数学实验教程实验9(级数)
关于幂级数的数学实验
关于幂级数的数学实验 一、 二、 结论：
f ( x) = sin x 与 f ( x) = sin( x + x0 ) 的图象
一般函数与多项式函数图象
在一定条件下，不同的函数都可以用多项式函数来近似。
进一步： 在一定条件下，可用幂级数来表示函数。
一 幂级数的收敛区间 1. 幂级数 (1)
lim | an | = ρ 和 lim n→∞
n n→∞
| an+1 | =ρ | an |
求收敛半径. 可用直比法 在例2)中, 令
( x 1) 2 n an ( x) = n 32 n
则
( x 1) 2( n+1) an+1 ( x) n 32 n ( x 1) 2 (n + 1) 32( n+1) = = ( x 1) 2 → (n → ∞) 2n 2( n +1) ( x 1) an ( x) (n + 1) 3 9 n 32 n
对每个
∑ u ( x)
n
设
区间I上一致收敛:
定理14.5 若幂级数(2)的收敛半径为R(>0), 且大x=R(或x= -R)时收敛, 则在它
的区间[0,R](或[-R,0])上一致收敛.
lim n | an | = ρ = +∞ 故收敛半径为: R = 0 收敛域为: {0}
n→∞
2)
( x 1) 2 n ∑ n 32n n =1
∞
令
∞
y = ( x 1) 2 则
(3)
∞ ( x 1) 2 n yn ∑ n 32n = ∑ n 32n n =1 n =1
对幂数(3)
1 n 1 2n an+1 (n + 1) 32( n+1) n 32 n 1 3 = = = → (n → ∞) 2( n +1) n +1 2 1 an (n + 1) 3 9 3 32 n n 32 n
圆周率的实验报告
圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。
圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。
在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。
实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。
选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。
将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。
实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。
选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。
然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。
随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。
实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。
我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。
通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。
实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。
其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。
在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。
实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。
我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。
例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。
结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。
无穷级数实验报告总结
一、实验目的本次实验旨在通过实际操作，加深对无穷级数概念的理解，掌握判断无穷级数敛散性的方法，并学会利用无穷级数解决实际问题。
二、实验内容1. 几何级数的敛散性首先，我们研究了几何级数的敛散性。
实验中，我们选取了不同的公比q，观察级数的前几项，发现当q的绝对值大于1时，级数发散；当q的绝对值小于1时，级数收敛；当q等于-1时，级数呈现周期性变化，但整体上仍然是收敛的。
此外，我们还讨论了当q等于1时，级数发散的情况。
2. 判断级数敛散性的方法接着，我们学习了利用定义判断级数敛散性的方法。
首先，写出级数的部分和数列，然后求出部分和数列的通项。
最后，求出部分和数列的极限。
如果极限存在且为常数，则级数收敛；否则，级数发散。
3. 无穷级数在实际问题中的应用为了更好地理解无穷级数，我们探讨了无穷级数在实际问题中的应用。
例如，利用无穷级数求解积分、求解微分方程等。
通过实际操作，我们发现无穷级数在解决实际问题中具有很高的实用价值。
三、实验结果与分析1. 几何级数的敛散性实验结果表明，几何级数的敛散性与其公比q的绝对值有密切关系。
当q的绝对值大于1时，级数发散；当q的绝对值小于1时，级数收敛；当q等于-1时，级数收敛，但呈现周期性变化。
2. 判断级数敛散性的方法实验结果表明，通过定义判断级数敛散性的方法简单易行。
只需求出部分和数列的极限，即可判断级数的敛散性。
3. 无穷级数在实际问题中的应用实验结果表明，无穷级数在解决实际问题中具有很高的实用价值。
通过无穷级数，我们可以求解一些难以直接求解的积分和微分方程。
四、实验结论1. 几何级数的敛散性与其公比q的绝对值有密切关系，掌握了这一规律，我们可以快速判断几何级数的敛散性。
2. 利用定义判断级数敛散性的方法简单易行，对于一般级数，我们可以通过求部分和数列的极限来判断其敛散性。
3. 无穷级数在解决实际问题中具有很高的实用价值，掌握无穷级数的相关知识，有助于我们解决一些实际问题。
实验九常微分方程与级数
入命令: >>dsolve('D2y=x+Dy', 'y(0)=1', 'Dy(0)=0', 'x') 结果: ans = -1/2*x^2+exp(x)-x
用Matlab求已知函数的泰勒展开式 求已知函数的泰勒展开式用命令taylor,其几种调用格式为: taylor(函数f(x)) 求f(x)在x=0点的5次taylor多项式. taylor(函数f(x),n) 求f(x)在x=0点的n-1次taylor多项式. taylor(函数f(x),a,n) 求f(x)在x=a点的n-1次taylor多项式.
实验九 常微分方程与级数
CLICK HERE TO ADD A TITLE
实验目的: 1.掌握用Matlab命令dsolve求解微分方程. 2.学习Matlab泰勒级数展开命令taylor. 3.加强对幂级数和函数概念的理解. 4.如何用Matlab判断数项级数的敛散性.
一.用Matlab命令dsolve求解微分方程 一般地,含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为 微分方程.微分方程在Matlab中输入时应注意: 应输入Dy, 应输入D2y, 应输入D3y等等. 1.Matlab求解微分方程的命令是dsolve,调用格式: dsolve(‘微分方程’)给出微分方程的解析解,表示为t的函数,把y 当作t的函数求解,这是系统默认的. 2.dsolve(‘微分方程’,’x’) 给出微分方程的解析解,表示为x的函数.
实验 数列与级数
实验3 数列与级数级数是微积分乃至整个数学分析最重要的基本内容之一。
远在公元前三世纪，古希腊人Archimedes 就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积。
本实验的目的是通过计算机发现数列的规律、极限状态的性质。
所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一串数字1a ,2a ,... ,n a , (1)而一个无穷级数则是用无穷项数字构成的和式∑∞=1n n a= 1a +2a + (2)数列与级数有密不可分的关系。
给定一个无穷级数（2），它唯一地确定了一个无穷数列 1S , 2S ,…其中n S = 1a +2a +…+n a , n = 1,2 ,… .反过来，给定一个无穷数列（1），它也唯一地确定了一个无穷级数∑∞=1n n b这里1b = 1a ,1--=n n n a a b ,n = 2 ,3 ,… 。
并且，无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限。
因此，无穷数列与无穷级数是可以相互转化的。
给定的数列{n a } ,人们最关心的问题是：1． 数列n a 有什么规律与性质？2． 当n →∞时，数列n a 的极限是什么？3． 极限是否是一个有限的数字？还是无穷大？抑或根本不存在？4． 如果极限是无穷大，那么它趋于无穷大的阶是什么？5． 如果数列的极限根本不存在，那么在无穷大的极限状态又怎么样？对于给定的一个无穷级数，也可以提出上述类似的问题。
本实验将通过计算机图示的方法来帮助我们发现数列的规律及其极限行为。
我们以Fibonacci 数列为例来探讨上述问题。
3.1 Fibonacci 数列给定如下的数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……其递推关系式由n n n F F F +=++12, 1=n ，2，…， 11=F ,12=F (3)给出，该数列被称为Fibonacci 数列。
Fibonacci 数列经常以著名的养兔问题提出来。
某人养了一对兔子（公母各一只）。
一月后，这对兔子生了一对小兔。
泰勒数学实验报告
一、实验目的1. 理解泰勒级数的概念和性质。
2. 掌握泰勒级数展开的方法。
3. 通过实验验证泰勒级数展开的准确性和适用范围。
二、实验原理泰勒级数是函数在某一点附近展开的一种方法，它将函数表示为幂级数的形式。
对于可导函数，在其定义域内，存在任意阶导数，可以通过泰勒级数展开来近似表示该函数。
泰勒级数的展开公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中，a为展开点，R_n(x)为余项。
三、实验内容1. 实验一：泰勒级数展开的验证（1）选择一个函数，如f(x) = e^x，在x=0处进行泰勒级数展开。
（2）根据泰勒级数展开公式，计算f(x)在x=0处的各阶导数值。
（3）将计算得到的各阶导数值代入泰勒级数展开公式，得到e^x的泰勒级数。
（4）使用计算器或编程软件，计算e^x的泰勒级数在x=0附近的近似值，并与实际值进行比较。
2. 实验二：泰勒级数展开的误差分析（1）选择一个函数，如f(x) = sin(x)，在x=0处进行泰勒级数展开。
（2）根据泰勒级数展开公式，计算f(x)在x=0处的各阶导数值。
（3）将计算得到的各阶导数值代入泰勒级数展开公式，得到sin(x)的泰勒级数。
（4）计算sin(x)的泰勒级数在x=0附近的近似值，并与实际值进行比较。
（5）分析泰勒级数展开的误差，讨论误差产生的原因。
3. 实验三：泰勒级数展开的应用（1）选择一个函数，如f(x) = ln(x)，在x=1处进行泰勒级数展开。
（2）根据泰勒级数展开公式，计算f(x)在x=1处的各阶导数值。
（3）将计算得到的各阶导数值代入泰勒级数展开公式，得到ln(x)的泰勒级数。
（4）使用泰勒级数展开的近似值计算ln(1.01)和ln(1.02)。
高等数学实用教程第九章
求
1
n1
n
n
1
1 2n
的和。
解 根据性质1和例9.1.2、例9.1.3的结论，得
1
n1
1
n
n
1
1 2n
n1
1
nn 1
n1
1 n 2
1
2 1
1
2
2
性质2 将级数去掉、添加或改变有限项，不会改变级数的敛散性 。如果是收敛级数，级数的和可能会改变。
性质3 收敛级数加括号后所构成的级数仍收敛于原来的和。
n1 n
n n
散。另外，如果通项的极限不等于0，级数一定是发散的，这
就是下面的推论。
推论
如果
lim
n
an
0，则级数 an
发散。
例 9.1.7 考察级数的敛散性。
n
(1) n1 2n 3
n 1 n
(2) n1
n
解
(1)通项 un
n 2n 3
，因为
lim
n
un
1 2
0
，所以原级数发散。
(2)通项
无界，因此调和级数 1 发散。 n1 n
例 9.1.6 [调和级数的另一种证明思路]雅各布 ·伯努利 (JakobBernoulli,1654-1705)证明调和级数发散的方法。
首先
1 n 1
1 n2
1 n2
n2 n
1 n2
1
1 n
所以
1 n
1 n 1
1 n2
1 n2
1
这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大 于1，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使 它大于任何给定的量，从而整个级数的和必是无穷。
无穷级数实验报告
一、实验目的1. 理解无穷级数的概念及其在数学和工程中的应用。
2. 掌握MATLAB软件在求解无穷级数中的应用。
3. 通过实际操作，加深对无穷级数收敛性、收敛域的理解。
二、实验原理无穷级数是数学中一种重要的数学工具，它将无限多个数按照一定的规律排列起来，形成一种表达形式。
在数学分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
无穷级数分为收敛级数和发散级数，其中收敛级数是指当项数无限增加时，级数的和趋于某一固定值。
傅里叶级数是无穷级数的一种，它将周期函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶级数，我们可以了解周期函数的频谱特性以及各个频率分量对函数形状的贡献程度。
三、实验内容1. 实验一：求解e的近似值（1）原理：利用e的泰勒级数展开式 e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...，通过计算前n项的和来逼近e的值。
（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算n项泰勒级数的和；b. 在MATLAB中，对不同的n值进行计算，观察逼近程度；c. 分析n与逼近程度的关系。
2. 实验二：求解π的近似值（1）原理：利用π的莱布尼茨级数展开式π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...，通过计算前n项的和来逼近π的值。
（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算n项莱布尼茨级数的和；b. 在MATLAB中，对不同的n值进行计算，观察逼近程度；c. 分析n与逼近程度的关系。
3. 实验三：求解无穷级数收敛性（1）原理：判断无穷级数的收敛性，可以通过比值法则、根值法则等方法。
（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算级数的通项；b. 利用比值法则或根值法则，判断级数的收敛性；c. 分析级数的收敛域。
四、实验结果与分析1. 实验一：计算e的近似值通过MATLAB计算，当n=10时，e的近似值为2.71828，与实际值相差很小。
随着n的增加，近似值越来越接近实际值。
2. 实验二：计算π的近似值通过MATLAB计算，当n=10时，π的近似值为3.14159，与实际值相差很小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验9 级数
实验目的
1．理解幂级数的概念，并会用软件将函数展开成幂级数 2．理解Fourier 级数的概念，并将函数展开成Fourier 级数
实验准备
1．数项级数、幂级数的收敛性判断； 2．幂级数的展开、级数求和； 3．Fourier 级数的概念、展开方法；
实验内容
1．函数的幂级数展开 2．收敛级数的和 3．Fourier 级数展开
软件命令
表9-1 Matlab 级数操作命令
实验示例
【例9.1】级数观察
观察下列级数的部分和序列的变化趋势，并求和。
1.11n n ∞
=∑； 2. 1
1(1)n n n ∞
=-∑。
【步骤】：
Step1：计算部分和；Step2：描点观察。
【程序】： clear clc
clf
for n=1:100
for k=1:n
p1(k)=1/k;
p2(k)=(-1)^k/k; end
s1(n)=sum(p1); s2(n)=sum(p2); end
plot(s1) plot(s2) syms i;
symsum(1/i,i,1,inf))
symsum((-1)^i/i,i,1,inf)) 【输出】：
图 9-1 部分和序列收敛性观察
级数（1）发散；调和级数（2）收敛，收敛于ln2。
【例9.2】调和级数实验—欧拉常数
记1
1
()n
i H n i ==
∑，()()ln C n H n n =-，研究C(n)的极限值是否存在。
【程序】：%图形观察
h(1)=1;
for i=2:10^5
h(i)=h(i-1)+double(1/i); c(i)=h(i)-log(i); end plot(c)
% 求极限
syms kn
limit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf) 【例9.3】函数的幂级数展开
将下列函数在指定点处展开成幂级数，并计算近似值，至少保留三位小数。
1
．0(),f x x = 2．011
()arctan
,1,arctan 12
x f x x x -==+； 3．0()sin(1),0,sin1f x x x =+=。
【步骤】：
Step1：利用函数 taylor(f,n,v,a)将函数f(x)在指定点处展开； Step2：利用函数subs(s)求出近似值。
【输出】：略。
【例9.4】级数求和
求下列幂级数的和函数。
1．21121n n x n -∞
=-∑（积分）； 2．1(1)
n
n x n n ∞=+∑（微分）；3．1(1)n n n n x ∞
=+∑（积分）。
【步骤】：
Step1：定义通项 f(n)；
Step2：利用symsum(f,n,1,inf)求级数的和。
【程序】：
clear
clc
syms nx ;
f1=x^(2*n-1)/(2*n-1); s1=symsum(f1,n,1,inf); f2=x^n/(n*(n+1));
s2=symsum(f2,n,1,inf); f3=n*(n+1)*x^n;
s3=symsum(f3,n,1,inf);
【输出】：
s1 =1/2*log((1+x)/(1-x)) s2 =1-(x-1)/x*log(1-x) s3
=-2*x/(x-1)^3
【例9.5】Fourier 级数展开及其和函数的逼近
设()f x 是以为周期，振幅为1的方波函数，它在[,]ππ-上的表达式为
1,0
()1,0x f x x ππ--≤<⎧=⎨
<≤⎩
试将()f x 展开成Fourier 级数，并画出图形观察该函数的部分和逼近()f x 的情形。
【原理】：
以为周期的函数()f x 的Fourier 级数为
01()
(cos sin )2n n n a n x n x f x a b l l
ππ∞=++∑， 其中1()cos ,0,1,2,l n l n x
a f x dx n l l π-=
=⎰，1()sin ,1,2,l n l n x
b f x dx n l l
π-=
=⎰。
【步骤】：
Step1：求出f(x)的Fourier 系数；
由于函数f(x)为奇函数，由Fourier 系数的公式知道，a n =0，因此它的Fourier 级数只含有正弦项，又因为f(x)sin(nx)为偶函数，故级数中的系数
2
2(1(1))
()sin(),1,2,
n n b f x nx dx n n π
ππ
--=
==
⎰
Step2：绘制逼近图形
【程序】：参见Exm09Demo05.m 。
【输出】：如下图。
图9-2 Fourier 级数逼近
实验练习
1．求下列级数的和：
（1）121(1)(21)
n n n x n n -∞
=--∑（提示：微分，2
2arctan ln(1),||1x x x x -+≤）；
（2）221
(21)2n n n n x ∞
-=-∑
（提示：积分，2
22
2,||(2)x x x +≤- （3）123n n n ∞
=∑（提示：考虑幂级数1
n
n nx ∞
=∑，32）。
2．求下列函数在指定点处的幂级数展开式：
（1）01(),1(3)f x x x x =
=+；参考：1011
(1)(1)(1),|1|134
n n n n x x ∞+=----<∑； （2）00
()cos ,0x
f x t tdt x ==⎰；参考：22
0(1),||(22)(2)!
n n n x x n n +∞
=-<+∞+∑。
3．设()f x 是以为周期的函数，它在[,]ππ-上的表达式为
,0
(),0x x f x x x ππππ
+-≤≤⎧=⎨
-<≤⎩ 试将()f x 展开成Fourier 级数，并绘图观察部分和逼近()f x 的情形。