八年级数学上册【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷(解析版)

八年级数学上册【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷（解析版）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且

AD=AE，连接DE．

⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；

⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；

⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设

∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．

【详解】

解： (1)∵∠B=∠C=35°，

∴∠BAC=110°，

∵∠BAD=80°,

∴∠DAE=30°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∴∠CDE=∠AED-∠C=75°?35°=40°；

(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，

∴∠E=75°?18°=57°，

∴∠ADE=∠AED=57°，

∴∠ADC=39°,

∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，

∴∠BAD=36°.

（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β

①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α

∴

y x

y x

α

αβ

=+

?

?

=-+

?

①

②

-②得，2α﹣β=0，

∴2α=β；

②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α

∴

+

y x

y x

α

αβ

=+

?

?

=+

?

①

②

-①得，α=β﹣α，

∴2α=β；

③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α

∴

180

180

y x

y x

αβ

α

-++=

?

?

++=

?

①

②

-①得，2α﹣β=0，

∴2α=β．

综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．

2．再读教材:

宽与长的比是

5-1

约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)

第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.

第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.

第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，

第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，

问题解决:

（1）图③中AB=________(保留根号);

（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;

（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.

（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.

【答案】（1）5；(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.

【解析】

分析：（1）由勾股定理计算即可；

（2）根据菱形的判定方法即可判断；

（3）根据黄金矩形的定义即可判断；

（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．

详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB=22

+=22

AC BC

+=5．

12

故答案为5．

（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：

如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．

∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．

（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．

∵AD

=5．AN =AC =1，CD =AD ﹣AC =5﹣1． ∵BC =2，∴CD BC =51

2

-，∴矩形BCDE 是黄金矩形． ∵

MN DN =215+=512

-，∴矩形MNDE 是黄金矩形． （4）如图④﹣1中，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使得四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所求是黄金矩形．

长GH =5﹣1，宽HE =3﹣5．

点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．

3．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ． （1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．

①求证：∠1＝∠2；

②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；

（2）如图3，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，求

ABF ACF

S S

的值．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2

【解析】

【分析】

（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；

②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；

（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；

【详解】

（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵AD⊥BN，

∴∠ADB＝90°，

∵∠MBN＝30°，

∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，

∴∠1＝∠2

②证明：如图2中，

在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，

∴BF＝2DF，

∵BF＝2AF，

∴BF＝AD，

∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，

∴△BFC≌△ADB，

∴∠BFC＝∠ADB＝90°，

∴BF⊥CF

（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．

∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1， ∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ， ∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ， ∴∠1+∠4＝∠2+∠4 ∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ， ∴△ABK ≌CAF ，

∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，

∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ， ∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ， ∴AF ＝FK ＝BK ， ∴S △ABK ＝S △AFK ，

∴

ABF

AFC

S 2S ??=． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

4．如图，在等边ABC ?中，点D ，E 分别是AC ，AB 上的动点，且AE CD =，BD 交CE 于点P ．

（1）如图1，求证120BPC ?∠=；

（2）点M 是边BC 的中点，连接PA ，PM ．

①如图2，若点A ，P ，M 三点共线，则AP 与PM 的数量关系是 ； ②若点A ，P ，M 三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明过程见详解；（2）①2AP PM =；②结论成立，证明见详解 【解析】 【分析】

（1）先证明()AEC CDB SAS ≌，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；

（2）①2AP PM =；由等边三角形的性质和已知条件得出AM ⊥BC ，∠CAP ＝30°，可得PB ＝PC ，由∠BPC ＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB ＝30°，进而可得AP ＝PC ，由30°角的直角三角形的性质可得PC ＝2PM ，于是可得结论；

②延长BP 至D ，使PD ＝PC ，连接AD 、CD ，根据SAS 可证△ACD ≌△BCP ，得出AD ＝BP ，∠ADC ＝∠BPC ＝120°，然后延长PM 至N ，使MN ＝MP ，连接CN ，易证△CMN ≌△BMP （SAS ），可得CN ＝BP ＝AD ，∠NCM ＝∠PBM ，最后再根据SAS 证明△ADP ≌△NCP ，即可证得结论． 【详解】

（1）证明：因为△ABC 为等边三角形，所以60A ACB ∠=∠=?

∵AC BC A ACB AE CD =??

∠=∠??=?

，∴()AEC CDB SAS ≌ ，∴AEC CDB ∠=∠， 在四边形AEPD 中，∵360AEC EPD PDA A ∠+∠+∠+∠=?， ∴18060360AEC EPD CDB ∠+∠+?-∠+?=?， ∴120EPD ∠=?，∴120BPC ∠=?；

（2）①如图2，∵△ABC 是等边三角形，点M 是边BC 的中点， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AM ⊥BC ，∠CAP ＝1

2

∠BAC ＝30°，∴PB ＝PC ， ∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＝∠PCB ＝30°， ∴PC ＝2PM ，∠ACP ＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP ， ∴AP ＝PC ，∴AP ＝2PM ； 故答案为：2AP PM =；

②AP＝2PM成立，理由如下：

延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，如图4所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，∴△PCD是等边三角形，

∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，

∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD，

∴∠BCP＝∠ACD，

∴△ACD≌△BCP（SAS），

∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，

∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°，

延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，

∵点M是边BC的中点，∴CM＝BM，

∴△CMN≌△BMP（SAS），

∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，

∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，

∴∠NCP＝60°＝∠ADP，

在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC，

∴△ADP≌△NCP（SAS），

∴AP＝PN＝2CM；

【点睛】

本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

5．已知如图1，在ABC

?中，AC BC

=，90

ACB

∠=，点D是AB的中点，点E是AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.

（1）求证：AE CG

=.

（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：BE CM

=.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出

△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；

（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．

【详解】

（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．

又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．

又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．

在△AEC和△CGB中，∵

CAE BCG

AC BC

ACE CBG

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；

（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC．

在△BCE和△CAM中，

BEC CMA

ACM CBE

BC AC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当

的判定条件．

6．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E 点．

（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°； （2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；

（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．

【答案】（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形． 【解析】 【分析】

（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．

（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ???，即可得出2AB DC ==． （3）假设ADE ?是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，

40ADE AED ∠=∠=?，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=?，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的

内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠． 【详解】 （1）在BAD 中，

40B ∠= ，115BDA ∠=，

1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=?-∠-∠=?-?-?=?，

1801801154025EDC ADB ADE ∠=?-∠-∠=?-?-?=?．

AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，

1801804025115C E DC D E C ?-∠-∠=?-?-?=∠=?． 故答案为：25，115；

（2）当2DC =时，ABD DCE ???．理由如下：

40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=?，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=?，ADB DEC ∴∠=∠．

在ABD △和DCE ?中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，()ABD DCE AAS ???，2AB DC ∴==；

（3）AB AC =，40B C ∴∠=∠=?，分三种情况讨论：

①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=?，AED C ∠>∠，∴此时不符合； ②当DA DE =时，即1

(18040)702DAE DEA ∠=∠=?-?=?，

1804040100BAC ∠=?-?-?=?，1007030BAD ∴∠=?-?=?； 1803040110BDA ∴∠=?-?-?=?；

③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=?，1004060BAD ∴∠=?-?=?，180604080BDA ∴∠=?-?-?=?；

∴当110ADB ∠=?或80?时，ADE ?是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．

7．已知ABC 为等边三角形，E 为射线AC 上一点，D 为射线CB 上一点，AD DE =. （1）如图1，当点E 在AC 的延长线上且CD CE =时，AD 是ABC 的中线吗？请说明理由；

（2）如图2，当点E 在AC 的延长线上时，写出,,AB BD AE 之间的数量关系，请说明理由；

（3）如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，点E 在线段AC 上时，请直接写出

,,AB BD AE 的数量关系.

【答案】（1）AD 是ABC 的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE +=，理由详见解析；（3）AB AE BD =+. 【解析】 【分析】

（1）利用△ABC 是等边三角形及CD=CE 可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE ，证明∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．

（2）在AB 上取BH=BD ，连接DH ，证明AHD ≌△DCE 得出DH=CE ，得出AE=AB+BD ， （3）在AB 上取AF=AE ，连接DF ，利用△AFD ≌△EFD 得出角的关系，得出△BDF 是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE ．

【详解】

（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠E，

∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，

∴∠E=30°，

∵DA=DE，

∴∠DAC=∠E=30°，

∵∠BAC=60°，

∴∠DAB=∠CAD，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∴AD是△ABC的中线．

（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：

如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，

∵BH=BD，∠B=60°，

∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，

∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，

∵AD=DE，

∴∠E=∠CAD，

∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E

∴∠BAD=∠CDE，

∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，

∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,

∴∠AHD=∠DCE，

∴在△AHD和△DCE，

BAD CDE

AHD DCE

AD DE

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△AHD≌△DCE（AAS），

∴DH=CE，

∴BD=CE，

∴AE=AC+CE=AB+BD．

（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：

如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60°，

∴△AFE是等边三角形，

∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，

∴EF∥BC，

∴∠EDB=∠DEF，

∵AD=DE，

∴∠DEA=∠DAE，

∴∠DEF=∠DAF，

∵DF=DF，AF=EF，

在△AFD和△EFD中，

AD DE

DF DF

AF EF

=

?

?

=

?

?=

?

,

∴△AFD≌△EFD（SSS）

∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，

∴∠FDB=∠EDF+∠EDB，∠DFB=∠DAF+∠ADF，

∵∠EDB=∠DEF，

∴∠FDB=∠DFB，

∴DB=BF，

∵AB=AF+FB，

∴AB=BD+AE．

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解

题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．

8．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ?，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH

AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接

FG 交AB 于点l .

（1）若10AC =，求HI 的长度；

（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.

【答案】（1）HI =5；(2)见解析. 【解析】 【分析】

（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ?是等边三角形得到AH=PH ， 再证明

PFI BGI ???得到PI=BI ，于是可得HI =1

2

AB ，即可求解；

（2）延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，就可以得出BE=BQ ，得出△BEQ 是等边三角形，就可以得出BE=QE ，得出△BCE ≌△QDE 就可以得出结论． 【详解】

解：如图1，作FP ∥BC 交AB 于点P ，

∵ABC ?是等边三角形, ∴∠ABC=∠A=60°, ∵FP ∥BC,

∴∠APF=

∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI, ∴∠APF=∠A=60°, ∴APF ?是等边三角形, ∴PF=AF, ∵FH

AB ⊥，

∴AH=PH, ∵AF=BG, ∴PF=BG,

∴在PFI ?和BGI ?中，

PIF BIG PFI BGI PF BG ∠=∠??

∠=∠??=?

, ∴PFI BGI ???, ∴PI=BI, ∴PI+PH=BI+AH=12

AB, ∴HI=PI+PH =

12AB= 1

102

?=5； (2)如图2，延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，

∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC ，∠B=60°． ∵AE=BD ，DQ=AB ， ∴AE+AB=BD+DQ ， ∴BE=BQ ． ∵∠B=60°，

∴△BEQ 为等边三角形， ∴∠B=∠Q=60°，BE=QE ． ∵DQ=AB ， ∴BC=DQ ．

∴在△BCE 和△QDE 中，

BC DQ

B Q

BE QE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BCE≌△QDE（SAS），

∴EC=ED．

∴∠ECD=∠EDC.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.

9．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数

（2）拓展，△ABC

中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.

（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.

【解析】

【分析】

（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】

（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，

如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，

∴∠C=90°-23°=67°，

∵MN垂直平分AB，

∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形，

∴∠BAD=∠ABC=23°，

∴∠ADC=2∠ABC=46°，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，

∴∠DAC=∠C，

∴△DAC是等腰三角形，

同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，

图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.

（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，

∵点O是三角形垂直平分线的交点，

∴OA=OB=OC，

∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，

∵AB=AC，∠BAC=45°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴∠BAD=∠CAD=22.5°，

∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，∴∠OBC=∠OCB=45°.

（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，∵∠A=30°，PB=PQ，

∴∠ABP=∠A=30°，

∴∠APB=120°，

∵PB=PQ，PQ=CQ，

∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，

∴∠PBQ=2∠C，

∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，

解得：∠C=40°.

②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，

∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，

∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，

∴180°-4∠C+∠C=120°，

解得：∠C=20°，

③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，

∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=1

2

（180°-∠C），

∴∠PBQ=1

4

（180°-∠C），

∴1

4

（180°-∠C）+∠C=120°，

解得：∠C=100°.

④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,

又∵∠C+∠PBQ=120°，

∴∠C=80°；

⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，

∴∠APB=1

2

（180°-30°）=75°，

∵BP=BQ，PQ=CQ，

∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，

∴∠BQP=2∠C，

∴∠PBQ=180°-4∠C，

∴∠C+180°-4∠C=75°，

解得：∠C=35°.

⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，

∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=1

2

（180°-∠C），

∴∠PBC=1

4

（180°-∠C），

∴1

4

（180°-∠C）+∠C=75°，

解得：∠C=40°.

⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；

⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，

∵AB=BP，∠A=30°，

∴∠ABP=∠APB=75°，

又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，

且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，

∴3∠C=75°，

∴∠C=25°；

⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，

∵AB=BP，

∴∠BPA=∠A=30°，

∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，

∴2∠C+∠C=30°，

解得：∠C=10°.

⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，

∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，

∴1

2

∠C+∠C=30°，

解得：∠C=20°.

综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【点睛】