离散数学ch2
数理逻辑
Ch2. 形式命题演算
2.2 完备性定理 (The Adequacy Theorem for L)
– Proposition 2.14 可靠性定理(The Soundness Theorem):L的定理都是重言式 – 证明思路: L的三条公理可靠 推演规则(三段论)可靠 由归纳法可知,L的所有定理可靠
Ch2. 形式命题演算
– Remark: 演绎定理的逆定理是平凡的: – 若有Г┣A B则一定有Г∪{A}┣A B – 同时显然有Г∪{A}┣A – 使用一次MP就可以得到Г∪{A}┣B
Ch2. 形式命题演算
– Corollary 2.10 {(A B), (B C)}┣(A C)
(HS, (1) (2) (3) (4) (5) Hypothetical Syllogism,假言三段论) (A B) assumption (B C) assumption A assumption B (1),(3)MP C (2),(4)MP
Ch2. 形式命题演算
– Lemma:设∑是命题变元或其否定形式的集合, 对于任何一个真值赋值v,令其对应的∑为: 若v(pi) = T则令pi∈∑, 否则~pi∈∑ – v(A)=T则∑┣A, v(A)=F则∑┣(~A) – 证明: 施归纳法于A的结构 归纳奠基 若A为命题变元pi,则显然正确 归纳奠基: 归纳证明 根据A的构成方法分两种情况: 归纳证明:
Ch2. 形式命题演算
问题起源:当命题形式的连接词过多时,我 们的直觉并不一定很准确,希望建立一个简 单的系统来对应直觉.这也符合我们计算机 的思维. "如果A不正确蕴涵 正确那么 一定正确" 不正确蕴涵A正确那么 一定正确" 如果 不正确蕴涵 正确那么A一定正确
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学ch2.二元关系(5、6、7节)
VS
详细描述
关系的对称差运算可以用符号表示为 R△S，其中 R 和 S 是两个关系。它包括 属于 R 但不属于 S，以及属于 S 但不属 于 R 的所有有序对。如果 (a, b) 在 R△S 中，那么 (a, b) 或者只属于 R，或者只属 于 S。
04
CATALOGUE
关系的闭包
闭包的定义
1 2
关系的交运算可以用符号表示为 R ∩ S，其中 R 和 S 是两个关系 。它包括同时属于 R 和 S 的所有 有序对。如果 (a, b) 在 R ∩ S 中 ，那么 (a, b) 同时是 R 和 S 的差是一种集合差集操作，它从第一个 关系中去除与第二个关系共有的元素。
中可以推导出的新事实。
数据完整性
03
在数据库设计中，闭包的概念用于确保数据的完整性和准确性
，防止出现冗余和不一致的情况。
05
CATALOGUE
关系的类型
函数关系
总结词
函数关系是一种特殊的二元关系，它满足每 个自变量都有唯一的因变量与之对应。
详细描述
在函数关系中，对于定义域中的每一个元素 ，在值域中都有唯一一个元素与之对应。这 种关系具有明确性、确定性和无重复性。常 见的函数关系有数学函数、映射函数等。
离散数学ch2.二元 关系(5、6、7节)
contents
目录
• 引言 • 二元关系的性质 • 关系的运算 • 关系的闭包 • 关系的类型 • 关系在数据库中的应用 • 关系在人工智能中的应用
01
CATALOGUE
引言
定义与概念
定义
二元关系是集合论中的一个基本概念 ，它描述了两个元素之间的联系。
在设计关系型数据库时，需要考虑数据结构、数据完整性、数据冗余和数 据安全性等方面。
考试必备离散数学定理总结
2.8、C1∧C2≈Res(C1,C2)2.10、（消解的完全性）一个合取范式是不可满足的当且仅当它有否证.3.1、由命题公式A1, A2, …, Ak推B的推理正确当且仅当A1∧A2∧…∧Ak→B为重言式.（推理正确不能保证结论一定正确）4.1、闭式在任何解释下都是命题5.1、（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式6.1、空集是任何集合的子集。
（推论：空集是唯一的）6.2、（包含排斥原理）设集合S上定义了n条性质，其中具有第i 条性质的元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为：6.3、德摩根律：A-(B⋃C)=(A-B)⋂(A-C)A-(B⋂C)=(A-B)⋃(A-C)~(B⋃C)=~B~⋂C~(B⋂C)=~B~⋃C7.9、设R为A上的关系, 则(1) R 在A上自反当且仅当IA ⊆R(2) R 在A上对称当且仅当R=R^(-1)(3) R 在A上传递当且仅当R︒R ⊆R7.10、设R为A上的关系, 则有(1) r(R)=R∪R^0(2) s(R)=R∪R^(-1)(3) t(R)=R∪R^2∪R^3∪…9.1、设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.9.2、设◦为S上的二元运算，θl和θr分别为S中关于运算的左和右单位元，则θl = θr = θ为S上关于◦运算的惟一的零元.9.3、设◦为S上的二元运算，e和θ分别为◦运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e≠θ.9.4、设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元yl 和右逆元yr, 则有yl = yr= y, 且y是x 的惟一的逆元.10.2、G为群，∀a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解. （G中适合消去律）10.3、G为群，a∈G且|a| = r. 设k是整数，则(1) a^k = e当且仅当r | k(r整除k)(2 )|a^-1| = |a|10.4、（子群判定定理一）设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a^-1∈H.10.5、（子群判定定理二）设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab^-1∈H.10.6、（子群判定定理三）设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H.10.7、设H是群G的子群，则He=H，∀a∈G有a∈Ha10.8、设H是群G的子群，则∀a,b∈G有：a∈Hb ⇔ab-1∈H ⇔Ha=Hb10.9、设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：∀a,b∈G, <a,b>∈R ⇔ab-1∈H则R是G上的等价关系，且[a]R = Ha.推论：设H是群G的子群, 则(1) ∀a,b∈G，Ha = Hb或Ha∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a∈G} = G10.10、（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则：|G| = |H|·[G:H]其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.推论1：设G是n阶群，则∀a∈G，|a|是n的因子.推论2：对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>.10.11、（循环群的生成元）设G=<a>是循环群. ：(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n 互质的数r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元.10.12、（循环群的子群）设G=<a>是循环群.(1) 设G=<a>是循环群，则G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.14.1、（握手定理）在任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍.14.2、（握手定理）在任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍；所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数.推论：任何图(无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数.14.5、在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1 的通路.推论：在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1的初级通路（路径）.14.7、对任意无向图G中，有：κ(G)λ≤(G)δ≤(G)14.8、D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路14.9、D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路14.10、无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈15.1、无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.15.2、无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇度顶点.15.5、G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且是若干个边不重的圈的并.15.6、设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1⊂V且V1∅≠，均有p(G-V1) ≤ |V1|设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1⊂V且V1∅≠均有p(G-V1) ≤ |V1|+1 15.7、设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n-1则G 中存在哈密顿通路.推论：设G为n(n≥3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.16.1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：(1) G 是树(2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径.(3) G 中无回路且m=n-1.(4) G 是连通的且m=n-1.(5) G 是连通的且G 中任何边均为桥.(6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.16.2、设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶.16.3、无向图G具有生成树当且仅当G连通.推论1 ：G为n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1.推论2 ：余树的边数为m-n+1.推论3 ：余树为G的生成树T的余树，C为G中任意一个圈，则C与余树一定有公共边17.3、平面图各面次数之和等于边数的两倍.17.4、极大平面图是连通的，并且n（n≥3）阶极大平面图中不可能有割点和桥.17.5、设G为n（n≥3）阶极大平面图，则G的每个面的次数均为3.17.6、（欧拉公式）设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n-m+r=217.7、（欧拉公式的推广）设G是具有k（k≥2）个连通分支的平面图，则n-m+r=k+117.8、设G为连通的平面图，且deg(Ri)≥l, l≥3，则m≤ l(n-2)/( l-2)推论：K5，K3,3不是平面图17.10、设G为n（n≥3）阶m条边的简单平面图，则m≤3n-6.17.11、设G为n（n≥3）阶m条边的极大平面图，则m=3n-6.17.12、设G 为简单平面图，则δ(G)≤5.17.13、G是平面图⇔G中不含与K5或K3,3同胚的子图.17.14、G是平面图⇔G中无可收缩为K5或K3,3的子图18.3、设n阶图G中无孤立顶点.(1) 设M为G中一个最大匹配，对于G中每个M非饱和点均取一条与其关联的边，组成边集N，则W=M⋃N为G中最小边覆盖.(2) 设W1为G中一个最小边覆盖；若W1中存在相邻的边就移去其中的一条，设移去的边集为N1，则M1=W1-N1为G中一个最大匹配.(3) G中边覆盖数α1与匹配数β1满足α1+β1=n.推论：设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配，W是G中的边覆盖，则|M| ≤ |W|，等号成立时，M为G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.18.4、M为G中最大匹配当且仅当G中不含M的可增广交错路径.18.5、（Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中，|V1|≤|V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻.本定理中的条件常称为“相异性条件”.18.6、设二部图G=<V1,V2,E>中，V1中每个顶点至少关联t (t≥1)条边，而V2中每个顶点至多关联t 条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配.18.7、对于任意无向图G，均有χ(G) ≤∆(G)+1几个相关性质:χ(G)=1当且仅当G为零图χ(Kn)=n若G为奇圈或奇阶轮图，则χ(G)=3，若G为偶阶轮图，则χ(G)=4.若G的边集非空，则χ(G)=2当且仅当G为二部图18.8、（Brooks定理）若连通无向图G不是Kn,（n≥3），也不是奇数阶的圈，则χ(G) ≤∆(G) 18.10、（四色定理）任何平面图都是4-可着色的。
离散数学第二版最全课后习题答案详解
离散数学第二版最全课后习题答案详解离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电气工程等领域都有着广泛的应用。
对于学习离散数学的同学们来说，课后习题的解答是巩固知识、加深理解的重要环节。
本文将为您提供离散数学第二版的最全课后习题答案详解，希望能对您的学习有所帮助。
在开始讲解具体的习题答案之前，让我们先简要回顾一下离散数学的主要内容。
离散数学包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等几个部分。
集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质、运算和关系。
在集合论的习题中，常见的问题包括集合的表示、集合的运算（并集、交集、补集等）、集合的包含关系以及集合的基数等。
例如，有这样一道习题：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，求 A ∪ B 和A ∩ B。
答案是：A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4}，A ∩ B ＝｛2, 3}。
这是因为并集是包含两个集合中所有元素的集合，而交集是同时属于两个集合的元素组成的集合。
数理逻辑是研究推理和证明的工具，它包括命题逻辑和谓词逻辑。
在数理逻辑的习题中，需要掌握命题的符号化、逻辑公式的等价变换、推理规则的应用等。
比如，给出这样一个命题：“如果今天下雨，那么我就不去公园”，将其符号化。
我们可以设“今天下雨”为 P，“我去公园”为 Q，那么这个命题可以符号化为P → ¬Q。
图论是研究图的性质和应用的分支。
图的概念在计算机网络、交通运输等领域有着重要的应用。
图论的习题常常涉及图的表示、顶点的度、路径、连通性、图的着色等问题。
假设有这样一道题：一个无向图有 10 个顶点，每个顶点的度都为 6，求这个图的边数。
根据顶点度数之和等于边数的两倍这个定理，我们可以计算出边数为 30。
代数结构则包括群、环、域等概念，在这部分的习题中，需要理解和运用代数结构的定义和性质来解决问题。
接下来，我们具体来看一些习题的详细解答。
例 1：设集合 A ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正奇数}，B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数}，求 A B。
离散数学第2章 关系(祝清顺版)
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章 二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学 第二章 二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义 对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集 合族。
离散数学-详解
离散数学-详解离散数学（Discrete Mathematics）目录• 1 什么是离散数学• 2 离散数学的发展• 3 离散数学与现代信息技术• 4 参考文献什么是离散数学离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，离散数学是数学几个分支的总称，研究基于离散空间而不是连续的数学结构。
更一般地，离散数学被视为处理可数集合（与整数子集基数相同的集合，包括有理数集但不包括整数集）的数学分支。
与光滑变化的实数不同，离散数学的研究对象———例如整数、图和数学逻辑中的命题———不是光滑变化的，而是拥有不等、分立的值。
离散数学中的对象集合可以是有限或者是无限的。
特别是，有限数学一词通常指代离散数学处理有限集合的那些部分，特别是在与商业相关的领域。
包括基本的概率论、线性规划、矩阵和行列式的理论。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域，它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学等必不可少的科研基础。
离散数学的发展历史上，离散数学涉及各个领域的一系列挑战性问题。
在图论中，大量研究的动机是企图证明四色定理。
这些研究虽然从1852年开始，但是直至1976年四色理论才得到证明，是由肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯大量使用计算机辅助来完成的。
在逻辑领域，大卫·希尔伯特于1900年提出的公开问题清单的第二个问题是要证明算术公理是一致的。
1931年，库尔特·哥德尔的第二不完备定理证明这是不可能的———至少算术本身不可能。
大卫·希尔伯特的第十个问题是要确定某一整系数多项式丢番图方程是否有一个整数解。
1970年，尤里·马季亚谢维奇证明这不可能做到。
第二次世界大战时盟军基于破解纳粹德军密码的需要，带动了密码学和理论计算机科学的发展。
英国的布莱切利园因而发明出第一部数字电子计算器———巨像计算机。
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
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客体：３, 王宏, 小李,小王 谓词: ＂…是无理数＂， ＂…是程序员＂，＂…比…高2厘米＂ ＂…是无理数＂， ＂…是程序员＂刻划个体的性质 ＂…比…高2厘米＂表示客体与客体之间的关系
与客体相关的概念
客体常元：表示具体的或特定的客体
使用量词时的注意点
在不同的个体域中,命题符号化的形式不一样. 若事先没给出个体域,应以全总个体域为个体域. 当个体域是有限集时,如D={a1,a2,…,an},对任意 谓词A(x),有:
xA(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)
多个量词同时出现时,不可随意颠倒它们的次序.
例如命题：的平方是非负数. a: , f(x)=x2, R(x):x>0. 符号化为:R(f(a)) a: , R(x):x>0, P(x,y):x是y的平方. 符号化为: y(P(y,a)∧R(y))
函词与谓词不同
函词作用在个体上，而产生另一个个体 而谓词作用在个体上之后产生的是一个命题
谓词填式： 注
谓词字母后填以个体所得的式子． 常称为谓词.
谓词中所含个体的数目称为该谓词的元数
多元谓词个体填入的顺序有关
一元谓词,二元谓词,…n元谓词 一元谓词刻划个体的性质，n元谓词刻划个体间的关系 0元谓词看成是命题
2-2命题函数与量词
简单命题函数: n元谓词P(x1,x2,…,xn)是以个体变元 x1,x2,…,xn的个体域为定义域，以{0,1}为值域的n元 函数. 复合命题函数 谓词与命题的关系
用小写英文字母a,b,c,…表示
客体变元：表示抽象的或泛指的客体
用小写英文字母x,y,z,…表示
个体域(论域)：客体变元的取值范围
论域可为有限集，可为无限集 全总个体域
与谓词相关的概念
谓词常元：表示具体性质或关系的谓词 谓词变元：表示抽象的或泛指的谓词 例:
用大写的英文字母表示 F: …比…高2厘米 3比2高2厘米 记作: F(3,2)
2.永真 可满足 等价
定义2-5.1~2-5.4
设A是一公式,如果A在任可解释下都是真的,
则称A为永真的(逻辑有效的). 设A是一公式,如果A在任可解释下都是假的, 则称A为永假的(矛盾的). 若存在一解释使A为真,则称A为可满足的. 设A,B为公式,若A↔B为永真的, 则称A与B是等价的.记为AB. 设A,B为公式,若A→B为永真的, 则称A蕴涵B.记为AB.
第二章 谓词逻辑
命题逻辑的特点和局限性
命题是命题演算的基本单位 不再对简单命题进行分解 无法研究命题的内部结构及命题之间内在的联系 在推理方面存在局限性
著名的＂苏格拉底三段论＂
凡人都是要死的. 苏格拉底是人. 所以苏格拉底是要死的.
若用P,Q,R表示上述三个命题
(P∧Q)R表示上述推理,
(2)量词与之间的关系
对于任意公式A(x):
xA(x) xA(x) xA(x) xA(x) xA(x) xA(x)
DN={1,2,3,…} DN上的加法是f的解释 DN上的相等关系是A的解释 (*)的含义: 对所有x,y∈DN,并非对所有z 有x+z≠y． 即对所有x,y∈DN,存在z有 x+z=y． 在此解释下,(*)是假命题.
定义解释I:
DI是正有理数集 DI上的乘法是f的解释 DI上的相等关系是A的解释 (*)的含义: 对所有x,y∈DN,并非对所有z 有x.z≠y． 即对所有x,y∈DN,存在z有 x.z=y． 在此解释下,(*)是真命题.
7.每个自然数n都有后继数n+1.
令F(x):x是自然数.
H(x,y):y是x的后继数. 则命题可符号化为： x(F(x)→y(F(y)∧H(x,y)))
8.对于任意的x, y，都存在唯一的z，使得x+y=z .
符号化为： (x)(y)(z)((x+y = z)∧(u)((u = x + y) (u = z)) )
例：
(*)是可满足的; xA(x)→xA(x)永真; xA(x)→BxA(x)∨B
3.常用的等价和蕴涵式
(1) (2)
(3)
(4) (5) (6)
命题公式的推广 量词与之间的关系 量词作用域的扩张和收缩 量词与命题联结词之间的一些等价式 量词与命题联结词之间的一些蕴涵式 多个量词的使用
(1)命题公式的推广
代换实例 设A0是含命题变元P1,P2,…,Pn的命题公 式, A1,A2,…,An是谓词公式.用Ai(1≤i≤n) 处处代换Pi, 所得公式A称为A0的代换实例.
命题公式中的重言式代换实例在谓词逻辑中是逻辑有效的,
仍称为重言式. 命题公式中的矛盾式代换实例在谓词逻辑中是永假的,仍 称为矛盾式. 命题演算中的等价公式表和蕴涵公式表可推广在谓词演算 中.
谓词逻辑合式公式及其解释
谓词逻辑等值式 谓词逻辑推理理论
2-1谓词的概念与表示
简单命题分解成客体(个体词、主词) 和谓词 客体:
可以是具体的事物,也可是抽象的概念
例, 李明,黑板,自然数,思想,定理等都是个体词
谓词:用来刻划客体的性质或客体之间关系的词语 例:在下面三个简单命题中:
但它不是有效推理. 无法判断＂苏格拉底三段论＂的正确性
其原因在于P,Q,R没有反映它们内在的联系.
需将简单命题做进一步的分析,分析出其中 的个体词,谓词,量词等,研究它们的形式结构 及逻辑关系,总结出正确的推理形式和规则. 这也就是谓词逻辑(一阶逻辑)所研究的内容 本章学习
谓词逻辑的基本概念
2-4变元的约束
1.辖域 自由出现
约束出现
设α是公式,含有子公式xP(x) 则x中x的称为指导变元 P(x)称为量词x的辖域 P(x)中出现的变元x称为约束出现 若x的出现不是约束的称为自由出现
例:指出下列各公式中的指导变元,量词的辖域,变元的自由出现 和约束出现.
(1) (2) (3)
任何人都能做哪件事. 有些人活百岁以上.
对应日常语言中＂一切＂,＂所有的＂,＂任意的＂ x表示对个体域里的所有个体
对应于日常语言中＂存在着＂,＂有一个＂,＂至少有一
个＂ x表示存在个体域里的个体
带量词命题的符号化
例:
(1)任何人都能做哪件事. (2)有些人活百岁以上. 解: D(x): x能做哪件事 G(x): x活百岁以上 假设个体域是人类的集合 (1)符号化为xD(x) (2)符号化为xG(x) 若个体域是全总个体域 需引进新的谓词 M(x):x是人. (1)符号化为x(M(x)→D(x)) (2)符号化为x(M(x)∧G(x))
2.项的递归定义如下:
(1)客体常元、客体变元是项; (2)若f是n元函数,t1,t2,…,tn是项,则f(t1,t2,…,tn)是项; (3)只有有限次使用(1)和(2)生成的符号串才是项.
3.原子公式 4.合式公式(简称为公式)
设R是n元谓词, t1,t2,…,tn是项,则R(t1,t2,…,tn)是原子公式.
(4)
x(P(x)→Q(x)) x(P(x)→yR(x,y)) xy(P(x,y)∧Q(y,z))∧xP(x,y) x(P(x)∧xQ(x,z)→y(R(x,y))∨Q(x,y)
(3)中的y变元既自由出现,又约束出现 (4)中的x和y变元既自由出现,又约束出现
2.约束变元改名 换名规则:
一般P(x1,x2,…,xn)不是命题 例:R(x):x是大学生.
R(x)的真假与讨论范围密切相关
P(x,y)解释为:x小于y
例:(P(x,y)∧P(y,z))→P(x,z)
P(x,y)解释为:x是y的儿子
P(x,y)解释为:x距离y10米
量词
有些命题除了表示个体词和谓词外,还有表示数量的 词,称为量词 例: 量词的种类: 全称量词 用符号＂＂ 存在量词 用符号＂＂
2-3谓词公式的定义
1.符号表
(1)客体常元:a,b,c,…,ai,bi,ci,…,i≥1; (2)客体变元:x,y,z,…,xi,yi,zi,…,i≥1; (3)函数符号:f,g,h,…,fi,gi,hi,…,i≥1; (4)谓词符号:F,G,H,…,Fi,Gi,Hi,…,i≥1; (5)量词符号:, (6)联结词:,∧,∨,→, ↔ (7)括号和逗号:(, ), 注: 在一阶逻辑中还可描述对个体所进行的某种变换，即引入所谓函词
将量词辖域中某个约束出现的变元及相应的指导变元改成辖域中末曾
பைடு நூலகம்
3.自由变元的代入 替换规则:
出出过的变元,公式中其余部分不变. xy(P(x,y)∧Q(y,z))∧xP(x,y) 改名为 xt(P(x,t)∧Q(t,z))∧xP(x,y)
自由变元的代入用公式中未曾出现的变元去代入该自由出现的变元且
(1)原子公式是合式公式; (2)若A是合式公式,则(A)也是合式公式; (3)若A,B是合式公式,则(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是合式公式; (4)若A是合式公式,则(xA(x)), (xA(x))也是合式公式; (5)只有有限次地使用(1)至(4)构成的符号串是合式公式.
所谓一阶逻辑的“一阶”的含义就是指其中的量词只能作
用在个体上
给定下述谓词,将下列公式翻译成自然语言