，通过直角三角形、矩形之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．24. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：时间t （单位：分钟）12345…总水量y （单位：毫升）712172227…（1）探究：根据上表中的数据，请判断k y t=和y kt b =+（k ，b 为常数）哪一个能正确反映总水量y 与时间t 的函数关系?并求出y 关于t 的表达式；（2）应用：①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升?②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．【答案】（1）y kt b =+能正确反映总水量y 与时间t 的函数关系；52y t =+（2）①102毫升；②144天【解析】【分析】（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得y kt b =+能正确反映总水量y 与时间t 的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y 关于t 的表达式；（2）①将20t =代入函数，即可解答；②由解析式可知，每分钟滴水量为5毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答．【小问1详解】解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得y kt b =+能正确反映总水量y 与时间t 的函数关系，把17t y =ìí=î，212t y =ìí=î代入y kt b =+，可得7122k b k b =+ìí=+î，解得52k b =ìí=î，\y 关于t 的表达式52y t =+；【小问2详解】①当20t =时，5202102y =´+=，故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升，答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升．②由解析式可知，每分钟的滴水量为5毫升，30天()302460=´´分钟43200=分钟，可供一人饮水天数4320051441500´=天，答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．25. 如图，以AB 为直径的O e 是ABC V 的外接圆，延长BC 到点D ．使得BAC BDA Ð=Ð，点E 在DA 的延长线上，点AM 在线段AC 上，CE 交BM 于N ，CE 交AB 于G ．（1）求证：ED 是O e 的切线；（2）若5,AC BD AC CD ==>，求BC 的长；（3）若DE AM AC AD ×=×，求证：BM CE ^．【答案】（1）证明见解析（2）3（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由AB 是O e 的直径得到90ACB Ð=°，则90BAC ABC Ð+Ð=°，由BAC BDA Ð=Ð得到90BDA ABC Ð+Ð=°，则90BAD Ð=°，结论得证；（2）证明ACB DCA V V ∽，则BC AC AC AC DC BD BC ==-=，解得2BC =或3，由AC CD >即可得到BC 的长；（3）先证明ABC DAC △∽△，则AC AB DC AD=，得到AC AD CD AB ×=×，由DE AM AC AD ×=×得到DE AM CD AB ×=×，则AM AB DC DE=，由同角的余角相等得到BAM CDE Ð=Ð，则AMB DCE V V ∽，得E ABM Ð=Ð，进一步得到90EGA E ABM BGN Ð+Ð=Ð+Ð=°，则90BNG Ð=°，即可得到结论．【小问1详解】证明：∵AB 是O e 的直径，∴90ACB Ð=°，∴90BAC ABC Ð+Ð=°，∵BAC BDA Ð=Ð，∴90BDA ABC Ð+Ð=°，∴90BAD Ð=°，∴ED 是O e 的切线；【小问2详解】∵BAC BDA Ð=Ð，90ACB DCA Ð=Ð=°，∴ACB DCA V V ∽，∴BC AC AC AC DC BD BC==-，=，解得2BC =或3，当2BC =时，3CD BD BC =-=，当3BC =时，2CD BD BC =-=，∵AC CD >CD >，∴3BC =；【小问3详解】证明：∵AB 是O e 的直径，∴90ACB DCA Ð=Ð=°，∵BAC BDA Ð=Ð，∴ABC DAC △∽△，∴AC AB DC AD=，∴AC AD CD AB ×=×，∵DE AM AC AD ×=×，∴DE AM CD AB ×=×，∴AM AB DC DE=，∵BAM CDE Ð=Ð，∴AMB DCE V V ∽，∴E ABM Ð=Ð，∵EGA BGN Ð=Ð，∴90EGA E ABM BGN Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴90BNG Ð=°，∴BM CE ^．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26. 如图1，抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）经过点()0,5F ，顶点坐标为()2,9，点()11,P x y 为抛物线上的动点，PH x ^轴于H ，且152x ³．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，直线11:y OP y x x =交BF 于点G ，求BPG BOGS S △△的最大值；（3）如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且,BC BE PH FC ^=，求点P 的横坐标．【答案】（1）245y x x =-++（2）54（3【解析】【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出a ，b ，c 值，即可求出抛物线解析式．（2）利用抛物线的解析式可知道B 点坐标，从而求出直线BF 的解析式，从而设(),5G m m -+，根据直线OP 的解析式11y y x x =可推出1115x m x y =+，从而可以用11,x y 表达GT 长度，在观察图形可知1BPG BOG S PH S GT=-△△，将其GT 和PH 长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据P 横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出BPG BOGS S △△的最大值．（3）根据正方形的性质和FC PH =可求出PT MC =，再利用EOB CMB V V ≌相似和OB MB =可推出OE MC =，设()0,E d ，即可求出直线AP 的解析式，用a 表达P 点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出d 的值即可求出P 点横坐标．【小问1详解】解：Q 抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）经过点()0,5F ，顶点坐标为()2,9，5c \=，22b a -=，2494ac b a-=，242094b a a b a=-ìï\í-=ïî，14a b =-ì\í=î，\抛物线的解析式为：245y x x =-++．故答案为：245y x x =-++．【小问2详解】解：过点G 作GT x ^轴于点T ，如图所示，Q 抛物线的解析式为：245y x x =-++，且与x 轴交于A ，B 两点，()5,0B \，()0,5F Q ，设直线BF 的解析式为：y kx b =+¢，则505k b b +¢=ìí¢=î，15k b =-ì\í¢=î，\直线BF 的解析式为：5y x =-+．G Q 在直线BF 上，(),5G m m -+，Q G 在直线OP 上，OP 的解析式为：11y y x x =，115y m m x \-+=，1115x m x y \=+． 1111115555x y GT m x y x y \=-+=-+=++S S S BPG BPO BOG =-V V V Q，15S S S S 2=1111S S S 52BPG BPO BOG BPO BOG BOG BOG PH PH GT GT ´´-\=-=-=-´´V V V V V V V ．Q 11111155y x y PH y GT x y +==+11S 11S 5BPG BOG x y PH GT +\=-=-V V ()2111,45P x x x -++Q ，22111111S 4515511S 55524BPG BOG x y x x x x +-++æö\=-=-=--+ç÷èøV V ．152x ³Q ，105-<，\当52x =时， S S BPG BOG V V 有最大值，且最大值为：21555552244æö-´-+=ç÷èø ．故答案为：54．【小问3详解】解:∵＋BC BE ^，90MBC MBE \Ð+Ð=°，90OBE MBE \Ð+Ð=°，OBE MBC \Ð=Ð，90CMB EOB Ð=Ð=°Q ，MB BO =Q ，()EOB CMB ASA \V V ≌，设EO d =，()0,E d ，5PH FC FM MC d \==+=+，Q 抛物线的解析式为：245y x x =-++，且与x 轴交于A ，B 两点，()1,0A \-．设直线AP 的解析式为：y mx n =+，则0n d m n =ìí-+=î，m d n d =ì\í=î，\直线AP 的解析式为：y dx d =+．5PH d =+Q ，P 在直线AP 上，5d dx d \+=+，5x d\=，245x x dx d \-++=+，()()2450x d x d \+-+-=，()()1·50x x d éù\++-=ëû（十字相乘法），由5x d =，得：5d x=，()5150x x x æö++-=ç÷èø，()510,50x x x æö\+=+-=ç÷èø11x \=-，550x x+-=，即2550x x -+=，解得：2x =，3x =52x ³Q ，x \=P \点横坐标为：x=．【点睛】本题考查是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．的。
2020年湖南省永州市中考数学试卷 (解析版)
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）2020-的相反数为( ) A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．120202．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( ) A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．223323a b ab a b += B ．632a a a ÷= C ．639a a a =D ．325()a a =5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( ) A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是96．（4分）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA7．（4分）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A．913B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A．4B．2C3D．2310．（4分）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k-+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 12．（4分）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ．13．（4分）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 成绩 90100x 8090x < 7080x < 6070x <60x <人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 人． 15．（4分）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16．（4分）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．17．（4分）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 ．18．（4分）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：01312020830()2-+︒-．20．（8分）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ．（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径，BD与O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是O的切线．（2）已知35BD=，5CD=，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC∆的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且4AB=，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求CMN∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q-是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为(0662)scm．求s与x的函xcm x<+，两张纸条重叠部分的面积为2数关系式，并求s的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1．（4分）2020-的相反数为( ) A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．12020解：2020-的相反数为：2020． 故选：B ．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风解：根据轴对称图形的定义可知： 选项A 、B 、C 中的图形是轴对称图形， 选项D 不是轴对称图形． 故选：D ．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( ) A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人解：635.3万66353000 6.35310==⨯．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为66.35310⨯人． 故选：C ．4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．223323a b ab a b += B ．632a a a ÷= C ．639a a a =D ．325()a a =解：A 选项的两个加数不是同类项，不能加减； 6332a a a a ÷=≠，故选项B 错误； 639a a a =，故选项C 正确；3265()a a a =≠．故选项D 错误．故选：C ．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( ) A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是9解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8， 所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1268855++++=，方差为22221[(15)(25)(65)2(85)]8.85⨯-+-+-+⨯-=，故选：A ．6．（4分）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA解：AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，()ABC DCB SAS ∴∆≅∆，故选：A ．7．（4分）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法： ①PA PB =； ②OP AB ⊥；③四边形OAPB 有外接圆； ④M 是AOP ∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4解：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，PA PB∴=，所以①正确；OA OB=，PA PB=，OP∴垂直平分AB，所以②正确；PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，OA PA∴⊥，OB PB⊥，90OAP OBP∴∠=∠=︒，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；只有当30APO∠=︒时，2OP OA=，此时PM OM=，M∴是不一定为AOP∆外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（4分）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A ．913B．25C．35D．63解：//EF BC，AEF ABC∴∆∆∽，∴224()()25AEFABCS AE AES AB AE EB∆∆===+，425AEF ABCS S∆∆∴=．21ABC AEFBCFES S S∆∆=-=四边形，即212125ABCS∆=，25ABCS∆∴=．故选：B．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A．4B．2C．3D．23解：如图，过点B作BD AC⊥于点D，此正三棱柱底面ABC∆的边AB在右侧面的投影为BD，2AC =，1AD ∴=，2AB AD ==， 3BD ∴=，左视图矩形的宽为2， ∴左视图的面积为23．故选：D ．10．（4分）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k-+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2解：过点C 作CP ⊥直线l ，交圆C 于Q 点，此时PQ 的值最小， 根据点到直线的距离公式可知：点(1,1)C 到直线l 的距离2351(2)d ==+-． Q 的半径为1， 351PQ ∴=-， 故选：B ．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 3x ≠ ． 解：根据题意得，30x -≠， 解得3x ≠． 故答案为：3x ≠．12．（4分）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 22x y =⎧⎨=⎩ ．解：422x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：36x =，即2x =， 把2x =代入①得：2y =， 则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，故答案为：22x y =⎧⎨=⎩13．（4分）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ． 解：由已知得：△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 480 人． 解：251560048050+⨯=（人)， 即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人， 故答案为：480．15．（4分）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是4平方分米．解：圆锥的侧面积11224ππ=⨯⨯=平方分米． 故答案为4π．16．（4分）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．解：过点B 作//EF a ． //a b ， ////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠． ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒． 60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒．故答案为：35︒．17．（4分）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 6 ．解：正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交点坐标(6A -，6)，(6C ，6)-， AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，6OB AB OD CD ∴====，11266622ABD S BD AB ∆∴==⨯⨯=， 故答案为：6．18．（4分）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 53 ．解：分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长， 连接OP '，OP ''，OP ，OA 、OB 分别为PP '，PP ''的垂直平分线，(4,3)P ，22435OP OP OP ∴'==''=+=，且POA P OA ∠=∠'，POB P OB ∠=∠''，60AOB AOP BOP ∠=∠+∠=︒， 120P OP ∴∠'''=︒，过O 作OQ P P ⊥'''，可得P Q P Q '=''，30OP Q OP Q ∠'=∠''=︒， 52OQ ∴=，53P Q P Q '=''=532253P P P Q ∴'''='==， 则PMN ∆周长的最小值是3． 故答案为：53三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：01312020830()2-+︒-．解：原式11222=+⨯-112=+- 0=．20．（8分）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 解：原式2212(1)[](2)1(1)(1)(2)a a a a a a a +-=-+++-+11[](2)1(1)(2)a a a a a -=-++++ 2111a a a a +-=-++ 31a =+， 当2a =时， 原式3121==+． 21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = 15 ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ． （3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 解：（1）被调查的总人数为410%40÷=（人)， C ∴等级人数为40(4282)6-++=（人)，补全图形如下：（2）6%100%15%40m =⨯=，即15m =， 2%100%5%40n =⨯=，即5n =； B 等级所占扇形的圆心角度数为36070%252︒⨯=︒，故答案为：15，5，252︒； （3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123=． 22．（10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下： 作AD BC ⊥于D ，如图： 则90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意得：60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒， 1302BD AB ∴==，330351.950AD BD ==≈>， ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：30BD =，303AD = 33090BC =⨯=，903060DC BC BD ∴=-=-=，在Rt ADC ∆中，2222(303)6030779.50AC AD DC =+=+=≈（海里）； 答：A ，C 之间的距离约为79.50海里．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有 1600960010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解， 1021012x +=+=．故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元； （2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有 212(2000)10000y y +-，解得1400y ．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线．（2）已知35BD =5CD =，求O ，E 两点之间的距离．【解答】证明：（1）如图，连接OC ，OE ，OB OC =， OBC OCB ∴∠=∠，AB 是直径， 90ACB ∴∠=︒，E 为BD 的中点， BE CE DE ∴==， ECB EBC ∴∠=∠，BD 与O 相切于点B ， 90ABD ∴∠=︒， 90OBC EBC ∴∠+=︒， 90OCB ECB ∴∠+∠=︒， 90OCE ∴∠=︒OC CE ∴⊥，又OC 为半径，CE ∴是O 的切线；（2）D D ∠=∠，BCD ABD ∠=∠，BCD ABD ∴∆∆∽， ∴BD CD AD BD =， 2BD AD CD ∴=，2(35)5AD ∴=，9AD ∴=，E 为BD 的中点，AO BO =，1922OE AD ∴==， O ∴，E 两点之间的距离为92． 25．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； （2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m2m =，31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -， 线段PQ的中点为1)-，∴1=-，∴1k =-，∴直线l 的表达式为：(13)y x =-， 当23m =-时，点(3P -，1)2-， 线段PQ 的中点为13(2-，1)-， ∴1312k -=-， ∴13k =+，∴直线l 的解析式为(13)y x =+．综上，直线l 的解析式为(13)y x =-或(13)y x =+．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．（3）设平移的距离为(0662)xcm x <+，两张纸条重叠部分的面积为2scm ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE CD⊥于点F，如图，⊥于点E，DF CB∴∠=∠=︒，BEC DFC90两纸条等宽，BE DF∴==，6BCE DCF∠=∠=︒，45∴==，62BC CD两纸条都是矩形，//∴，//BC AD，AB CD∴四边形ABCD是平行四边形，又BC DC=，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当06x <时，重叠部分为三角形，如图所求，212s x ∴=， 06x <，∴当6x =时，s 取最大值为218s cm =；②当662x <时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm ，上底为(6)x cm -，1(6)66182s x x x ∴=+-⨯=-， 当62x =时，s 取最大值为2(36218)cm -；③当62662x <<+时，重叠部分为五边形，如图所求，(2211626(62)[62]222s s s x x ∴=-=-+-=--++五边形三角形菱形，此时，36218362S -<<五边形； ④当662x =+时，重叠部分为菱形，如图所求，∴2362S cm =菱形， 综上，s 与x 函数关系为：21(06)2s x x =<，或618(662)s x x =-<，或21[(662)]362(6262)2s x x =--++<<+，或362(62)s x ==+． 故s 的最大值为2362cm ．。
湖南省永州市中考数学试卷及答案
（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．
25．（本小题10分）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 点 在 轴上．已知某二次函数的图象经过 、 、 三点，且它的对称轴为直线 点 为直线 下方的二次函数图象上的一个动点（点 与 、 不重合），过点 作 轴的平行线交 于点
A． B． C． D．
13．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．平移不改变图形的形状和大小
C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
D．相等的弦所对的弧相等
14．为了了解某校初三学生体育测试成绩，从中随机抽取了50名学生的体育测试成绩如下表：
成绩
（分）
15
18
19
20
21
22
7．若实数 满足 则 的值为．
8．某校初三（一）班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的 处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部 处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为米．（已知 结果精确到0.1米）
二、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将正确选项的代号填涂在答题卡的答案栏内．）
9．C 10．D 11．C 12．A 13．B 14．A 15．D 16．B
三、解答题
17． 解：
= 3分
= 5分
= 6分
18．解：
= 1分
= 3分
= 4分
当 时，原式= 6分
2021年湖南省永州市中考数学试卷及详细答案
7.（4分）下列命题是真命题的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对 角线互相垂直的四边形是菱形C.任意多边形的内角和为360。
D.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；C、任意多边形的 外角和为360° ,所以C选项为假命题；
5.（4分）下列运算止确的是（）A. m2+2m3-3m5
B. m2?m3=m6 C.（- m） 3= - m3 D. （mn） 3=mn3
【解答】解：A、m2与2m3不是同类项，不能合并，此选项错误；B、m2?m3二m5,此选项错误；C、（- m）3=- m3,此选项正确：D、（mn）3二m3n3,此选项错 误；故选：C.
2.（4分）誉为全国第三大露天碑林的“涪溪碑林”，摩崖上铭刻着500多 方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针 篆文文字明显不是轴对称图形的是（）
A・B. C. D.
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选 项错误；C、不是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，故此选项错 误；故选：C.
4.
（4分）如图儿何体的主视图是（）
A.
B・C・D・
5.
（4分）下列运算止确的是（）A. m2+2m3-3m5
B.
m2?m3=m6 C.(- m) 3=-m3 D・(mn) 3=mn3
6・
（4分）已知一组数据45, 51, 54, 52, 45, 44,则这组数据的众数、中
2020年湖南省永州市中考数学试卷及答案解析
【解析】
【分析】
(1)先求出总人数，减去A、B、D等级的人数即可补充统计图；
(2)利用每个等级是人数除以总数再乘以100%求出m与n，根据百分比乘以360°求出B等级所占圆心角的度数；
(3)列树状图解答.
【详解】解：（1）总人数为 （人），
C等级的人数为： （人），
12.方程组 的解是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用加减消元法求解．
【详解】
由①+②得：3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①中得，y=2，
所以方程组的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】考查了解二元一次方程组，解题关键是利用加减消元法实现消元．
13.若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．
根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有_________人．
【答案】480
【解析】
【分析】
用七年级的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案.
【详解】 （人）
故答案为：480.
【点睛】此题考查用样本的比例估计总体的比例，由此求出对应的总体中的人数，正确理解用样本估计总体的方法是解题的关键.
【详解】解：如图，标注字母，
延长 交 于 ，
由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
17.如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，C两点，过点A作 轴于点B，过点C作 轴于点D，则 的面积为_________．
2023年湖南省永州市中考数学试卷(含答案解析)093801
2023年湖南省永州市中考数学试卷试卷考试总分：144 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为( )A.12米B.16米C.18米D.20米 2. 在梯形面积公式S =12(a +b)h 中，如果a =5cm ，b =3cm ，S =16cm 2 ，那么h 等于( )A.2cmB.5cmC.4cmD.1cm3. 计算(−3)0+(−12)−2的结果是( )A.1B.−3C.5D.34. 下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）12161820S =(a +b)h12a =5cm ，b =3cm S =16cm 2h 2cm5cm4cm1cm(−3+(−)012)−2()1−353A. B. C. D.5. 某超市一月份营业额为200万元，一、二、三月份总营业额为1000万元，设平均每月的营业额的增长率为x ，则由题意列方程为（ ）A.200+200×2x =1000B.200(1+x)2=1000C.200+200×3x =1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=10006. 育才学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的3名同学（1男2女）组成了“关爱老人”志愿小分队.若从该小分队中任选2名同学参加周末的志愿活动，则恰好是1男1女的概率是( )A.13B.23C.12D.347. 若P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)是函数y =−5x 图象上的两点，当x 1>x 2>0时，下列结论正确的是( )A.y 2>y 1>0B.y 1>y 2>02001000x200+200×2x =1000200(1+x =1000)2200+200×3x =1000200[1+(1+x)+(1+x ]=1000)231221113231234(,)P 1x 1y 1(,)P 2x 2y 2y =−5x >>0x 1x 2()>>0y 2y 1>>0y 1y 221C.y 2<y 1<0D.y 1<y 2<08. 已知，如图Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，CA ＝CB ＝2，以AB 的中点D 为圆心DC 为半径，作圆心角为90∘的扇形DEF ，则图中阴影部分的面积为（ ） A.−2B.−1C.π−2D.π−1二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 4 分 ，共计32分 ）9. 比较大小：−1________−8(填“>”“<“或“=”)．10. 多项式3a −12a 2+18a 3的公因式是________． 11. b＝-+4，则＝________．12. 某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表：若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2，a 的方差等于________.13. 如图，已知a//b ，∠1=70∘，则∠2=________.<<0y 2y 1<<0y 1y 214. 若关于x的方程m+1x−1+1=0有增根，则m的值为________．15. 一个扇形的圆心角为120∘，面积为12πcm2，则此扇形的半径为________cm．16. 如图，AB为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点E，已知 CD=6，EB=1，则⊙O 的半径为________.三、解答题（本题共计 8 小题，每题 9 分，共计72分）17. 解不等式组：{2+3x<5+2x，x−3(x−2)≤4.18. 先化简，再求值：(x−2−5x+2)÷x−32x+4，其中x=2．19.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长CB到点E，使BE=BC，连接AE.(1)求证：四边形ADBE是平行四边形；(2)若AB=4，OB=52，求▱ADBE的周长.20. 在新冠病毒疫情防控期间，某校“停课不停学”，开展了网络教学．为了解九年级学生在网络学习期间英语学科和数学学科的学习情况，复课后从九年级学生中随机抽取60名学生进行了测试，获得了他们成绩（百分制）的数据，通过对成绩数据的整理、描述和分析，得到了如下部分信息．①英语成绩的频数分布直方图如图：（数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100．）②英语和数学成绩的平均数、中位数、众数如表：学科平均数中位数众数英语74.8m83数学72.27081③英语成绩在70≤x<80这一组的数据是：70，71，72，73，73，73，74，76，77，77，77，78，79，79，根据以上信息，回答下列问题：(1)表中m的值是________．(2)在此次测试中，李丽的英语成绩为74分，数学成绩为71分，该名学生成绩排名更靠前的学科是________．（填“英语”或“数学”），说明理由；(3)若该校九年级共有500名学生，请你估计英语成绩超过77.5分的人数．21. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34∘，再沿AC方向前进22m到达B 处，测得塑像顶部D的仰角为60∘.(1)求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34∘≈0.5，cos34∘≈0.8，tan34∘≈0.6，√3≈1.73)(2)“景点简介”显示，炎帝塑像的高度为63m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．22. 学校举行校园歌手大奖赛，参加决赛的6名选手最后取得的成绩如下表所示：选手序号123456成 绩97.798.496.597.396.598.1下列的两个说法：（1）成绩是序号的函数．（2）序号是成绩的函数．说法正确的是（填序号即可）________． 23. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD 并延长交线段AC 于点E ，连接AD ，且∠CDE =∠CAD ．（1）求证：CD 2=AC ⋅CE ；（2）求证：AC 是⊙O 的切线；（3）若AE =EC ，求tanB 的值．24. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线OA 交二次函数y =14x 2的图像于点A ，∠AOB =90∘，点B 在该二次函数的图像上，设过点(0,m)（其中m >0）且平行于x 轴的直线交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，以线段OM 、ON 为邻边作矩形OMPN ．(1)若点A 的横坐标为8．①用含m 的代数式表示M 的坐标；②点P 能否落在该二次函数的图像上？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由；(2)当m =2时，若点P 恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA 的函数表达式．参考答案与试题解析2023年湖南省永州市中考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】多边形内角与外角【解析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，每一次都是左转20∘，所以多边形的边数为360∘÷20∘=18，所以该正多边形的周长18×1=18（米）.故选C.2.【答案】C【考点】解一元一次方程【解析】此题暂无解析【解答】解：将a =5cm ，b =3cm ，S =16cm 2代入梯形面积公式得：16=12(5+3)h ，解得h =4．故选C ．3.【答案】C【考点】零指数幂、负整数指数幂负整数指数幂实数的运算【解析】此题涉及零指数幂和负整数指数幂两个知识点，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得结果．【解答】解：原式=1+4=5.故选C．4.【答案】C【考点】简单几何体的三视图【解析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．【解答】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；B、主视图是长方形，故B选项错误；C、主视图是三角形，故C选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误.故选C.5.【答案】D【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x ，∴二月份的营业额为200×(1+x)，∴三月份的营业额为200×(1+x)×(1+x)=200×(1+x)2，∴可列方程为200+200×(1+x)+200×(1+x)2=1000，即200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000．故选D ．6.【答案】B【考点】列表法与树状图法概率公式【解析】此题暂无解析【解答】解：根据列举法可得：（男，女1）（男，女2）（女1，女2）一共有3种情况，恰好是一男一女的有2种情况，所以，P （恰好是一男一女）=23.故选B ．7.【答案】C【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得y1=5x1，y2=5x2，然后利用求差法比较y1与y2的大小．【解答】解：在反比例函数y=−5x中，k=−5<0，∴此函数图象的两个分支在二、四象限，∵x1>x2>0，∴两点都在第四象限，∵在第四象限内y的值随x的增大而增大，∴y2<y1<0．故选C.8.【答案】B【考点】直角三角形斜边上的中线扇形面积的计算等腰直角三角形全等三角形的性质与判定【解析】连接CD，证明△BDG≅△CDH，得到图中阴影部分的面积＝扇形EDF的面积−△BDC的面积，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】连接CD，∵∠ACB＝90∘，CA＝CB，∴∠B＝45∘，AB＝2，∵CA＝CB，AD＝BD，∴CD＝AB＝BD＝，CD⊥AB，∴∠BDF+∠CDF＝90∘，∵∠CDE+∠CDF＝90∘，∴∠BDF＝∠CDE，在△BDG和△CDH中，，∴△BDG≅△CDH(ASA)，∴图中阴影部分的面积＝扇形EDF的面积-四边形DHCG的面积＝扇形EDF 的面积−△BDC 的面积＝-××＝−1，二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 4 分 ，共计32分 ）9.【答案】>【考点】有理数大小比较【解析】本题考查比较有理数的大小.根据两个负数相比较，绝对值大的反而小解答.【解答】解：∵|−1|=1，|−8|=8，且1<8，∴−1>−8.故答案为：>.10.【答案】3a【考点】公因式【解析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低指数次幂．同时注意首项系数通常要变成正数．【解答】解：∵3a −12a 2+18a 3=3a(1−4a +6a 2)，∴多项式3a −12a 2+18a 3的公因式是3a ．故答案为3a ．11.【答案】【考点】二次根式有意义的条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】12【考点】方差【解析】【解答】解：∵出现次品数量的唯一众数为1，∴a =1，∴¯x =1+0+2+14=1，∴S 2=(1−1)2+(0−1)2+(2−1)2+(1−1)24=12.13.【答案】70∘【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵a//b ，∠1=70∘，∴∠2=∠1=70∘.故答案为：70∘.14.【答案】−1【考点】分式方程的增根【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x −1=0，求出x 的值，代入整式方程即可求出m 的值．【解答】解：去分母得：m+1+x −1=0，由分式方程有增根，得到x −1=0，即x =1，把x =1代入整式方程得：m =−1，故答案为：−115.【答案】6【考点】扇形面积的计算【解析】此题暂无解析【解答】解：设扇形半径为r ，由题意得12π=120r 2360，解得r =6或−6（舍去）．故答案为：6．16.【答案】5【考点】垂径定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：连接OC,设圆O 的半径为r ，则 OE =r −1,据垂径定理可得 CE =3,在Rt △OCE 中，由勾股定理可得 CE 2+OE 2=OC 2，即32+(r −1)2=r 2 ，解得r =5,故⊙O 的半径为5.故答案为：5.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 9 分 ，共计72分 ）17.【答案】解：{2+3x <5+2x ①,x −3(x −2)≤4②,解不等式①得：x <3，解不等式②得：x ≥1，则不等式组的解为1≤x <3．【考点】解一元一次不等式组【解析】无【解答】解：{2+3x <5+2x ①,x −3(x −2)≤4②,解不等式①得：x <3，解不等式②得：x≥1，则不等式组的解为1≤x<3．18.【答案】解：(x−2−5x+2)÷x−32x+4=[(x+2)(x−2)x+2−5x+2]×2(x+2)x−3=(x+3)(x−3)x+2×2(x+2)x−3=2(x+3)，当x=2时，2(x+3)=2×5=10．【考点】分式的化简求值【解析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．【解答】解：(x−2−5x+2)÷x−32x+4=[(x+2)(x−2)x+2−5x+2]×2(x+2)x−3=(x+3)(x−3)x+2×2(x+2)x−3=2(x+3)，当x=2时，2(x+3)=2×5=10．19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，AD//BC，又∵BC=BE，∴BE=AD.∵AD//BE，∴四边形ADBE是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD为矩形，OB=52，∴AC=BD=5，∠ABE=90∘，∵四边形ADBE是平行四边形，∴AE=BD=5.在 Rt△ABE中，由股定理得：BE=√AE2−AB2=√52−42=3，∴▱ADBE的周长=2×(AE+BE)=2×(5+3)=16.【考点】矩形的性质平行四边形的判定平行四边形的性质勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，AD//BC，又∵BC=BE，∴BE=AD.∵AD//BE，∴四边形ADBE是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD为矩形，OB=52，∴AC=BD=5，∠ABE=90∘，∵四边形ADBE是平行四边形，∴AE=BD=5.在 Rt△ABE中，由股定理得：BE=√AE2−AB2=√52−42=3，∴▱ADBE的周长=2×(AE+BE)=2×(5+3)=16.20.【答案】76.5(2)数学．理由如下：∵该学生的成绩小于英语成绩的中位数，而大于数学成绩的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是数学．(3)500×3+18+660=225人．答：估计该校英语成绩超过77.5分的人数为225人．【考点】频数（率）分布直方图频数与频率中位数用样本估计总体【解析】(1)根据统计图表求出总人数，判断中位数在70≤x<80这一组，根据中位数定义求解；(2)可以从中位数角度进行分析；(3)用总人数乘以样本中超过77.5分的人数所占比例即可.解：(1)∵英语成绩总人数为3+7+12+14+18+6=60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x<80这一组，∴中位数在70≤x<80这一组，∵70≤x<80这一组的是：70，71，72，73，73，73，74，76，77，77，77，78，79，79，∴英语成绩的中位数为76+772=76.5，即m=76.5，故答案为：76.5；(2)数学．理由如下：∵该学生的成绩小于英语成绩的中位数，而大于数学成绩的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是数学．(3)500×3+18+660=225人．答：估计该校英语成绩超过77.5分的人数为225人．21.【答案】解：(1)设DE=xm，则DC=(x+54)m，在Rt△DCB中，tan∠DBC=DCBC，∴BC=DCtan∠DBC=x+54√3=√33(x+54).在Rt△ECA中，tan∠A=ECAC，∴AC=ECtan∠A=540.6=90，√33(x+54)=22，由题意得，90−解得：x≈64 .答：炎帝塑像DE的高度约为64m .(2)误差=64−63=1米，建议：多次测量取平均值．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设DE=xm，则DC=(x+54)m，在Rt△DCB中，tan∠DBC=DCBC，∴BC=DCtan∠DBC=x+54√3=√33(x+54).在Rt△ECA中，tan∠A=ECAC，∴AC=ECtan∠A=540.6=90，√33(x+54)=22，由题意得，90−解得：x≈64 .答：炎帝塑像DE的高度约为64m .(2)误差=64−63=1米，建议：多次测量取平均值．22.（1）．【考点】函数的概念【解析】根据函数的概念解答．【解答】解：决赛后以成绩为主，6名选手最后取得的成绩排列后，随着成绩的变化选手的序号也在变化，所以，成绩是序号的函数．23.【答案】（1）证明：证明略；（2）证明：证明略；（3）解：tanB 的值为√22．【考点】圆的综合题【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：证明略；（2）证明：证明略；（3）解：tanB 的值为√22．24.【答案】解：(1)①∵点A 在y =14x 2的图象上，横坐标为8，∴A(8,16)，∴直线OA 的解析式为y =2x ，∵点M 的纵坐标为m ，∴M (12m,m )；②假设能在抛物线上，连接OP.∵∠AOB=90∘，∴直线OB的解析式为y=−12x，∵点N在直线OB上，纵坐标为m，∴N(−2m,m)，∴MN的中点的坐标为(−34m,m)，∴P(−32m,2m)，把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329.(2)①当点A在y轴右侧时，设A(a,14a2)，∴直线OA的解析式为y=14ax，∴M(8a,2)，∵OB⊥OA，∴直线OB的解析式为y=−4a x，可得N(−a2,2)，∴P(8a−a2,4)，代入抛物线的解析式得到，8a−a2=±4，解得a=4√2±4，直线OA的解析式为y=(√2±1)x；②当点A在y轴左侧时，即为①中点B位置，∴直线OA的解析式为y=−4a x=−(√2±1)x，综上所述，直线OA的解析式为y=(√2±1)x或y=−(√2±1)x.【考点】二次函数综合题【解析】（1）①求出点A 的坐标，直线直线OA 的解析式即可解决问题．②求出直线OB 的解析式，求出点N 的坐标，利用矩形的性质求出点P 的坐标，再利用待定系数法求出m 的值即可．（2）分两种情形：①当点A 在y 轴的右侧时，设A (a,14a 2)，求出点P 的坐标利用待定系数法构建方程求出a 即可．②当点A 在y 轴的左侧时，即为①中点B 的位置，利用①中结论即可解决问题．【解答】解：(1)①∵点A 在y =14x 2的图象上，横坐标为8，∴A(8,16)，∴直线OA 的解析式为y =2x ，∵点M 的纵坐标为m ，∴M (12m,m )；②假设能在抛物线上，连接OP.∵∠AOB =90∘，∴直线OB 的解析式为y =−12x ，∵点N 在直线OB 上，纵坐标为m ，∴N(−2m,m)，∴MN 的中点的坐标为(−34m,m)，∴P(−32m,2m)，把点P 坐标代入抛物线的解析式得到m =329.(2)①当点A 在y 轴右侧时，设A (a,14a 2)，∴直线OA 的解析式为y =14ax ，∴M (8a ,2)，∵OB ⊥OA ，∴直线OB的解析式为y=−4a x，可得N(−a2,2)，∴P(8a−a2,4)，代入抛物线的解析式得到，8a−a2=±4，解得a=4√2±4，直线OA的解析式为y=(√2±1)x；②当点A在y轴左侧时，即为①中点B位置，∴直线OA的解析式为y=−4a x=−(√2±1)x，综上所述，直线OA的解析式为y=(√2±1)x或y=−(√2±1)x.。
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永州市2010年初中毕业学业考试试卷
数学(试题卷)
温馨提示：
1．本试卷包括试题卷争答题卡。
考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
3．本试卷满分120分，考试时间120分钟。
本试卷共三道大题，25个小题。
如有缺页，考生须声明。
一、填空题(本大题共8个小题．请将答案填在答题卡的答案栏内．每小题3分．共24分．) -=
1.2010
答案：2010
2．2010年5月1日，上海世博会如约而至，全球瞩目．据上海世博会协调局消息，5月1日上海世博会开馆当天接待游客就达204000人次，开馆情况很好．请将204000用科学记数法表示为．
答案：2.04×105
3．如图在△ABC中，DE∥BC，∠A=35o ，∠ABC=65o,则∠AED= 度.
答案：80
4．永州市江永县的上江圩是世界上独一无二的“女书”文字的发源地．千百年来，女书只在女性之间以‘母女相授’，的方式流传．—位不识女书文字的游客慕名来到江永县的上江圩参观，当地女书传人给出一个女书文字并告诉游客这是汉字“开、心、快、乐”中的一个字，让他猜这是其中的哪个字．请问这位游客能猜中的概率是
1
答案：
4
5．如图，要使还需增添的条件是．(写出一个即可)
答案：
=的解是．
6.方程2x x
答案：
7．如图，已知在半径为6的⊙O 中 ,30ACB ∠=o
．则图中阴影部分的面积是 ． (结果保留三位有效数字)． 答案：18.8
8．如图所示是一个坐标方格盘．你可操纵一只遥控机 器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只 能按如下两种方式(第一种：向上、下、左、右可任意 跳动1格或3格；第二种：跳到关于原点的对称点上) 中的一种进行．若机器蛙在点A(-5，4)，现欲操纵它 跳到点B(2，一3)，请问机器蛙至少要跳 次． 答案：3 二、选择题(本大题共8个小题。
每小题只有一个正确选项．请将正确选项填涂到答题卡上．每小题3分．共24分) 9．不等式2x ->的解集在数轴上表示为
答案：D
lO ．下列计算正确的是
A.622.a a a ÷=
B.235
a a a += C.23
6
()a a = D.2
2
2
()a b a b +=+
答案：C
11·如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、 反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致．请问应选择的拼木是
答案：B
12．下列命题是真命题的是 A ．三点确定一个圆．
B ．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
D ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等． 答案：C 13．“五-一”节，爸爸开车带李明回老家看望爷爷、奶奶．一路上，李明发现在经过 A 、B 、C 、D 每一个村庄前的500米处均立有右图所示的交通 告示牌．现给出这四个路段爸
爸开车的速度与离开告示牌的 距离之间的函数关系图象，则其中表示爸爸违章的路段的 图象是
答案：B
14．下列说法正确的是
A 方差反映了一组数据的分散或波动的程度．
B 数据l 、5、3、7、10的中位数是3．
C ．任何一组数据的平均数和众数都不会相等．
D ．明天我市一定下雨是必然事件． 答案：A
15．由二次函数2
2y x x =-+ 可知
A ．其图象的开口向上
B ．其图象的对称轴为x=l
C ．其最大值为一1
D ．其图象的顶点坐标为(1- , 1 ) 答案：B
16．将一个正整数n 输入一台机器内会产生出
(1)
2
n n + 的个位数字．若给该机器输入初始数a 将所产生的第一个数字记为1a 再输入1a ，将所产生的第二个数字记 为2a ;···;依次类推．现输入2a =，则 2010a 是
A ．2
B ．3
C ．6
D ．1 答案：D
三、解答题(本大题共9个小题．共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程) 17．(本小题6分)计算：0
2
12tan 60(1)12()2
π---o
答案：
18．(本小题6分)先化简，再求值．
211
(1)
21
a
a a
-
-
--
g其中1
a=-
答案：
1 9．(本小题6分)如图所示是一个直四棱柱及其正视图和俯视图(等腰梯形)．
(1)根据图中所给数据，可求得俯视图(等腰梯形)的高为——；
(2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长．(用尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹)
答案：
20．(本小题8分)学生的学习兴趣如何是每位教师非常关注的问题．为此，我市某校
教师对该校部分学生的学习兴趣进行了一次抽样调查(把学生的学习兴趣分为
三个层次，A层次：很感兴趣；B层次：较感兴趣；C层次：不感兴趣)，并将调查
结果绘制成了图①和图②的统计图(不完整)．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查中，共调查了——名学生；
(2)将图①补充完整；‘
(3)求出图②中C层次所在扇形的圆心角的度数；
(4)根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中大约存多少名学生对学习感兴趣(包括A层次和B层次)．
答案：
21．(本小题8分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC
(1)求证：BD平分∠ABC
(2)若BC=2AB，求∠C 的度数．
答案：
22．(本小题8分)我市某县为创建省级文明卫生城市，计划将城市道路两旁的人行道进行改造．经调查可知，若该工程由甲工程队单独来做恰好可在规定时间内完成；若该工程由乙工程队单独完成，则所需要的天数是规定时间的2倍．若甲、乙两工程队合做6天后，余下的工程由甲工程队单独来做还需3天才能完成．
(1)问该县要求完成这项工程规定的时间是多少天?
(2)已知甲工程队做一天需付给工资5万元，乙工程队做一天需付给工资3万元．现该工程由甲、乙两个工程队合做来完成，该县准备了工程工资款65万元，请问该县准备的工程工资款是否够用?
答案：
23．(本小题10分)如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC 于点D、E，且点D为边BC的中点．
(1)求证：△ABC 为等边三角形；
(2)求DE的长；
(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P．使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
答案：
24．(本小题lO分)已知二次函数的图象与X轴有且只有一个交点A (2 ，0 )，与Y轴的交点为B(0，4)，且其对称轴与y轴平行.
(1)求该二次函数的解析式，并在所给坐标系中画出这个二次函数的大致图象；
(2)在该二次函数位于A、B两点之间的图象上取一点M，过点M分别作X轴、y轴的垂线段，垂足分别为点C、D．求矩形MCOD的周长的最小值，并求使矩形MCOD的周长最小时的点M的坐标．
答案：
25．(本小题10分)探究问题：
(1．)阅读理解：
①如图(A)，在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最
小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC的费马距离．
②如图(B)，若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD+BC·DA=AC·BD
此为托勒密定理
(2)知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图(C)，已知点P 为等边△ABC 外接圆的»BC
上任意一点．求证：PB+PC=PA ②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A 、∠B 、∠c 均小于120度)的费
马点和费马距离的方法：
第一步：如图(D)在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆；
第二步：在»BC
上任取一点'P ，连结'P A 、'P B 、'P C 、'P D 易知''''('')'P A P B P C P A P B P C P A ++=++=+ ; 第三步：请你根据(1)①中定义，在图(D)中找出△ABC 的费马点P ，并请指出
线段 的长度即为△ABC 的费马距离
(3)知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解 决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水． 已知三村庄A 、B,C 构成了如图(E)所示的△ABC
(其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120o )，现选取一点P 打水井，使从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的 输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
答案：。