数值分析02_第二章2。1、2。2。1节

Ax b
a12 函数插值 a第二章 a1 n 11 a21 a22 a2 n i 1 A bi lij x j j 1 an 1 an 2 ann xi lii
i 2 ,3 , , n
第二章 插值与逼近
• 余项表达式仅当 f ( n1) ( x ) 存在时才能应用，且是唯一的。 • 在( a , b ) 内的具体位置通常不能给出。 • 若有max a xb
M f ( n 1) ( x ) Mn 1,则截断误差限是 Rn( x) n n 1 n 1( x ) . ( 1)!
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
K (x)为待定函数
Rn ( x) f ( x) Pn ( x) K ( x) n1 ( x)
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f ( x) Pn ( x) K ( x) n1 ( x) 0 若引入辅助函数 (t ) f (t ) Pn (t ) K ( x) n1 (t ) 则有 (x ) f ( x) Pn ( x) K ( x) n1 ( x) 0
从而 | Rn ( x ) | 的大小与 Mn 1和 | n 1 ( x ) | 有关，因此在 n 和 x [a , b]
| 给定的情况下， 1个插值节点的选择应使 n1 ( x ) | 尽可能小。 n
• n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。 若f(x)为次数不高于n次的多项式,
用通过两点P0 , P 的直线 L1 ( x) 来代替 f ( x), 即 1 x [ xk , xk 1 ]
f ( x)
P1
L1( x )
xk+1 x
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P0
0
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xk
② 抛物线插值： 余项为
R2 ( x) f ( x) L2 ( x) f ( ) ( x xk 1 ) ( x xk ) ( x xk 1 ) 3! (a, b)
f ( n 1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
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f ( n 1) ( ) K ( x) (n 1)!
所以
f ( n 1) ( ) Rn ( x) K ( x) n 1 ( x) n 1 ( x) (n 1)!
称Rn ( x)为插值多项式Pn ( x)的余项(截断误差)
2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0
--------(4)
上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式
1 x0 V 1 x1
2 n x0 x0 2 1 n 1
x
x

2 n xn xn
( x j xi ) 0
Ax b
§ 2.1 插值问题 § a 2.2 插值多项式的构造方法 a
xi
a11 12 1n a2 n 2.3 a21 § a22 分段插值法 A an 1 an 2 ann
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bi lij x j
j 1
( n1) ( ) 0
(t ) f (t ) Pn (t ) K ( x) n1 (t )
由于 因此
( ( n1) (t ) f ( n1) (t ) Pn( n1) (t ) K ( x) nn1) (t ) 1 ( ( n1) ( ) f ( n1) ( ) Pn( n1) ( ) K ( x) nn1) ( ) 1
1
yy
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
00.5Biblioteka 11.5 1.52 2
2.5 2.5
3 3
3.5 3.5
x x x
对于被插函数f ( x)和插值函数P( x)
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外P( x)的值可能就会偏离f ( x) 因此P( x)近似代替f ( x)必然存在着误差 华长生制作
则f(n+1)(ξ) =0, 华长生制作
从而Rn(x)=0.
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• n = 1, 2 时的插值余项 ：
① 线性插值：
余项为 R1( x) f ( x) L1( x) f ( ) ( x xk ) ( x xk 1) 2!
f ( x) L1( x)
y
(a, b)
( x) 0 , ( xi ) 0 , i 0,1,2,, n
由于Pn ( x)和 n1 ( x)为多项式,因此若f ( x)可微, 则 (t )也可微
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重复使用Rolle定理知
在区间(a, b)内至少有一个点 , 使得 (t )的n 1阶导数为零
n n i i 0 i i 0
当用三角函数的多项式插值时称为三角插值；当用 有理分式插值时称为有理插值；当用多项式插值时 称为代数插值。
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5
P( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
------(1)
并且用P( x)近似代替f ( x )
这就是插值问题, (1)式为插值条件,
n
Lagrange型余项
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , (a , b) , 且依赖于x.
i 0
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设
M n 1 max| f ( n 1 ) ( x )|
a x b
N n 1 n 1 ( x )| | ( x xi )| |
对函数f (x), 其函数形式可能很复杂, 且不利于在计算机上
运算, 假如可以通过实验或测量, 可以获得f ( x )在区间[ a , b ] 上的一组n 1个不同的点
a x0 x1 x2 xn b
上的函数值 yi f ( xi ),
i 0 ,1,2 ,, n
i 0
n
则
f ( n 1 ) ( ) n 1 ( x) | Rn ( x )| ( n 1)!
1 M n1 Nn1 ( n 1)!
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注意
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) ( x ), ( n 1) ! n 1
能否存在一个性能优良、便于计算的函数
比如多项式函数 P(x)
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引入符号 M max x , m min x , 当用插值函数P(x)计 算被插函数f(x）在点 x m, M 处近似值的方法称之 为内插法，若用来计算 x [a, b]但x [m, M ] 处近似 值的方法称之为外插法。
-------(6)
其中 xi , i 0 ,1,2 ,, n为插值节点
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yi f ( xi )
i 0,1,2 ,, n
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如果a x0 x1 x2 xn b为区间[ a , b]上的一组节点
称函数P( x)为函数f ( x)的插值函数 如果P(x)为多项式函数, 则称之为插值多项式
称点 xi , i 0 ,1,2 , , n为插值节点
称区间 a , b]为插值区间 [ 如函数y sin x , 若给定[0, ]上5个等分点
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其插值函数的图象如图
6
sinxµ å IJ Öµ
注意t与x 的区分
且 ( xi ) f ( xi ) Pn ( xi ) K ( x) n1 ( xi )
Rn ( xi ) K ( x) n 1 ( xi ) 0
i 0,1,, n
因此, 若令x xi , (t )在区间[a, b]上至少有n 2个零点,即
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整体误差的大小反映了插值函数的好坏
为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数 本章讨论的就是代数插值多项式
二、代数插值多项式的存在唯一性
设函数 y f ( x) 在区间[ a , b]上的代数插值多项式为
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2 an x n
定理1. 设f ( x )在区间[ a , b]上n 1阶可微, Pn ( x )为f ( x )在[ a , b]上的
n次插值多项式, 插值节点为{ xi } in 0 [ a , b ], 则x [ a , b ], 有
f ( n 1) ( ) Rn (x ) n 1 ( x) (n 1)!
的插值多项式 Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2 an x n 存在且唯一.
虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一
但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法
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插值多项式中的误差
假设在区间[a, b]上f ( x)的插值多项式为 Pn ( x)
用通过三点P0 , P , P2抛物线近似代替f ( x), 即 1 f ( x) L2 ( x)
y
x [ xk 1 , xk 1 ]
P1
P2 f ( x )
L2 ( x )
P0
0
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xk-1
xk
xk+1
x
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2.2 插值多项式的构造方法
根据线性空间的理论
所有次数不超过n的多项式构成的线性空间是 n 1 维的
i 1
lii
2
本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值. 本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值和三次样条插值