高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9节函数模型及其应用课时分层训练8

金戈出品 学 习 资 料 汇编 课时分层训练(十一) 函数模型及其应用 A组 基础达标 (建议用时：30分钟) 一、选择题 1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98

y －0.99 0.01 0.98 2.00

则对x，y最适合的拟合函数是( ) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2 x D [根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2 x，可知满足题意．] 2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) 【导学号：51062068】 A．118元 B．105元 C．106元 D．108元 D [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108，故选D.] 3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图2­9­2丙所示．

图2­9­2 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A．① B．①② C．①③ D．①②③

A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口金戈出品

进水，一个出水口出水，一定正确的是①.] 4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( ) A．85元 B．90元 C．95元 D．100元 C [设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]， ∴当x＝95时，y最大．] 5．(2017·四川德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲

桶中的水只有a4 L，则m的值为( ) A．5 B．8 C．9 D．10 A [∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，

∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝12a，

可得n＝15ln12，∴f(t)＝a·12t5， 因此，当k min后甲桶中的水只有a4 L时， f(k)＝a·12＝14a，即12＝14，

∴k＝10， 由题可知m＝k－5＝5，故选A.] 二、填空题 6．(2017·浙江高考冲刺卷(一))对于实数x，定义符号[x]表示不超过x的最大整数，例：[1.2]＝1，[－1.2]＝－2.则当0≤x≤2时，满足[x2]＝[2x]的x的取值范围是________．

0，12∪2，3

2∪[3，2] [当0≤x≤2时，0≤x2≤4,0≤2x≤4.

[x2]＝[2x]等价于 0≤x2<10≤2x<1或 1≤x2<21≤2x<2或 2≤x2<32≤2x<3或 3≤x2<43≤2x<4或

 x2＝4，

2x＝4，解得0≤x<12或2≤x<32或3≤x≤2.]

7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过金戈出品

滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 8 [设过滤n次才能达到市场要求，

则2%1－13n≤0.1%，即23n≤120，

所以nlg23≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.] 8．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 【导学号：51062069】 24 [由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝

192(e11k)2，∴e11k＝4819212＝1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192

＝192e33k＝192(e11k)3＝192×123＝24.] 三、解答题 9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每

年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k3x＋5

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． [解] (1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，2分

因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10).6分

(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2x＋8003x＋5－10＝70(万元)，9分 当且仅当6x＋10＝8003x＋5， 即x＝5时等号成立，13分 所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.15分 10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票金戈出品

每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 【导学号：51062070】 [解] (1)设旅行团人数为x，由题得0飞机票价格为y元，

则y＝ 900，0＜x≤30，900－x－，30＜x≤75，

即y＝ 900，0＜x≤30，1 200－10x，30＜x≤75.7分 (2)设旅行社获利S元， 则S＝ 900x－15 000，0＜x≤30，x－10x－15 000，30＜x≤75，

即S＝ 900x－15 000，0＜x≤30，－x－2＋21 000，30＜x≤75.12分 因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上为单调增函数， 故当x＝30时，S取最大值12 000元， 又S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上， 当x＝60时，取得最大值21 000. 故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.15分 B组 能力提升 (建议用时：15分钟) 1．有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( ) A．19 B．20 C．21 D．22

C [操作次数为n时的浓度为910n＋1，由910n＋1＜10%，得n＋1＞－1lg910＝－12lg 3－1

≈21.8，∴n≥21.] 2．某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x小时后，病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个． y＝4x 1 024 [设原有1个病毒，

经过1个30分钟有2＝21个病毒； 金戈出品

经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒； 经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒； ……

经过60x30个30分钟有22x＝4x个病毒， ∴病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为y＝4x， ∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．] 3．(2016·浙江高考)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中

min{p，q}＝ p，p≤q，q，p>q. (1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围． (2)①求F(x)的最小值m(a)； ②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a). 【导学号：51062071】 [解] (1)由于a≥3，故 当x≤1时， (x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0； 当x>1时， (x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a).4分 所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2,2a].7分 (2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2， 则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2， 所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，

即m(a)＝ 0，3≤a≤2＋2，－a2＋4a－2，a>2＋2.9分 ②当0≤x≤2时， F(x)＝f(x)，此时M(a)＝max{f(0)，f(2)}＝2.

当2≤x≤6时， F(x)＝g(x)，此时M(a)＝max{g(2)，g(6)}＝max{2,34－8a}，12分

当a≥4时，34－8a≤2； 当3≤a<4时，34－8a>2，

∴M(a)＝ 34－8a，3≤a<4，2，a≥4.15分

敬请批评指正